Система нахождения релейного программного управления для динамических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 005; 519.7; 303.732

СИСТЕМА НАХОЖДЕНИЯ РЕЛЕЙНОГО ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

И. С. Рыжиков, аспирант; Е.С. Семенкин, д.т.н., профессор (Сибирский государственный аэрокосмический университет им. академика М.Ф. Решетнева, просп.. им. газ. «Красноярский рабочий», 31, г. Красноярск, 660014, Россия, ryzhikov-88@yandex.ш, [email protected])

Рассматривается метод решения задачи терминального управления динамическими системами, в которых исполнительный механизм работает по принципу реле. В настоящий момент нет универсального подхода к решению задачи управления для нелинейных динамических систем. Более того, особый вид функции управления, ее недифференцируемость свидетельствуют о невозможности применения классических подходов к решению. В данной работе задача управления сведена к задаче поиска экстремума в пространствах действительных и натуральных чисел, для решения которой был модифицирован алгоритм эволюционных стратегий. Это способствовало созданию единой системы нахождения программного управления в виде реле или многоуровневого реле для нелинейных динамических систем. В работе рассматривается применение системы для нахождения управления спутником, находящимся на геостационарной орбите.

Ключевые слова: эволюционные стратегии, динамическая система, управление, терминальное управление, реле.

THE SYSTEM OF RELAY PROGRAMMING CONTROL SEEKING FOR DYNAMIC OBJECTS Ryzhikov I.S., Postgraduate; Semenkin E.S., Ph.D., Professor (Siberian State Aerospace University, 31, «Krasnoyarsky Rabochy» Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia, [email protected], [email protected]) Abstract. In the papera method of terminal control problem for dynamic systems with relay actuator solving is considered. Today, there is no general approach to solve the nonlinear dynamic systems control problem. Moreover, the specific type of control function and the fact that it is non-differentiable causes impossibility of using the classic techniques. The proposed approach is based on the reduction of terminal control problem to the extreme problem on the spaces of real variables and integers. For the reduced problem the modified hybrid evolutionary strategies algorithm has been designed. The new problem definition and the proposed algorithm were the basis for the designing general system of programming control for nonlinear dynamic systems seeking in the form of ideal or multilevel relay. The approbation of the investigated technique for satellite on the geostationary orbit control problem is considered.

Keywords: evolution strategies, dynamic system, control, terminal control, relay.

Задача нахождения программного управления для систем, исполнительным механизмом в которых является идеальное или многоуровневое реле, изучена недостаточно. На сегодняшний день не существует метода нахождения управления в виде кусочно-постоянной функции, что обусловлено не только ее недифференцируемостью, но и тем, что нет единого метода нахождения управления для нелинейных систем.

В [1] излагается метод коррекции точек переключения, при этом рассматривается линейная динамическая система, известно число точек переключений и начальное приближение предполагается достаточно близким к решению задачи. В [2] исследуется синтез реле для линейных динамических систем. Задача терминального управления является актуальной и описывается в классических учебниках по оптимальному управлению и в современных работах, например в [3, 4].

В данной работе рассматриваются метод решения экстремальной задачи, к которой была сведена терминальная задача управления, и система нахождения программного управления.

Постановка задачи

Для системы, описываемой дифференциальным уравнением в общем виде

dx

— = Дх, и, 0 ; dt

(1)

где /(•): Я" х Я х —> Я" - вектор-функция своих аргументов; х^п - вектор состояний системы;

и(0: Я ^ ии, и = {и е Я, г = 1, N } - кусочно-постоянная функция управления; п - размерность системы, необходимо найти функцию управления и(0, которая переводит систему из известного начального состояния x(0)=x0 в заданное конечное состояние x(T)=x за конечное время 7.

Также, если гамильтониан [5] линеен по функции управления, то есть H(x, p, и)=ф^х, p)+ф2(x, p)u, а функция управления имеет ограничения по модулю, \ и(()\ <А, tе[0, 7], искомое управление будет в виде идеального реле.

