CC BY
165
УДК 351.383
ЭТАЛОННАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ СИНТЕЗА МОДАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА СИТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
М.Г. Погорелов, Е.И. Понитков, П.Р. Добаринов, Д.В. Федоров, И. А. Филин
Рассматривается задача формирования эталонной модели, описывающей желаемое поведение системы автоматического управления, и предваряющей синтез регулятора методом модального управления. Показаны актуальность и важность решения данной задачи. Проведен анализ наиболее распространенных стандартных полиномов, применяемых при формировании эталонной модели методом стандартных переходных харакетристик. Получены зависимости и числовые значения, позволяющие использовать их в инженерной практике для анализа показателей качества проектируемой системы, настроенной на различные эталонные модели. Даны рекомендации по формированию эталонной модели в зависимости от требований технического задания и параметров конутра системы.
Ключевые слова: эталонная модель, стандартный полином, модальный синтез, регулятор, синтез.
Любая техническая система характеризуется совокупностью физических величин, по которым складывается представление о ее работе. Если некоторую управляемую величину нужно изменить по определенному закону без вмешательства человека, в систему вводят управляющее устройство [1]. Объект управления и управляющее устройство в совокупности образуют систему автоматического управления (САУ), которая подразделяют на два больших класса [2]:
1) автоматы, выполняющие определенного рода одноразовые или многоразовые операции (например, автомат включения);
2) автоматические системы, которые в течение длительного времени нужным образом изменяют (либо поддерживают неизменным) какие-либо физические величины (координаты движущегося объекта, скорость движения, электрическое напряжение, частоту, температуру, давление, громкость звука и пр.) в том или ином управляемом процессе.
Принцип работы систем второго класса заключается в замыкании ее выхода с входом таким образом, чтобы контрольные приборы, измерив некоторые величины, характеризующие определенный процесс в управляемом объекте, сами служили бы одновременно и источником воздействия на систему, причем величина этого воздействия зависела бы от того, насколько отличаются измеренные величины на управляемом объекте от требуемых значений [2]. На базе систем второго класса строятся большинство гироскопических приборов и устройств, предназначенных для решения задач стабилизации и управления движением различных объектов. Такие САУ характеризуются несколькими критериями, к которым относят
критерии точности (величина погрешности в типовых режимах), динамические показатели качества (характеристики быстродействия системы: время первого достижения установившегося значения tn, с; время переходного процесса tm, с; перерегулирование о, %; число полных колебаний п); критерии, определяющие устойчивость системы (запасы устойчивости по амплитуде AL, дБ и фазе ср, полос пропускания соп, рад/с; колебательность М) и комплексные критерии на основании интегральных свойств кривой переходного процесса (минимизирующие выбранный функционал) [2].
Достижение требуемых показателей качества обеспечивается путем синтеза САУ частотными или временными методами, причем с точки зрения обеспечения динамических показателей предпочтение отдается последним, так как кривые переходных порцессов позволяют более наглядно представить поведение системы с учетом всестороннего влияния линейных и нелинейных внешних факторов. Частотные же методы, несмотря на то, что они давно и хорошо себя зарекомендовали в инженерной практике, косвенны в отношении обеспечения требуемого вида переходной характеристики и не всегда дают удовлетворительный результат для объектов высокого порядка [3].
Синтез САУ начинается с определения функциональной, затем структурной схем объекта и его описания в виде передаточной функции замкнутой системы по управляющему воздействию:
u(s) sn+an_isn +... + axs + а0
Вводимые корректирующие средства по обратным связям от измеряемых параметров состояния в виде регуляторов направлены на изменение знаменателя передаточной функции, являющегося ее характеристическим полиномом п-й степени, соответствующему порядку объекта управления [2]. По сути, данные методы синтеза направлены на видоизменение расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости, поэтому такая группа методов в литературе называется «корневая». Данная задача является сложной и до сих пор до конца не решенной.
Одним из первых актуальность данной задачи сформулировал еще в 1976 г. Н.Т. Кузовков в своей основополагающей работе [18]: «... но прежде возникает вопрос о расположении корней, к которому следует стремиться».
