Об одном методе решения задачи синтеза законов управления угловым движением возвращаемого аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51

Об одном методе решения задачи синтеза законов управления угловым движением возвращаемого аппарата

© Н.Е. Зубов1,2, А.В. Лапин1, Е.А. Микрин1,2

1 ОАО «Ракетно-космическая корпорация "Энергия" имени С.П. Королёва», г. Королев Московской области, 141070, Россия 2 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Рассматривается применение модального управления при наличии детерминированных внешних возмущений к решению задачи управления угловым движением возвращаемого аппарата с посадочной твердотопливной двигательной установкой на участке приземления при описании кинематических уравнений в углах Эйлера — Крылова. Приведены примеры численного моделирования.

Ключевые слова: возвращаемый аппарат, внешнее возмущение, модальное управление, метод точного размещения полюсов, углы Эйлера — Крылова.

Введение. В настоящее время при посадке на Землю спускаемого аппарата (СА) с малым аэродинамическим качеством используют парашютные системы, которые обеспечивают требуемые условия приземления. Другим способом, позволяющим осуществить мягкое приземление многоразовых транспортных космических систем, является применение посадочной твердотопливной двигательной установки (ПТДУ). В данном случае управление угловым движением возвращаемого аппарата (ВА) существенно отличается от управления СА в атмосфере до момента раскрытия парашютов. В силу особенностей ПТДУ успех приземления во многом зависит от того, насколько быстро после включения двигателя угловое положение ВА относительно посадочной площадки окажется близким к вертикальному. Построение такой ориентации необходимо для того, чтобы наиболее эффективно проводить управление траекторией снижения и гашение вертикальной скорости. В этом случае алгоритмы управления угловым движением СА [1], используемые в настоящее время при спуске одноразовых кораблей, неприемлемы, поскольку они не обеспечивают минимального времени переходного процесса (ПП) при программном развороте СА в атмосфере. Применение оптимального по быстродействию управления в реальном масштабе времени при наличии верхнего ограничения на абсолютную величину угловой скорости ВА, по мнению авторов, невозможно, так как современные радиационно стойкие бортовые цифровые вычислительные машины (БЦВМ) вряд ли смогут его реализовать.

Основополагающим фактом при синтезе законов управления является то, что ПТДУ можно отнести к классу дросселируемых двигателей и создаваемый вращающий момент регулируется в широких пределах. Учитывая данную особенность ПТДУ, для решения указанной задачи будем использовать методы модального управления при наличии внешних возмущений с точным размещением полюсов [2], применив численный оптимизационный подход к поиску конкретных значений полюсов, обеспечивающих минимальное время ПП при наличии верхнего ограничения на абсолютную величину угловой скорости ВА. Следует отметить, что полученный минимум является условным, а не абсолютным.

1. Уравнения углового движения ВА. При описании углового движения ВА с ПТДУ на участке приземления используется несколько правых ортогональных систем координат.

Инерциальная система координат (ИСК) OИxИyИzИ имеет начало в заданной расчетной точке посадки. Ось Oиxи направлена по местной вертикали вверх. Ось Oиyи лежит в горизонтальной плоскости и направлена на север по касательной к меридиану в расчетной точке посадки.

Геометрическая система координат (ГСК) Oгxгyгzг ведет отсчет от полюсной точки лобового щита ВА. Ось Oгxг направлена вдоль продольной оси в сторону торцевого шпангоута. Ось Oгyг лежит в плоскости условной симметрии ВА, перпендикулярна оси Oгxг и направлена в сторону тангажного блока.

Связанная система координат (ССК) OсXcУcZc получена путем параллельного переноса ГСК в центр масс (ЦМ) ВА.

ВА рассматривается как абсолютно твердое тело, обладающее осевой симметрией относительно своей продольной оси Oгxг. Динамика углового движения такого тела описывается в ССК уравнениями Эйлера [3]

1со + ю X (1ю) = Ма + Му, (1.1)

где I — матрица тензора инерции ВА, ш — вектор угловой скорости, Ма — аэродинамический момент, Му — управляющий момент. Кинематика углового движения может быть описана уравнениями в углах Крылова [4]

0 = О (0) • ю , (1.2)

где 0 = [у, у, Э]т — обобщенный вектор углового положения, содержащий угол крена у, угол рысканья у и угол тангажа Э, а О(0) — матрица кинематических уравнений. Здесь и далее одна или несколько точек над символом переменной обозначают производную соответствующего порядка от данной функции по времени t. Конкретный

вид матрицы G(0) определяется последовательностью элементарных поворотов, задающих переход от ИСК к ССК.

