Синтез терминального релейно-импульсного управления сближением космических аппаратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.7.05

Синтез терминального релейно-импульсного управления сближением космических аппаратов

© Н.Е. Зубов1,2, Е.А. Микрин1,2, А.С. Олейник1, В.Н. Рябченко1

1 ОАО «Ракетно-космическая корпорация "Энергия" имени С.П. Королёва», г. Королев Московской области, 141070, Россия 2 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Для линейной стационарной динамической системы с релейно-импульсными исполнительными органами разработан алгоритм, позволяющий применять методы модального управления к решению задачи поиска терминального управления. С использованием предложенного алгоритма решена задача терминального управления сближением космических аппаратов с двигателями постоянной тяги, имеющими декартовую схему расположения.

Ключевые слова: сближение космических аппаратов, модальное управление, терминальное управление, метод точного размещения полюсов, круговая орбита.

Введение. До настоящего времени модальное управление применялось только для решения задач стабилизации линейных систем, и синтезированное при этом управление являлось непрерывным. Существует целый класс объектов управления с релейно-импульсными исполнительными органами. В частности, к ним относятся двигатели постоянной тяги, нашедшие применение на космических аппаратах (КА), тормозные щитки самолетов, которые традиционно имеют два рабочих положения — убранное и выпущенное. Хотя перевод этих органов из одного положения в другое осуществляется с небольшой скоростью, иногда удобно пренебрегать конечностью времени работы механизмов. Аналогично можно сказать и о тормозных щитках КА, которые могут использоваться для решения задач управления движением в атмосфере планет.

Непосредственно применять модальное управление к задаче синтеза терминального управления для линейной стационарной системы с релейно-импульсными исполнительными органами не представляется возможным, однако его можно преобразовать к виду, позволяющему получать решение, основанное на применении методов модального управления. Рассмотрению этой проблемы и посвящена данная работа.

1. Линейные стационарные объекты управления с релейно-импульсными исполнительными органами. Будем рассматривать движение объекта

X = Ах + Ви

(1.1)

с релеино-импульсными исполнительными органами, положение которых в смысле деИствия «включено — выключено» с тоИ или иной полярностью характеризует вектор ир (ир е Мг). Здесь матрицы А и

В являются постоянными, х е Кп — вектор состояния. Ставится задача: за заданное время ^ перевести систему из некоторого начального положения в заданное конечное (х0 (0) е К, ) = х3).

Для представления компонент ирг вектора ир функциями времени в предположении бинарности управляющих входов будем использовать выражения вида [1, 2]

^ (11 1 л Л

ир1 V, t1, tц )

и и,€,£,•••,tr)

у рг"' Ч > ц/

ц У

м,

ир10-А р1 X (-1)ц 1г (t, < )

ц=1

м

ирг0 -Арг X (-1)Ц 1г (t, С )

ц = 1

(1.2)

где ирг0 - одно из значении компоненты ирг, принимаемое за исходное, т. е. такое значение, которое соответствует положению г-го релейного рулевого органа в начальный момент времени; Арг -приращение скачкообразного изменения г-И компоненты с учетом

знака изменения; 1г (, ^ ) = 1Г ( - ^) — единичная ступенчатая

функция, соответствующая ц-му по порядку изменению компоненты ирг; Мг — число рассматриваемых скачкообразных изменений функции.

Решение неоднородной линейной стационарной системы (1.1) имеет вид

-к

) = О ( )х0 (¿0) + \ - т)ВЭр (т)с!т,

(1.3)

где С(Г) — матрица Грина, дающая фундаментальное решение одно-

'к

родной системы. Выражение | О( - т)В-Эр (-т)ск представляет собой

'о

матрицу-столбец частного решения неоднородной системы, которую обозначим через Г и в развернутом виде с учетом (1.2) при условии ирг0 = 0 запишем следующим образом:

0

"к

г = Г &, г; )л = 10(г - т)БОр (х)ах

Г М1 мг \

-I(- 1);/и«) ... -I(-!)■%(О

м1 мг

-I(- 1);/щ«) ... -I(-1 гл,(;

Гл , ^

р1

ЧЛ рг У

. (1.4)

Отсюда следует, что решение задачи управления объектом (1.1) сводится к определению моментов времени ^, которые представляют собой непрерывные величины.

2. Терминальное управление линейной стационарной системой с релейно-импульсными рулевыми органами на основе методов модального управления. Построим (условную) дискретную систему следующего вида:

х^ {1 +1) = АХ (0, у = Срх£, где вектор х р? (Т) включает компоненты

X X (0 = ( ('к ) ■■■ хи (Гк ))Т , X, (Г) = ( ■■■ А ° = Т С = (Т 0 )

(п+т)х(п+т)' р V пхп пхт/ '

Из (2.1) следует, что

х, (Т +1) = х, (Т), при этом в соответствии с (1.3) можно также записать х х (Т) = С )х х (¿тек ) + , ^ ) .