Также приведем высказывание известного специалиста, профессора Государственного университета авиационного приборостроения (ГУАП, г. Санкт-Петербург) Н.А. Балонина из его монографии «Новый курс теории управления движением» [12]: «... выбор расположения корней на комплексной плоскости является фундаментальным вопросом темы, вопросом до сих пор мало изученным... Вместо этого внимание сосредотачивается на
174
относительно второстепенных механизмах определения... коэффициентов ... регулятора при «заданных» собственных значениях, неясно каких. Порою расположение корней на комплексной плоскости выбирается из весьма абстрактных геометрических построений ...».
Важность решения данной задачи также акцентируется в известной работе профессора Ижевского государственного энергетического университета (ИГЭУ) А.Р. Колганова: «Правильный выбор порядка системы и расположения корней (полюсов) на комплексной плоскости является важным моментом на начальном этапе проектирования и оказывает влияние на последующую работу на этапах анализа и синтеза систем управления» [3].
Действительно, авторам представляется, что на сегодняшний день отсутствуют единая теоретическая основа и практические методы выбора «спектра собственных значений», особенно формирования «меры доминирования», автоматизированно подстраивающие регулятор при изменении внешних условий или внутренних параметров системы: «Для многосвязанных систем выбор расположения корней на комплексной плоскости выливается в малоприятную проблему, которая заключается в большом количестве «характеристических» точек, и что с ними делать не совсем очевидно» [12]. Так, если ближайшим к мнимой оси на комплексной плоскости является вещественный корень, то ему соответствует апериодическая составляющая решения для переходного процесса. Если же ближайшей к мнимой оси окажется пара комплексных корней, то доминирующая составляющая решения для переходного процесса будет колебательной. Чем дальше корни отстоят от мнимой оси, тем выше быстродействие системы, однако это может приводить к повышению колебательного характера переходного процесса. Поэтому «взаимоувязать» расположение корней, добившись оптимального сочетания между временем переходного процесса, перерегулированием, требуемыми запасами устойчивости и точности представляется сложной и трудоемкой задачей.
Одним из методов выбора «собственных значений» в виде корней характеристического полинома является давно известный графоаналитический метод «корневого годографа» (в СССР был введен в 1948 г. К.Ф. Тео-дорчиком, позднее детально развит Г.А. Бендриковым и С.П. Стрелковым, в США в 1950 году - У. Ивенсом (W.E. Evans)), заключающийся в построении траектории движения корней на комплексной плоскости в зависимости от изменения значений каждого из параметров системы. После построения траектории всех корней выбирается такое значение регулятора, которое обеспечивает наилучшие качество САУ.
Данный метод весьма трудоемок и требует большой опытности проектанта. Кроме того, он не гарантирует оптимального решения.
Существует еще ряд методов проектирования регуляторов, например, методы Циглера - Николса [23], Коэна - Куна, Чина - Хронса -Ресквика [24].
Метод Циглера - Никольса был предложен в 1943 г. Наибольшую известность получили два варианта настройки параметров регулятора по методу Циглера - Никольса.
Первый вариант основан на использовании запасов устойчивости. В этом варианте процедура настройки начинается с экспериментального исследования системы, состоящей из П-регулятора и заданного объекта регулирования. Коэффициент передачи кП П-регулятора увеличивается до тех пор, пока на выходе системы не установятся колебания с постоянной амплитудой колебаний, то есть система не окажется на границе устойчивости. Фиксируется и обозначается через к* значение коэффициента передачи регулятора, при котором система находится на границе устойчивости.
Измеряется период Т установившихся в системе колебаний. Во втором варианте метода Циглера - Никольса используется реакция объекта на ступенчатое изменение управляющего воздействия. Эту характеристику объекта обычно называют кривой разгона. Объекты управления, имеющие апериодическую кривую разгона, представляются в виде последовательного соединения апериодического и запаздывающего звеньев.
Регуляторы, параметры которых рассчитаны по методу Циглера -Никольса, не всегда обеспечивают требуемое качество процесса регулирования. Как правило, требуется дополнительная ручная подстройка их параметров [25].
Метод Чина - Хронеса - Ресвика является модифицированным методом Циглера - Никольса. Недостатками, как и в методе Циглера - Никольса, являются неполнота информации о запасе устойчивости системы, который определяет надёжность работы регулятора, и приближенная, длительная настройка [26].
