Синтез замкнутой системы оптимального управления численной моделью процесса индукционного нагрева стальных цилиндрических заготовок Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 1

УДК 681.5 DOI: 10.17213/0321-2653-2018-1-29-36

СИНТЕЗ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛЬЮ ПРОЦЕССА ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА СТАЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗАГОТОВОК*

© 2018 г. М.Х. Артур, Ю.Э. Плешивцева

Самарский государственный технический университет, г. Самара, Россия

SYNTHESIS OF OPTIMAL CONTROL OF FEED-BACK SYSTEM FOR NUMERICAL MODEL OF INDUCTION HEATING PROCESS OF THE STEEL CYLINDRICAL BILLETS

M.H. Artur, Yu.E. Pleshivtseva

Samara State Technical University, Samara, Russia

Артур Мария Хамильевна - инженер, служба менеджмента качества, Самарский государственный технический университет, г. Самара, Россия. E-mail: [email protected] Плешивцева Юлия Эдгаровна - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Управление и системный анализ теплоэнергетических и социотехнических комплексов», Самарский государственный технический университет, г. Самара, Россия. E-mail: [email protected]

Artur Maria Hamilevna - engineer, quality management service, Samara State Technical University, Samara, Russia. E-mail: [email protected]

Pleshivtseva Yulia Edgarovna - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Control and System Analysis of Heat Power and Socio-Technical Complexes», Samara State Technical University, Samara, Russia. E-mail: [email protected]

Представлены результаты синтеза алгоритма оптимального управления процессом периодического индукционного нагрева стальной цилиндрической заготовки в системе с обратной связью по температуре, измеряемой в одной из точек по объему заготовки. В качестве критерия оптимальности используется взвешенная сумма интегральных квадратичных ошибок приближения температурного поля к заданному распределению и энергетических затрат на реализацию процесса управления. Описана нелинейная двумерная модель процесса индукционного нагрева, разработанная в ППП ANSYS. Приведены и проанализированы результаты работы алгоритма оптимального управления одномерной и двумерной численными моделями процесса индукционного нагрева в замкнутой системе.

Ключевые слова: процесс индукционного нагрева; оптимальное управление; численное моделирования; система с обратной связью.

The paper presents the results of synthesis of the optimal control algorithm for the process of batch induction heating of a steel cylindrical billet in a system with feedback by temperature measured at one of the points within the volume of the billet. As a criterion of optimality, the weighted sum of the integral quadratic errors of the approximation of the temperature field to a required distribution and the energy costs for the implementation of the control process is used. A nonlinear two-dimensional model of the induction heating process developed in the ANSYS software is described. The results of optimal control by one-dimensional and two-dimensional numerical models of induction heating in a closed-loop system are presented and analyzed.

Keywords: induction heating process; optimal control; numerical simulation; feed-back system.

Работа выполнена за счет средств гранта РФФИ №16-08-00945.

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 1

Введение

Термическая обработка металла обеспечивает повышение его пластичности, понижение сопротивления деформации и улучшение прочностных свойств конечной продукции. Одним из наиболее широко используемых способов термообработки металлов является индукционный нагрев, который по сравнению с конкурентными технологиями является экологически безопасным и менее энерго- и трудозатратным. К основным преимуществам индукционного нагрева следует также отнести высокую скорость и точность нагрева, относительную простоту автоматизации процесса и удобство встраиваемости индукционных нагревательных установок в производственные комплексы [1, 2].

Возникающие в процессе индукционного нагрева возмущения приводят к отклонениям от требуемых температурных кондиций заготовки и, как следствие, к браку изготавливаемых изделий. Например, при нарушении температурных режимов нагрева происходят нежелательные изменения микроструктуры металла, вследствие чего ухудшаются его физико-механические характеристики.

Применение системы оптимальной стабилизации с обратной связью по температуре заготовки позволяет минимизировать отклонения температурного поля от требуемого распределения.