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Построим для системы (2.1) наблюдатель состояния полного ранга. В общем виде он определяется уравнением

х£( +1) = (а£ -ьрср)х£ + Ьру.

Оценка хх(?) запишем так:

X х () = О (к )Х х (¿тек ) + , £ ) .

(2.4)

(2.5)

0

т

Линеаризуем функцию Г , ^) в окрестности точек используя разложение в ряд Тейлора. В результате будем иметь

F(tK, t;) = F (tK, i;)+

dF* (tk, )

к' ; >

(2.6)

где xt (t) =

(t) = (t1 -f1 ■■■ t;-tf;)T.

Вычислив далее вектор невязок Хх = хх - Хх, получим

X =

dFjtk, )

dt Г

"X.

(2.7)

Объединяя затем хх и х( в единый вектор и используя (2.4), с учетом (2.1) получим дискретную модель уравнения невязок

// __* „ - л

X p (t +1) =

I

0

dF (tk, t;)

st;

I.

- LC

xp.

(2.8)

" тхт J

При выполнении условия полной наблюдаемости Калмана

' С ^

rank

cp a р

v cp a p

n+m-1

= n + m,

(2.9)

где m = Mi + ... Mr,

ap =

dF* (tk, f; ) ^

dt Г

0

(2.10)

mxm J

выбором матрицы коэффициентов Ьр при известных матрицах Ар и

Ср всегда можно обеспечить любое заданное размещение на С51аЪ корней характеристического полинома (полюсов) [3, 4]

**(„ -(Лр -ЬрСр)), (2.11)

или, эквивалентно, собственных значений

(Ар - ЬрСр ) = е С (XI„+, - (Ар - ЬрСр )) = о} (2.12)

наблюдателя состояния. В этом случае нужно рассматривать вспомогательную дискретную М1М0-систему вида

+1) = Лтц + Стп, П = -Ь>, (2.13)

где ц — вектор, имеющий размерность расширенного вектора хр;

г-р г-р г-р г-р _

П — вектор управления; а = ар , с = (ср) . Поиск матрицы Ьр в

нашем случае — цель решения задачи терминального управления, поскольку идентификация моментов времени переключения релейно-импульсных исполнительных органов и является решением поставленной нами задачи. В случае выполнения условий полной наблюдаемости необходимые для решения матрицы существуют, однако их надо научиться определять.

Для решения задачи наблюдения можно применять любой из методов модального управления. Поступим так же, как в [5], и воспользуемся методом, изложенным в [3, 4]. Введем многоуровневую декомпозицию М1М0-системы (2.13), представляемую парой матриц (Ат, Ст). Имеем

нулевой (исходный) уровень

А0 = Ат, В0 = (Ср )т = Ст, (2.14)

к-йуровень (к = 1,N, N = сеП(Ж/г)-1)

Ак = В ¡^Л^В^, Вк = В^Л^В* . (2.15)

Здесь Бг — аннулятор (делитель нуля) матрицы Бг, т. е. Б^Бг = 0;

Бг1- — 2-полуобратная матрица для Б^ [3, 4], т. е. матрица, удовлетворяющая условиям регулярности

Б^Б^-Б^ = Б^, Б^-Б^Б^- = Б^-. (2.16)

Тогда в соответствии с [3] искомая матрица Ь = Ь0 е Ктх" вычисляется по рекурсивным формулам

ЬN = в+„А„ - фМВ+М, (2.17)

ч = в- а - Фкв-, в- = ь^ + в+, к = 0, N -1, (2.18)

и обеспечивает точное заданное размещение полюсов. Это действительно так, поскольку все элементы множества собственных значений eig(A - ЬС) совпадают с собственными значениями N заданных

устойчивых матриц Фг- порядка т х т, / = 0, N (т. е. собственных значений, лежащих внутри единичного круга).

Подытоживая сказанное, запишем алгоритм решения задачи терминального управления линейными стационарными М1МО-системами с релейно-импульсными исполнительными органами на основе методов модального управления.

1. Ищется решение (1.3) неоднородной линейной стационарной системы.

2. Задается число переключений релейно-импульсного исполнительного органа в каждом канале управления (следует заметить, что оно не может быть меньше некоторого минимального значения, при котором существует решение задачи терминального управления).

3. Строятся модели: условная — (2.2) и идентификационная — (2.8).

4. Задаются начальные значения оценок 1ги. На их основе в соответствии с (2.7) определяются оценки вектора состояния хх и тем самым формируются начальные условия для разностного дискретного уравнения невязок (2.8).

5. С помощью метода модального управления [3], определяемого выражениями (2.14) - (2.18), решается задача поиска управления вспомогательной системы (2.13), в результате которой находится транспонированная матрица коэффициентов обратной связи наблюдателя.

6. С использованием блока Ьт г на основании (2.4) находятся новые оценки времен ^ и далее в соответствии с (2.5) — новые оценки

вектора состояния хх.