В методе Коэна - Куна применительно к ПИД-регулятору назначаются три полюса в обратной связи (которые определяются из характеристического уравнения): два комплексных полюса и третий полюс реальный, которые располагаются на том же расстоянии от начала координат, что и другие полюса. Полюса модели регулируются, чтобы дать отношение амплитуды затухания на четверть, а расстояния от полюсов до начала координат корректируются с целью минимизации интеграла ошибки. Формулы расчёта коэффициентов регулятора, использующие три параметра (К, Т, Ь) модели объекта получены Коэном и Куном на основе аналитических и численных методов. Также было отмечено, что получаемая система с замкнутым контуром имеет плохое демпфирование и плохую ро-бастность [27].
В последнее время наибольшее распространение получил метод стандартных переходных характеристик. Данный метод заключается в выборе эталонной модели (ЭМ) движения системы в виде желаемого характеристического полинома, имеющего распределение корней на комплексной плоскости, обеспечивающее качество регулирования, близкое к опти-
мальному [13]. Приведение реального объекта к эталонной модели осуществляется путем введения регулятора в виде обратных связей по измеряемым и контролируемым параметрам.
Несмотря на имеющиеся недостатки данного метода, в частности, он применим только в случае отсутствия у исходного объекта нулей у передаточной функции (одним из методов устранения нулей является их компенсация за счет сокращения части корней, численно равных этим нулям, что понижает порядок эталонной модели), а также ввиду наличия высокой чувствительности коэффициентов регулятора к параметрам объекта в процессе функционирования (что приводит к снижению параметрической робастности системы управления) [12, 28], тем не менее, формализо-ванность данного метода и его простота предопределяют зачастую его выбор в качестве формируемой эталонной модели синтезируемой системы.
Суть синтеза регулятора сводится к приведению знаменателя передаточной функции САУ к выбранному характеристическому полиному методом стандартных переходных функций. Вид переходной функции соответствует передаточной функции, у которой имеются только полюса и отношения свободных коэффициентов этих полиномов равны единице. Настройка на желаемое время переходного процесса осуществляется за счет введения положительного числа щ на основании уравнения связи корней характеристического полинома эталонной модели движения системы в пространстве состояний А* с корнями характеристического полинома исходного объекта 1*:
*
1 = Щ -А*.
Это приводит к корректировке движения свободных составляющих решения уравнения движения системы относительно вектора состояния х$), выражающихся через экспоненту, корень характеристического полинома и время и называемых модами:
п 1 ^
х(0 = I С* - **, (2)
*=1
где С* - коэффициенты, определяемые из начальных условий.
Поэтому такое управление называется модальным, а расчет регулятора происходит в векторно-матричном в виде в пространстве состояний, что предопределяет простоту вычислений и возможность их автоматизации в современных системах численного решения и имитационного моделирования. На это преимущество обращают внимание многие авторы [3, 5, 6, 11, 17 - 20].
Важной особенностью является то, что увеличение быстродействия в данном случае не оказывает влияния на колебательность переходных процессов, а число ш0 определяется из соотношения
Щ = %, (3)
^пп
где ?пп - время переходного процесса выбранного нормированного харак-
*
теристического полинома; 1пп - желаемое время переходного процесса.
Замена свободных коэффициентов с единицы на рассчитанное число Щ таким образом сместит геометрический центр всех корней выбранного стандартного полинома, сохранив при этом их взаимное распределение, что оставит без изменения такие параметры, как перерегулирование о, %; колебательность М и запасы устойчивости по амплитуде ДЬ, дБ и фазе ф,°.
Колебательность М определяется как соотношение вещественной и мнимой составляющих корней:
М =Ьтах = tgjmax, (4)
а
где Ь - значение мнимой части корней; а - вещественная часть [21].
Если колебательность равна нулю, то переходный процесс апериодический. При увеличении колебательности увеличивается число полных колебаний за время переходного процесса и возрастает перерегулирование.