В общем случае имеется шесть возможных последовательностей элементарных поворотов [4]. Углы первого и третьего поворотов изменяются в диапазоне от -180° до +180°. Угол второго поворота лежит в пределах от -90° до +90°. В данной работе принята последовательность поворотов «рысканье — тангаж — крен», т. е. матрица кинематических уравнений имеет вид

g (0) =

1,

sin О,

0

0, cos у cosО, sin y 0, - sin y cos0, cos y

(1.3)

Упрощенная бортовая модель аэродинамики ВА подразумевает, что аэродинамический момент можно рассчитать на основе принципов стационарной аэродинамики [5], т. е. в зависимости только от углового положения и заданной центровки (положения ЦМ) ВА. Предполагается, что для любого угла атаки а известны не зависящие от угла собственного вращения ф значения коэффициентов нормальной и тангенциальной составляющих аэродинамической силы Сп и Ст, а также коэффициента аэродинамического момента тп относительно условного положения ЦМ ВА в ГСК (радиус-вектор г0). Зная реальное положение ЦМ ВА в ГСК (радиус-вектор г), можно определить вектор аэродинамического момента в проекциях на оси ССК по формулам

pVf Ма SL ■ а 2

Cn ■ (Ary sin ф + Arz cos ф) - mn sin ф +Arz CT

-mn cos ф- Aryc CT

(1.4)

где р — плотность атмосферы, Vf — модуль вектора скорости набегающего потока, S и L — характерные значения площади миделева сечения и длины ВА, mn = mn + Аrx Cn — приведенный коэффициент аэродинамического момента, Аrx , Аry и Аrz — соответствующие проекции

вектора относительной центровки Ar = (r0 - r)/L на оси ССК.

Зависимость плотности атмосферы р от абсолютной высоты Habs над уровнем моря, согласно [6], описывается формулой

' (Habs ) = Р0 • exP (klHabs + k2) >

(1.5)

где ро = 1,228 кг/м3 — стандартная плотность атмосферы на уровне моря, ki = -0,090764 км-1 и k2 = -0,0020452 км-2 — параметры модели атмосферы.

В рассматриваемой задаче зназчение Habs представляет собой сумму высоты посадочного полигона H0 = 0,3 км над уровнем моря и текущей высоты H < 2,5 км ЦМ ВА над поверхностью посадочного полигона. В этом случае зависимость (1.5) можно приближенно заменить линейной зависимостью

р (H) = kH + b (1.6)

—1 3 3

с параметрами k = -0,104 кг-км /ми b = 1,195 кг/м (рис. 1).

Рис. 1. Зависимость плотности атмосферы от высоты над поверхностью Земли

Значения аэродинамических углов ае[0°; 180°] и фе(-180°; 180°] однозначно определяются составляющими Уух, Ууу и У у 2 вектора

скорости набегающего потока У/ в ССК согласно формулам

V,

/ х

008 а =--, 81П ф = V. 2 с, 008 ф = — V.

V

/ 2 С'

/ Ус •

(1.7)

/

2. Линеаризация уравнений углового движения ВА. Перепишем систему из динамических уравнений (1.1) и кинематических уравнений (1.2) в виде обобщенного векторно-матричного дифференциального уравнения

"0"

со

о (0) • ю i-1 • м (0,ю)

"0зх3"

+ _ i-1 _

м,

(2.1)

для краткости обозначив символом М(0, ш) = Ма(0) + Мг(ш) суммарный момент нереактивных сил, действующих на ВА, символом Мг(ш) = (1ш)хш — гироскопический момент, а 0пхт — нулевую матрицу размером пхт.

Объект (2.1) представляет собой нелинейную нестационарную систему автоматического регулирования (САР) с шестимерным вектором состояния хт = [0Т, шт] и трехмерным вектором управления и = Му. Для синтеза алгоритма управления предлагается на каждом вычислительном такте БЦВМ в рамках одного такта считать данную САР линейной и стационарной в соответствии с нижеследующими допущениями.

Положим, что в пределах одного такта длительностью Н параметры движения ЦМ (радиус-вектор Я. и вектор линейной скорости V в ИСК), а также параметры I и г, характеризующие распределение масс ВА, условно постоянны и соответствуют значениям, зафиксированным в начале текущего такта. Условимся значения соответствующих переменных величин в начале такта обозначать верхней чертой.