В работе рассматривается актуальная проблема синтеза алгоритма оптимального управления процессом периодического индукционного нагрева стальной цилиндрической заготовки в системе с обратной связью по температуре, измеряемой в одной из точек по объему заготовки. В качестве критерия оптимальности используется взвешенная сумма интегральных квадратичных ошибок приближения температурного поля к заданному распределению и энергетических затрат на реализацию процесса управления.

На этапе формулировки и аналитического решения задачи оптимального управления используется одномерная линейная модель процесса нагрева, что позволяет получить алгоритм управления в виде явной зависимости от сигнала обратной связи по температуре в точке измерения.

Для учета температурных зависимостей теплофизических параметров процесса, сложной геометрии системы «индуктор-металл», неравномерности распределения внутренних источников тепла, нелинейных законов теплообмена с окружающей средой и других усложняющих факторов, соответствующих реальным условиям

технической реализации процесса, в пакете прикладных программ (ППП) ANSYS разработана нелинейная двумерная численная модель, которая интегрирована в систему управления при реализации найденного по аналитической модели алгоритма управления.

В статье подробно описывается предложенный подход, обоснованность которого подтверждается результатами моделирования температурных распределений в течение и по окончании оптимального процесса управления.

Численное моделирование процесса индукционного нагрева с помощью ППП ANSYS

Процесс индукционного нагрева цилиндрической заготовки описывается нелинейной системой взаимосвязанных уравнений Максвелла и Фурье для электромагнитного и температурного полей [3]:

тт т dD

rot H = J + — ;

a t

SB

rot E =--;

a t

div B = 0 ; div E = 0 ;

С(@ж@) =1 x-ö0( x'l;t ^

(i)

(2)

(3)

(4)

dt x dx

dx

+ #M©)1 + F (x,l, t,/); (5)

dl l dl

0 < x < R; 0 < l < L; 0 < t < t

енЫ

с краевыми условиями:

dQ(0, l, t)

dx

= 0;

ЦО)dQ(x;0,t) = a(®)(®amb — 0(x,0,t)) + dl

+ *SBEst (^mb-®4(x,0,t)); X(0) d®(R l; t) = —a(©)(©amb — 0(R, l, t)) +

dx

+°SBEst (0amb —®4(R,l, t));

X(®)dT (l; L; t) =—a(0)(0amb — ®(x, L, t)) + dy

+ a SB E st ((®L — ©4(l, L, t) ); 0 (x,l;0) = ©0(x,l); xe[0,R], le[0,L]. (6)

ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2018. № 1

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 1

Здесь E - вектор напряженности электрического поля; D - вектор электрической индукции; B - вектор магнитной индукции; H - вектор напряженности магнитного поля; J - плотность тока проводимости; t - время; @(х, I, 0 - температурное поле; с(0), Ц@), у(@) - удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности нагреваемого металла; х - радиальная пространственная координата; l - осевая пространственная координата; L - длина цилиндра; R - радиус заготовки; ©0(х, I) - начальное распределение температуры по объему заготовки; ®amb - температура окружающей среды; osв -постоянная Стефана Больцмана; Sst - степень черноты стали; а(@) - коэффициент теплообмена; F(х, I, t, I) - мощность внутренних источников тепла; I - ток источника питания.

Решение описанной системы уравнений возможно только численными методами с использованием современных универсальных и специализированных программных продуктов для разработки цифровых электротепловых моделей процессов [1, 4].

В данной работе для решения задачи моделирования используется программный комплекс ANSYS, в основе работы которого лежит метод конечных элементов. Многоцелевая направленность ПК ANSYS позволяет использовать его для решения совместной электромагнитно-тепловой задачи. В программе имеется набор средств для учета нелинейного изменения свойств металла в процессе нагрева.

Численная модель основана на разработанном в Институте электротехнологий университета им. Лейбница (г. Ганновер) алгоритме моделирования [5, 6]. В описываемой модели процесс индукционного нагрева разделен на шаги по времени, на каждом из которых последовательно выполняется решение электромагнитной и тепловой задач [5]. Обе задачи включают следующие этапы: задание свойств материалов с учетом их зависимости от температуры; построение геометрии индукционной системы; выбор типа элемента и создание конечно-элементной сетки; задание граничных условий; непосредственное решение соответствующей задачи.

