Алгоритм оценки угловой скорости космического аппарата по иформации о кватернионе ориентации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 12. С. 247-263.

Б01: 10.7463/1216.0852496

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

05.11.2016 19.11.2016

УДК 629

Алгоритм оценки угловой скорости космического аппарата по иформации о кватернионе ориентации

Ли М. В.1' 1еетагаТ:@ amail.com

Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва, Королев, Россия

Получено решение задачи оценки вектора угловой скорости космического аппарата в инерциальной системе координат при отказе нерезервированного датчика угловой скорости. Предполагается наличие дополнительных источников информации об угловом положении КА, таких как звездные датчики. В основу алгоритма оценки положен метод декомпозиции приближенного решения кватернионных кинематических уравнений. С помощью теории идентификации и метода точного размещения полюсов были получены явные соотношения, позволяющие оценить угловые скорости космического аппарата на шаге работы бортовой вычислительной машины. Скорость сходимости алгоритма обеспечивается выбором собственных значений полученной системы. Приведены результаты моделирования, подтверждающие работоспособность алгоритма.

Ключевые слова: оценка значений угловой скорости, модальное управление, многоуровневая декомпозиция, точность оценки

Введение

Выполнение целевой функции космического аппарата подразумевает обеспечение необходимой ориентации связанных осей в пространстве и их стабилизацию [1]. В настоящее время одним из основных источников информации для системы управления ориентацией и стабилизации (СУОС) являются блоки измерителей угловых скоростей (БИ-УС). Одними из ключевых характеристик подобного рода приборов являются надежность и избыточность информации. Под избыточностью информации подразумевается дублирование чувствительных элементов или линейно зависимое расположение некоторых из них. Таким образом, при единичных отказах выполнение того или иного режима ориентации КА не будет поставлено под угрозу. Тем не менее, существует необходимость в повышении надежности СУОС. Одним из путей повышения надежности является разработка резервных алгоритмов управления для случаев отказа чувствительных приборов. При этом

необходимо использовать методы теории оценок для получения недостающих компонент вектора угловой скорости или всего вектора полностью.

Решению задачи оценки угловой скорости КА по результатам измерений датчика местной вертикали посвящена, например, работа [2]. Возможность управления по вычисляемому значению угловой скорости через закон сохранения кинетического момента рассматривается в работе [3]. А в работе [4] рассматриваются вопросы построения систем управления без использования датчиков угловой скорости за счет применения внутренней обратной связи. В целом существует множество работ посвященных решению задач оценки отдельных параметров вектора состояния, в том числе и идентификации элементов модели объекта управления методами задач оценки [5, 6], что говорит о существенной научной и практической значимости исследуемой проблематики.

Данная работа посвящена решению задачи оценки вектора угловой скорости КА в инерциальной системе координат при отсутствии информации от датчиков угловой скорости. Предполагается использование данных об ориентации от звездных датчиков на предыдущем и текущем периодах получения информации, в данном случае на каждом вычислительном такте бортовой цифровой вычислительной машины.

1. Оценка вектора угловой скорости КА по показаниям звездного датчика

Для описания кинематики вращательного движения будем использовать уравнения в кватернионах:

0 г+1

1г+1

2 г+1

Зг +1

где шх, шу, ш2 - компоненты угловой скорости КА относительно инерциального пространства; А0, ^з - компоненты кватерниона.

Приближенное решение системы (1) при постоянных значениях угловых скоростей согласно [7] имеет следующий вид:

1 - °.125й2 (®2 + ®2 + ®2 )] ^0г - 05Ь (^Юх + X2гЮу + XзгЮг )

1 - 0.125^2 (®2 + Ю2 + ®2)]Хь. + 0.5И(XоЮх + X2®г - Xз®у) 1 - 0.125^2(ю2 + Ю2 + Ю2) X,. + 0.5Н(^Ю - X,® + X® )

\ х у 2 1 2г \0 у 1 2 3 х /

1 - 0.125Л2(Ю2 + Ю2 + Ю2) X + 0.5Н(X® + X® - X,® )

\Х У 2 1 зг \0 2 1 у 2 х/

Или в матричной форме:

^0/

- А К

_ ^3/+1 ] К

где

А =

Ь

л

0.5^ю

у

0.5^ю_

0.5^юх Ь

Ь

-0.5^ю

-0.5^ю

У

0.5^юх Ь

1 - 0.125^2 (®2 + + ®2)]

^0/ А/ А/А/

- компоненты кватерниона /-ом шаге вычислений, а

т, ч, ч, ч,

- на (/+ 1)-ом шаге, к - шаг вычислений.