Пусть задана (получена по результатам измерений) величина вектора состояния в начале такта — хт = [0т, ют ]. Осуществим линеаризацию системы (2.1) на такте вблизи положения х, приняв для матричных функций О(0) и М(0, ш) соответственно нулевое и первое приближения по Тейлору:

О (0 ) = О (0),

М (0,ю) = М (0,ю) + М^ (0,ю) • (0 - 0) + м; (0,ю) • (ю - ю).

(2.2)

Здесь М^ (0,ю) и М^ (0,ю) — значения матриц Якоби, содержащих частные производные от функции М(0, ш) соответственно по аргументам 0 и ш, в точке с координатами (0,ш).

Подставив выражения (2.2) в (2.1), получим уравнение линейной стационарной САР, приближенно заменяющее систему (2.1) в рамках одного вычислительного такта:

x = Ax + Bu + N£, ,

(2.3)

где А — матрица состояния размерности бхб, В — матрица управления размерности 6х3, Е, — трехмерный вектор постоянных детерминированных возмущений, N — матрица возмущений размерности 6х3. Параметры линеаризованной модели (2.3) для текущего такта определяются следующим образом:

A =

0зхз, G (0)

J-1 • m'9 (0,©), J-1 • m; (0,©) % = M (0,©) - M(0,©) • 0 - m; (0,©) • ©.

B = N =

3 X 3 ¡"-1

(2.4)

К системе (2.3) можно применить теорию модального управления при наличии постоянных детерминированных внешних возмущений.

3. Модальное управление при постоянных детерминированных внешних возмущениях. Пусть объект, описываемый уравнением (2.3), на каждом такте подвержен детерминированному внешнему возмущению ^(t) = const, и задан трехмерный вектор регулируемых переменных

У = Cx, (3.1)

где C — заданная матрица регулируемых параметров размером 3x6, такая что

rank

A, B

C, O3X3

= 9.

(3.2)

Требуется найти управление u, при котором установившаяся ошибка по регулируемому вектору удовлетворяла бы условию

y = lim y (t) = 0, а корни характеристического уравнения замкну-

у t

той САР (ЗСАР) располагались бы заданным образом в плоскости корней.

Для решения задачи введем новые переменные Ax = x - хуст и Au = u - иуст, где хуст и иуст — установившиеся ошибки по векторам состояния и управления соответственно. Поскольку хуст = 0, из уравнения (2.3) следует, что Ахуст + Виуст = а поскольку ууст = 0, то, согласно тождеству (3.1), Схуст = 0. Таким образом, можно записать выражение для объединенного вектора установившихся ошибок:

x уст " A, B " -1 " N "

иуст Ö3x 3 _ _03x3_

В новых переменных уравнение (2.3) приобретает вид

Ax = AAx + BAu.

(3.3)

(3.4)

Предположим, что некоторым образом найдено управление Ац = -КАх с матрицей регулятора по состоянию К размерности 3x6, обеспечивающее требуемое расположение корней ЗСАР. Тогда, согласно определению переменных Ах и Ац, очевидно, что ц = = -Кх + (Кхуст + цуст), т. е., возвращаясь к прежним переменным, с учетом (3.4) можно получить искомое управление

u = -Kx - [К, E3 ]

" A, B " -1 " N "

с, 0зх 3 _ _03х3_

(3.5)

Символом En обозначена единичная матрица порядка п. Отметим, что управление может быть вычислено по формуле (3.5) тогда и только тогда, когда выполняется соотношение (3.2).

Применительно к рассматриваемой задаче об угловом движении ВА матрицы A, B и N, а также вектор Е, в формуле (3.5) определяются согласно (2.4), а матрица регулируемых параметров имеет вид C = [E3, 03хз]. Подставив указанные значения параметров в формулу (3.5) и проведя соответствующие расчеты в пакете символьных вычислений Symbolic Math Toolbox (среда MATLAB) [7], окончательно получим тождество

u = -§ - Kx. (3.6)

Матрицу K, входящую в запись выражения (3.6), определим методом точного размещения полюсов согласно алгоритму, изложенному в [2].

