Синтез управления импульсным преобразователем напряжения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

А.Р. Гайдук

СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ

НАПРЯЖЕНИЯ

Одной из важных задач процесса производства и потребления электрической энергии является задача преобразования напряжения постоянного тока, подаваемого на нагрузку. Особенно важной эта задача является для передвижных и переносных электрических приборов. Как известно, стационарные источники электрической энергии - электрогенераторы имеют высокое выходное напряжение переменного тока, а большинство электрических приборов - относительно низкое. Поэтому для согласования электрического прибора-потребителя с источником необходимо применение преобразователя высокого напряжения переменного тока в низкое. Для этой цели обычно применяют трансформаторные преобразователи.

В то же время выходное напряжение переносных источников электрической энергии - батарей и аккумуляторов, как правило, мало по сравнению с напряжением питания приборов-потребителей и является напряжением постоянного тока. В связи с этим возникает задача преобразования низкого напряжения постоянного тока в высокое напряжение постоянного тока [1, 2 ]. Для этой цели часто применяют импульсные преобразователи, содержащие катушки индуктивности и конденсаторы, которые коммутируются с некоторой частотой. Меняя длительность импульсов тока, протекающих через конденсатор и катушку, можно изменять величину напряжения на нагрузке, подключенной параллельно конденсатору [2, 3].

Если длительности импульсов тока, протекающих через конденсатор и катушку, не изменять, то выходное напряжение такого нерегулируемого импульсного преобразователя будет сильно зависеть от величины нагрузки, повышаясь с её уменьшением и понижаясь с увеличением. Таким образом, необходима система управления импульсным преобразователем, которая бы за счет изменения относительной длительности периодов заряда и разряда конденсатора при постоянном периоде коммутации поддерживала постоянным выходное напряжение преобразователя при различных значениях нагрузки [1, 3].

Эта задача осложняется тем, что уравнения, описывающие работу импульсного преобразователя, являются нелинейными. Поэтому для решения поставленной задачи необходимо использовать метод синтеза нелинейных управлений. В данной работе для этой цели используется метод, в основе которого лежит управляемая форма Жордана (УФЖ). Теория и основные расчетные соотношения этого метода изложены в работе [4]. Основным наиболее сложным этапом этого метода является процесс преобразования нелинейных уравнений объекта управления к УФЖ. В то же время после приведения уравнений объекта к этой форме управление определяется по полученным уравнениям практически без каких-либо сложностей. Как правило, область притяжения положения равновесия синтезированной системы оказывается конечной, однако она всегда может быть установлена либо аналитически, либо путем моделирования.

Перейдем к рассмотрению решения задачи синтеза управления. Как показано в работе [2, 3], усредненные значения тока через нагрузку и напряжения на ней описываются уравнениями:

* =■

Уцт _ ^(1 _ и ) , і = __^ + _ и ) ,

Ь Ь 1 2 яс с 1

(1)

где X - ток через индуктивность; х2 - напряжение на нагрузке; Ь, С -индуктивность и ёмкость преобразователя; V - напряжение источника постоянного напряжения неограниченной мощности, Я - сопротивление нагрузки; Ы\ - управление - отношение длительности времени разряда ёмкости ко времени её заряда, причем щ е [0,1]. В установившемся режиме при щ = их значения тока

х°г и напряжения х°2, согласно (1), связаны соотношением (х°2)2 = RVgXl.

В соответствии с работой [4] форма уравнений преобразователя (1) не соответствует УФЖ. Поэтому сначала проверим возможность приведения этих уравнений к УФЖ.

По [4], если уравнения нелинейного объекта второго порядка имеют вид X = /(х) + Ь(х) и, а их форма не соответствует УФЖ, то эти уравнения нелинейным взаимно-однозначным преобразованием X = у(X) можно привести к этой форме (относительно вектора х ), если выполняется условие

К (х) =

1 д х) 1 (х) СО 1 (х) <1 і д дЬ2( х)

дхх і <8 дхх і

О(х) Ф 0, х , (2)

где О(х) = ёй[/(х) Ь(х)], а Ох - некоторая область пространства R2, включающая положение равновесия уравнений (1) (х°г , х2).

V™ х.

В данном случае / (х) = [-

Ь(х) = — х/С, поэтому определитель

Ь

_2

Ь

Х2 | ХП Т

яс с

]Т, Ь1(х) = х2/Ь,

G(x) = ёе1

V

ист

Ь

х-,

2

Ь

+ хі

яс с

2

Ь

хі

с

= (х2 _ ЯКстхі)/ яіс,

а функция (2) К(х) = —х2 (ЯС^т + 2Ьху)/ Ш}С2. Таким образом, указанное выше взаимно-однозначное преобразование существует до тех пор, пока х е О , причем область Ох определяется условиями х > 0 и X > 0.

Для построения нелинейного преобразования х = у(х), согласно [4], можно использовать следующие уравнения:

0У1(х)

дх2

д¥ 2(х)

дх,

■ = Ьі (У (х)) Д(х) = ^2 (х) Д(х) / Ь >

= Ь2(У( х))Д( х) = _¥і(х) Д( х) / с,

(3)

где ^(х) - интегрирующий множитель.

Пусть М'(х) = —С /1(X), где I(X) = ^[г\ + X — С(7° + X)2 ]Ь 1 . Тогда,

интегрируя уравнения (3), получим искомое преобразование x1 =^1 (X) = I(X), x2 = (X) = х°2 + X. Здесь X , X - отклонения переменных от установившихся

значений 2°х > 0 и > 0.