Воспользуемся алгоритмом точного размещения полюсов для решения задачи наблюдения и идентификации [8] аналогично тому, как это описано в работе [10].

Построим с использованием подхода предложенного в [9] из (2) условную систему с расширенным вектором состояния:

Ь

-0.5^юх 0

^ 0/+1

^ 1+1

^ 2/+1

—

® »+1

® у/ +1

_ «+1 _

Ь

0.5^ю

у

0.5^Ю2 0 0 0

0.5^юх Ь

-0.5^Ю2 0.5^юх 0 0 0

0 0

0.5^юх Ь 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 3г

1 0 0 ® »

0 1 0 ® У

0 0 1

(3)

В соответствии с алгоритмом построения наблюдателя полного ранга получим дис кретную модель уравнения невязок для (3):

(4)

где

А ? =

14х4 д¥ (г,гк)

д(

03х4 13х3

Ьр - [14Х4 04х3 ]

X.

Х2 Л3 о^ со^]1

(г ,сС г) = 9ю

"¿11 Ь12 Ь1з'

Ь21 Ь22 Ь23

Ь31 Ь32 Ь33

Ь41 Ь42 Ь43

Ьп = -1 (^^ 0юх^2)-1 ^^ Л ь12 = -1 (^^ 0ю у^2)-1X 2^;

Ь13 = -1 (X 0Ю^ )- 1X 3Ь Ь21 = -1 (^^ 1Юх^ ) + 1 ^^ 0Ь ь22 = -1 (^^ 1ю у^2)-1X 3^; ь23 = -1 (^^ 1Ю2^2)+1 ^^ 2^; Ь31 =-1 (X 2ЮхЬ ) + 1 ^^ 3Ь Ь32 =-1 (X 2Юук2 ) + 1X 0Ь ь33 = -1 (X 2^2)-1XЛ Ь41 = -1 (X 3юх^2)-1X 2^; Ь42 =-1 (X 2ЮуЬ2 ) + 1X 1И'; Ь43 =-1 (^^ 3Ю2^ ) + 1X 0И';

При выполнении условия полной наблюдаемости Калмана, выбором матрицы коэффициентов Ьр при известных матрицах Ар и Ср всегда можно обеспечить любое заданное

П

корней

размещение внутри круга единичного радиуса на комплексной плоскости характеристического полинома (полюсов) [8].

В этом случае можно рассмотреть вспомогательную дискретную МГМО-систему следующего вида [11]:

у(г +1) = Лу(г) + Бл(г), л(г) = -Ь>(г), (5)

где V - вектор, имеющий размерность расширенного вектора Хр; П - вектор входа (управления);

Л = (л°)т Б = С

Поиск матрицы Ьр в (5), обеспечивающей заданное размещение полюсов (собственных значений) относится к классической задаче модального управления. Для решения этой задачи воспользуемся методом точного размещения полюсов.

Проведем многоуровневую декомпозицию системы (5). Число уровней декомпозиции будет:

J = сеД

Г N1

V г )

-1 = сеД

V 4 у

-1 = 2 -1 = 1

где N - размерность вектора состояния, г - число наблюдаемых переменных. Согласно [8] нулевой уровень декомпозиции:

первый уровень:

А о = А В 0 = В

А1 = В0 А0В0 > В1 = В0 А0В0

Здесь В о - делитель нуля матрицы В 0, т.е.