Поскольку рассматривается релейно-импульсное управление с одним уровнем переключения разной полярности, для каждой ближайшей пары переключений должно соблюдаться следующее мнемоническое правило: если первое переключение функции (1.2) положительно, то второе обязательно должно быть отрицательным или наоборот. Отсюда следует необходимость контроля значения Х( и ограничения тех значений которые приводят к нарушению указанного правила.

3. Решение задачи терминального управления сближением космических аппаратов с двигателями постоянной тяги. Рассмотрим сближение маневрирующего КА с пассивным аппаратом, находящимся на круговой орбите.

Пусть на активном КА неизменяемой массы установлено шесть координатных двигателей постоянной тяги для управления движени-

ем центра масс — по два (один в положительном направлении, другой — в отрицательном) на каждую из трех осей прямоугольной системы координат, жестко связанной с КА. Тогда уравнение (1.1), определяющее относительное движение сближающихся космических аппаратов, запишем так

X = Ax + B3 p,

(3.1)

где x =

[ x2••• x6 ] > &p = [&px &py &

T

pz J :

"0 1 0 0 0 0" "0 0 0"

0 0 0 2ш 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0

A = , в =

0 -2ш 3ш2 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 -ш2 0_ 0 0 1

где x\ = x, x2 = x, x3 = y, x4 = y, x5 = z, x6 = z — фазовые координаты активного КА, ю = const — орбитальная угловая скорость пассивного КА.

Поскольку при сближении КА относительное движение в канале «z» не зависит от каналов «x—у», то для упрощения поиска терминального управления систему (3.1) представим в виде двух подсистем

x1 = A1 x1 + Б1^,

x2 = A2 x2 + B 2 -Э p,

2 a 2

(3.2)

(3.3)

A1 =

[Х1 Х2 Х4 ]T. »p = » px » py _ T

0 1 0 01 f 0 0

0 0 0 2ш 1 0

, B1 =

0 0 0 1 0 0

0 -2ш 3ш2 0 , V 0 1

x2 =

[X5 X6 ]T

A2 =

*P =

0

pz

f 0 11 f 01

, B2 =

2 ^-ш 0 ; V 1,

При решении задачи сближения релейно-импульсные исполнительные органы представляют собой двигатели постоянной тяги, а вектор — циклограммы работы двигателей [6]. Таким образом, выражение (1.2) в данном случае можно записать так:

Зрз ((,•••,^ )

0-I a.\Z (-1)" V (t -1! )

" = 1

m2

0 "I aZ (-1)" 1" (t - "

!=1

m3

0-I a.\Z (-1)" 1, (t -1" )

!=1

(3.4)

где ах(у 2) — модуль ускорения двигателя.

Будем считать, что моменты времени начала сближения и его окончания tk заданы, причем tk - к фиксировано. Управление сближением будем осуществлять с использованием двухимпульс-ного маневра в каждом канале управления. В этом случае М = М2 = М3 = 4.

Решение (1.3), представляющее дискретные модели каждой из подсистем (3.2), (3.3), имеет вид

' X! (tk ) Л X2 (tk ) X3 (tk ) V X4 (tk ) J

r 1 2 Л 1 —(4sinx -3t) 6(t -sinT) —(1 - cost) w w

0

4cost - 3 6w(1 - cost) 2sinT

2 1 0 — (1 - cost) 4 -3cost —sinT w со

V

0

-2 sinT

3wsinT

cost

' Xi(t ) Л x2 (t ) X (t )

x4 (t )

+

+

r-£(-1)" /ii(ti) -t(-1)' fi2(t2)

"=i "=i

-t (-1)" f2i«) -t (-1)" f22(t2)

"=i "=i

(-1)" f3i(t") (-1)" f32(t"2)

"=i "=i

-t (-1)" f4i (ti) -t (-1)" f42(t"2)

V "=i "=i

a

V y J

, (3.5)

' X (tk) >

V x6 (tk )

cost — sint ш

v-rasint cost j

Г x5(t)>

V x6 (t) j

+

(-1)" f1 (t3

ц=1

-t (-1)" f2i (t3)

V ц=

где т = - * 0 )» = «О* - )> ^ = «Ч - X

4

<=» ('к - <;), - е н"/, ( )=

2 _

Ю "=1

Е (-1)" (1 - ее. т" - 3 ( )2

(3.6)

-е (-

ц=1 4

- е (-

ц=1

4

- е (-

ц=1

4

- е (-

ц=1 4

-е (-

ц=1

4

-е (-

ц=1

4

-е (-

ц=1

4

-е (-

ц=1

4

- е (-

ц=1

м

)ц /12(<) = - — е(-!)ц(тЦ - ),

Ю „-1

Ц=1

м

)ц /21(^1) = -юЕ(-!)Ц(4*К - 3тЦ),

Ц=1

м

)ц /22(^ц2) = —е(-!)Ц(1 - со§т2ц), ю.. _1

ц=1

м

)ц/31 ('1) = - — е(-!)ц(81п< -Тц),

Ю ,. _1

ц=1 м

)ц /32('ц2) = - —е (-!)цс - С08тц),

Ю ц=1

2 м

)ц /41«) = —е(-!)ц(С0«тц - 1),

Ю ц=

1м

)ц /42 ('ц2) = -- е (-1)ц ^,

Ю ц=

1м

)ц /1! ('3) = - — е (-1)ц (1 - С08Т3ц),

Ю ц=1

1м

)ц /21 ('3)=--е (-1)ц ^.