В результате решения электромагнитной задачи моделируется распределение внутренних источников тепла в нагреваемой заготовке, которое используется в качестве управляющего воздействия в задаче теплового анализа. Результатом решения тепловой задачи является температурное распределение по объему заготовки. При

задании граничных условий для теплового анализа учитываются лучистый теплообмен и конвективный теплообмен с температурно-зависи-мым коэффициентом теплопередачи. После решения тепловой задачи выполняется проверка сходимости в соответствии с заданной точностью. На следующем шаге электромагнитный расчет осуществляется с учетом изменившихся на предыдущем шаге значений температуры и свойств материала [7].

В качестве примера моделирования рассмотрим процесс индукционного нагрева с исходными данными, включающими конструктивные параметры системы нагрева, электромагнитные и теплофизические свойства материалов (табл. 1).

Таблица 1 / Table 1

Исходные данные для численного моделирования / Initial data for numerical modeling

Материал заготовки Сталь марки 40

Радиус заготовки Я 50 мм

Длина заготовки L 550 мм

Внутренний радиус катушки индуктора 85 мм

Длина индуктора 700 мм

Число витков 50

Внешнее сечение витка индуктора 24x12 мм

Внутреннее сечение витка индуктора 16,8x4,8 мм

Внутренний радиус футеровки 75 мм

Внешний радиус футеровки 155 мм

Ток 1300 А

Частота питающего тока 1000 Гц

Требуемая температура заготовки 1200 °С

Начальная температура заготовки 20 °С

Коэффициент теплообмена 10 Вт/(м2оС)

Приведенная степень черноты заготовки 0,7

Частота питающего тока, длина и внутренний радиус индуктора и требуемая температура нагрева выбраны с учетом рекомендаций, приведенных в [8 - 10].

Результаты моделирования, представленные на рис. 1 - 3, соответствуют основным известным физическим закономерностям поведения температурного поля в процессе индукционного нагрева заготовок из углеродистой стали и экспериментальным данным [9].

Как следует из рис. 2, для исходных данных, представленных в табл. 1, в момент t = 306 с процесса нагрева с постоянной мощностью отклонение температуры от заданной равно ±50 °С.

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 1

©(x, t), оС

1200

1000

800

600

400

200 0

3 / ..

■

J 2 \ $

i - J ■ г t , / / г- /-- -1

Г t\ ■ Ч\

■ ч t/

0 50 100 150 200 250 300 t, с

Рис . 1. Изменение температуры в центральном поперечном сечении заготовки в процессе нагрева: 1 - x = 0; 2 - x = 0,5R; 3 - x = R / Fig. 1. Temperature variation at the points in the central cross-section of the billet during heating: 1 - x = 0; 2 - x = 0,5R; 3 - x = R

®(x, t), оС

1200

1150

0 0,01 0,02 0,03 0,04

Рис. 2. Температурное распределение по радиусу в центральном поперечном сечении заготовки в момент

t = 306 c процесса нагрева / Fig. 2. Temperature distribution along the radius in the central cross-section of the billet at the moment t = 306 c of the heating process

Рис. 3. Температурное распределение в продольном сечении заготовки в момент t = 306 c процесса нагрева / Fig. 3. Temperature distribution in the longitudinal cross section of the billet at the moment t = 306 c of the heating

Алгоритм оптимального управления процессом индукционного нагрева

Математическая модель процесса индукционного нагрева (1) - (6) учитывает температурные зависимости физических параметров процесса, геометрию системы «индуктор-металл», неравномерность распределения внутренних источников тепла, нелинейный закон теплообмена с окружающей средой и другие усложняющие факторы.