»1

В 0В о = 0

В 0 - 2-полуобратная матрица для В удовлетворяющая условиям регулярности:

В 0

Тогда матрицы первого уровня:

Во Во Во = В1 > В1 "В°"В1 = В1"

"о о о о ! 1 о о"

= о о о о о 1 о > В(°" =

о о о о о о 1

г

'о •

"1 о о" А Ь21 Ь31 Ь41

А1 = о 1 о , В1 = Ь12 Ь22 Ь32 Ь42

о о 1 _Ъ13 Ь23 Ь33 Ь43

Ранг матрицы В 1 по столбцам превышает ранг по строкам (4>3). В этом случае необходимо выполнить «скелетное» разложение и «перезапустить» алгоритм в соответствии с [12], что даст

Где

Зададим матрицу Фх в следующем (диагональном) виде:

У 0 0 0 /и 0

ф,

'12

0 0 У

Матрица ввиду скелетного разложения выглядит следующим образом

\(/п-1) Ши-1) Ши-1) Ьц(>51-1) М/п"1) 4з(/в-1) МЛх-О 4з(/в-1)

'13

ь =

®1А1

Ь41(/п-1) М/п"1) Ь43(/13-1)

Для нулевого уровня декомпозиции при задании Ф0 в виде

Ф0 =

У01 0

0

0

0

У02 0

0

0 0

У03 0

0 0 0

У04

будем иметь

в в —

10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1

Шп-1) МЛ^(/в-1) ^(/ц-1) М/в"1)

4(/и-1) 4 (/с-0 4 (/13-1)

5и(/п-1) М^-0 ^(/13-1)

где В^ - псевдообратная матрица Мура-Пенроуза для В0.

ц = Ф0В-- В-А0

41

21

^31

41

к12 к13 к14 к15 к16 к17

к22 к23 к24 к25 к26 к27

к32 к33 к34 к35 к36 к37

к42 к34 к44 к45 к46 к47

где

¿11 = /01 + V Ьц(/и-1} + Ьц Аз (/12-1) + ¿>13 ■ ¿Ь (/в -1}-1

ки = Ь21 ■ (/п -1 )+Ь12-Ь12 (/и -1)+ ¿3 ■ ^з (/хз -1). ¿13 = Ьц ■ ¿11 (/и -1) + Ьи ■ ¿Ъ (^2 -1) + Ьх ■ Ь^ (/13 -1). ¿14 = Ь+1 ■ ¿11 (/п -1) + Ь42 - (/и -1)+ Ълъ ■ (/13 -1}.

¿1= = -^(/о:1-1)(/11-1)

В соответствии с (5) уравнение оценки вектора (л) запишутся следующим образом:

" ( х " х0 _

( y = ( y0

_( z - _(z0 _

где

kl5 k25 k35 k45

Lffl = k16 k26 k36 k46

_kl7 k k27 k k37 k47 _

2. Моделирование работы алгоритма

Оформление стиля страницы означает установку размеров полосы набора, которые определяются величиной полей сверху-снизу и справа-слева, а также расположением колонтитулов и их содержанием. Рассмотрим работу алгоритма со следующими начальными условиями. Начальное угловое положение КА характеризуется следующим кватернионом ориентации:

Л X 00 "-0.31179"

X01 -0.15552

X 02 -0.89638

_ X 03- _ 0.27402 _

Задача алгоритма оценить скорость, с которой совершал угловое движение КА, если его конечное положение через интервал времени I = 0.2 с определяется единичном кватернионом

X 0 " -0.3ll83

Xl - 0.15544

X 2 - 0.89639

X3 _ 0.27400

В качестве начальных оценок со примем значения

юх = 0.1 -10-3рад/с (y = ®z =-0.1 -10-3рад/с

Для получения максимальной скорости сходимости оценки угловой скорости со значения всех полюсов

fll, fl2 , fl3, f04 , f0l, f02, f03

примем равными нулю.

График изменения оценок угловой скорости представлен на рисунке 1.

Рис. 1. График изменения оценок угловой скорости.

Сравним результаты работы полученного алгоритма с результатами работы алгоритма из [10]. В работе [10] использовалось аналитическое решение кинематических уравнений, в отличие от данной работы, где используются приближенные соотношения.

График изменения разницы в полученных оценках угловой скорости по алгоритмам, использующим аналитические и приближенные соотношения на каждой итерации представлен на рисунке 2.