4. Алгоритм точного размещения полюсов. Пусть задана линейная многомерная САР (3.4) с параметрами (2.4), вектором состояния Ax е R6 и вектором управления Au е R3, где М — множество действительных чисел. Из (2.4) видно, что ранг матрицы управления

B е]

об х3

равен числу ее столбцов (входные сигналы линейно незави-

симы). Матрица состояния А е К6х6 заведомо неустойчива, поскольку среди ее шести (I = 1...6) собственных значений в спектре

eig(А) = {а,г- е К: det (АгЕ6 - а) = о} обязательно найдутся такие значения X ■ из множества комплексных чисел С, что Яе А ■ > 0.

С помощью вышеназванного пакета символьных вычислений установлено, что гапк[В, АВ, ..., F5B] = 6, т. е. САР (3.4) с параметрами (2.4) полностью управляема согласно критерию Калмана.

Требуется найти закон управления Дц = -КДх, характеризуемый матрицей регулятора по состоянию К е К3х6, такой, чтобы все шесть элементов X, спектра ЗСАР eig (А - ВК) =

= е С : ёй (Е6 - А + ВК) = 0} лежали в открытой левой полуплоскости на комплексной плоскости С, т. е. для любого I выполнялось неравенство ReA,г < 0.

Для решения поставленной задачи воспользуемся следующими матрицами: В1 — левый полуортогональный делитель нуля, В+ — псевдообратная матрица Мура — Пенроуза [8], для которых, соответственно, выполняются соотношения

В В = 03х3 , В В±Т = Е3,

вв+в = в, в+вв+ = в +, (в+в)Т = в+в, (вв+ )Т = ВВ+.

Введем в рассмотрение двухуровневую декомпозицию системы (3.4) по схеме, изложенной в [2], учитывая, что ранг каждой их вводимых матриц В0 и В1 совпадает с соответствующим числом столбцов:

нулевой уровень

А о = А, В 0 = В,

первый уровень

А1 = Вц А 0В о т, В1 = Вц А 0В0. Тогда требуемое управление, согласно [2], определится выражением К = К0 = (в+ + КX) ■ А0 - Ф0 ■ (в+ + КX), (4.7)

где К1 = В+А1 - ФХВ+, а матрицы Ф0 и Ф1 удовлетворяют тождеству

eig(А - ВК) = eig(Ф0)и eig(Ф1), т. е. собственные значения матриц

Ф0 и Ф1 являются корнями характеристического полинома ЗСАР ёе-(ХЕб - А + ВК).

Назначим три пары действительных (в том числе равных) либо комплексно-сопряженных чисел (Хуо, Ху1), Ху1), (Х9о, Х91), образующих желаемый спектр ЗСАР, а матрицы Ф0 и Ф1 зададим такими, что eig(Фo) = (Хуо, Х^о, Х9о} и е1§(Ф1) = (V, А,^}. На основании выражения (4.1) в MATLAB можно рассчитать матрицу регулятора по состоянию

K

M's (©,ю) + QJ ■ G-1 (©), M'а (©,ю) + PJ], ((4.8)

где Q = Ф 0Ф1, P = - (Ф0 + ).

Подставив в формулу (3.6) значение K из (4.2), а также значение 4 из (2.4), и считая, что к началу каждого такта измерители могут обеспечивать БЦВМ информацией о векторе состояния, запишем выражение для искомого вектора управления в любой дискретный момент времени (с шагом h):

u = -M - (QJ • G-1 (©) • 0 + PJra). (4.9)

Равенство (4.3) с учетом (1.2) может быть преобразовано к виду u = -M - (PJ • G-1 (0) • 0 + QJ • G-1 (0) • ©). (4.10)

Если принять матрицы Ф0 и Ф1 диагональными и положить, что в желаемом спектре ЗСАР имеются кратные корни Ху0 = = = /0 и Ayi = = А91 = /1, а числа /0 и /1 являются действительными или комплексно-сопряженными, то можно упростить формулу (4.4), а именно записать

u = -M - J • G(0)• (p0 + q©), (4.11)

где p = -(/0 + /1) и q = /0/1 — параметры управления (действительные числа).

Подставив (4.5) в (2.3) и условно продолжая считать, что на такте G (0) = G (0) = const, получим векторное уравнение управляемого движения ВА

0 + p® + q© = 0 . (4.12)

Данное линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами описывает три подобных друг другу раздельных движения — по каналам крена, рысканья и тангажа. Таким образом, синтезирован развязывающий закон управления (4.5) по трем каналам углового движения.