Анализ литературы показывает, что в качестве эталонных моделей предлагается применять довольно значительное количество стандартных полиномов. Приведем наиболее часто упоминаемые: Ньютона (биноминальное распределение, где все корни вещественные и одинаковые), Бат-терворта («идеальный фильтр»). Корни располагаются равномерно на полуокружности единичного радиуса. Часто в литературе упоминается как «модульный (технический) оптимум» для второго порядка) полином при стандартной линейной форме Бесселя (полином Бесселя), Грехема - Ле-тропа (доставляющий минимум интеграла от произведения абсолютного значения погрешности на время, коэффициенты этого полинома были определены эмпирически при помощи аналоговых моделирующих установок), Чебышева (корни данных полиномов составляют комбинацию вещественных и комплексно-сопряженных) [3, 5, 6, 11, 17 - 20, 31].
Однако, несмотря на большое число работ, посвященных модальному синтезу САУ, до сих пор не предложено каких-либо универсальных методик выбора эталонной модели на основе стандартных характеристических полиномов в зависимости от требуемых показателей качества. Большинство работ по этой теме зачастую либо противоречивы, либо в них отсутствуют логика изложения материала и обоснованный выбор конкретного полинома в качестве эталонной модели.
В одной из первых известных работ по модальному управлению Н.Т. Кузовковым [7] рассматриваются в качестве эталонных моделей биноминальные стандартные формы и стандартные формы Баттерворта. При
178
этом отмечается, что, несмотря на наличие перерегулирования, реакции систем Баттерворта «во многих случаях... соответствуют интуитивному представлению об оптимальном переходном процессе». Более приемлемым вариантом для организации «оптимального» переходного процесса Н.Т. Кузовков предлагает минимизировать какой-либо оптимизирующий функционал, например, интеграл от квадрата погрешности системы. В этом случае отмечается несколько большая колебательность по сравнению с реакцией системы Баттерворта. При минимизации оптимизирующего функционала, представляющего собой интеграл от произведения абсолютного значения погрешности на время (полином Грехема - Летропа), реакции системы характеризуются уже большим быстродействием и меньшей колебательностью.
В качестве вывода Н.Т. Кузовков отмечает, что использовать стандартные формы можно только при компенсации числителя передаточной функции САУ, а «оптимальное расположение корней... можно... установить, оценивая реакции на ступенчатое воздействие при помощи асимптотической ЛАЧХ исследуемой системы».
В одной из современных работ [3] автор проводит анализ по амплитудным частотным характеристикам, сопоставляя для каждого полинома такие их показатели, как:
- нулевые потери и пульсации в полосе пропускания;
- нулевая ширина в переходной области;
- бесконечное затухание в полосе пропускания.
В качестве вывода автором отмечается, что наиболее полно сформулированным требованиям отвечает полином Баттерворта. В качестве аргументации в пользу этого выбора указывается, что он «имеет максимально плоскую АЧХ в полосе пропускания и достаточно хорошую крутизну затухания. Наихудшие показатели качества по АЧХ у фильтра Бесселя». Далее автор проводит анализ по времени переходного процесса, причем нормированных полиномов, и здесь уже автор делает выбор в пользу полинома Бесселя ввиду меньшего времени переходного процесса. При этом оба этих результата анализа не сопоставляются, и читателю предлагается самостоятельно сделать выбор в пользу того или иного полинома. Кроме
того, возникает вполне логичный вопрос: для чего сопоставлять 1пп нормированных полиномов, когда в процессе синтеза САУ будет гарантиро-
*
ванно обладать желаемым 1пп вне зависимости от выбранного полинома. Вся же разница будет определяться получившимся числом соо, которое будет определять рассчитываемые коэффициенты обратных связей.
В заключении автор говорит, что «... к выбору расположения корней следует подходить исходя из конкретных целей и задач и с учетом свойств объекта проектирования», при этом никаких комментариев или рекомендаций по выбору не следует.
179
В другой работе [5] также анализируется ряд нормированных полиномов, причем по гораздо большему числу параметров (время первого достижения установившегося значения, время переходного процесса, перерегулирование, число колебаний, колебательность, эквивалентная постоянная времени, минимум интеграла модуля ошибки, минимум интеграла квадрата модуля ошибки. Результаты анализа в работе сведены в объемную, никак не комментируемую таблицу. Далее для того чтобы выявить модель «...обладающую наилучшей совокупностью характеристик, было
проведено сравнение по двум показателям... - о, % + 1п, с». То есть автор проводит сопоставление опять же нормированных полиномов, причем даже не по времени переходного процесса, а по сумме числовых значений времени первого достижения установившегося значения и перерегулирования, оставляя остальные параметры за скобками анализа. Это дает основание считать полученные автором выводы сомнительными и слабо аргументированными.
