Систематизация способов измерения составляющих комплексного сопротивления по методу решения обобщенного уравнения мостовой цепи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.317

В. А. Баранов

СИСТЕМАТИЗАЦИЯ СПОСОБОВ ИЗМЕРЕНИЯ СОСТАВЛЯЮЩИХ КОМПЛЕКСНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО МЕТОДУ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ МОСТОВОЙ ЦЕПИ

Предлагается систематизировать способы измерения комплексного сопротивления по используемому методу решения обобщенного уравнения мостовой цепи. Выявлены способы измерений, перспективные для применения в процессорных средствах измерений комплексного сопротивления. Описаны оригинальные устройства для измерения составляющих комплексного сопротивления.

Обобщенное уравнение мостовой цепи, предложенное К. Б. Каран-деевым и Г. А. Штамбергером, устанавливает связь комплексного сопротивления двухполюсной электрической цепи (ДЭЦ), включенной в мостовую измерительную цепь, и отношения двух активных параметров этой цепи (синусоидальных напряжений или токов) [1]:

Ж = Жк + ]Ж1 =| Ж | е& = , (1)

где Ж - отношение комплексных напряжений (токов); 2% = + ]Х% - из-

меряемое комплексное сопротивление ДЭЦ с активной Я% и реактивной Х% составляющими; а, Ь, с, Ы - известные комплексные коэффициенты, определяемые комплексными сопротивлениями опорных ДЭЦ измерительной схемы; Жя, Ж^ - активная и реактивная составляющие отношения Ж ; | Ж |, ф -модуль и аргумент отношения Ж . Отношение Ж может быть безразмерным отношением однородных величин (напряжений или токов измерительной схемы) или размерным отношением неоднородных величин (напряжение и ток) с размерностью сопротивления или проводимости.

Кроме мостовых измерительных схем, обобщенное уравнение описывает измерительные схемы в виде делителя напряжения (полумостовые или последовательные), параллельные, параллельно-последовательные и минимальную измерительную схему в виде исследуемой ДЭЦ.

При отсутствии опорных элементов обобщенное уравнение вырождается в закон Ома для участка цепи в комплексной форме. В этом случае измерение составляющих комплексного сопротивления (СКС) ДЭЦ можно осуществить путем измерения трех величин: напряжения, тока и фазового сдвига между ними. Наличие в измерительной схеме опорных ДЭЦ позволяет проводить прямые измерения СКС ДЭЦ, а при косвенных измерениях выполнять прямые измерения только двух неоднородных величин.

Измерение СКС ДЭЦ на основе решения обобщенного уравнения состоит в преобразованиях измеряемых величин и известных сопротивлений опорных ДЭЦ в активные параметры измерительной схемы (напряжение, ток), прямых измерениях этих активных параметров или их сравнениях с заданными значениями и вычислении по результатам этих операций значений

искомых величин как корней обобщенного уравнения. Каждая из операций измерения имеет ряд вариантов реализации. Различные сочетания этих вариантов порождают множество возможных способов измерения СКС ДЭЦ, однако в любом случае необходимо решать обобщенное уравнение относительно двух неизвестных. Именно выбранный метод решения уравнения определяет структуру измерительного устройства и алгоритм измерения, и, следовательно, уровень его метрологических характеристик. Поэтому метод решения обобщенного уравнения может выступать как основа систематизации способов измерения СКС ДЭЦ.

Методы решения обобщенного уравнения можно разделить на методы, основанные на варьировании коэффициентов обобщенного уравнения, и методы, основанные на использовании фиксированных коэффициентов.

Методы решения на основе варьирования коэффициентов:

1. Метод контроля отношения: осуществляется варьирование коэффициентов а, Ь, с, Ы (1) до приведения комплексного отношения Ж к определенному значению Ж = Жо . Достижение отношением Ж значения Ж) фиксируется путем непосредственного сравнения или измерительного контроля величин, формирующих это отношение. Неизвестные СКС Ях и Хх находятся затем как решения системы уравнений Жя0 = еЯх и Жя0 = ]■Хх , где е и /- действительные функции коэффициентов а, Ь, с, Ы .

2. Метод исключения неизвестного: осуществляется варьирование коэффициентов а, Ь, с, Ы до поочередного достижения функциями коэффициентов сочетаний значений е = 0, / Ф 0 и е Ф 0, / = 0. При этом обобщенное уравнение поочередно вырождается в уравнение с одним неизвестным хх и Ях соответственно.