5. Оптимизация параметров управления по времени переходного процесса. Для асимптотической устойчивости процесса, описываемого ЛОДУ (4.6) и соответствующим характеристическим полиномом / + p/ +q, необходимо и достаточно, чтобы корни /0 и /1 располагались в левой полуплоскости на комплексной плоскости. Это условие, согласно критерию Гурвица, эквивалентно тому, что параметры управления p и q должны быть строго положительными действительными числами.

Далее будем рассматривать только тот канал управления (обозначим его 0), которому соответствует наибольшее по модулю начальное значение угла 60 = max у J, 0|, |0 01).

Поставим задачу для любых начальных значений угла 0ое(0°; 180°] и угловой скорости 00 е[-15°/с; +15°/с] определить

такие значения параметров управления p = popi и q = qopt, чтобы обеспечить минимальную возможную длительность переходного процесса (ПП) ТПп = Тпп opt при условии 0max < 0lim + 5 , где 0max = max |0(t)|.

Предельная угловая скорость 0lim определяется порогом чувствительности бортовых измерительных приборов, а также возможностями человеческого организма. При этом допустимое превышение скорости 0 lim может быть не более 8 = 2...3 °/с. Примем 0 lim = 20 °/с, а критерием окончания ПП будем считать одновременное выполнение неравенств |0(t)| < 0,057° и |0(t)| < 0,057 °/с для любого t> Тпп.

Математическое моделирование процесса (4.6) в среде программирования Delphi показало, что область допустимых значений (ОДЗ) параметров p и q, при которых выполняется условие 0max < 0lim,

ограничена тремя линиями: p = 0, q = 0 и q = qlim(p). При этом функция qiim(p) на всем диапазоне изменения аргумента p > 0 определяется однозначно и близка к линейной функции. На рис. 2 показано, как строится ОДЗ параметров p и q на примере начальных условий 0о = 60° и 0 0 = 0 (при построении использовался графический редактор среды MATLAB).

0

Рис. 2. ОДЗ параметров управления при б0 = 60° и 0О = 0

Зная ОДЗ параметров управления и построив поверхность Тпп(р, д), можно определить значения р = рорХ и д = д0рЬ при которых достигается минимальное время ПП Тпп = Тпп 0pt. В качестве примера это было проделано для рассмотренных ранее начальных условий 00 = 60° и 0 0 = 0. Результаты приведены на рис. 3.

Рис. 3. Зависимость времени ПП от параметров управления при б0 = 60°

и 60 = 0

По итогам проведенных исследований для различных значений 0О и 0 0 было установлено, что оптимальные значения параметров управления лежат на границе ОДЗ, а именно на кривой д = дцт(р). Функциональные зависимости Тпп(р, днт(р)) имеют единственный экстремум — минимум, соответствующий относительно небольшим значениям аргумента р (рис. 4). Это позволяет при отыскании точки минимума р0рХ ограничить ОДЗ параметра р значением р^ = 10.

: - 40 град |90 =| ----- 60 град

...... ...... ....... .......

0 12 3

5 6 1 0

- 4 0 град ]----- 60 град .......... 80 град

/„''г

01234567 0

Рис. 4. Зависимости ТПП(р, Цш(р)) при 0О = 0 и различных значениях б0

Графические зависимости, аналогичные приведенным на рис. 4, были построены для всех начальных значений угла бое[20°; 180°] (с шагом 10°) и угловой скорости 00 е[-15 ° /с; +15 ° /с] (с шагом 15 °/c). В результате определены значения popt и qopt с точностью до 0,01 и получены функции ^opt(6o), qopt(6o) и ТПп Opt(6o) для каждого из трех значений 90 (рис. 5 и 6). Анализируя графики, представленные на рис. 5, нетрудно видеть, что при одной и той же величине б0 оптимальные значения ^opt и qopt для различных величин 0 0 практически не отличаются друг от друга. Это позволяет считать, что Popt (©0>©0) « Popt (©0,0) и qopt (е0>в0) « qopt (во,0) . Таким обPазом, Popt и qopt являются функциями только одного аргумента б0: popt = ^opt(60) и qopt = qopt(60). На практике принятое приближение может привести лишь к тому, что наибольшее абсолютное значение угловой скорости в течение ПП несущественно (в пределах допустимого запаса) превзойдет величину 0 lim.