Рис. 2. График изменения разности оценок угловой скорости по полному и упрощенному алгоритмам на

каждой итерации.

Отличие оценки угловой скорости по «упрощенному» алгоритму относительно оценки по «полному» алгоритму, полученной на 5 итерации не превышает 5.7944"/с, 10 итерации не превышает 3.5684"/с, 15 итерации не превышает 2.5557"/с.

График изменения кватерниона, получаемого по разнице оценки и истинного значения угловой скорости, представлен на рисунке 3.

Рис. 3. График изменения векторной части кватерниона ориентации.

За заданный интервал времени между измерениями I = 0.2 с норма векторной части расчетного кватерниона ориентации по упрощенному алгоритму на 5 итерации не превышает 2.7982-10-6, на 10 итерации не превышает 1.7190-10-6, на 15 итерации не превышает 1.2281 -Ю"6.

Рассмотрим также случай моделирования работы алгоритма с изменением начальных условий. Интервал времени между измерениями зададим в пределах:

Гд = 0.05 ... 5 с.

Конечное положение КА рассчитывается численным интегрированием с задаваемыми угловыми скоростями, изменяющимися в пределах:

= ® у = ® г = -01..01 рад/с

В качестве результата единичного прогона записывались значения ошибки оценки угловой скорости на 10-й итерации алгоритма. Распределение ошибок оценки угловых скоростей по осям ОХ, ОУ и 02 представлено на рисунках 4, 5 и 6.

Рис. 4. Распределение ошибки оценки угловой скорости по оси ОХ.

% ш

2.5

л 1=

и

О 1.5

(Б !—

О

а! ■у

5Й J

0.5

-2

............. ............. ............. .............

----•лМ ■Ьь-----

Ошибка оценки скорости ^ , рад/с

х 10

4

г4

Рис. 5. Распределение ошибки оценки угловой скорости по оси ОУ.

Рис. 6. Распределение ошибки оценки угловой скорости по оси 02.

Значения среднего квадратического отклонения для ошибок оценки угловых скоростей:

а = 3.1568 • 10"5 с"1 а = 2.7924 • 10"5 с"1 а = 2.3174 • 10"4 с"1

«г

Также было проведено моделирование с использованием алгоритма [10] для аналогичных начальных условий. Для этого случая были получены следующие значения среднего квадратического отклонения ошибок оценки угловой скорости:

а = 1.3199 • 10"8 с"1

«X

а = 2.7841 • 10"8 с"1 а = 2.5578 • 10"6 с"1

«z

Заключение

С применением подходов изложенных в [8, 10, 12] получено решение задачи оценки значений компонент вектора угловой скорости с использованием упрощенного решения уравнений углового движения по информации в виде кватернионов ориентации на теку-

щем и предыдущем тактах измерений. Идентификация вектора угловой скорости осуществляется методами модального управления путем многомерной декомпозиции приближенного решения уравнений кинематики вращательного движения.

По результатам математического моделирования было получено, что за 5-10 итераций значения оценки компонент векторной части кватерниона ориентации сходятся к истинным значениям. Проведено сравнение работы синтезированного алгоритма с работой алгоритма из работы [10]. Результаты анализа показывают, что упрощенный алгоритм позволяет с приемлемой точностью оценивать вектор угловой скорости КА.

К недостаткам алгоритма можно отнести идеальную постановку задачи, при которой моменты инерции предполагаются точно известными, а аппарат вращается по круговой орбите вокруг Земли. В реальном полете данные допущения приведут к погрешностям оценки угловой скорости, но в силу специфики алгоритма, реализующего гибкую стратегию терминального управления на каждом такте бортовой вычислительной системы, они по предварительным расчетам будут незначительными.

В дальнейших работах планируется рассмотрение работы алгоритма с полным тензором инерции КА, а также учет стохастического характера процессов получения информации с внешних датчиков и отработки управляющих воздействий исполнительными органами различного типа.

Список литературы

1. Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974. 598 с.

2. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Олейник А.С., Рябченко В.Н., Ефанов Д.Е. Оценка угловой скорости космического аппарата в режиме орбитальной стабилизации по результатам измерений датчика местной вертикали // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2014. № 5. C. 3 - 15.

