Синтез точности градиентных систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

СИНТЕЗ ТОЧНОСТИ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ М.С. Петрищев, Чан Нгок Чау Научный руководитель - доктор технических наук, профессор В.М. Мусалимов

В работе на примере кривошипно-ползунного механизма проведен динамический анализ точности. Вывод выражений для вычисления ошибок положения основан на составлении потенциальной функции с построением функции плотности вероятности. Функции плотности вероятности, представленные в таком виде, лежат в основе расчетов точности механических систем. Из полученных соотношений возможен синтез точности рассматриваемой системы.

Введение

В ряде разделов аналитической теории точности имеются подходы, которые можно рассмотреть в рамках теории катастроф с топологией фазовых потоков. Тогда анализ точности и синтез можно обобщенно представить состоящим из двух блоков [1].

В первом осуществляется построение локальной потенциальной функции «идеальной» механической системы, где потенциальная энергия является функцией переменных состояния х е Я" и управляющих параметров с е Як. Цель - оценка ошибок положения, скорости и ускорения, исходя из анализа дифференциальных уравнений движения механических систем. Решение проблемы включает следующие этапы: введение дополнительных связей в регистрационных точках; определение динамических реакций Я(^) в этих точках; анализ фазовых портретов при изменении Я(^) - здесь реакции выступают в качестве управляющего параметра; переход к градиентной системе и построение потенциальной функции У(х; Я), где х - переменные состояния, Я - управляющий параметр.

Во втором блоке осуществляется построение локальной потенциальной функции «несовершенной» механической системы, где потенциальная энергия является функцией переменных состояния, управляющих параметров и параметров несовершенств 8 е Ят. Здесь же на основе построенной функции плотности вероятности исследуются аномалии дисперсии при изменении параметров. Цель - учет несовершенств при оценивании ошибок. Кроме переменных состояния х и параметров управления с, введены параметры несовершенств 8П - дефекты, возникающие при изготовлении элементов системы, и 8д - дефекты, возникающие в процессе сборки системы. Решение включает следующие этапы: построение (с учетом результатов первого блока) потенциальной функции ¥(х; Я; 8) - самого общего вида с учетом типа ростка в критических точках [2]; переход к потенциальной функции У(х; М; 8; 8Я), где 8Я - динамический параметр несовершенства, связанный с реакцией системы; М - внешняя сила, выступающая в качестве управляющего параметра; переход от переменных состояния х к переменным состояния (параметрам порядка) а; анализ катастрофы сборки и построения диапазона изменения параметров порядка а, вычисление коэффициентов диффузии П*, построение функции плотности вероятности

V (а; М; 8)"

П * _

Затем осуществляется анализ аномалий дисперсии и анализ динамических ошибок на основе конкретного обобщенного закона распределения.

Модельная задача для кривошипно-ползунного механизма

Если " уравнений движения механической системы с " степенями свободы при включении дополнительных связей переходят в (" - к) уравнений (где к - число введенных связей), то в ряде случаев удается исключить вторые производные и перейти к

Ф(а; М; 8) = N ехр

уравнениям только с первой производной. Например, для первоначальной системы с двумя степенями свободы при введении дополнительной связи получаем одно уравнение, где функционально связаны ф - обобщенная скорость, Я - реакция системы, ф -обобщенная координата и М - внешняя сила.

Получаемые уравнения движения нелинейны относительно обобщенных скоростей, и анализ уравнений должен содержать элементы кинематического описания с использованием уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка [3, 4]. Реакции связей Я, параметризующие синтезируемые потенциальные функции, являются функциями координат ф и времени Р. Я=К(ф(^). В реальных системах в силу процессов в механических связях (трение, износ и др.) функции являются случайными. Этим оправдывается применение уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка для рассматриваемых систем.

Рассмотрим задачу о дрейфе дисперсии. На рис. 1 изображена механическая система, которая получена из системы с двумя степенями свободы после наложения дополнительной связи в точке А. Здесь М- задаваемый момент, т1=т2=т - приведенные массы; /1=/2=/ - длины стержней. Дополнительная связь установлена в точке, где требуется в условиях динамики определить ошибку положения массы т2, ошибку скорости и ускорения. Последовательность вычислений: построение градиентной системы, построение потенциальных функций, переход к уравнению Колмогорова - Фоккера -Планка, вычисление ошибок распределения.

Рис. 1. К задаче о дрейфе дисперсии

Построение градиентной системы. Для безразмерной схемы рис. 1 получено уравнение движения [4, 5]:

ср + ф

2 sin 2ф 3 g sin ф

■ +

M

1 + 4sin2 ф l 1 + 4sin2 ф ml2(1 + 4sin2 ф)' а также уравнение для вычисления реакции связи в точке А

„2cos ф g . M

рр - R-- + — sin ф = —-.

ml l ml

(i)

(2)

Уравнения (1), (2) приводят к выражению, связанному с градиентной системой,

ф 2

1 + 4 sin2 ф

Шо 2sin2ф

R о

-2 cos ф + sin ф

mg

4M sin2 ф mgl(1 + 4sin2 ф)

3

4 cos ф

(3)

где = g /1.