В работе [13] выбор эталонной модели производят по таким показателям качества, как перерегулирование о (%) и время переходного процесса 1пп (с) нормированных полиномов. В работе [14] выбор эталонной модели производится на основе полинома Баттерворта как «наиболее часто применяемого». При этом отмечается, что «Метод размещения полюсов позволяет задать корни характеристического полинома замкнутой системы регулирования исходя из желаемого времени переходного процесса, но амплитуду перерегулирования и запасы устойчивости при этом заранее задать невозможно».
В работе [11] основными параметрами, по которым происходит выбор эталонной модели, являются время переходного процесса 1пп (с), перерегулирование о (%), степень колебательности М. В работе [15] автор не стал рассматривать большинство характеристик - только перерегулирование о (%) как основной параметр для выбора эталонной модели системы. Анализ результатов работы [16] показывает, что автор, отмечая, что «более универсальным требованием к динамике... является обеспечение полосы пропускания... а не времени регулирования, которое как критерий имеет неопределенность с точки зрения ошибки регулирования», производит
сравнение полиномов по времени переходного процесса 1пп (с) при обеспечении у них одинаковой полосы пропускания. И выбор делается в пользу полинома Бесселя как обладающего самым малым временем переходного процесса! При этом отмечается, что «обеспечиваются минимальные искажения при реализации сигналов управления» для систем со 2-го по 5-й порядок.
Таким образом, целью статьи являются анализ применения стандартных полиномов в качестве эталонных моделей САУ и формирование рекомендаций по их выбору в зависимости от стоящего перед разработчиком технического задания (ТЗ) на проектирование САУ.
180
Рассмотрим следующие полиномы: Ньютона, Баттерворта, Грехема - Летропа и Бесселя со 2-го по 5-й порядок как наиболее часто встречающиеся при решении практических задач формирования ЭМ САУ.
Сравнение эталонных моделей будем осуществлять по всем критериям, имея ввиду наставления В.А. Бесекерского и Е.П. Попова: «...проблема получения требуемых качественных показателей - точности в типовых режимах, запаса устойчивости и быстродействия - является единой и ни один из входящих в нее вопросов не может решаться в отрыве от других. Это делает всю проблему сложной, что заставляет в некоторых случаях получать требуемое решение посредством приближения и рассмотрения многих вариантов» [2].
Вид нормированных полиномов приведен в табл. 1 [4, 7, 10], графики переходных процессов для системы 5-го порядка (как наиболее информативного) - на рис.1, а расположения корней для системы 5-го порядка - на рис.2.
Таблица 1
Нормированные полиномы со 2-го по 5-й порядок_
Порядок Тип полинома Полином
2 Ньютона р2+2о)0р+о)0
Баттерворта р2+1,41о)0р+о)0
Бесселя р2+1,73о)0р+о)0
Грехема - Летропа р2+1,4о)0р+о)0
3 Ньютона р3+3 оо0р2+3 о)оР+о)о
Баттерворта р3+2о)0р2+2о)ор+а)о
Бесселя р3+2,43о)0р2+2,47о)ор+о0о
Грехема - Летропа р3+1,75о)0р2+2,15о)ор+а)о
4 Ньютона р4+4000р3+б000р2+4а)0р+а)0
Баттерворта р4+2,61 оо0р3+3,41 о)ор2+2,61о)ор+о0о
Бесселя р4+3,12о)0р3+4,39а)^р2+3,2а)^р+а)^
Грехема - Летропа р4+2,1оо0р3+3,4о0ор2+2,7о)ор+о)о
5 Ньютона р5+5о)0р4+10а)ор3+10а)ор2+5а)ор+о)о
Баттерворта р5+3,24о)0р4+5,24о)ор3+5,24а)ор2+3,24а)ор+о0о
Бесселя р5+3,81о)0р4+6,78а)ор3+6,89а)ор2+3,94а)ор+о)о
Грехема - Летропа р5+2,8о)0р4+5а)ор3+5,5о)ор2+3,4а)ор+а)о
Заметим только, что сравнение ЭМ будем проводить независимо от конкретного контура САУ, поэтому по критерию точности эталонные модели можно сопоставлять по значению коэффициента передачи разомкну-
181
той системы, определяемому свободным членом полинома со0 . По быстродействию сравнивать нормированные полиномы бессмысленно ввиду их последующей настройки на единое 1пп .
