CC BY
2
СИНТЕЗ СТРУКТУРЫ УПРАВЛЯЮЩЕГО УСТРОЙСТВА ЗАДАННЫМ ОБЪЕКТОМ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ В КОМПЛЕКСНОЙ
ПЛОСКОСТИ Прохорова О.В.
Прохорова Ольга Витольдовна - доктор технических наук, доцент, кафедра вычислительной техники, Институт Автоматики и Информационных технологий Самарский государственный технический университет,
г. Самара
Аннотация: в статье рассмотрен подход к синтезу систем автоматического управления (САУ), базирующийся на методе моделирования процессов в комплексной s - плоскости. Класс рассматриваемых систем - многопараметрические, линейные.
Ключевые слова: система автоматического управления, динамические и статические характеристики, переходной процесс, передаточная функция, полюса и нули, эталонная система, целевая функция.
Придание синтезируемой САУ желаемых статических и динамических свойств является сложной, трудоемкой задачей и в то же время важной и актуальной.
Рассмотрим постановку задачи синтеза САУ, целью решения которой является придание системе управления желаемых статических и динамических свойств.
Критерий качества переходных процессов САУ основан на понятии допустимой области переходных процессов в системе. Обозначим через Y(t)- вектор управляемых параметров объекта управления (ОУ), через Щ^) и ДГ) - соответственно векторы управляющих и возмущающих воздействий на объект управления, а начальное состояние ОУ зададим условием Y(to) = Yo. Тогда задача синтеза САУ, обладающей заданными статическими и динамическими свойствами может быть рассмотрена в следующей постановке. Для объекта управления, заданного системой уравнений динамики вида:
г (о=а( р) ■ г а)+в( р) ■ и (о+с( р) ■ / а), (г &)=У0),
(1)
где А(р), В(р), С(р) - операторные полиномы, р = требуется синтезировать управляющее устройство в виде регулятора (РГ), обеспечивающее в статическом режиме при всех возмущениях Д и начальном состоянии объекта управления Y0 асимптотическое приближение выхода замкнутой системы управления Y к
заданному командному сигналу Г и обеспечивающее в динамическом режиме переходной процесс И в канале вход - выход, принадлежащий заданной области допустимых значений. Требования могут быть записаны в виде формул:
~ (2) | Г (Г ^да) - Г |<Д,
| Н(г > Т) - Н(г ^да)|<Д, (3)
| тах Н(У) - Ш ^ да) |< 8,
(0</<Т)
(4)
а также заданный показатель колебательности / . Здесь Д,8, Т - соответственно заданные статическая ошибка, перерегулирование и время регулирования САУ.
Анализ проблемы синтеза САУ, выполненный автором, позволил установить, что задача синтеза может быть решена посредством перехода из временной области в комплексную 8 - область на основе прямого преобразования Лапласа от математической модели САУ вида:
' (5)
у(/) = | Ж^ -т)г(т)с1т,
0
где у - выходной сигнал объекта управления (управляемый), г(т) - входное воздействие (командный сигнал), Ж (I — т) - ядро преобразования входного сигнала в выходной, и требований на качество во временной области (2) - (4) к математической модели:
у(= ]о у(*) ■ е-, = а +
представимой в комплексной 8 - области в виде:
У (5) = Ж(5) ■ ад, (7)
и требованиям на качество вида:
~ (8) I У (Л, 5) - у (5) и <Л,
^ еО, (О = г + у'®:г<—т,Т> 0,| ю\< [\Г |). (9)
В формулах (8) - (9) приняты следующие обозначения: У(б) - выходной (управляемый) сигнал объекта
управления; Я(б) - задающее воздействие; "(б) - передаточная функция (ПФ) замкнутой системы; У -командный сигнал; Бе = {81, б2, ...,8п} - вектор полюсов, т.е. корней характеристического уравнения САУ; О - область расположения полюсов, ограниченная линией равной степени устойчивости Г = и линиями
постоянного демпфирования Ц = + агйа^ ([); Т - степень устойчивости; [ - показатель колебательности.
Качество управления САУ будем анализировать по переходным характеристикам, что позволяет подавать на вход канала управления единичную ступенчатую функцию с передаточной функцией Я(б) =1/б.