Ю

ц=1

Как видно, выражения (3.5), (3.6) в соответствии с (2.1) представляют собой решение (2.2) для подсистем (3.2), (3.3). Для сокращения размерности вектора идентификационных параметров будем считать, что момент первого включения двигателей в каждом канале управления фиксирован и совпадает со временем начала сближения. Соответственно, момент последнего выключения двигателей в трех каналах также фиксирован и равен времени окончания сближения. В результате для каждой из подсистем выражение (2.2) в развернутом виде запишем следующим образом:

а) первая подсистема

4 ^+1)=$ «), 4 ^+1)=4 ^), $ «+1)=$ «), ^ ц+1)=¿22 ц);

б) вторая подсистема

% (* + 1) = % (*), ^ + 1) = (*). В таком случае дискретные модели (3.5), (3.6) будут иметь вид

Г x, (tk ) ^ Х2 (tk ) Х3 (tk ) V x4 (tk ) у

Г 1 2

1 —(4sinx - 3т) 6(x - sinx) — ю ю

0 4cosx - 3 6ю(1 - cosx) 2sinx 2

0--(1 - cosx) 4- 3cosx

ю

0 -2 sinx 3cosinx

2

(1 - cosx) Г x (t )

2 sinx x2 (t )

1 . x3 (t )

— sinx

ю V x4 (t )

cosx у

( 4 3 2 2 2 л

±(— (1 - cosT--x2)) ± (-£(-1Г fn(/' )) ±(—(T-sinT)) ± (-£(-1(#)

Ю 8 Ц=1 Ю l=1

±(-—(4sin T - 3t)) ± (-£(-0l f2i (t')) ±-(1 - cos T2 ) ± (-£(- f22 (tl))

±(4(sinT- T)) ± (-£(-1)1 f3i(tl)) ±(4(1 - cosT)) ± (-£(-)l f32(tl))

l=1

l=1

2

± —(cos T- 1) ± (-£ (-1)1 f4i (tl))

±isin T± (-£(-Ц (tl2))

Ю

l=1

Ю

l=1

av

\ y J

(3.7)

f X (tk ) Л x6 (tk)

V

1 .

cos T —sin T Ю

Л

V-Ю sin T cos T

+

f xs(t)^ V x6 (t) j

2

x (t)

±J_(1 - cost) ± (-£ (-1)1 fl (tl)) ю l=l

±-sin T± (-£ (-1)1 fi (tl))

l=1

(a). (3.8)

Знак в выражениях, входящих в (3.7), (3.8), определяется начальными условиями сближения.

Матрица А*р, входящая в уравнение невязок вида (2.8), будет равна

+

V

X

а) для первой подсистемы

А * -

А1 р~

(1 0 0 0 ¿11 ¿12 ¿13 ¿14

0 1 0 0 ¿21 ¿22 ¿23 ¿24

0 0 1 0 ¿31 ¿32 ¿33 ¿34

0 0 0 1 ¿41 ¿42 ¿43 ¿44

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

, 0 0 0 0 0 0 0 1

(3.9)

где обозначены

ъп -±4 ^ ю2

ъ -±4-^-ъ12 — Х4 2 ю2

Г з ^

4 ю2 & - 4 ) - ю 81п(ю0к - 4)) I

Г з Л

4 ю - 4) - ю 81п(ю(^к- 4))

а,,

Ъ13 - ±2^2(юео8(ю(Гк - ^ )) -ю), Ъ14 - ±2—^(юео8(ю(Гк —2)) -ю),

ю

Ъ21 - ±—(Зю -4юео8(ю(Ц - г/))), Ъ22 - ±—(Зю -4юео8(ю(Гк - ^))), ю ю

2 ау 2

Ъ23 - ±2 — ю81П(ю(^ - )), Ъ24 - ±2~ю81П(ю(^ - ^2 )), , т

ю ю (3.1и)

Ъ31- ±2-а2(юео8(ю(^ - 4)) - ю) Ъ32- ±2-а2(ю ео^(ю(^к- 4)) - ю)

ю а„

ю

ю

ау 2 ау 2

Ъ33 - ±"Тю81п(ю(Гк - ^ )), Ъ34 - ±^Т- ^2 )),

ю а ю

Ъ41 -± — ю 81л(ю(Гк - )), Ъ42 -± — ю 81л(ю(Гк - 4 )),

ю

а

ю

ау 2 ау 2

Ъ43 - ±—тюео8(ю(- ^ )), Ъ44 - ±—2юео8(ю(- Г2)); ю ю

б) для второй подсистемы

А * -

А2р -

1 0 ¿п ¿12

0 1 ¿21 ¿22

0 0 1 0

0 0 0 1

(3.И)

Здесь введены обозначения

ЬЦ = ±—2 ю 8т(ю(/к

ю

)), Ь\2 =± ю8т(ю(^ ю

а за з

Ь221 = ± — юео8(ю(/к - /3)), Ь222 = ± —юео8(ю(/к - ¿3)). ю ю

(3.12)

Знаки в выражениях (3.10), (3.12) определяются соответствующими знаками в соотношениях (3.7), (3.8).