Popt (®0> во) Popt (00. во)

4

3 2 1

4

3 2 1

0 40 80 120 0О, град 0 40 80 120 Э0, град Рис. 5. Оптимальные значения р и ц при различных начальных условиях

При малых начальных значениях угла 0о < 20° величины рор; и qopx согласно изложенной методике определить затруднительно, поскольку в этих случаях отсутствует четко выраженный минимум у функции ТПП(р, фт(р)), вид которой показан на рис. 4. Но при таких начальных значениях угла время ПП (рис. 6) невелико: Тпп < 3 с. Поэтому важность получения точного минимума по времени ПП значительно снижается.

Далее будем аппроксимировать зависимости рр;(0о) и дорг(0о) степенными полиномами по критерию наименьших квадратов. Прове-

денные исследования (рис. 7) показали, что наименьшая степень полинома, который с приемлемой точностью аппроксимирует зависимость р^(0о), равна шести. При этом зависимость дО]Р;(0о) следует аппроксимировать полиномом более высокой (седьмой) степени, поскольку важно отразить малые изменения параметра qopx при значениях аргумента 0о > 90° (это сильно сказывается на результирующей величине Тпп). Полученные полиномы могут экстраполировать соответствующие зависимости на всю область определения 0ое(О°; 180°].

Tim opt (0о. ©о)

24 18 12 6

/// /// /.■V

///

/.•У

- ///

/у А*

/у >

/у

f .--И5 град/с

0О =--- 0 град/с

........-15 град/с

0 40 80 120 0О, град

Рис. 6. Оптимальные значения ТПП при различных начальных условиях

Popt (0q)

Эталон

Полином 3-й степени Полином 4-й степени Полином 5-й степени Полином 6-й степени

Popt @о)

16 п\ ш

14 ni "ill

12

10 \|

8

6 - **'Д

4 V-

2

0 -

Эталон

Полином 3-й степени Полином 4-й степени Полином 5-й степени Полином 6-й степени Полином 7-й степени

120 60, rpatf

80

120 0О, rpatf

Рис. 7. Аппроксимация зависимостей ^ор4(б0) и цор4(б0) различными

полиномами

Таким образом, степенные функции, по которым оптимальные параметры управления р = рорХ и д = ^ могут быть рассчитаны на борту, имеют вид

opt

(е.)

" 0,1717" T "е._

-2,0498 е5

9,9069 е.

-24,8888 е3

34,7234 е2

-26,6188 е.

_ 10,3685_ 1

opt

(е.)

"е." T " -0,5069"

еб 6,8596

е. -38,5408

е. 116,3190

е. -203,5912

е2 207,4218

е. -115,5310

1 _ 28,3869_

. (5.1)

6. Пример численного моделирования. Рассматривается математическая модель ВА, характеризуемая следующими параметрами: геометрические размеры Ь = 2,5 м и £ = 4 м2, координаты ЦМ в ГСК гх = 2 м, гу = -0,25 м и г2 = 0, осевые моменты инерции в ССК Л = 1400 кг-м2, Jy = 1600 кг-м2 и = 1800 кг-м2. Номинальные аэродинамические характеристики ВА представлены на рис. 8.

Рис. 8. Номинальные аэродинамические характеристики ВА

В среде Delphi было смоделировано детерминированное угловое движение ВА, описываемое уравнениями (1.1) и (1.2) с использованием матрицы G вида (1.3). Рассматривался спуск ВА c высоты 2500 м над посадочной площадкой при отсутствии управления движением ЦМ. Вертикальная составляющая скорости (в ИСК) в начальный момент времени была принята равной -100 м/с. Полагалось, что номинальная модель аэродинамики соответствует реальным аэродинамическим воздействиям, а ветром можно пренебречь. Использовался закон управления (4.5) с параметрами (5.1), причем наличие в (4.5) детерминированного возмущения обусловлено особенностями линеаризации и не учитывает других внешний воздей-

ствий. Длительность вычислительного такта, совпадающего с тактом измерений, составляет 0,05 с.