Переход в процессе моделирования из временной области в б - область позволяет искать решение поставленной задачи на основе итерационной процедуры, включающей решение задачи параметрической оптимизации на каждом этапе выбора варианта структуры управляющего устройства. Выбор варианта структуры устройства управления связан с заданием на начальной итерации отрицательной обратной связи по У - управляемому параметру объекта управления (ОУ) и заданием регулятора канала управления. На последующих итерациях сложность передаточной функции регулятора постепенно увеличивается одновременно с размерностью вектора параметров регулятора с целью достижения требуемого качества.
Процедура синтеза предусматривает на каждом этапе выбора структуры регулятора решение задачи параметрической оптимизации САУ в следующей постановке:
Для САУ, поведение которой описывается системой уравнений требуется найти такое значение вектора оптимизируемых параметров X = Хор1 (X - вектор неизвестных заранее коэффициентов передаточной функции синтезированного регулятора), при котором САУ будет обладать требуемым качеством (8) - (9) и будет максимально приближена к эталонной таким образом, чтобы целевая функция Р(Х), характеризующая такое приближение, принимала бы минимальное значение, в идеале нулевое.
У(X, 5) = Ж(X, 5) ■ ад, (5 = Г + (11)
Приближение понимается в смысле приближения полюсов и нулей ПФ моделируемой САУ и эталонной. В качестве полюсов и нулей рассматриваются корни полиномов знаменателя и числителя ПФ САУ соответственно. В качестве эталонной САУ рассматривается система управления, имеющая желаемое расположение полюсов и нулей передаточной функции полностью удовлетворяющая требованию (9).
Остановимся на приближении полюсов и нулей ПФ. Для этого сформируем целевую функцию такого приближения. Представим ПФ синтезированной САУ, состоящей из ОУ и РГ, в виде дробно рациональной функции:
т (12)
I Се (X) ■ 5е
Ж (X, 5) = ^- (5 = Г +
I
йе (X) ■ 5е
е=0
которая при X = Х(0) имеет полюсы Бер, (е = 1.. .п) и нули б/, (е = 1.. .ш). Предположим, что расположение полюсов и нулей такой ПФ при X = Х(0) нарушает условия (8) - (9). Тогда для улучшения статических и динамических свойств проектируемой САУ зададим эталонную САУ расположением полюсов и нулей, удовлетворяющим требованиям на качество.
Пусть в качестве полюсов и нулей передаточной функции эталонной САР выбраны:
зрв, (е = 1,п) и (] = 1,т)
Тогда воспользовавшись известными формулами перехода от корней полинома к его коэффициентам, определим коэффициенты полиномов числителя и знаменателя ПФ эталонной САУ, получим:
т
Г
е=1 п
Г
е=1 где ~
=
,р _
Ст-1/ Ст ; ¿п—1/~^п;
т
г
е,] =1
= Ст-2
/ Ст;...;П~< = (-1)тС0/"
С
е=1
Г ~ <~ я; = ~ ап-2гйп;...; П
е,]=1
р
(-1)п~ й ,Гйп;
е=1
С ~ и - соответственно коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции
эталонной САУ, то есть коэффициенты полиномов
~С(я) и ~П(я) Используя полученные результаты, запишем выражение передаточной функции эталонной САР в виде:
т п
~Ж(я) = Г ~Се ^ / (Г Ч ^ )
е=0 е=0
Приравняв знаменатель ПФ к нулю, получим характеристическое уравнение САУ. Для приближения проектируемой системы к эталонной достаточно воспользоваться приближением коэффициентов их передаточных функций.
Такое приближение реализуется за счет минимизации целевой функции, представляющей собой средне -квадратичную ошибку аппроксимации.
т п
F(х) = 1/2{Г[Се(X) - ~Се]2ГК(х) - ~йв]2} ^ min.
е=0
е=0
Как показали проведенные расчеты проектирования, для синтеза САУ с заданным качеством бывает достаточно оптимизировать параметры регулятора только по коэффициентам характеристического уравнения САУ, т.е. минимизируя целевую функцию вида:
F(х) = 1/2{Г[йе(X) - ~йе]2} ^ min.