3. Севастьянов Н. Н. Построение режимов ориентации без датчиков угловой скорости на СС «ЯМАЛ-200» // Вестник Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2013. № 3(23). С. 104 - 110.

4. Симоньянц Р.П. Обеспечение качества процессов управления в релейной системе без датчика скорости // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 10. DOI: 10.7463/1014.0729606

5. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н., Тимаков С.Н., Черемных Е.А. Идентификация положения равновесной ориентации международной космической станции как задача матричного пополнения с устойчивостью // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2012. № 2. C.130 - 144.

6. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Рябченко В.Н., Тимаков С.Н. Применение адаптивного полосового фильтра в качестве наблюдателя в контуре управления международной космиче-

ской станции // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2012. № 4. C.88 - 100.

7. Матвеев В.В., Распопов В.Я. Основы построения бесплатформенных навигационных систем: учеб. пособие. СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2009. 278 с.

8. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н., Тимаков С.Н. Применение алгоритма точного размещения полюсов при решении задач наблюдения и идентификации в процессе управления движением космического аппарата // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2013. № 1. C.135 - 151.

DOI: 10.7868/S0002338813010137

9. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Олейник А.С., Рябченко В.Н. Терминальное релейно-импульсное управление линейными стационарными динамическими системами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2014. № 3. С. 134-149.

DOI: 10.7868/S0002338814030172

10. Зубов Н.Е., Ли Е.К., Ли М.В., Микрин Е.А., Поклад М.Н., Рябченко В.Н. Алгоритм вычисления программных значений компонент вектора угловой скорости при терминальном пространственном развороте космического аппарата в инерциальной системе координат // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. № 6. C. 3 - 20.

11. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

12. Зубов Н.Е., Лапин А.В., Микрин Е.А. Применение кватернионов в модальном управлении ориентацией космических аппаратов // Инженерный журнал: наука и инновации. Электрон. журн. 2013. № 10(22). С. 20. Режим доступа: http://engjournal.ru/catalog/it/nav/1074.html (дата обращения 07.08.2016).

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 3-е изд. М.: Наука, 1967. 576 с.

Science ¿Education

of the Baurnan MSTU

Science and Education of the Bauman MSTU, 2016, no. 10, pp. 247-263.

DOI: 10.7463/1216.0852496

Received: 05.11.2016

Revised: 19.11.2016

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Spacecraft Angular Velocity Estimation Algorithm Based on Orientation Quaternion Measurements

]YL"V. Li1' leemaratiS gmail.com

1S.P. Korolev Rocket and Space Corporation «Energia»,

Korolev, Russia

Keywords: angular velocity estimation, modal control, multi-level decomposition, estimation accuracy

The spacecraft (SC) mission involves providing the appropriate orientation and stabilization of the associated axes in space. One of the main sources of information for the attitude control system is the angular rate sensor blocks. One way to improve a reliability of the system is to provide a back up of the control algorithms in case of failure of these blocks. To solve the problem of estimation of SP angular velocity vector in the inertial system of coordinates with a lack of information from the angular rate sensors is supposed the use of orientation data from the star sensors; in this case at each clock of the onboard digital computer. The equations in quaternions are used to describe the kinematics of rotary motion. Their approximate solution is used to estimate the angular velocity vector. Methods of modal control and multi-dimensional decomposition of a control object are used to solve the problem of observation and identification of the angular rates. These methods enabled us to synthesize the SP angular velocity vector estimation algorithm and obtain the equations, which relate the error quaternion with the calculated estimate of the angular velocity. Mathematical modeling was carried out to test the algorithm. Cases of different initial conditions were simulated. Time between orientation quaternion measurements and angular velocity of the model was varied. The algorithm was compared with a more accurate algorithm, built on more complete equations. Graphs of difference in angular velocity estimation depending on the number of iterations are presented. The difference in angular velocity estimation is calculated from results of the synthesized algorithm and the algorithm for more accurate equations. Graphs of error distribution for angular velocity estimation with initial conditions being changed are also presented, and standard deviations of estimation errors are calculated. The synthesized algorithm is inferior in accuracy assessment to the algorithm based on other equa-

tions, but wins in the simplicity of relations, which is important for using in the on-board computer.