Однако на этапе формулировки и аналитического решения задачи оптимального управления в качестве модели объекта предлагается использовать одномерное уравнение теплопроводности, которое в первом приближении с достаточной точностью описывает изменение во времени радиального распределения температуры в процессе периодического индукционного нагрева цилиндрической заготовки, длина которой значительно превышает ее радиус, что позволяет пренебречь неравномерностью распределения температурного поля по длине заготовки. Такая модель позволяет получить алгоритм управления в виде явной зависимости от сигнала обратной связи по температуре в точке измерения.

Применительно к указанной упрощенной одномерной модели рассмотрим задачу синтеза алгоритма оптимального управления процессом индукционного нагрева в замкнутой системе, обеспечивающего минимальное в квадратичной метрике отклонение изменяющегося во времени t и по пространственной координате х температурного поля цилиндрической заготовки @(х, t) от требуемой температуры @гед за конечное

время tend.

Подобная задача представляет собой задачу синтеза системы оптимальной стабилизации, минимизирующей отклонение температурного распределения от заданного. Считая отклонения температурных состояний от заданных достаточно малыми, можно пренебречь температурными зависимостями теплофизических свойств материалов и использовать для описания поведения температурного поля в процессе индукционного нагрева линейное уравнение теплопроводности [11]:

a2Si х. t) a i^i x. t) i _,

(7)

д®м=а ещx, t) | a щx, t) | i à ex2 x ex с y

с начальными и граничными условиями 0(x,O) = ©о(x) ;

x, м

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 1

50(0,0

CK

= 0;

x= a(0amb _0(R,t)) +

CK

+ °SBsst

((0i„ _04

amb _0 (R, t));

0 < t < tend,

(8)

где a = Усу - коэффициент температуропроводности стали; F(x,t) - мощность внутренних источников тепла, которая может быть представлена в следующем виде:

*

F (к, t) = W(x) F (t),

здесь F*(t) - сосредоточенное управляющее воздействие; W(x) - функция пространственного распределения внутренних источников тепла.

В качестве характерного квадратичного критерия оптимальности рассмотрим функционал качества следующего вида:

tend

I = J S(t) dt ^ min;

о

RR

S(t) = J J roj (x,S)A0(к, t)A0(4, t)dxd£+

(9)

00

R

(10)

ряда достаточно стеснительных условии, при которых становится осуществимой реализация алгоритмов оптимального управления [11].

В частности, в [11] показано, что синтез алгоритма оптимального управления в системе с обратной связью по температуре в одной из точек возможен только в случаях, когда коэффициент Ю1(х,£) удовлетворяет уравнению достаточно сложного вида. Кроме того, аналитический вывод алгоритма управления возможен только в условиях ограничения 0<хм<Е, поскольку в противном случае коэффициент ©1(х,2) может быть получен только в результате численного решения интегрального уравнения, следующего из основного уравнения метода динамического программирования.

Подробный вывод алгоритма управления, обоснование указанных условий, а также определение необходимого вида коэффициента ©1(х,£) приведены в [12].

Найденный алгоритм оптимального управления процессом индукционного нагрева имеет вид

я Л

Fopt (t) = -| Z/ ю2суJ W1 (x)dx

+ю2 | F (x, t) dx,

0

где Ш1(х,^), ©2 - весовые коэффициенты; - пространственная переменная интегрирования; Д@(х,0 - разность между требуемым и действительным температурным распределениями.

В связи с тем, что величины Д@(х,0 малы и входят в подынтегральную функцию минимизируемого критерия, можно пренебречь ограничениями на поведение температурного поля заготовки @(х,0 и управляющего воздействия [11].

Исходя из сказанного, можно сформулировать следующую задачу: для объекта, описываемого уравнением (7), с краевыми условиями (8) необходимо найти оптимальный алгоритм управления ^'(Г) в системе с обратной связью по температуре, измеряемой в некоторой точке хм, хе[0,Л], обеспечивающий минимум критерия оптимальности (9).

Алгоритм оптимального управления, являющийся решением сформулированной задачи, может быть найден с помощью метода динамического программирования, основанного на принципе оптимальности Беллмана [11]. Существенной особенностью решений подобных задач при неполном измерении состояния объекта управления является необходимость выполнения

(11)

х(©(xм, X) -©^ К(xм),

где 2 - коэффициент обратной связи [11, 12].