е=0
Покажем изложенное на примере синтеза САР для объекта, заданного своей
ПФ вида:
Ж ОР ( я )
я + 5
я + 5 Я + 6
Учитывая степень ПФ объекта регулирования, зададим ПФ регулятора (РГ) в виде 2
ЖРГ (X 5*) = — + Х2Я + Х3
Я + Х4Я
Рис. 1. Схема САР. Вычислим ПФ разомкнутой и замкнутой САР:
е
е
2
]/yPa3^Xs) = X] S + X2S + ^ S + 5
s + x4s s + 5s + 6
WCAP (X, s) = — CApy ' J C(X,s) + D(X,s)
XjS3 + (5 x + x2 )s2 + (5 x2 + x3) s + 5x3 С (X, s) s4 + (5 + x4 )s3 + (6 + 5x4 )s 2 + 6 xAs D( X, s) C (X, s)
x^s + (5xi + x2) s + (5 x2 + x3) s + 5 x3
s4 + (5 + x4 + x )s3 + (6 + 5 x4 + 5 x + x2 )s2 + (5 x2 + x3 + 6 x4 )s + 5 x3.
Для нахождения параметров вектора Х воспользуемся заданием эталонной САР через расположение полюсов, при котором будут выполняться заданные требования на качество управления динамикой и статикой процесса, а именно: степень устойчивости ] >=1, показатель колебательности ß <=1, время
регулирования <= 2 сек, статическая ошибка А =0.02.
Для этого зададим эталонные корни полинома четвертой степени: sj 2 = —2 + j; s3 4 = —3 + j ,
при которых характеристики качества управления объектом соблюдаются. Полином знаменателя ПФ эталонной САУ примет вид:
D(s) = (s — s~) • (s — s2) • (s — s3) • (s — s4) = s4 + lös3 + 39s2 + 70s + 50.
Составим целевую функцию в виде среднеквадратичной ошибки аппроксимации полинома знаменателя ПФ проектируемой САР и полиномом знаменателя эталонной САР для поиска оптимальных параметров устройства управления, будем иметь:
F (X) = 1/2{[5 + х + X —10]2 + [6 + 5 х + 5 х + X — 39]2 + [5x2 + x3 + 6х — 70]2 + [5х3 — 50]2} ^ min.
Эта функция положительная квадратичная. Ее минимум равен нулю, при равенстве нулю всех слагаемых, т.е. можно составить систему уравнений вида:
5 + x + x —10 = 0
6 + 5х4 + 5х1 + х2 — 39 = 0 5х2 + х3 + 6 х — 70 = 0. 5х3 — 50 = 0.
Имеем четыре линейных уравнений и 4 неизвестных. Решение системы уравнений дает значения неизвестных: х1 = 1,666; х2 = 8; х3 = 10; х4=3,333, которые будем считать оптимальными. Подставив эти значения в ПФ САР, получим:
/ч 1,66653 +16,3352 + 505 + 50
ЖСАР (5) = —.-г---.
СА> 54 +10^ + 3952 + 705 + 50
Коэффициенты полинома знаменателя смоделированной САР в точности совпадают с коэффициентами полинома характеристического уравнения эталонной САР с показателями: степень устойчивости Т =1, показатель колебательности [ = 0,5, время регулирования Трег. = 1,95 сек, демпфирование = 99,999%,
статическая ошибка Л составила 0,02.
Расчеты показали, что методика структурного синтеза систем управления заданными объектами, разработанная автором работает надежно и дает хорошие результаты.
Список литературы
1. Прохорова О.В. Оптимизация многомерных систем автоматического управления на основе модификации метода корневого годографа. Автореферат. - Москва: МИЭМ, 1998. -30 с.
2. Прохорова О.В. Оптимизация и синтез многомерных САУ на основе моделирования процессов в s-области. Монография. - Москва: АПКиППРО, 2010. - 158 с.
3. Прохорова О.В., Орлов С.П. Параметрическая оптимизация систем автоматического управления при задании эталонной САУ корневым годографом или расположением полюсов и нулей. // IEEE II International Conference on Control in Technical Systems (CTS), (25-27 Oct. 2017, SPbGTU LETI). IEEE Conference Publications, IEEE Xplore, 2017. P. 16-19.