References

1. Raushenbakh B.V., Tokar' E.N. Upravlenie orientatsiej kosmicheskikh apparatov [Attitude control of space vehicles]. Moscow: Nauka Publ., 1974. 598 p. (in Russ.).

2. Zubov N.E., Mikrin E.A., Olejnik A.S., Riabchenko V.N., Efanov D.E. The spacecraft angular velocity estimation in the orbital stabilization mode by the results of the local vertical sensor measurements. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie [Herald of the Bauman MSTU. Ser. Instrument Engineering], 2014, no. 5, pp. 3 - 15. (in Russ.).

3. Sevast'ianov N. N. Building of orientation modes on YAMAL-200 communication satellite without angular speed sensors. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State Univ. j. of mathematics and mechanics], 2013, no. 3 (23), pp. 104 - 110 (in Russ.).

4. Simon'iants R.P. Ensuring control processes quality in relay system without speed sensor. Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2014, no 10, pp. 152-178. DOI: 10.7463/1014.0729606 (in Russ.).

5. Zubov N.E., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Riabchenko V.N., Timakov S.N., Cheremnykh E.A. Identification of the position of an equilibrium attitude of the international space station as a problem of stable matrix completion. Izvestiia Rossijskoj akademii nauk. Teoriia i sistemy upravleniia [J. of computer and systems sciences international], 2012, vol. 51, no. 2, pp. 291-305. DOI: 10.1134/S1064230712010133

6. Zubov N.E., Mikrin E.A., Riabchenko V.N., Timakov S.N. The use of an adaptive bandpass filter as an observer in the control loop of the International Space Station. Izvestiia Rossijskoj akademii nauk. Teoriia i sistemy upravleniia [J. of computer and systems sciences international], 2012, vol. 51, no. 5, pp. 560-572. DOI: 10.1134/S1064230712030124

7. Matveev V.V., Raspopov V.Ia. Osnovy postroeniia besplatformennykh navigatsionnykh system [Fundamentals of designing strapdown inertial navigation systems]. St.Petersburg, 2009. 280 p. (in Russ.).

8. Zubov N.E., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Riabchenko V.N., Timakov S.N. The use of the exact pole placement algorithm for the control of spacecraft motion. Izvestiia Rossijskoj akademii nauk. Teoriia i sistemy upravleniia [J. of computer and systems sciences international], 2013, vol.52, no. 1, pp. 129-144. DOI: 10.1134/S1064230713010127

9. Zubov N.E., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Olejnik A.S., Riabchenko V.N. Terminal bangbang impulsive control of linear time invariant dynamic systems. Izvestiia Rossijskoj akademii nauk. Teoriia i sistemy upravleniia [J. of computer and systems sciences international], 2014, vol. 53, no.3, pp. 430-444. DOI: 10.1134/S1064230714030174

10. Zubov N.E., Li E.K., Li M.V., Mikrin E.A., Poklad M.N., Riabchenko V.N. Algorithm for computing program values of angular velocity vector components during spacecraft terminal spatial turn in the inertial coordinate system. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie [Herald of the Bauman MSTU. Ser. Instrument Engineering], 2015, no. 6, pp. 3 - 20. DOI: 10.18698/0236-3933-2015-6-3-20 (in Russ.).

11. Spravochnikpo teorii avtomaticheskogo upravleniia [Handbook of automatic control theory] / Ed. A. A. Krasovskij. Moscow: Nauka Publ., 1987. 712 p. (in Russ.).

12. Zubov N.E., Lapin A.V., Mikrin E.A. Application of quaternions to the problems of space vehicles attitude control. Inzhenernyj zhurnal: nauka i innovatsii [Engineering Journal. Science and Innovation]. DOI: 10.18698/2308-6033-2013-10-1074 (in Russ.)

13. Gantmakher F.R. Teoriia matrits. [Matrix theory]. Moscow: Nauka Publ., 1967. 576 p. (in Russ.).