Функция (10) после подстановки найденного в [12] ©¡(х,^) будет иметь следующий вид:

S (t) =

Z 2W 2( км)

KR

ю2 (су)2 J W2 (x)dx

(0(км, t) -0

req

)2 +

+ Ш2 F*2 (t) J W2 (к) dx _ 2Z (0(Км , t) _ 0req )

(0(Км , t) _ 0req ) +

ск

+---(0( к

км

д_ дк'

м

t) _0

req

(12)

Таким образом, алгоритм управления (11) доставляет минимум критерию (9) при подынтегральной функции, определяемой согласно (1 2), что обеспечивает минимум взвешенной суммы отклонения температуры в точке измерения от требуемой и минимум энергетических затрат, а также наименьшие значения первой и второй производных отклонения температуры в точке измерения от требуемой по пространственной координате [12].

к

0

X

2

с

X

a

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

Результаты численного моделирования

замкнутой системы управления процессом индукционного нагрева

Численное моделирование поведения температурного поля в системе с обратной связью проведено для двумерной и одномерной моделей с исходными данными, представленными в табл. 1.

В системе управления одномерной моделью точка измерения температуры имеет координату хм = 0,99Я, т.е. предполагается, что датчик расположен максимально близко к поверхности заготовки. В системе управления двумерной моделью датчик температуры расположен в точке с координатами хм =0,99Я, 1м = 0, т.е. на торцевом сечении, также максимально близко к поверхности заготовки. Такой выбор координат объясняется условием 0 < хм < Я и простотой технической реализации процесса измерения.

Для одномерной модели были приняты следующие значения теплофизических параметров процесса: ^=28,7 Вт/(м °С); у = 7486 кг/м3; а = 10 Вт/(м2°С); о = 8,2-105 См/м; с = 647 Дж/К. Весовой коэффициент ©2 = 1,5-10"и м5/(сВт2) выбирается таким образом, чтобы требуемая точность нагрева была достигнута за минимальное время при условии, что мощность внутренних источников тепла в заготовке не должна превышать мощность, выделяемую при токе 1300 А, соответствующем режиму нагрева с постоянной мощностью. Коэффициент обратной связи X = 1; температура окружающей среды ®ашь = 200 °С задается согласно значению температуры футеровки индуктора.

Решение уравнения (7) при найденном алгоритме оптимального управления (11) проведено на основе метода конечных разностей. Система уравнений, полученная после аппроксимации производных конечными разностями, была решена методом прогонки в программном пакете МЛТЬЛБ [12].

Поскольку управляющим воздействием в системе управления двумерной моделью является ток, то он определяется из условия, что соответствующая искомому току мощность равна оптимальному значению, определяемому согласно (11); при этом пересчет производится с помощью соотношения

1= к^©(хм ,1) - ®гея ,

где к = 320 - экспериментально подбираемый коэффициент, зависящий от параметров системы «индуктор - заготовка».

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 1

При моделировании предполагается, что до момента времени t =286 c, в который температура в точке измерения становится больше 1180 °С, нагрев происходит с постоянной мощностью, соответствующей току I = 1300 A, после чего начинает работать система оптимальной стабилизации.

На рис. 4 - 8 приведены результаты численного моделирования процессов индукционного нагрева в системе с обратной связью.

На рис. 4, 5 отражены хорошо согласующиеся результаты сравнения оптимального управления одномерной и двумерной численной моделей, что подтверждает обоснованность применяемого подхода.

©(x, t ), оС

1200 /2 . ...-: ■■ 1180 ■ ■ -- 4

1160-

1140

1 _ ..