в (0,град

80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10

6(0,град

Л щ ■ц --1-15 град/с 0О =--- 0 град/с ........ -15 град/с

- ill - ;.А \\\ - 'Л \\\ - w\

- ЧЛ

0

10

15 20

25 U с

--Hi 5 град/с

90 =--- 0 град/с

........ -15 град/с

15 20

25 t, с

Рис. 9. Переходные процессы при развороте из начального угла б0 = 80°

0(0,град

6(0,град

—1-15 град/с — 0 град/с -15 град/с

.--1-15 град/с

0О =--- 0 град/с

........ -15 град/с

t, с

Рис. 10. Переходные процессы при развороте из начального угла б0 = 170°

В результате для различных начальных условий, исключающих проявление эффекта «складывания рамок» [4], были получены ПП и оценено время приведения ориентации к заданному вертикальному положению (рис. 9, 10). Известно, что среднее время работы ПТДУ должно составлять порядка 25...40 с. Математическое моделирование показало, что максимальная длительность разворота по тангажу (начальный угол близок к 90°) не превышает 11.12 с (рис. 9), а по рысканью и крену (начальный угол близок к 180°) — 23.24 с (рис. 10). В реальных условиях начальные значения углов, как правило, существенно меньше предельно допустимых значений, следова-

тельно, и время ПП окажется меньше полученной максимальной длительности разворотов. Таким образом, синтезированный закон управления (4.5) с параметрами (5.1) позволяет к моменту касания посадочными опорами ВА поверхности Земли обеспечить строго вертикальное угловое положение ВА при любых допустимых начальных значениях углов и угловых скоростей.

Заключение. В работе с применением методов точного размещения полюсов и модального управления при наличии детерминированных внешних возмущений решена задача минимизации времени переходного процесса при управлении угловым движением возвращаемого аппарата с посадочной твердотопливной двигательной установкой на этапе приземления. Предложен способ поиска значений полюсов, обеспечивающих минимальное время переходного процесса при наличии верхнего ограничения на абсолютную величину угловой скорости аппарата. Получены приближенные эмпирические выражения, позволяющие для всех возможных начальных условий по углу и угловой скорости определять необходимые значения корней. В детерминированной постановке рассмотрен пример численного моделирования, который показал, что предлагаемый закон управления при любых начальных значениях угла и угловой скорости из допустимого диапазона позволяет за время работы двигательной установки привести возвращаемый аппарат в вертикальное угловое положение и обеспечить безопасное касание аппаратом поверхности посадочного полигона.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Евдокимов С.Н., Климанов С.И., Комарова Л.И., Микрин Е.А. Управление угловым движением спускаемого аппарата типа «Союз» при возвращении с орбиты спутника Земли. Изв. РАН. ТиСУ, 2011, № 5, с. 134-143.

[2] Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Синтез развязывающих законов стабилизации орбитальной ориентации космического аппарата. Изв. РАН. ТиСУ, 2012, № 1, с. 92-108.

[3] Микрин Е.А., ред. Теоретические основы проектирования информационно-управляющих систем космических аппаратов. Москва, Наука, 2006, 579 с.

[4] Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. Москва, Наука, 1974, 600 с.

[5] Липницкий Ю.М., Красильников А.В., Покровский А.Н., Шманенков В.Н. Нестационарная аэродинамика баллистического полета. Москва, ФИЗ-МАТЛИТ, 2003, 176 с.

[6] ГОСТ Р25645.166-2004. Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистического обеспечения полетов искусственных спутников Земли. Москва, ИПК Изд-во стандартов, 2004.

[7] Мартынов Н.Н. Введение в MATLAB 6. Москва, Кудиц-образ, 2002.

[8] Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Алгебраические и матричные методы в теории линейных М1МО-систем. Вестник ИГЭУ, 2005, № 5, с. 196-240.

Статья поступила в редакцию 28.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Зубов Н.Е., Лапин А.В., Микрин Е.А. Об одном методе решения задачи синтеза законов управления угловым движением возвращаемого аппарата. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 10. URL: http://engjournal.ru/catalog/it/nav/1073.html

Микрин Евгений Анатольевич — д-р техн. наук, академик РАН, первый заместитель генерального конструктора ОАО «РКК "Энергия" имени С.П. Королёва», , заведующий кафедрой «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 100 работ в области проблем управления космическими аппаратами.

Зубов Николай Евгеньевич — д-р техн. наук, заместитель руководителя по науке научно-технического центра ОАО «РКК "Энергия" имени С.П. Королёва», профессор кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 70 работ в области проблем управления космическими аппаратами. e-mail: [email protected]

Лапин Алексей Владимирович — аспирант ОАО «РКК "Энергия" имени С.П. Королёва». Автор 3 работ в области проблем управления космическими аппаратами.