Применим изложенный в разделе 2 (выражения (2.14) - (2.18)) подход к решению задачи идентификации моментов времени включения или выключения двигателей. Для этого определим число уровней декомпозиции. В нашем случае размерности подпространств состояний, описывающих вспомогательную систему (2.13), равны N = 8, N = 4, размерности векторов управления г\ = 4, г2 = 2, при этом число уровней декомпозиции для каждой из подсистем определяется функцией

3 = ееОД / г) -1 = 1,

т. е. равно двум (нулевой и первый уровни декомпозиции). В соответствии с (2.13) и на основании (3.9), (3.11) имеем

аТ =

Г 1 0 0 0 0 0 0 0 > Г1 0 0 01

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

¿11 ¿21 ¿31 ¿41 1 0 0 0 ст - 0 0 0 0

¿12 ¿22 ¿32 ¿42 0 1 0 0 0 0 0 0

¿13 ¿23 ¿33 ¿43 0 0 1 0 0 0 0 0

V Ь14 ¿24 ¿34 ¿44 0 0 0 1У V 0 0 0 0,

Г 1 0 0 01 (1 01

Ат -

А 2 "

0

К.1

V Ь.2

21

22

0 1 0

ст -

, с1 _

Согласно (2.14) нулевой уровень декомпозиции для рассматриваемых подсистем имеет вид А0 = А^, А^ = А^, В0 = С^, Б^ = С . Для нахождения первого уровня декомпозиции вычислим матрицы-аннуляторы

К ) =

V

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

±Т / ~\±-

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

±Т

. (В=

0 0 0 0

1 0

У

(В0 ) = (В0 Г. (В0 Г = (В2)

Далее в соответствии с (2.15) получим

А! =

О 0

0 0 0Л 1 0 0

V

0 0 0 0

1 0

в!

41

Л2

"13

V Ь14

У21

у22

23

у24

31

32

33

34

А2 =

V

42

43

Г1

V 0

0 1

в 2

11 V ¿12

21

у22 У

-'44 У

Чтобы воспользоваться выражениями (2.17), (2.18), определим 2-полуобратные матрицы

В0+ =

Г1 000000 0^

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

V

Т.2+ _

' во -

1 0 0 0^

V

0 10 0

У

12 12

и назначим матрицы ф1, ф1, ф0, ф0 для соответствующих подсистем в следующем простом виде

ф1

X

V

а

и 0 0 0

0

'12 0

0 0

X.

ф1

01 0

0

0

X,

02 0

13 0

0 0

0 0 0

X-

ф2

X 21 0 ]

0 X 2 X 22 У

X,

03 0

14 У 0 л 0 0

X04 У

ф2

0 ]

0 X 2 X 02 У

полагая, что все их элементы расположены внутри С^аЬ = С ^ <1. Тогда в соответствии с (2.17) получим

' (V - 1)/п ю -(Я12 -1)/12ю (Я13 -1)^13 т -(Хм -1)/м/яЛ

-(V -1)/21 /Л (Я,12 -1)/22 Ю -(^13 - 1)/2з /Л (Хм -1)/24 Ю (Хп -1)/31 /Л -(Х12 -1)/32 /Л (Х13 -1)/33 /Л -(Х14 -1)/34 /л

-(Хц - 1)/41 /Л (Л,12 - 1)/42 /Л -(^13 - 1)/43 /Л (Хм - 1)^ Ю

чг =

т2т _

ч -

¿22 ^ - 2 ¿2 (X 21 - 1)/Я 2

ь21 (X 22 - 1)/я-

¿11 (X 22 -1)/^

л

где

'11 = Ь22Ь33Ь44 ¿22 ¿34 ¿43 Ь23Ь32Ь44 + ¿23Ь34Ь42 + ¿24Ь32Ь43 - ¿24 ¿33 ¿42'

'12 = Ь21Ь33Ь44 - ¿21 ¿34¿43 - ¿23¿31Ь44 + ¿23Ь34Ь41 + ¿24Ь31Ь43 - -¿24¿зз¿4l,

/13 = Ь21Ь32Ь44 - ¿21 ¿34¿42 - ¿22¿31 ¿44 + ¿22Ь34Ь41 + ¿24 ¿3^42 - ¿24¿32¿41'