Методы фиксированных коэффициентов:

1. Метод одного значения коэффициентов и двух параметров отноше-

ния: коэффициентам обобщенного уравнения а, Ь, с, Ы присваиваются фиксированные значения а = а1, Ь = Ь\, с = с1, Ы = а^. При известных модуле и аргументе комплексного отношения Ж неизвестные СКС находятся путем ре-

шения системы двух уравнений, формируемой из уравнения модулей и уравнения аргументов отношения Ж.

2. Метод двух значений коэффициентов и одного параметра отношения: формируются два обобщенных уравнения, отличающихся значениями коэффициентов:

Ж = а12х + Ь1 , Ж2 = а2 2х + Ь2 .

с12х + Ы1 с2 2х + Ы2

Для нахождения неизвестных достаточно задаться только модулями или только аргументами отношений Ж и решить относительно составляющих 2х систему квадратных или трансцендентных уравнений соответственно.

Исторически первый способ измерения СКС ДЭЦ - способ уравновешивающего преобразования - реализует метод контроля отношения путем варьирования коэффициентов и сравнения текущего значения отношения с его заданным значением. Заданному состоянию измерительной схемы Ж = 1

соответствует способ полного уравновешивания [1]. При приведении схемы к другим значениям Ж имеет место квазиуравновешивающее преобразование. Процесс варьирования коэффициентов может осуществляться различными методами и требует оптимизации [2].

Способы измерений СКС, основанные на решении обобщенного уравнения методом исключения неизвестного, разработаны Г. А. Штамбергером [3].

Примером реализации метода фиксированных коэффициентов является измерение составляющих комплексного сопротивления ДЭЦ, основанное на использовании одного параметра (модуля) отношения Ж [4].

Выявление методов решения обобщенного уравнения, перспективных для применения в качестве математических моделей алгоритмов функционирования процессорных средств измерений СКС, следует проводить на основе следующих положений:

1. Метод решения должен быть инвариантным по отношению к структуре ДЭЦ. Задача идентификации структуры ДЭЦ [5] рассматривается как отдельная задача.

2. Метод решения должен обеспечивать реализацию средства измерений с минимальными аппаратными затратами в смысле необходимого количества состояний опорных ДЭЦ и числа измеряемых и (или) сравниваемых величин. При этом считается, что измерение требует таких же аппаратных затрат, что и сравнение.

3. Сложность и погрешности вычислений не являются ограничивающими факторами для использования того или иного метода решения уравнения в качестве основы алгоритма измерения СКС в связи с быстрым развитием средств вычислительной техники и их широким внедрением в средства измерений [6].

Исходя из перечисленных положений наиболее перспективным для создания новых средств измерений СКС представляется метод фиксированных коэффициентов в различных модификациях. Данный метод требует для своей реализации минимального (до 1) числа различных значений коэффициентов обобщенного уравнения.

При реализации метода одного значения коэффициентов и двух параметров система уравнений, решениями которой являются значения измеряемых величин, имеет вид

(К22 + X|) (К0 + ^ )2 + (X0 + Xх)2

(X 02 + К2) (К1 + К2)2 + (^ + X2)2

Ф = агС^

( А1 + В1% + С1 Хх Л А2 + В2 Кх + С2 X

2Л X

где А1 =| ^0 |2 (К\Х2 -Х1К2), В =-Хо|22|2 +Ко(Х1К2-№) + Хо(К1К2 + +Х1Х2) , С1 = К0 | ^2 |2 + К0(К1К2 -К1Х2) + Х0(К1Х2 + Х1К2) , А2 =| %0 |2 х х(Xо + К2)[(К + К2)К2 + (Х1 + X2)X2], В2 = К | %2 |2 + К0(К)К2 -Х1Х2) +

+X0(X2К1 + X1К2), С2 = X0 | %2 | + К0(X1К2 -R1X2) + X0(К1К2 + X1X2) .

Здесь 2о = Щ + ]Хо , Щ + ]Х\, 2^ = Щ + ]Х2 - комплексные со-

противления опорных ДЭЦ мостовой измерительной схемы.

