Система оптимального программного управления процессом охлаждения полимерной кабельной изоляции как объектом с распределенными параметрами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.5:621.315

СИСТЕМА ОПТИМАЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ОХЛАЖДЕНИЯ ПОЛИМЕРНОЙ КАБЕЛЬНОЙ ИЗОЛЯЦИИ КАК ОБЪЕКТОМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ’

В.Н. Митрошин, Л.Ю. Лойко, Ю.В. Митрошин2

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Синтезирована оптимальная система программного управления процессом охлаждения полимерной кабельной изоляции при ее наложении на экструзионной линии при управлении по пространственному распределению температуры воды в охлаждающих ваннах, обеспечивающему в условиях заданных ограничений достижение требуемой точности приближения к заданному конечному распределению температуры изоляции, позволяющая осуществлять быструю перенастройку системы при переходе на новую продукцию либо при смене режимов работы оборудования.

Ключевые слова: система с распределенными параметрами, оптимальное управление, кабельная изоляция.

Одной из основных технологических операций непрерывного процесса производства проводных кабелей связи является наложение кабельной изоляции на токопроводящую жилу, осуществляемое на экструзионных линиях, основными элементами которых являются одночервячный пластицирующий экструдер и ванны водяного охлаждения.

Построение эффективных систем управления технологическими линиями по наложению кабельной изоляции возможно лишь на основе математических моделей, учитывающих базовые физические закономерности управляемых процессов, основной из которых является явно выраженная неравномерность пространственной распределенности основных управляемых величин и, как следствие, их зависимость не только от времени, что характерно для систем с сосредоточенными параметрами, но и от пространственных координат объекта управления [1, 2].

Известна математическая модель управляемого процесса охлаждения изолированной кабельной жилы в водяных ваннах технологической линии, отличающаяся представлением объекта управления в виде физически неоднородной сопряженной системы двух осесимметричных движущихся в охлаждающейся среде тел цилиндрической формы с идеальным тепловым контактом на их границе.

В линейном приближении двумерное температурное поле ИЗОЛЯЦИИ 02 (х,/) и медного проводника 0Х (дг?/) изолированной кабельной жилы, перемещающейся в охлаждающей ванне со скоростью V , для стационарного режима охлаждения описывается в относительных единицах системой уравнений в частных производных [2]:

1 Работа поддержана грантом РФФИ (проект 08-08-00383-а) и Целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы на 2009-10 гг.» (проект №2.1.2/4236).

2 Митрошин Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор.

Лойко Александр Юрьевич, магистрант.

Митрошин Юрий Владимирович, студент.

M!)+I.«.fPe A0iM_ = o.

dx2 x 5x 1 51 '

fe[o,/0]; *e [O, *!]; дг, < 1;

d2e2{x,l) | 1 дв2{х,1) 2 Рс двг{х,1)_

dx2 x dx 1 dl ’

(2)

/ e [о,/0]; ле[л|51]

с граничными условиями

^М=0. se^0=-и.[е2(1,/)_е,(0]:

их дх

дВ2(хь1) _ 5^ (у).

a 'A a я

; х =

Здесь

где ^-температура проводника; Т2- температура изоляции; Г*-температура приведения (плавления полимера); г - текущий радиус; z- продольная (осевая) координата; х и I - безразмерные радиус и осевая координата соответственно; /° = L__IL - безразмерная длина ванн охлаждения; L - длина ванн охлаждения; L

itlsx / ля max

- общая длина участка охлаждения (от экструдера до тянущего устройства); г0 - радиус металлического проводника; Д1з- радиус жилы по изоляции; х{ - граница сопряжения двух неоднородных сред (изоляции и металлического проводника); V -скорость изолирования (вытяжки); Ре- число Пекле; а{,а2 - коэффициенты температуропроводности меди и полиэтилена низкой плотности (ПЭНП); Bi = ссп • Rm/X2 ~ критерий Био; ап- коэффициент теплоотдачи на поверхности изоляции; \и\2- коэффициенты теплопроводности меди и ПЭНП соответственно; Гв- температура теплоносителя (воды); вв = Тв/Т* - относительная температура теплоносителя; #l0(;t),<920(.v) - заданные радиальные распределения температур изоляции и проводника на входе ванны охлаждения.

В соответствии с технологическими требованиями изготовления изолированных кабельных жил на выходе ванн охлаждения необходимо обеспечить заданную абсолютную точность е0 приближения результирующего радиального распределения

температур медного проводника Э^,/0) и полимерной изоляции 02(.т,/°) к требуемому состоянию 6- (*)= 0* = const; I = 1,2 :

Как отмечается в [3], температура изоляции на выходе последней ванны охлаждения не должна превышать 50 °С, что исключает возможность дальнейшей кристаллизации полимера и, соответственно, деформацию изоляции при намотке кабельной жилы на приемное устройство. Поэтому принимается $' = 40 °С; = 10 'С.