Если реле является многоуровневым, функция управления представима в аналогичном виде:

u(t) =

Щ, t 6 I,

16 L,

(2)

где I, i = 1, N - интервалы, порожденные точка-

ми

переключений, причем [J / = [0, 7 |. Q / =!

u

1=1

1=1

и = {и е Я, г = 1, N } - множество значений, принимаемых функцией управления; N - число значений, которые может принимать функция управления.

Пусть Р = : г < Г+1, Г е Я+ V/ = 0, к, г0 = 0 }

или Р = : ^ <гм,^ е К+, г{ <Т V/ = 0,к, г0 = 01

есть множество точек переключений; к - параметр, определяющий количество точек переключений. Множество Ь = : е N V/ = 1, к} является набором индексов, который используется для описания множества интервалов. Каждый интервал I,, г = 1, N , для функции управления (3) может

быть определен уравнением = (лг, г.+1 ] • /¡(г,]),

1=о

Г1, г = Ь

I. = г е Р V)}, в котором /1 (/, у) = •! . ^ ^ -

специальная функция.

Вопрос о выборе числа точек переключения остается открытым, данная постановка задачи и предложенный далее метод решения предполагают неявную настройку количества точек переключения. Прежде всего, если некоторая точка переключения больше конечного времени правления, г>Т, то она не влияет на процесс управления. Неявная настройка числа точек переключения обусловлена применением численной схемы интегрирования системы (1). Пусть к - шаг интегрирования, тогда при выполнении условия I г1+1-г1-1| <к интервал (г,-, г^ц] не повлияет на поведение системы, поэтому может быть исключен.

В общем случае решение терминальной задачи для фиксированного времени управления совпадает с решением экстремальной задачи:

^ min, I S

(3)

где х(Г)|х ~ - вектор координат системы (1) в конечный момент времени Т, функция управления полностью задана множеством Л . Если время нефиксированное, критерий приобретает вид

(4)

F2(5,r)=y-xCO|s

^ min.

1 S,T

Существуют также ограничения в виде неравенств

Г < r+i, r e R V/ = 1, к.

(5)

которые обеспечивают выполнение условия нахождения каждой точки переключения внутри интервала [0, 7]. В случае использования множества Р вместо Р появляется еще одно ограничение -гк<Т.

Для решения задачи условной оптимизации

ГЦх||, х > 0

введем функцию штрафа ф(х) = I 11 11 и весо-

I 0, х < 0

вой коэффициент а>0. Таким образом, задача условной оптимизации может быть представлена как задача безусловной оптимизации. Прибавляя к обозначенным выше целевым функциям (4) и (5) функцию штрафа, находим целевые функции для задач управления, в которых все точки переключений лежат внутри интервала регулирования:

F3 (S) = Fl (S) + а ■ (p(rk - Т) min ;

(6)

+ (7)

Такие постановки задачи рассматривались в [6]. Добавим еще несколько новых вариантов. Для ограничений г,-<г,-+1 может быть добавлена функ-

к-1

ция штрафа вида Р-^ф(гм - г) для любого

из

j=1

критериев (4), (5), (7), (8). В этом случае получаем новые целевые функции, например для (5):

F3(S)=F1(S) + aMft-T) +

+Р-ХФ(г+1 - r)

j=1

min.

s

(8)

Таким образом, задача терминального управления сводится к задаче оптимизации в пространстве вещественных чисел или вещественных и натуральных чисел с целевыми функциями (3), (4), (6)-(8). Указанные функции многоэкстремальны и не являются аналитически заданными. Учитывая сложность решаемых задач, размерность и неоднородность входных переменных, в качестве алгоритма решения задачи целесообразно выбрать метод эволюционных стратегий [7]. Рассмотрим некоторые особенности работы алгоритма и внесенные модификации.

Алгоритм решения экстремальной задачи

Пусть каждый индивид задан кортежем = (орг, spг, АШе88(ор' г = 1,N ,

где fitness (op) =

1

1 + Fq (OP)

q e {1, ...,4} - функ-

ция пригодности для задач с функционалами (3), (4), (6), (7) соответственно, или

fitness (op) = -

1

, ое{1, ...,4} - для задач 1 + Рд(ор) 4

типа (8); ор\ е Я, у = 1, к - вектор объективных

параметров /-го индивида; sp'j е Я+, у = 1,к - вектор стратегических параметров /-го индивида; Ыр -объем популяции.