Структурная схема устройства для измерения СКС ДЭЦ данным методом представлена на рис. 1. Устройство состоит из мостовой измерительной схемы, двух АЦП напряжения АЦПН1 и АЦПН2, АЦП фазового сдвига напряжений АЦПФ и блока вычислений БВ. АЦП осуществляют преобразования в код напряжений на ДЭЦ с сопротивлениями 2о и 22 и фазового сдвига между этими напряжениями. Результаты преобразований поступают в блок вычислений БВ, где значения СКС вычисляются по формулам

Х = Xо - (До + *1) К2 +

к2+1

(Rq + XQ)((R + R2)2 + (X + Xq)2) W -(Rq + Ki -K2X0)2(R22 + X22)

( r| + X2)(K22 + i)2

RX = K + K2 X

2Л X:

+

где Ki =

Ai - tg9^2 tg9^2 - Bi

K2 =

Ci - tg9C2 tg9B2 - Bi

Щ Хх / и

Рис. 1 Структурная схема устройства для измерения СКС ДЭЦ на основе мостовой измерительной схемы с измерением напряжения и фазового сдвига

Реализации метода двух значений коэффициентов и одного параметра возможна двумя способами, отличающимися измеряемым параметром.

При выборе в качестве измеряемого параметра напряжения значения СКС находятся как решения системы уравнений

(R22 + X2 ) (R0i + RX )2 + (X 0i+ XX )2

(X Oi + R0i) (Ri + R2)2 + (Xi + X2)2

(R22 + X22) (R02 + RX )2 + (X02 + XX )2

(X(32 + R02) (Ri + R2)2 + (Xi + X2 )2

2

ii3

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион U2 U2

Здесь | Wi |= ——, | W2 |= —— , где U2, U01, U02 - напряжения на ДЭЦ U01 U02

с сопротивлениями Z 2 = R2 + jX2, Z 01 = R01 + jX01 и Z 02 = R02 + jX02 соответственно.

Структурная схема устройства для измерения СКС ДЭЦ данным способом представлена на рис. 2.

Хх ях их

Рис. 2 Структурная схема устройства для измерений СКС ДЭЦ на основе параллельной измерительной схемы с измерением напряжения

Устройство состоит из параллельной измерительной схемы, двух АЦП напряжения и блока управления и вычислений БУВ. В процессе измерения измерительная схема может находиться в двух состояниях, отличающихся состоянием аналогового ключа 8Л, управляемого блоком БУВ. АЦПН1 поочередно преобразует в код напряжение на опорной ДЭЦ при ее сопротивлениях 201 и 202 . АЦПН2 осуществляет преобразование в код напряжения на ДЭЦ с сопротивлением 22. Коды результатов всех преобразований поступают в БУВ, где вычисляются значения СКС измеряемого сопротивления 2х по формулам

|Ях = (0,25р2 -д)0,5 -0,5р,

I Хх = ОЯх + Е,

где

= 2(DE + EX01 + R01) а = D2 + 2DX01 + X^ + R& - Bx D = С1 - С2

’ ‘ ' ‘ ’ 2(X02 - X01)

E2 +1

E2 +1

E = R01 - R02 с = R2 B С = R2 B B = | W1 |2 (X0!1 + R0!1)

E =-----------------, C1 = R01 - B1, c2 = r02 - ^, B1 =-------------------

01

A

= |W2|2 (X02 + R022) =

2 A ’

x2 + R22

(R1 + R2)2 + (Xj + X2)2 '

При выборе в качестве измеряемого параметра фазового сдвига способ измерений СКС 2% состоит в измерениях фазовых сдвигов и ф2 между напряжениями в средних точках делителей напряжения измерительной схемы при значениях сопротивления опорной ДЭЦ измерительного делителя 2о1 и 202 соответственно. Значения СКС измеряемой ДЭЦ находятся как решения системы уравнений

4 + в1ях + сх

Ф! = arctg Ф2 = arctg

A2 + B2 rx + C2 Xx Л3 + B3 RX + C3 XX Л4 + Вд Rx + C4 X

где

А1 = (Х(31 + ^0і)(R\Х2 _ Х1^) 5

В1 =~Х01^2 + Х2) + R01(X1R2 ~^Х2) + Х01(-^1-^2 + Х1Х2) 5 С1 = %(^ + Х2) + %(R1R2 _R1Х2) + Х01(^Х2 + X1R2) 5 А2 = (Х01 + ) [(R1 + R2)R2 + (Х1 + Х2)Х2 ]5 В2 = %(^ + Х2) + %(R0R2 _Х1Х2) + Х01(Х2R1 + X1R2),