1.2
0.8
й
и
&
Я <
0.6
0.4
0.2
/ / / ч ч \ -Нью ---Баи -----Грех гон ерворт ель ем-Летроп
' / >; , 1/ / 1/ / // /
* / / ;
1 1 1 ! / г /
/ '/ / <: / а / 1; 1
J / У
10 12 14 16 18 20
Время, [с]
Рис. 1. Переходные процессы нормированных полиномов 5-го порядка
-0.8 -0.6 -0.4 Вещественная ось [с"1 Ньютон ■ Баттерворт А Бессель ♦ Грехем-Летроп
Рис. 2. Расположение корней нормированных полиномов 5-го порядка
Исследования проводились на основании имитационных моделей полиномов в пакете БтиНпк программы МЛТЬЛБ. Характеристики быстродействия оценивались по переходным характеристикам с 5 %-ной зоной
182
установившегося сигнала, устойчивости - по ЛАФЧХ, интегральный - по имитационной модели. Результаты исследования нормированных полиномов приведены в табл. 3 (округленные значения).
Таблица 3
Характеристики нормированных стандартных _ полиномов со 2-го по 5-й порядок_
Порядок модели Эталонная модель на основе полинома ■Сритерии качества
Динамические Устойчивость Интегральный
t„ [с] t„n [с] <7[%] AL [дБ] <р[°] (Ои [рад/с] М h
2 Ньютона 8,8 4,75 0 - 76,3 0,64 0 0,04
Баттерворта 3,32 2,92 4,4 - 65,4 1 1 0,048
Грехема-Летропа 3,29 2,9 4,6 - 65,2 1 1 0,048
Бесселя 5,18 3,78 0,44 - 72,3 0,8 0,58 0,043
3 Ньютона 12,1 6,3 0 19,1 71,2 0,5 0 0,046
Баттерворта 3,77 5,97 8,14 12 60,5 1 1,7 0,06
Грехема-Летропа 4,04 3,59 1,97 11,5 66,5 1 2 0,058
Бесселя 5,71 4,6 0,68 15,6 67,2 0,71 0,95 0,052
4 Ньютона 14 7,75 0 14 68,6 0,43 0 0,05
Баттерворта 4,39 6,85 10,9 10,7 55,2 1 2,4 0,07
Грехема-Летропа 4,74 4,28 1,92 8,69 63,4 0,9 3 0,065
Бесселя 6,42 5,42 0,84 10,8 65,1 0,65 1,26 0,06
5 Ньютона 15,7 9,15 0 11,8 66,9 0,4 0 0,055
Баттерворта 5,08 7,65 12,7 6,41 60,1 1 3 0,078
Грехема-Летропа 5,67 5,17 2Д 8,36 62,2 0,78 3,4 0,07
Бесселя 7,29 6,27 0,72 9Д 64 0,6 1,5 0,065
Очевидно, что при изменении порядка полинома меняются и соотношения всех показателей, поэтому сравнение имеет смысл проводить либо по динамике изменения показателей одного полинома с ростом его порядка, либо по показателям всех полиномов в пределах одного порядка.
183
Оценка критериев устойчивости. В целом можно заметить, что с ростом порядка модели колебательность М всех полиномов (кроме Ньютона, имеющего апериодический процесс) возрастает, и, как следствие, происходит уменьшение запасов устойчивости, однако они находятся в рекомендуемых пределах (AL = 5... 12 дБ). Рекомендуемые значения М находятся, как правило, в диапазоне от 1,1 до 1,5. По этому показателю для систем выше второго порядка однозначным преимуществом обладает только полином Бесселя.