'14 = Ь21Ь32Ь43 - ¿21 ¿33¿42 - ¿22¿31¿43 + ¿22¿33¿41 + ¿23¿31¿42 - - ¿23¿32¿41,

'21 = Ъ12Ъ33Ъ44 - Ъ12Ъ34Ъ43 - Ъ13Ъ32Ъ44 + Ъ13Ъ34Ъ42 + Ъ14Ъ32Ъ43 - Ъ14Ъ33Ъ42,

'22 = Ъ11Ъ33Ъ44 - Ъ11Ъ34Ъ43 - Ъ13Ъ31Ъ44 + Ъ13Ъ34Ъ41 + Ъ14Ъ31Ъ43 - Ъ14Ъ33Ъ41,

'23 = Ь11Ь32Ь44 - ¿1^34 ¿42 - ¿12¿31 ¿44 + ¿12Ь34Ь41 + ¿14Ь31Ь42 - ¿14¿32¿41,

'24 = Ъ11Ъ32Ъ43 - Ъ11Ъ33Ъ42 - Ъ12Ъ31Ъ43 + Ъ12Ъ33Ъ41 + Ъ13Ъ31Ъ42 - Ъ13Ъ32Ъ41,

'31 = Ь12Ь23Ь44 - ¿12¿24¿43 - ¿13¿22¿44 + ¿13¿24¿42 + ¿14¿22¿43 - " ¿14 ¿23 ¿42,

'32 = ¿11 ¿23 ¿44 - ¿11 ¿24¿43 - ¿13¿21 ¿44 + ¿^¿41 + ¿14¿21¿43 - ¿14¿23¿41,

/33 = ¿11Ь22Ь44 — ¿11Ь24Ь42 — ¿12¿21 ¿44 + ¿12Ь24Ь41 + ¿14Ь21Ь42 - ¿14¿22¿41'

'34 = Ь11Ь22Ь43 - ¿11 ¿23¿42 - ¿12¿21 ¿43 + ¿12¿23¿41 + ¿^¿2^42 - ¿13 ¿22¿41,

'41 = Ъ12Ъ23Ъ34 - Ъ12Ъ24Ъ33 - Ъ13Ъ22Ъ34 + Ъ13Ъ24Ъ32 + Ъ14Ъ22Ъ33 - Ъ14Ъ23Ъ32,

'42 = Ъ11Ъ23Ъ34 - Ъ11Ъ24Ъ33 - Ъ13Ъ21Ъ34 + Ъ13Ъ24Ъ31 + Ъ14Ъ21Ъ33 - Ъ14Ъ23Ъ31,

'43 = ¿11Ь22Ь34 - ¿11¿24¿32 - М2А4 + ¿12¿24¿31 + М2А2 - ¿14 ¿22 ¿31,

'44 = Ъ11Ъ22Ъ33 - Ъ11Ъ23Ъ32 - Ъ12Ъ21Ъ33 + Ъ12Ъ23Ъ31 + Ъ13Ъ21Ъ32 - Ъ13Ъ22Ъ31,

п - ¿11Ь22Ь33Ь44 - ¿11 ¿22¿34¿43 - ¿11Ь23Ь32Ь44 + ¿11Ь23Ь34Ь42 + ¿11Ь24Ь32Ь43

- ¿11 Ь24 Ь33 Ь42 - ¿12¿21 ¿33¿44 + ¿^^¿43 + ¿12¿23¿31 ¿44 - ¿12¿23¿34¿41 -

- ¿12 ¿24 ¿31 ¿43 + ¿12¿24¿33¿41 + ¿13¿21¿32¿44 - ¿13¿21¿34¿42 - ¿13¿22¿31¿44 +

+ ¿13 ¿22¿34¿41 + ¿13¿24¿31 ¿42 - ¿13¿24¿32¿41 - ¿14¿21¿32¿43 + ¿^^¿42 +

+ Ь14Ь22Ь31Ь43 - Ь14Ь22Ь33Ь41 - ь14ь23ь31ь42 + ь14ь23ь32ь41,

п2 - ь2 ь2 - ь2 ь2 п - ь11ь22 ь12ь21-

Используя выражение (2.18), можно вычислить для каждой подсистемы транспонированную матрицу обратных связей наблюдателя. Учитывая ее громоздкость, выделим блок, касающийся оценивания моментов времени ^. В результате получим

1

— х

В

-(V -1)(А-11 - 1)/ц (V - 1)(^12 - 1) 112

-(V -1)0-13 -1)113

. (^01 - 1)(^14 - 1) 114

(^02 - 1)(^11 - 1) 121 -(^02 - 1)(^12 - 1) 122 (^02 - 1)(^13 - 1)123 -(^02 - 1)(^14 - 1) 124

-(^03 -1)(^11 -1)131

(^03 - 1)(^12 - 1) 132 -(^03 - 1)(^13 - 1)133 (^03 - 1)(^14 - 1) 134

(^04 - 1)(^11 - 1) 141 Л -(^04 - 1)(^12 - 1) 142 (^04 - 1)(^13 - 1)143 -(^04 - 1)(^14 - 1) 144 У

ы

Ъ

-(^ - 1)(Х221 - 1)б2г2 (Х02 -1)(^22 - 1)Ь (^ - 1)(^21 - 1)^ -(Х02 - 1)(^22 - 1)Ь1

Л

Наконец, в соответствии с (2.4) уравнение оценки моментов времени t il включения и выключения двигателей с той или иной полярностью запишутся следующим образом:

Р

V '2

{ V \

V 0(4х4)

(2x2)

V Х6 у

Рассмотрим численный пример сближения. Предположим, что

двигательная установка имеет параметры |ах| = |а^| = |а2| = 0,04 мс-2.