О

Полученное решение устанавливает зависимость ф2/от обобщенной координаты ф, внешней нагрузки М и реакции связи Я. В решении уравнения (3) возможны отрицательные значения энергии ф2 /ш2 , поэтому, для сохранения физического смысла, выражение (3) следует переписать в виде

ш2

1 + 4з1и2 ф

2 8т 2ф

Я ^ . 4М з1и2 ф

--2 ео8 ф + 81И ф--—

mg/ (1 + 4з1и ф)

mg

3

Для перехода к градиентной системе положим

4еоз ф 4М 8т2 ф

mg/ (1 + 4з1и2 ф) положим, что задаваемый момент определяется выражением mg/ (1 + 4з1и2 ф)

(4)

81И ф, т.е. пред-

М =

Г • Л2Ю Ш у

4з1и ф

4 -

о

ф

о

п/2 п 3п/2 2п

Рис. 2. Окна эквиреактивных кривых

На рис. 2 представлены результаты расчета (4) для различных значений параметра г = R¡mg, обозначенных цифрами у соответствующей линии.

Построение потенциальных функций. Из расчета и графиков следуют зависимости

Г • Л 2

чшо у

= 8ф2 + (1,2 + 2,1г),

отсюда

ф = ±ш^8ф2 + (1,2 + 2,1г) . (5)

Рассмотрим (5) как локальную градиентную систему в окрестности связи. Здесь реакция г выступает в качестве управляющего параметра. Тогда потенциальная функция в окне 0 < ф < п/2 имеет вид

-I- (1,2-1- 2,1Г ))

V (ф; г) = шо

фУ (8ф + (I,2 + 2,1Г)) + (1,2 + 21г) |п ф/8 ^ 8ф,2 + (1,2 + 2,1г)

2 248

Вычисление статистических моментов. Функция плотности вероятности Ф(ф)

(6)

связана с

потенциальной функцией V(ф; г) посредствр^уравнения Колмогорова - Фок-

8

6

2

кера - Планка [3, 4]: 5Ф/5 = V(ФVV + У (ПФ). Потенциал является функцией переменной состояния ф и управляющего параметра г. С потенциальной функцией (6) связана функция плотности вероятности

Ф(ф) = N ехр<{ -

V(Ф; г) П *

(7)

где В* - коэффициент диффузии; N - константа нормализации.

График функции плотности вероятности рассматриваемой системы в окне 0<ф<п/2 представлен на рис. 3.

ф(ф)

10

5

0

"0.5 0 0.5 ф

Рис. 3. График функции плотности вероятности рассматриваемой системы

Условие для определения значения константы нормализации N для рассматриваемого окна:

п/4

ÍN

ехр -

-п/4

N =

v(ф; г) ^ В *

= 1.

У Г V (ф; г ) ^ ] ехР1--тт^Ф

= 0,67.

-п/4

в-

Вычислим первый и второй статистические моменты (среднее значение угла и дисперсию):

п/4

(ф)= |ф Ф(ф)ф =-0,25.

-п/4 п/4

В = | (ф - (ф))2 Ф(ф)Ф = 0,17.

-п/4 п/4

= | (ф

-п/4

Первый и второй статистические моменты являются основой для оценки точности положения ползуна при нахождении кривошипа в пределах окна 0 < ф < п/2.

Следует отметить, что анализ расчетов осуществлен при переходе (ф/ю0)2 ^ ф/ш0. При этом мнимые ветви не учитывали. В принципе можно в расчет

включить непосредственно (ф/ю0)2.

Заключение

На примере модельной задачи продемонстрирован метод построения динамических нелинейных систем с последующим переходом к уравнению Колмогорова - Фок-кера - Планка. Построение градиентной динамической системы обеспечивалось тем,

1

что в уравнение движения линейным образом входят вторая производная и множители Лагранжа - реакции связей. Техника перехода к потенциальной функции и далее к функции плотности вероятности во многом базировалась на математическом аппарате теории катастроф [2]. Показано, что дрейф дисперсии обеспечивается реакциями связей - параметрами потенциальной функции. Функции плотности вероятности, представленные в таком виде, лежат в основе расчетов точности механических систем.

Литература

1. Мусалимов В.М. Анализ градиентных систем при синтезе точности механизмов. // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2001. №1. С. 27-33.

2. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Кн. 1. М.: Мир, 1984. 350 с.

3. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 512 с.

4. Risken H. The Fokker-Planck Equation. Springer-Verlad. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1984. 454 s.

5. Бутенин Н.В., Фуфаев Н.А. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1991. 256 с.

6. Булатов В.П., Фридлендер И.Г., Мусалимов В.М. и др. Фундаментальные проблемы теории точности и качества машин, приборов, систем. СПб: ИПМ РАН, 1999. 223 с.