С2 = Х01(^ + Х2) + R01(X1R2 _ЩХ2) + Х01(R1R2 + Х1Х2)5

А3 = (Х0x2 + ^Э2)( R1Х2 _ X1R2) 5

Вз = ~Х02 С^2 + Х2 ) + R02 (X1R2 _ R1Х2 ) + Х02 (^-^2 + Х1Х2 ) 5

С3 = R02 (^2 + Х2) + R02 (R1R2 _ ^Х2 ) + Х02 (R1Х2 + X1R2) 5 А4 = (Х0)2 + [(R1 + R2)R2 + (Х1 + Х2)Х2]5

В4 = -^02 (^2 + Х2 ) + R02 (Я0R2 _ Х1Х2 ) + Х02 (Х2R1 + X1R2 ) 5 с4 = Х02(^ + Х^) + R02(Х1-^2 _R1Х2) + Х02(R1R2 + Х1Х2) •

Структурная схема устройства5 реализующего способ измерения СКС с измерениями фазового сдвига5 представлена на рис. 3.

Рис. 3 Структурная схема устройства для измерения СКС ДЭЦ на основе мостовой измерительной схемы с измерением фазового сдвига

Устройство состоит из мостовой измерительной схемы, АЦП фазового сдвига АЦПФ, блока управления и вычислений БУВ. В процессе измерения схема может находиться в двух состояниях, отличающихся положением аналогового ключа 8Л, управляемого блоком БУВ. АЦПФ поочередно преобразует в код фазовый сдвиг между напряжениями в средних точках делителей измерительной цепи при значениях сопротивления опорной ДЭЦ измерительного делителя и . Коды результатов всех преобразований поступают в БУВ, где вычисляются значения СКС измеряемого сопротивления ZX по формулам

Хх =

Rx =

D1D2 (A2 B4 ~ A4 B2) + D1 (A3 B2 ~ A2 B3) + D2 (A4 B1 ~ A1 B4 ) + A1B3 ~ A3 B1 D1D2 (B2C4 ~ B4C2 ) + D1(B3C2 _ B2C3) + D2 (B4C1 _ B1C4) + B1C3 _ B3C1 A3 ~ A4D2 + XX (C3 ~ C4D2)

B4 D2 ~ B3

где Г\ = 18(9!) , ^2 = 1§(Ф2) .

Важной особенностью метода фиксированных коэффициентов является возможность его реализации не только на основе мостовой и параллельной измерительных схем, но и на основе схемы в виде делителя напряжения. Исключение опорного делителя существенно упрощает измерительную схему, но вызывает необходимость организации в процессе измерения дополнительного ее состояния.

При реализации метода одного значения коэффициентов и двух параметров на основе делителя напряжения система уравнений, решениями которой являются значения измеряемых СКС, имеет вид

U,

2

01

02

Z 2 Z 01 (RX + R02 )2 + (XX + X02 )2

Z 2 Z 02 (RX + R01)2 + (XX + X01 )2

(

Ф1 “Ф2 = arctg

Х01RX ~ %ХХ Z01 + RXR01 + ХХХ01

■ arctg

^ Х02 RX ~ R02 ХХ ^

Z02 + RXR02 + ХХХ02

где U01, U02 - напряжения на опорном двухполюснике при первом и втором состояниях измерительной схемы; Z01, Z02 - модули сопротивления опорного двухполюсника при первом и втором состояниях измерительной схемы; R01,X01,R02,X02 - активная и реактивная СКС опорного двухполюсника при первом и втором состояниях измерительной схемы; Ф01, Ф02 - фазовые сдвиги напряжения на опорном двухполюснике относительно напряжения с опорной фазой при первом и втором состояниях измерительной схемы соответственно.

Структурная схема устройства, реализующего данный способ измерения СКС, приведена на рис. 4.