Особенности задач (3), (4), (6)-(8) задают общий вид набора объективных параметров

4

ор = р; , где для каждого критерия будут ис-

1=1

пользоваться различные множества р,-, у = 1,4.

Здесь р1 = {г е R, у = 1, к} - множество точек переключения; р2 = {/. е N, у = 1, к} - множество индексов; р3={Те,К} - время управления; р4 = {м. е Л, у = 1, N } - множество, определяющее ии. Согласно данному представлению рекомбинация метода эволюционных стратегий может использоваться для множеств рь р3, р4, а рекомбинация, аналогичная рекомбинации в генетическом алгоритме (одноточечная, двухточечная или равномерная), - для множества р2.

Для решаемых задач эффективность алгоритма возрастает при использовании измененной операции мутации. Пусть т1 е [0,1] - вероятность мутации для каждого гена и - случайная величина, распределенная по закону Бернулли с Р(гх = 1) = т\. Тогда

op = op + zx • N(0, sp), Vop е R, i = 1, card(op);

sp = sp + zt • N(0,1), i = 1, card(sp). Пусть m2p - вероятность мутации для целочисленного гена; Z2 - случайная величина, распределенная по закону Бернулли с P(z2 = 1) = m2p;

Z3=U(0, 1) - непрерывная случайная величина, распределенная равномерно; Zu - равномерно распределенная дискретная случайная величина, причем P(zu = 1) =... = P(zu = к) = — . Для удобства

к

обозначения используем функцию специального

|0, a < b

вида, f (a, b) = < . Каждый ген мутирует,

если

fz(sp„

1, a > b Z3)=1.

Таким

образом,

ор = (1 - ^) • ор + ^ • ги , Уор е N, г = 1, саМ(ор), яр = |(1- ^) • яр + • N(0,1)|, для целочисленных

переменных вероятность мутации сохраняется в стратегическом гене.

Следующая модификация алгоритма обеспечивает выполнение неравенств (5). Каждый объективный параметр задает точку переключения слег _

дующим образом: г ор, г = 1, к, а оператор

у=1

мутации изменяется: ор = |ор + ^ -N(0,яр)|, /=1,

..., к. В таком случае объективные параметры будут неотрицательными.

Алгоритм случайного поиска дополняется случайным покоординатным спуском. Из Ы1 случайно выбранных индивидов случайно выберем Ы2 объективных хромосом и осуществим N шагов локального спуска величиной к1 для определения лучшего решения. Гибридизация алгоритма позволяет значительно повысить точность найденных решений и эффективность в целом.

В рассмотренных ниже экспериментах эмпирически выбранные настройки алгоритма оптимизации были следующими: размер популяции - 50 индивидов, количество популяций - 50, турнирная селекция с объемом 20 %, дискретное скрещивание, модифицированная мутация с вероятностью для каждого гена 1/ Ispl . Настройки локального спуска: Nj=2^ lopl , N2= Iop и N3=5 с шагом h/=0,05.

Предложенный алгоритм был проверен на десяти специальных тестовых задачах, что позволило определить наиболее эффективные настройки.

Применяя предложенный алгоритм решения оптимизационной задачи для выбранного представления структуры функции управления, может быть решена терминальная задача программного управления. Данный подход реализован в среде OCTAVE/MATLAB и может использоваться для решения любой из представленных задач управления. Так же реализована система решения задачи управления с выбранной пользователем постановкой, дружественным интерфейсом. Система разработана на языке программирования С++, результат решения задачи представляется в виде графиков выхода системы и функции управления. Аналогичные результаты сохраняются в отдельные файлы решения задачи терминального управления, где сохраняются численные решения. Параметры численной схемы интегрирования выбираются пользователем, при этом в программе по умолчанию выбран шаг интегрирования.

Примеры решения задач управления

Рассмотрим задачу перевода спутника с одной геостационарной орбиты на другую. Координаты спутника описываются нелинейным дифференциальным уравнением вида

(

• Х2 -

1

—u(t) - 2 • x2 • x3

\

Г (х, г) =

Необходимо перевести объект из начального положения х(0)=(1, 0, 1, 0,785) в конечное х(Т)= =(1, 0, 1, Т) за конечное время Т.