Начальное положение активного КА относительно пассивного характеризуется следующими значениями фазовых координат: х0 = 5000 м, у0 = = 4000 м, х0 = у0 = ¿о = -1,0 мс-1. Поставим задачу перевода активного КА из заданного положения в конечное хк = хк = ук = = ук = = ¿к = 0 за время ^ - ^ = 1055 с. Поскольку момент первого включения двигателей в каждом канале управления фиксирован и совпадает со временем начала сближения, определим полярность первого импульса для каждого канала. Для этого применим методику расчета двухимпульсного маневра [7]. В результате для заданных начальных условий сближения получим: в канале х первый импульс положительный, в каналах у, 7 — отрицательный. Соответственно для второго импульса поканально имеем: х — положительный, у —

х

отрицательный, 7 — положительный. В качестве начальных оценок

д /\1 ЛЛ д1 дЛ

t|[ примем значения ^ = ^ = I х = 0, t 2 = t 2 = t2 = 1055 с. В результате

исходная циклограмма включения двигателей будет иметь вид, представленный на рис. 1. На основании направлений импульсов уравнения оценки (2.8) для наших подсистем запишем так

( 1 2 ^

( X & ) ^ Х2 (Ч )

хз (к) Vх4(Ч) у

ю ю

0 4008 т-3 6ю(1 -008 т) 281п т

0--(1 - 008т) 4 - 3008т

ю

0 -281п т

Зю 81п т

(1 - 008 т) ' X (/ )4

28т т Х2 ( )

1 . Х3 ( )

— 81П т

ю V Х4 ( ) у

008 т у

_ (1 - 008 т--т2 ) - (-£ (-1)" /п (£ )) - — (т-81П т) + (-¿(-/и (#) ю 8 И=1 ю „=1

М

2

^(481п т-Зт)-(-£ (-1)^ /21 (^)) --(1-008 т) + (-¿(-/22 (#)

ю и ю и

2

ю

(81п т-т)-(-£ (-1)" /31 (4)) (1 -008 т)) + (-£(-Ц (/2))

Ц=1 ю Ц=1

и=1

-(008т-1)-(-£(-1)^ /41 (^))

ю

Х5(*кУ

х6 ак)

М

008 Т —81И т ю

У -ю 81И Т 008 Т у

X (( )

V Х6( )

+

— 81Пт + (-¿(-1)И /42ф) ю м

(1 - созт)+£ /х\ (/;)

ю Ц=1

1 2

--81и Т + £ /21 (^ )

V у у

Ц = 1

(а ).

При этом значения параметров, входящих в (3.10), (3.12), будут равны

ЪЦ =--ую$т(ю-^)), Ъ{2 =--2ювт(ю-¿2)),

ю

ю

а з а з

Ъ21 = —-ю еоБ(ю(^ - ^ )), Ъ22 = —-ю ео$(ю(¿к - ¿2)), ю ю

¿11 = -4а2(3ю2(ч - tí) - ю 81й(ю(Ч - 4))), ю2 4

а .3

¿12 = 4^2(-ю2 & - tí ) - ю 81й(ю^ - 4))), ю4

а V 2 ^ V 2

Ь13 = -у-(ю ео$(ю-^ ))-ю), Ь14 = -2^у-(ю ео8(ю(tк -¿2)) -ю),

ю

ю

+

Ь21 = -—(3ю - 4ю сов(ю(¿к - ^))), Ь22 = —(3ю - 4ю с°8(ю(^к - ¿1))), ю ю

Ь23 = -2 ~ ю вт(ю (*к - ^ Хь Ь24 =--- ю вт(ю (^к - ))'

ю ю

а а

Ь31 = (ю С08(ю(^к - 4)) - юX Ь32 = -2^Кю С0§(ю(Л - - ю)

ю ю

Ь33 ю 81п(ю(^к - ^))' Ь34 = "Гю вШ(ю(^к - 4%

ю ю

а 1 а >

Ь41 =--- ю 81й(ю (¿к - ^ )), Ь42 = — ю Бт(ю (¿к - )),

ю ю

Ь43 = -ю С°8(ю^к - ^)), Ь44 = -а--ю С08(ю^к - ^22))-

ю ю

Для получения максимальной скорости сходимости оценки мотов времени ^ значения всех корней Хи, Х12, Х13, Х14, X01, X02,

X03, X04, X0!, X02, X2X22 примем равными нулю. В этом случае, как показали результаты моделирования, все промахи сближения за четыре такта итераций (г = 4) практически сводятся к нулю. Графики значений оценок ^ и величин промаха х фазовых координат и скоростей на каждом такте представлены на рис. 2 и 3. Окончательная циклограмма работы двигателей, сформировавшаяся в результате решения терминальной задачи сближения КА, приведена на рис. 4, а соответствующие ей изменения компонент вектора состояния от времени сближения — на рис. 5.