Устройство содержит измерительную схему в виде делителя напряжения, опорная ДЭЦ которого в зависимости от положения аналогового ключа SA может иметь сопротивление Z01 и Z02, АЦП напряжения АЦПН, АЦП

2

фазового сдвига АЦПФ, блок управления и вычислений БУВ, генератор Г. Коды результатов аналого-цифровых преобразований напряжений и фазовых сдвигов при двух состояниях измерительной схемы поступают в блок управления и вычислений БУВ. Значения СКС вычисляются по формулам

|Хх = (0,25р2 -)0,5 -0,5р,

1Кх = кХх + т

где

Р

2

2кт + Ь + кс-у щ + т + с^т 1 Ь\®2 - Ь2 а^2 _ d2

= 2 ’ 2 ’ к = ’ т = ’

1 + к 2

ау =

Ьу =

1 + к

с2 - с1а2

с2 - с1а2

*ёф2 012 02

*ёф((1«02 + Х01Х02 ) + )Х02 - «02Х01 *8ф(201^02 + %202 ) - 202Х01 + 201Х02

*ёф((1«02 + Х01Х02 ) + %Х02 - «02Х01

*Еф( 2(Х02 + 2 02 Х01)- 202 ) + 2 01 «02

с1=-

а2 =

Цщ_ 22

и02 А

-1,

*ёф(«01«02 + Х01Х02 ) + %Х02 - «02Х01 Ь2 =2((а2 + 0% - «02 ) с2 =2((а2 + 1)Х01 - Х02 ) ^2 = (а2 +1)201 - 202

Кх хх ц /

Рис. 4 Структурная схема устройства для измерения СКС ДЭЦ на основе делителя напряжения с измерением напряжения и фазового сдвига

При реализации метода двух значений коэффициентов и одного параметра на основе делителя напряжения с использованием в качестве активного параметра напряжения значения измеряемых СКС определяются как решения системы уравнений

(«X + «01 )2 + (ХХ + Х01 )2 («X + «01 )2 + (ХХ + Х 01 )2

и сУ и02 =2021 (Х + «02 )2 + (Х + Х02 )2 Д022

и еУ и023 =2 021 (х + «03 )2 +((х + Х03 )2 А03 [

где иоз - напряжение на опорном двухполюснике при третьем состоянии измерительной схемы; Z 03 - модуль сопротивления опорной ДЭЦ при третьем состоянии схемы; ^з, X03 - активная и реактивная СКС Z03.

Структурная схема устройства, реализующего данный способ измерения СКС ДЭЦ, представлена на рис. 5.

Rx Xx Ux

Рис. 5 Структурная схема устройства для измерения СКС ДЭЦ на основе делителя напряжения с измерением напряжения

Устройство состоит из измерительной схемы с тремя опорными ДЭЦ, двух аналоговых ключей SA1 и SA2, АЦП напряжения АЦПН, блока управления и вычислений БУВ. Измерение СКС осуществляется в три такта, отличающихся состояниями ключей. Коды результатов преобразований напряжения на опорной ДЭЦ используются БУВ для вычисления значений СКС по формулам

fXx =(0,25р - q)0,5 - 0,5р,

[ Rx = kXx + щ

где

2

= 2a\km + bi + kq = aim + qm + di ba2 - ab m = da - aid2

a1 (l + k2) ’ a1 (l + k2) ’ a1c2 - cia2 ’ a1c2 - c1a2 ’

2 2

a =%%-1, bi=2((ai + 1)R0i -^2), ci=2((ai + 1)Xoi -X02)•,

U02 Z0i

2 2

di =(ai +i)Z02i - Z02 , a2 = —02i 03 -1, b2 =2((a2 + i)R0i - R03 ),

U03 Z0i

c2 =2((a2 + i)X0i - X03 ), d2 = (a2 + i)Z02i - Z(33 .

При выборе в качестве параметра фазового сдвига напряжений в средней точке делителя и на выходе генератора Г измерение СКС основано на решении системы уравнений

Ф1 - Ф2 = атС^ -агС^

Х01«Х - «01 ХХ

«01 («01 + «X ) + Х01 (01 + ХХ)

Х02 «X - «02 Хх

«02 («02 + «X ) + Х02 (Х02 + ХХ ) Х01«Х - «01ХХ

Ф1 -фз=аг^ -агС^

«01 («01 + «Х ) + Х01 (Х01 + ХХ ) Х03«Х - «03ХХ

«03 («03 + «Х ) + Х03 (Х03 + ХХ )

Схема устройства, реализующего данный способ измерения СКС, представлена на рис. 6.