Для данной системы и терминальной задачи управления, когда двигатель может работать в трех режимах, ии={-0,005, 0, 0,005}, решим задачу с критерием (5), выбрав Т=гк, то есть свободное время. После 20 запусков алгоритма было найдено следующее решение: Т=17,2, х(17,2)=(1,009, -0,0065, 1,0048, 17,21). Среднее значение целевой функции (5) составило 0,018. В ходе каждого решения целевая функция вычислялась не более 6,25-104 раз. Решение терминальной задачи управления представлено на рисунках 1 и 2.

Рассмотрим задачу нахождения программного управления для случая, когда амплитуда реле является искомой, то есть задачу синтеза регулирующего устройства. Решение таких задач может

0,005 0

-0,005 -0,01 -0,015

СТ! СО Г~- Ш

1

-Управление

Рис. 1. Программное управление

• Координата 1

Координата 2 Координата 4

------Координата 3 —

Рис. 2. Реакция системы на найденное управление

0,015

0,01

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

-0,2

быть полезно на этапе проектирования систем управления.

Выберем следующие условия для терминальной задачи идеального релейного управления:

*0)= (2),"Т)= (-2), Т=5

По условиям задачи необходимо определить и точки переключений, и амплитуду реле. Воспользуемся критерием (8) при £=10, значение весового коэффициента было принято равным а=10. Усредненное решение задачи управления по 20 за-

( 2,9996 ^

пускам алгоритма х(Т) = I ^^^ I. На рисунке 3

показана реакция системы на найденное управление с рассчитанной амплитудой. Были также рассмотрены аналогичные задачи управления спутником в различных постановках, что позволило сделать вывод об эффективности работы метода.

Гибкость алгоритма позволяет решать различные задачи терминального управления, когда исполняющий механизм может работать в виде реле или многоуровневого реле для следующих случаев: со свободным или фиксированным временем,

для фиксированных или определяемых значений допустимого множества управления, с фиксированным или нефиксированным числом точек переключений. Важно отметить, что система может быть задана не только в виде дифференциального уравнения, но и алгоритмически.

Подводя итоги, отметим, что в работе был рассмотрен специальный подход к решению задачи перевода некоторой динамической системы из заданного состояния в желаемое притом, что исполнительный механизм может работать только в некоторых заранее известных или проектируемых режимах. Подход состоит в переводе задачи управления в задачу поиска оптимума, условного или нет, и в решении полученной оптимизационной задачи. Универсальность предложенного метода позволяет решать задачи в различных постановках, то есть для каждого отдельного семейства задач не требуется новый подход. Предложенный алгоритм, основанный на методе эволюционных стратегий, при нахождении экстремума тестировался на определенном наборе задач управления для различных систем, после чего были определены его наиболее эффективные настройки. Алгоритм разработан таким образом, что поиск происходит одновременно на пространствах с различным типом данных: вещественными и целыми числами, без перевода всех типов данных в бинарную строчку. Таким образом, выполняются все необходимые условия для решаемой задачи.

На основании проведенных исследований был реализован и тестирован программный продукт. Представленные в работе примеры решения задач позволяют сделать вывод о том, что с помощью предложенного метода можно не только находить искомое решение задачи терминального управления для управления в виде реле, но и корректировать точки переключения.

Дальнейшие исследования направлены на изучение влияния количества точек переключений на эффективность решаемых задач.

Литература

1. Aida-zade K.R., Rahimov A.B., Journ. of Autom. and Inform. Sc., 2010, Vol. 42, Iss. 7, pp. 54-64.

2. Кучеров Д.П., Василенко А.В., Иванов Б.П. Алгоритм адаптивного терминального управления динамической системой с элементами дифференцирования // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы. 2009. № 23.C. 166-171.

3. Трушкова Е.А. Синтез управления в окрестности приближенного решения задачи с частично закрепленным правым концом // Программные системы: теория и приложения. 2011, № 2 (6). C. 31-35.

4. Зубер И.Б. Терминальное управление по выходу для нелинейных нестационарных систем // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2004. № 2. C. 36-42.

5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2005. 384 с.