Матрица Якоби вектор-функции у( X), определяемая выражением

1 -С(70 + X,) '

д^( X) дX

21 ( X)! 21 ( X)!

0 1

является неособенной при всех X е О, поскольку I(X) > 0, поэтому существует

_ ( ду^) 1 1

обратное преобразование X = I ------- X. Подставляя в это выражение

^ д£ )

найденные и заданные, согласно уравнениям (1), функции, получим уравнения объекта (1) в новых переменных:

2

X = V(х>-—(72+x2) ,

К

■^2 = 1^1^( 72 + X2) + и = Ф2( X) + и > С КС

(4)

где и = -I(X)«!(X)/С > 0 .

Согласно [4], при всех -г2 +81 < X, -71 +01 < X уравнения (4) имеют УФЖ, так как выполняется условие

2Уист КС + 4Ь1 (X)

дф1( x)

д X2

(5)

КЬ1 ( X)

поскольку I (X) > 0. С целью построения управления для объекта (4) введем, следуя [4], вспомогательные переменные:

д Щ 2 2

Щ2 (^ ^ ф1(x) + Х Щ = ф1(x) + Х Щ = 2Кт (x) - ^ (72 + X2 ) + Х Щ д X К

, „ дф (X) 2К КС + 4! I(X), 2

у1(X-) = ^ 7 =------ист-------- ----^(72 + X2) ,

У2(X) =

д Щ2( 1 д X1

(

Ф( X) = 2^

д ■^2 V

ист

Ь

■ + X] I (X) —

КЬ1 ( X)

(+ ^2)2 1 2Х1

К

КЬ1 (32)

При этом, согласно [4], искомое управление определяется выражением

и(= -У—1(X)[У2(+ Х2Щ2(X)] ф2(.

Поэтому, подставляя в него найденные выше функции, будем иметь

(г2 + X ) .

и(х) =------------(х)-------------[у2 (х) + \2w2 (X)] - ф2 (х) .

[2уКС + 4Ы(х)](г\ + Х2) 22 2

Это выражение определяет управление через переменные х1 и х2. После

перехода к исходным переменным х1 , X и некоторых упрощений получим

х2 ^Д2 Щ х) Ях1 + 2[у + (^ + гк2)1х1][УгЯх1 - х22]

и = 1--------------------------------------;-----------------------, (6)

1 Яхг 2(у + 2( КС )-1 Ьхх )Кххх2

где &(х) = Ь(хх -х°)2 + С(х2-х2)2, > 0, х2 > 0.

Если переменные Щ и Щ принять в качестве переменных состояния синтезированной системы, то, как показано в работе [4], уравнения синтезированной системы будут иметь вид Щ = —^Щ + Щ , Щ = ~^2Щ , т.е.

переменные Щ и Щ стремятся к нулю с ростом Ї. С другой стороны,

определитель якобиана СЩ / д х преобразования от переменных Щ и Щ к

переменным х , х равен ёй[дЩ / дх] = —х2 (КСу + 2£х:) , т.е. не равен нулю

при всех х: > 0 и х2 > 0. Поэтому переменные х и х2 также стремятся к нулю с

ростом І, а областью притяжения положения равновесия х^, х2 является область начальных условий, при которых решение системы (1), (6) не выходит из первого квадранта плоскости х , х .

На рис. 1 приведены переходные процессы, полученные при следующих значениях параметров: ^=0,5 Ом; £=1,5 мГн; С=75 мкФ; у = 40 В; х° = 100 В;

^ = 350; Х2 = 550; х:° = (х°2)2 /Яу = 500 и начальных условий: х10 = 475 А; х20 = 90 В

а

Рис. 1. Изменения тока в начале переходного процесса (а)

б

Рис. 1. Изменения напряжения в начале переходного процесса (б)

На рис. 1, а приведен график изменения тока нагрузки в начале переходного процесса при изменении времени t от нуля до 1,6 миллисекунды. Здесь хорошо виден процесс заряда и разряда конденсатора, причем длительность интервала заряда конденсатора в каждом периоде значительно больше интервала разряда. Поэтому напряжение на конденсаторе и на нагрузке в среднем возрастает.

На рис. 1,б показан график изменения тока в течение всего переходного процесса в преобразователе, который длится, как видно, около 0.03 секунды. Переходные процессы и по току, и по напряжению характеризуются перерегулированием, но являются слабо колебательными и сильно

демпфированными. При этом положение равновесия системы является асимптотически устойчивым. Следует также подчеркнуть, что характер переходных процессов системы в первую очередь определяется значениями чисел Àj, X2 , назначенными в процессе синтеза. Поэтому, изменяя их величину, можно получать процессы, удовлетворяющие различным требованиям.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ушаков В.Н., Долженко О.В. Электроника: от элементов до устройств.-М.: Радио и связь, 1993.

2. Erickson R. W. Fundamentals of Power Electronics. N.Y. : Chapman and Hall, 1997.

3. Erickson R.W., Maksimovic D. Fundamentals of Power Electronics. Norvell: Kluwer Academic Publishers, 2001.

4. Гайдук А.Р. Синтез нелинейных систем на основе управляемой формы Жордана // Автоматика и телемеханика. 2006. № 7.С. 3 - 13.

Ле Чан Тханг

УПРАВЛЕНИЕ КАСКАДОМ ГИДРОЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ

Введение. В настоящее время вопрос использования энергии становится вопросом существования человечества, его безопасности. Люди нашли и используют много различных источников энергии, например, нефть, газ, уголь, солнце, ветер, морские приливы и т.д. Наиболее интенсивно используемые в