На основе рассмотренной выше математической модели управляемого процесса охлаждения изолированной кабельной жилы (1)-^(3) в [4] предложено аналитическое описание охлаждаемой неоднородной системы в бесконечномерном фазовом пространстве модальных составляющих « = 1,2.разложений тем-

пературных полей медного проводника и изоляции 9, (д:,/);02(д:,/) в ряды по собственным функциям модели объекта:

здесь w(/) = 0g(/) - управление, i = 1,2 - собственные числа, а коэффициен-

ты a^\a$\b^\b^\c$\d$\d$ определяются по системе собственных функций соответствующих краевых задач [4].

Имея описание объекта управления в виде (5), можно перейти к оптимизации режима охлаждения накладываемой на экструзионной линии кабельной изоляции.

Задача оптимального управления процессом охлаждения кабельной изоляции в водяных ваннах при её наложении на экструзионной линии рассматривается в следующей постановке. Требуется для объекта управления, описываемого краевой задачей (l)-s-(3), моделирующей температурное поле сопряженной системы неоднородных движущихся охлаждаемых тел цилиндрической формы, найти пространственно-распределенное по длине ванны управление 0В(/), обеспечивающее достижение заданной абсолютной точности е0 приближения результирующего радиального распределения температур 0] (х,1°), 02{*Л) на выходе из ванны к их требуемой величине 0* - const согласно соотношению (4) при минимально возможной длине ванны /° в условиях заданного ограничения (6) на предельно допустимую величину управляющего воздействия 0В (/) и фазового ограничения (7) на максимум радиального температурного градиента, достигаемого на поверхности изоляции (х - l):

^ 9В ^ ®втах > ®втт '* ® * ®втах ^ ® * (6)

• (7)

- - '-'тах ’ 4 ’

ОХ

где его предельно допустимое значение.

Поставленная задача решается с помощью принципа максимума Понтрягина применительно к модальному представлению объекта управления (1), (2) бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (5) для коэффициентов разложения температурного поля и 02(х,/) в ряд по собственным функциям

краевой задачи (1ЖЗ).

Согласно принципу максимума Понтрягнна, применение которого к задаче управления бесконечномерным объектом (5), аналогичной рассматриваемой, обосновано в [5], оптимальный алгоритм управления без учета фазового ограничения принимает следующий вид:

в" - ватш +ватт + 51ёп]Г^3)с<2}, (8)

где сопряженные функции и описываются системой линейных дифференциальных уравнений:

ф'!|' ^ = - Лт - ^ '■

01) д=1

^ = М1 = _^ = _ЛОаО)_МО. (9)

* (I/ Г; 1 >

Отсюда следует, что искомое оптимальное управление представляет собой релейную функцию осевой координаты, попеременно принимающую только свои предельно допустимые, согласно (6), значения. Следовательно, оптимальный по быстродействию процесс достижения кабельной жилой заданной области конечных температурных состояний состоит из ряда чередующихся интервалов охлаждения тела с максимальной интенсивностью при 0* = 0Й тш и последующего выравнивания температур при 0* =6втах.

Тем самым алгоритм оптимального управления заведомо определяется в указанном классе функций с точностью до числа ; и величин Д(^, т — \,1 характеризующих его параметров, в роли которых фигурируют длительности этих интервалов постоянства в'е (/), если учесть, что порядок их следования фиксируется очевидным

условием выбора и = 08тщ на протяжении первого интервала в задачах охлаждения.

Дальнейшая задача вычисления этих параметров из условий выполнения требования (4) решается в работе апьтернансным методом [6].

Вначале задача решается для заданной неравномерности е0 конечного распределения температур в кабельной жиле, совпадающей с ее минимально достижимым значением е^| в классе одноинтервальных управлений вида

.;/ео7. <1°)

где в роли единственного искомого параметра Д, выступает длина ванны 1°.

В этом случае предельно допустимое отклонение конечной температуры от заданной, равное 4]„ , достигается согласно альтернансному методу в двух точках по радиусу жилы, которыми при физически очевидной форме кривой радиального распределения температур на выходе из ванны оказываются центр жилы (х = 0) и ее поверхность (х = 1), где создаются соответственно максимальная и минимальная температуры.

50

Указанные свойства температурного поля жилы на выходе из ванны приводят к системе двух соотношений, которые можно рассматривать в качестве системы двух уравнений с двумя неизвестными: искомой минимально возможной длиной ванны охлаждения /° и минимакса

01)

в<!>И-е-5«М-е'=«(1.

