CC BY
14
УДК 629.197
КОНТРОЛЬ И КОРРЕКЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© 2005 г. Е.Ю. Булычева
It is set and decided a problem of control and correction of numerical integration results of differential equations with taking into account of errors and distortions of different kinds during modeling.
Известно, что процесс численного интегрирования дифференциальных уравнений с использованием той или иной вычислительной среды (ВС) сопровождается ошибками, которые обусловлены погрешностями численных методов, неточностями задания исходных данных, а также искажениями, вносимыми непосредственно ВС [1, 2]. Ниже развит новый подход к контролю и коррекции результатов численного интегрирования дифференциальных уравнений, а также проведена классификация задач контроля и коррекции в зависимости от полноты априорной информации.
Пусть задано подлежащее интегрированию векторное дифференциальное уравнение
^ = f(t,x), x е Rn, xo = x(t0), t е[,T], (1)
dt
где f(-) - известная вектор-функция, обеспечивающая выполнение условий существования и единственности решения уравнения (1).
Решение уравнения (1) в соответствующей ВС с использованием одного из известных численных методов приводит к тому, что вместо истин* *
ного значения х = x(t) вектора х = x(t) имеется некоторая результирующая
оценка xp = x+ s = x+(s^ ®sВС)), где sИд = s^(t) - ошибка за
счет неточных исходных данных, используемых при интегрировании системы (1); S4M = s^M(t) - ошибка за счет применения приближенного численного метода интегрирования; sВС = s^t) - ошибка за счет ограниченных возможностей используемой ВС; ® - закон композиции ошибок, который в общем случае неизвестен.
В силу нелинейного характера и вычислительной сложности задачи численного интегрирования ошибка s = s(t) в реальных расчетах может принимать недопустимо большие значения и, тем самым, обесценивать получаемые результаты.
Пусть по отношению к модели (1) известен либо вектор инвариантов Q(t, x, c), либо вектор е-инвариантов Qe(t, x, ce), где c и ce - векторные константы соответствующей размерности. Для Q(t, x, c) на истинных решени-
р
ях модели (1) найдется такая константа сеЛ<^ , что будет выполняться свойство инвариантности
Q
t, x(t), cs
= 0 Vt e[t0, T ].
Соответственно для Ц;(/, х, се) найдутся такие константы еЛ£ с ЯРе , что будет выполняться свойство е-инвариантности
Qc
t,x(t),cs = Acs((), |AcB(t)<e Vte [to,T],
V /
где е - заданный вектор достаточно малых положительных чисел.
Если предположить, что известны инварианты ЗД/, х, с) и е-инварианты х, се) модели (1), то контроль результатов оценивания должен базироваться на проверке выполнения условий
|| хр (/) с) ||* 0 Ус еЛс Кр ,
| Qs(t,Хр(t)cs)|| >e VcEeAEc RPc
сигнализирующих о том, что результирующая оценка Хр (/) содержит недопустимо большую ошибку 5 = зф, и, следовательно, требуется ее коррекция.
Применительно к ЗД/, х, с) критерий коррекции принимает вид:
( * Л
Q
t, xp ((}c
I Х р (()> ^Ц
если значение векторной константы с априорно известно;
( * Л
Q
t, xp ((}c
< Q1
(x р(()> ? ^
если значение векторной константы с априорно неизвестно и, следовательно, требуется нахождение ее оптимальной оценки с . Для Ц;(/, х, се) критерий коррекции:
( * Л
Qc
t, x ((), c
: I Qs((,x p((), cE))
если значение векторной константы сс априорно известно;
( * Л
а
t, xp ((), c
: I Qs((,x р((), се)\
если значение константы се априорно неизвестно.
Рассмотрим сначала возможность коррекции на базе инварианта х, с), полагая для простоты, что размерность данного вектора совпа-
c
<
Е
дает с размерностью вектора x(t). Подставляя выражение x(() = xp (t) - s(() в Q(t, x, c), получим Q(t, Xp (t)- s(t), c)= 0 V t e [[q, T], т.е. имеем некоторое
уравнение, в общем случае нелинейное, для определения искомой ошибки
Q(t, s(t), X(t)) = 0 V t e[t0, T].
В том случае, когда существует обратная функция Q _1(-), ошибка s(t) находится в аналитическом виде s(t)= Q_1((, Xp (t), c), где значение c может быть априорно известным или неизвестным. Если c известно, то
В противном случае
где c - оптимальная оценка вектора c, соответствующая решению оптимизационной задачи
{ с } — min V1 (c) = min II Qt, xp (t) - Q_1(t, xp (t), c)) 2 .
c c II
Если не предполагается существование обратной функции Q_1(-), метод коррекции на базе инварианта Q(t, x, c) имеет вид:
*
xp (( )= xp (( )- s (( ),
где s(t) - оптимальная оценка результирующей ошибки s(t), являющаяся решением оптимизационной задачи
{ s (() c } — min V2 (s, c) = min II а((, xp (() - s(t) c)) .
{s,c} {s,c}11 11
Для е-инварианта Qe(t, x, cc) также возможны две принципиально различные ситуации, когда обратная функция QC1 (-) существует и когда наличие таковой не предполагается. В первом случае, когда значение ce априорно известно и число ет е (где T - символ транспонирования) достаточно мало, алгоритм коррекции можно представить в виде
Если же значение ce неизвестно, то
{ сЕ } — mm (cs) = mm II Qs (f, xp(() - ß-1 (f, xp((), cs))
(cs} 3 {се} 11
В том случае, когда существование обратной функции Qs-1(-) не предполагается, алгоритм коррекции следующий:
xpE(( )= x p(()- ^),
где ss(t) - оценка ошибки s(t), соответствующая решению оптимизационной задачи
' 4 () = "А11 II "е (> xp ( ) - ) се ) "
{ ss (()} -— min V4 (s) = min II Qs (t, xp (() - s(t), cE
W
- когда значение cs известно,
{ sE ((), Cs } — {min} V5( cs) = ininj Qs (t, xp (() - s((), cs) ||2
- когда значение еЕ неизвестно.
Результаты численных расчетов [2] показывают, что предложенный подход является достаточно универсальным и позволяет с системных позиций подходить к вопросу контроля и коррекции результатов численного интегрирования дифференциальных уравнений на базе тех или иных ВС.
Литература
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1986.
2. БулычевЮ.Г. // ЖВМ и МФ. 1995. Т. 35. № 2. С. 15-17.
Южно-Российский государственный университет
экономики и сервиса 12 сентября 2005 г.
УДК 519.1
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СЕТЯХ С БИПОЛЯРНОЙ МАГНИТНОСТЬЮ
© 2005 г. Я.М. Ерусалимский, А.Г. Петросян
The problem of random processes on the net with bipolar matnetization is under investigation. These processes are being considered in the special constructed net with the redefined transition probability.
1. Постановка задачи о биполярной магнитности
Пусть G(X, U, f - орграф и U = UH u U+ и U_ и UM + и UM _, причем
эти множества попарно не пересекаются; UH - множество нейтральных
дуг, на прохождение по дугам которого ограничения не накладываются;