«х Хх /

Рис. 6 Структурная схема устройства для измерения СКС ДЭЦ с измерением фазового сдвига

Устройство состоит из измерительной схемы с тремя опорными ДЭЦ, двух аналоговых ключей 8Л1 и 8Л2, АЦП фазового сдвига АЦПФ, блока управления и вычислений БУВ, генератора Г. Генератор Г генерирует синусоидальное напряжение с частотой напряжения и8 . Измерение СКС Zх также осуществляется в три такта. На основе результатов аналого-цифровых преобразований фазового сдвига в каждом такте в БУВ вычисляются значения СКС по формулам

«Х =(0,25р2 -д)0’5 -0,5р,

Хх =

= (С1а2 - а1С2 )КХ +«2 С1 - ^С2)

С2Ь1 - Ь2 С1

где

р =

2

а1 «С2 - ^2С1) + ¿1 ( С1«2 - «1С2 ) ( (с2 - ¿2С1) + 2С1 ( С1«2 - С2^ ) (С^2 - С2^ )

С1 ((С1а2 - С2а1 )2 + (С2Ь1 - С1Ь2 )2 )

2 2

^1 «2^1 - С1^2 ) + ¿1 «2^1 - С1&2 )(<^1^2 - ^С2 ) + С1 (с^2 - ^С2 )

д = 2 ,

(С2Ь1 - С1^2 )

a1 =tg (ф1 -ф2 )(-^01^02 + ^01^02 )- X01Z02 + X02Z01 ,

bl = tg(ф1 -ф2 )(m(02 + X01Z02 ) + ^01^02 - R02Z<21 ^

c1 = tg (ф1 -ф2 )(1^02 + X01X02 ) + X01^02 - 02 , d1 = tg (ф1 -ф2 ))01Z02 , a2 =tg (ф1 -ф3 )(Z01^03 + R01Z<23 )- )01Z03 + X03Z01 ,

b2 =tg(ф1 -ф2)(^<21X03 + X01Z023) + %Z03 -R03Z01 , c2 =tg(ф1 -ф2 )((^03 + X01X03 ) + )01^03 - %X03= d2 =tg(ф1 -^)Z01Z03.

Заключение

Реализация метода фиксированных коэффициентов в средствах измерений СКС дает возможность повысить их метрологические характеристики. Метод одного значения коэффициентов и двух параметров целесообразно применять при высоких требованиях к быстродействию измерительного устройства. Использование измерительной схемы в виде делителя напряжения рекомендуется при высоком (свыше 1 кВ) напряжении питания измерительной схемы. Возможность измерения СКС без опорного делителя позволяет в десятки раз расширить диапазон измерительного напряжения, поскольку в мостовых и параллельных измерительных схемах оно ограничивается допустимым напряжением на элементах опорного делителя. Это открывает широкие перспективы использования устройств для измерения СКС на основе делителя напряжения для контроля состояния высоковольтной изоляции под рабочим напряжением до 100 кВ и более при переходе на обслуживание энергетического оборудования по состоянию.

Список литературы

1. Карандеев, К. Б. Обобщенная теория мостовых цепей переменного тока / К. Б. Карандеев, Г. А. Штамбергер. - Новосибирск : РИО СО АН СССР, 1961. -224 с.

2. Кнеллер, В. Ю. Автоматические измерители комплексных величин с координированным уравновешиванием / В. Ю. Кнеллер, Ю. Р. Агамалов, А. А. Десова. -М. ; Л. : Энергия, 1975. - 168 с.

3. Раздельное преобразование комплексных сопротивлений / Е. Е. Добров, И. Г. Та-таринцев, В. Н. Чорноус, Г. А. Штамбергер ; под ред. Г. А. Штамбергера. - Львов : Высшая школа, 1985. - 134 с.

4. Патент 2214609 РФ, МПК G 01 R27/02. Способ измерения составляющих комплексного сопротивления двухполюсника и напряжения на нем / А. А. Андрюша-ев, В. А. Баранов, Вл. А. Баранов, В. П. Буц, В. Г. Недорезов, А. Н. Шестернин.

5. Добровинский, И. Р. Проектирование ИИС для измерения параметров электрических цепей / И. Р. Добровинский, Е. А. Ломтев. - М. : Энергоатомиздат, 1997. - 122 с.

6. Цыпин, Б. В. Измерение импедансов системами с ЭВМ / Б. В. Цыпин. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2001. - 100 с.