1120 '

1100-

1080

1060 286 291 296 301 t, с

Рис. 4. Изменение температуры в процессе нагрева: для одномерной модели: 1 - x = 0; 2 - х = R; для двумерной модели: 3 - x = 0; 4 - х = R

/ Fig. 4. Temperature variation during heating process: for a one-dimensional model: 1 - x = 0; 2 - х = R; for a two-dimensional model: 3 - x = 0; 4 - х = R

©(x, tend), оС 1200 1180

1160 1140 1120

м

Рис. 5. Температурное распределение в момент времени t = 306 c: 1 - для двумерной модели; 2 - для одномерной модели / Fig. 5. Temperature distribution at the moment t = 306 c:

1 - for a two-dimensional model;

2 - for the one-dimensional model

.2

A ~ ^4

1 /

286 291 296 301 t,

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

На рис. 6-8 представлены результаты расчета оптимального процесса нагрева, из которых следует, что система стабилиции с обратной связью обеспечивает более равномерный нагрев заготовки (в частности, снижение температурного отклонения с ± 50 до ± 35 °С) и меньшие энергозатраты по сравнению с нагревом с постоянной мощностью при одинаковой продолжительности времени нагрева. При этом температурная неравномерность снижается при увеличении времени процесса управления.

©О, г), оС

1185

1140

0 0,01 0,02 0,03 0,04 х, м

Рис. 7. Температурное распределение в продольном сечении заготовки в момент времени t = 306 c / Fig. 7. Temperature distribution in the longitudinal cross section of the billet at time t = 306 c

Рис. 8. Изменение тока в процессе нагрева / Fig. 8. Current variation during heating

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 1 Выводы

В работе решена задача синтеза алгоритма оптимального управления численной моделью процесса периодического индукционного нагрева стальной цилиндрической заготовки в системе с обратной связью по температуре, измеряемой в одной из точек по объему заготовки. Показано, что оптимальная система стабилизации обеспечивает более равномерный нагрев заготовки и меньшие энергозатраты по сравнению с нагревом с постоянной мощностью при одинаковой продолжительности нагрева.

Литература

1. Немков B.C., Демидович В.Б. Теория и расчет устройств индукционного нагрева. Д.: Энергоатомиздат, 1988. 280 с.

2. Богданов В.Н., Рыскин С.Е. Применение сквозного ин-дукционого нагрева в промышленности. М.; Л.: Машиностроение, 1965. 96 с.

3. Rudnev, V., Loveless, D., Cook, R., Black, M. (2003) Handbook of Induction Heating', Marcel Dekker Inc., New York, USA.

4. Рапопорт Э.Я., Плешевцева Ю.Э. Оптимальное управление температурными режимами индукционного нагрева. М.: Наука, 2012. 309 с.

5. Blinov K., Nikanorov A., Nacke В., Klopzig М.. Numerical simulation and investigation of induction through-heaters in dynamic operation mode. COMPEL The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering. Selected papers from the Heating by Electromagnetic Sources Symposium 2010, Vol. 30, No 5, 2011, pp. 1539 - 1549.

6. Pleshivtseva Yu.E., Nikanorov A.N., Blinov K.Yu, Tkachev I.A., Simulation of temperature field in the process of induction through heating // European researcher. 2011. № 5-1 (7). P. 635 - 637.

7. Лапицкая М.Х. Численное моделирование температурного поля стальной цилиндрической заготовки в процессе периодического индукционного нагрева // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: тр. XVI Междунар. конф. Институт проблем управления сложными системами, Самарский научный центр Российской академии наук; под ред.: Е.А. Федосова, Н.А. Кузнецова, В.А. Виттиха. 2014. С. 81 - 85.

8. Шамов А.Н., Бодажков В.А. Проектирование и эксплуатация высокочастотных установок. 2-е идз., доп. и пере-раб. Л.: Машиностроение, Лениград. отд-ние, 1974. 280 с.

9. Безручко И.И. Индукционный нагрев для объемной штамповки Л.: Машиностроение. Ленинград. отд-ие, 1987. 126 с.

10. Брюханов А.Н. [и др.]. Ковка и объемная штамповка стали: в 2 т. справочник / под ред. М.В. Сторожева. 2-е изд., перераб. М.: Машиностроение, 1967. Т.1, 1967. 435 с.

11. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами: учеб. пособие М.: Высш. шк., 2009. 677 с.

12. Артур М.Х. Синтез алгоритмов оптимального управления процессом индукционного нагрева стальной цилиндрической заготовки при неполном измерении состояния // Вестн. самарского гос. техн. ун-та. Техн. науки. 2017. №3 ( 55). С. 7 - 15.

Рис. 6. Температурное распределение по радиусу в центральном поперечном сечении заготовки в момент времени t = 306 с / Fig. 6. Temperature distribution along the radius in the central cross-section of the billet at the moment t = 306 с

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2018. № 1

References

1. Nemkov B.C., Demidovich V.B. Teoriya i raschet ustroistv induktsionnogo nagreva [Theory and calculation of induction heating devices]. Leningrad, Energoatomizdat, 1988, 280 p.

2. Bogdanov V.N., Ryskin S.E. Primenenie skvoznogo induktsionnogo nagreva vpromyshlennosti [The use of end-to-end induction heating in industry]. Moscow-Leningrad, «Mashinostroenie» Publ., 1965, 96 p

3. Rudnev V., Loveless D., Cook R., Black M. Handbook of Induction Heating, Marcel Dekker Inc., New York, USA, 2003.

4. Rapoport E.Ya., Pleshivtseva Yu.E. Optimal'noe upravlenie temperaturnymi rezhimami induktsionnogo nagreva [Optimal Control of Induction Heating Processes]. Moscow, Nauka Publ., 2012, 309 p.

5. Blinov K., Nikanorov A., Nacke B., Klopzig M. Numerical simulation and investigation of induction through-heaters in dynamic operation mode. COMPEL The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering. Selected papers from the Heating by Electromagnetic Sources Symposium 2010, HES 2010, ISSN 0332-1649, Vol. 30, № 5,2011, pp. 1539-1549.

13. Pleshivtseva Yu.E., Nikanorov A.N., Blinov K.Yu., Tkachev I.A., Simulation of temperature field in the process of induction through heating. European researcher. 2011. № 5-1 (7). Pp. 635-637.

7. Lapitskaya M.Kh. [Numerical modeling of the temperature field of a steel cylindrical billet in the process of batch induction heating] . Problemy upravleniya i modelirovaniya v slozhnykh sistemakh. Trudy XVI Mezhdunarodnoi konferentsii. Institut problem upravleniya slozhnymi sistemami [Complex systems: control and modeling problems. The XVI International Conference. Institute of Control Problems of Complex Systems]. Samara, 2014. pp. 81-85. (In Russ.)

8. Shamov A.N., Bodazhkov V.A. Proektirovanie i ekspluatatsiya vysokochastotnykh ustanovok [Design and operation of high-frequency units]. Leningrad, «Mashinostroenie» Publ., 1974, 280 p.

9. Bezruchko I.I. Induktsionnyi nagrev dlya ob"emnoi shtampovki [Induction heating for bulk forming]. Leningrad, Mashinostroenie Publ., 1987, 126 p.

10. Bryukhanov A.N. [i dr.] Kovka i ob"emnaya shtampovka stali [Forging and bulk forming of steel]. Moscow, "Mashinostroenie" Publ., 1967, 435 p.

11. Rapoport E.Ya. Optimal'noe upravlenie sistemami s raspredelennymi parametrami [Optimal control of systems with distributed parameters]. Moscow, Vyssh. shk., 2009, 677 p.

12. Artur M.Kh. Sintez algoritmov optimal'nogo upravleniya protsessom induktsionnogo nagreva stal'noi tsilindricheskoi zagotovki pri nepolnom izmerenii sostoyaniya [Synthesis of optimal control algorithms for the induction heating of steel cylindrical billet with incomplete measurement of the state]. Vestnik samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya: Tekhnicheskie nauki, 2017, no. 3 (55), pp. 7-15. (In Russ.)

Поступила в редакцию /Received 16 января 2018 г. / January 16, 2018