Решение этой системы при численном моделировании зависимостей 0^(о,/°) и 0(2>(и°) исчерпывает решение рассматриваемой задачи оптимального управления при е0 = е0>„ в (4), И если найденная величина отвечает технологическим требованиям по точности приближения температуры жилы к заданной величине 0*, то тем самым найденное решение является решением исходной задачи. В нашем случае етт = 9° < 10° = £0 при максимальной длине ванны охлаждения 0,77 от существующей длины ванны (рис. 1, участок “а”).

относительная длина ванны охлаждения I

Рис. 1. Режим оптимального управления охлаждением кабельной жилы с учетом фазовых ограничений для одно- и двухинтервального управления

В противном случае согласно альтернансному методу можно обеспечить большую точность путем перехода к релейным уравнениям с большим числом интервалов постоянства (для двухинтервального управления - рис. I, участок “б”).

Как показали расчеты температурного поля в изоляции при оптимальном (одно-интервальном) пространственном управлении ее охлаждением на участке ванны охлаждения, составляющей около 0,2 ее длины, радиальный температурный градиент дв/дх превышает свое предельно допустимое значение, что приводит к необходимости учета фазового ограничения (7).

Поэтому соответствующий алгоритм оптимального управления состоит из участков стабилизации температурного градиента на поверхности жилы на предельно

допустимом уровне с управлением 0д (/) и последующих участков поддержания управляющего воздействия на минимальном и максимальном уровне:

>Г(0,/е[э/);

= (12) 8^1^'Л

Величина / определяется равенством в°(/*)=8вт;п, а управление 0” (/) - условием поддержания радиального температурного градиента на поверхности изоляции на предельно допустимом значении атах (рис. 1, кривая 1). По условиям технической

реализации управление 0”(/) формируется в виде кусочно-постоянной аппроксимации его зависимости от пространственной координаты (рис. 1, кривая 2).

На рис. 2 показана реализация участка охлаждения экструзионной линии по наложению кабельной изоляции с учётом предлагаемой методики. Здесь АЬ- участок ванны охлаждения длиной 0,5 м.

[Г3 I

- - - ~ -Л—™ ^

Подача

холодной

воды

р 1

1 ■ ■" 1 II

гзлс7*с“

М

і с__________

Управление подачей горячей воды

Управление подачей холодной веды

■направление

“|[ протяжки 1 кабеля

'' О—I"-------

Р и с. 2. Реализация участка охлаждения экструзионной линии по наложению кабельной изоляции с учётом предлагаемой методики

Использование предложенной методики позволяет получить требуемое распределение температуры изоляции на выходе из участка охлаждения, одновременно позволив уменьшить длину ванны до 30% по сравнению с типовыми техническими решениями.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 .Митроишн В.Н. Структур но-параметрический синтез объектов с распределенными параметрами в технологических процессах изготовления электрических кабелей связи И Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Тр. X междунар. конф. Самара, 23-25 июня 2008 г. - Самара: Самарский НЦ РАН, 2008. - С. 315-320.

2. Митрошин В.Н. Структурное моделирование процесса охлаждения изолированной кабельной жилы

при ее изготовлении на экструзионной линии И Вестн. Самар, гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. - 2006. - №40. - С. 22-33.

3. Зиннатуллин P.P., Труфанова Н.М., Шилинг А.А. Исследование процессов тепло пере носа и фазовых превращений при охлаждении провода с полимерной изоляцией // V Минский междунар. форум по тепло- и массообмену: Тез. докл. и сообщений. Т. 2. 24-28 мая 2004 г. - Минск, 2004. - С. 130-131.

4. Рапопорт Э.Я., Митроишн В.И., Кретов Д.И. Оптимальное управление процессом охлаждения полимерной кабельной изоляции при ее наложении на экструзионной линии // Вестник Самар, гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки, — 2006. - № 43. — С. 146-153.

5. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. — М.: Металлургия, 1993. — 279 с.

6. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации,- М.: Наука, 2000. - 336 с.

Статья поступила в редакцию 25 февраля 2009 г.

UDC 681.5:621.315

THE PROGRAM OPTIMAL CONTROL SYSTEM OF OBJECT WITH DISTRIBUTED PARAMETERS BY PROCESSES OF COOLING POLYMERIC INSULATION OF CABLE

V.N. Mitroshin, A. ¥. Loyko, Y. V. Mitroshin1

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.

The optimal system ofprogram management is synthesized by process of cooling of polymeric cable insulation in water bathes of extrusion lines. The system provides in conditions of the set restrictions achievement of demanded accuracy of approach the set final distribution of temperature of the cable insulation.

Key words: object with distributed parameters, optimal control, cable insulation.

1 Vladimir N. Mitroshin, Doctor of Technical Sciences, Professor. Aleksandr Y. Loyko, Graduate student.

Yriy V. Mitroshin, student.