6. Ryzhikov I.S., Semenkin E.S., Proc. Intern. Conf. «ICINCO», 2012, Vol. 1, pp. 333-337.

7. Schwefel H.-P. Evolution and Optimum Seeking: New York, Wiley & Sons., 1995, 456 p.

References

1. Aida-zade K.R., Rahimov A.B., Journ. of Autom. and Inform. Sc., 2010, Vol. 42, Iss. 7, pp. 54-64.

2. Kucherov D.P., Vasilenko A.V., Ivanov B.P., Avtomatika. Avtomatizatsiya. Elektrotekhnicheskie kompleksy i sistemy, 2009, no. 23, pp. 166-171.

3. Trushkova E.A., Programmnye sistemy: teoriya i prilozhe-niya, 2011, no. 2(6), pp. 31-35.

4. Zuber I.B., Differentsialnye uravneniya i protsessy upravleniya, 2004, no. 2, pp. 36-42.

5. Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V., Opti-malnoe upravlenie [Optimal Management], Moscow, Fizmatlit, 2005.

6. Ryzhikov I.S., Semenkin E.S., Proc. Intern. Conf. «ICINCO», 2012, Vol. 1, pp. 333-337.

7. Schwefel H.-P., Evolution and Optimum Seeking, NY, Wiley & Sons., 1995, 456 c.

УДК 004.021

ПРИНЦИПЫ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА ВИЗУАЛИЗАЦИИ И АНАЛИЗА ДАННЫХ ИСПОЛНЕНИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫХ КОНТРАКТОВ В НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ СФЕРЕ

(Работа выполняется в рамках НИР «Исследование и разработка методов и алгоритмов анализа связанности сложно-структурированных данных, характеризующих процессы формирования, размещения и исполнения

государственных заказов в научно-технической сфере» (ГК№ 14.514.11.4023), проводимой в ходе реализации ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы»)

И.Г. Горюнов, к.т.н.., с.н.с.; С.А. Пономарев, м.н.с. (Компания «Комплексные системы»,

ул. Скворцова-Степанова, 83, г. Тверь, 170021, Россия, [email protected]); А.Н. Петров, к.х.н., генеральный директор; А.В. Стрелец, к.т.н., руководитель отдела

(Дирекция научно-технических программ, пер. Обуха, 3, г. Москва, 105064, Россия, [email protected])

В статье описаны выбранный принцип анализа накопленной информации о реализации мероприятий федеральных целевых программ в научно-технической сфере с целью выявления и статистической обработки фактов логической связанности информационных объектов, характеризующих исполнение государственных контрактов, а также основные функциональные возможности разрабатываемых программных средств Информационной системы анализа связанности сложно-структурированных данных государственных контрактов. Предложен вариант использования двунаправленных графов в качестве средств визуализации и визуального анализа данных государственных контрактов, перечислены используемые алгоритмы теории графов и вспомогательные программные средства (библиотеки) для построения, визуализации и анализа графа. Даны описания разработанных экранных форм настроек системы, примеры визуализации и аналитические выводы по графам тестовых данных государственных контрактов.

Ключевые слова: сложно-структурированные текстовые данные, инструментальные средства визуализации, двунаправленные графы, алгоритмы теории графов, федеральная целевая программа, государственный заказ, государственный контракт.

PRINCIPLES AND SOFTWARE TOOLS FOR VISUALIZATION AND ANALYSIS PUBLIC CONTRACTS DATA IN SCIENCE AND TECHNOLOGY

(This work is a part of research «Methods and algorithms research and development to analyze connectivity complex-structured data, which describes the processes of formation, placement and execution of public contracts in the science and technology» (state contract № 14.514.11.4023), carried out during the implementation of the federal program «Research and development on priority directions of scientific-technological complex of Russia for 2007-2013») Goryunov I.G., Ph.D., Senior Researcher; Ponomarev S.A., Junior Researcher (Complex Systems, LLC, 83, Skvortsova-Stepanova St., Tver, 170021, Russia, [email protected]);

Petrov A.N., Ph.D., Director General; Strelets A. V., Ph.D., Head of Department (Directorate of State Scientific and Technical Programmes, 3, Obukha lane, Moscow, 105064, Russia, [email protected])

i7i