200

400

600 t, c

800

1000 1200

S -

J4

0,00

t, c

0.04 ■

-0.04 ■

—I—

soo

t, c

Рис. 1

1000 1200

i

Рис. 3

3 -

0,04 -

0,02 -

0,00 -

0,04 -

0,02 -

200 400 600 800 1000 1200

г, с

-0,02 -

-0,04 ■

400 600 800 100

г, с

О 1200

0,02 -

а 'Ь

-0,02 -

-0,04 ■

Рис. 4

200 400 600 800 1000 1200

г, с

Рис. 5

Заключение. Для линейной стационарной MIMO-системы с релей-но-импульсными исполнительными органами разработан алгоритм, позволяющий применять методы модального управления к решению задачи поиска терминального управления. Показано, что в этом случае на основании аналитического решения уравнений объекта и представления исполнительных органов функциями времени необходимо построить дискретную модель оценки моментов времени задействования релейно-импульсных исполнительных органов и с помощью одного из методов модального управления решить классическую задачу синтеза наблюдателя. С использованием предложенного алгоритма в работе аналитически решена задача терминального управления сближением космических аппаратов с двигателями постоянной тяги, имеющими декартовую схему расположения. Преимущество данного решения относительно ранее полученного с применением алгоритма с прогнозирующей моделью и приведенного в [6] заключается:

1) в построении закона управления, обеспечивающего лучшую точность терминального управления с одновременной стабилизацией движения КА, поскольку проведенные в детерминированной постановке статистические испытания моделирования процесса сближения для одной и той же области начальных условий, приведенной в [6], с применением подхода, изложенного в настоящей статье, дали следующие результаты. Точностные характеристики в момент окончания процесса сближения по таким показателям, как средние значения компонент вектора состояния и среднее квадратическое отклонение по этим компонентам, практически равно нулю, поскольку по абсолютной величине они меньше 10-5. Соответственно для решения, представленного в [6], эти показатели находятся в пределах:

X (tk) = -0,01, x2 (tk) = -0,03, хз (tk) = 0,011,

х4 (tk) = 0,016, x5 (tk) = 0, x6 (tk) = -0,09,

a x! = 0,35, a x 2 = 0,11, a ^3 = 0,42, a x 4 = 0,12, a x 5 = 0,31, a x 6 = 0,02;

2) в отсутствии ограничений на начальные условия сближения.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Буков В.Н., Зубов Н.Е. Релейное управление на основе алгоритма с прогнозирующей моделью. АиТ, 1986, т. 27, с. 36-42.

[2] Зубов Н.Е. Управление объектами с релейно-импульсными и непрерывными органами на основе алгоритма с прогнозирующей моделью и его применение в динамике сближения КА. Космич. исслед., 1989, т. 27, вып. 2, с. 92-108.

[3] Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Модификация метода точного размещения полюсов и его применение в задачах управления движением космического аппарата. Изв. РАН. ТиСУ, 2013, № 2, с. 118-132.

[4] Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш. и др. Синтез развязывающих законов стабилизации орбитальной ориентации космического аппарата. Изв. РАН. ТиСУ, 2012, № 1, с. 92-108.

[5] Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н., Тима-ков С.Н. Применение метода точного размещения полюсов к решению задач наблюдения и идентификации. Изв. РАН. ТиСУ, 2013, № 1, с. 135-151.

[6] Зубов Н.Е. Синтез управления сближением КА по методу свободных траекторий на основе алгоритма с прогнозирующей моделью. Космич. ис-след., 1990, т. 27, вып. 4, с. 206-213.

[7] Гончаревский В.С. Радиоуправление сближением космических аппаратов. Москва, Сов. Радио, 1976.

Статья поступила в редакцию 28.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Олейник А.С., Рябченко В.Н. Синтез терминального релейно-импульсного управления сближением космических аппаратов. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 10. URL: http://engjournal.ru/ catalog/it/nav/1082.html

Зубов Николай Евгеньевич — д-р техн. наук, заместитель руководителя по науке научно-технического центра ОАО «РКК "Энергия" имени С.П. Королёва», профессор кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 70 работ в области проблем управления космических аппаратов. e-mail: [email protected]

Микрин Евгений Анатольевич — д-р техн. наук, академик РАН, первый заместитель генерального конструктора ОАО «РКК "Энергия" имени С.П. Королёва», заведующий кафедрой «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 100 работ в области проблем управления космических аппаратов.

Олейник Алексей Сергеевич — аспирант ОАО «РКК "Энергия" имени С.П. Королёва». Автор 2 работ в области проблем управления космических аппаратов.

Рябченко Владимир Николаевич — д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник ОАО «РКК "Энергия" имени С.П. Королёва». Автор более 200 работ в области проблем управления.