Полоса пропускания нормированных полиномов сама по себе не информативна, потому как она зависит от частоты среза JIA4X, которая, в свою очередь, связана со временем переходного процесса, а поскольку у нормированных полиномов время разное, то и полученные значения а)п сами по себе для анализа не применимы. Однако при настройке на желаемое время полоса пропускания эталонной модели на основании выбранного стандартного полинома будет связана с полосой пропускания нормированного полинома через параметр щ соотношением
о)п=о)псо0. (5)
В табл. 4 приведены зависимости расчета полосы пропускания эталонной модели исходя из типа и порядка выбранного полинома и в зависимости от желаемого времени переходного процесса.
Таблица 4
Зависимость полосы пропускания от времени
_переходного процесса__
Порядок полинома 2 3 4 5
Эталонная модель на основе полинома Зависимость
Ньютона 0)* = 3,05/С ü)* - 3,2/t*n ü)* = 3,36/t*n a)* - 3,53/t*n
Баттерворта о* = 2,92/С о)* = 5,96/С ü)* = 6,84/t*n a)* = 7,63/t*n
Грехема-Летропа о* = 2,93/С Ü)* = 3,7/tnn a)* = 3,82/t*n o* = 4,01/C
Бесселя о* = 2,98/С ü)* = 3,26/t*n a)* = 3,55/t*n a)* = 3,83/t*n
Для 2-го порядка очевидно, что ширина полосы пропускания сопоставима для всех рассматриваемых полиномов (максимальная у полинома Ньютона). Для 3-го порядка и выше большими значениями будет обладать полином Баттерворта.
При проектировании САУ зачастую, кроме времени переходного процесса, есть требования к ширине полосы пропускания, определяющей возможность отработки высокочастотных входных воздействий без искажений, при этом необходимо удовлетворить оба этих параметра. Поэтому для практических целей удобно свести табл. 4 к номограмме. Пример номограммы для эталонных моделей 5-го порядка приведен на рис. 3.
184
Ct 500
im
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
V (с)
Рис. 3. Зависимость полосы пропускания от времени переходного процесса для эталонных моделей 5-го порядка
Например, если в ТЗ требуется обеспечить соп не менее 100 (рад/с),
то используя номограмму, видно, что для обеспечения требуемой полосы
*
пропускания 1пп должно составлять для полинома Ньютона не более ~ 0,035с, для полинома Баттерворта - не более ~ 0,075с, для полиномов Бесселя и Грехема - Летропа не более ~ 0,04с.
Оценка по интегральному критерию. Интегральные оценки качества позволяют оценить одним числом величину отклонения и время переходного процесса. В результате сравнения значений оценок различных САУ появляется возможность сделать вывод о наиболее «оптимальной» из них (лучшая имеет меньшую интегральную оценку). Наибольшее распространение получили линейные и квадратичные интегральные оценки. Линейные оценки геометрически представляют собой площадь под кривой переходного процесса и не учитывают знаков отклонения, а, следовательно, и формы переходного процесса (монотонной или колебательной). Для оценки колебательных процессов (имеющих перерегулирование) более применимы квадратичные оценки. В частности, для анализа полиномов была выбрана улучшенная квадратичная интегральная оценка качества, предложенная A.A. Фельдбаумом [29]:
оо
Ik = J(x2 +Т2 -x2)dt, (5)
о
где Т - некоторая постоянная времени.
Данная оценка учитывает величину отклонения х и её скорость х, что позволяет оценивать переходные процессы еще и по степени колебательности системы.
При сравнении нормированных полиномов по критерию I£ постоянная времени Т должна определяться временем переходного процесса
каждого полинома, а в случае сравнения полиномов, настроенных на жела-
*
емое время переход процесса ¡пп, - на основании соотношения
Т = г /3
При синтезе регулятора на заданное время переходного процесса формируемая экстремаль (экспонента с постоянной времени Т, относительно которой и происходит оценка) будет определяться одной и той же постоянной времени, поэтому сопоставление нормированных полиномов по критерию 1£ учитывает только величину погрешности, колебательность и перерегулирование.
На рис. 4 приведены графики переходных процессов ЭМ на основе
*
полиномов 2-го порядка при г пп = 0,1 с.
/ / и / \
5
/К 7 3
11
О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
Время, с
Рис. 4. Переходные процессы эталонных моделей 2-го порядка: 1 - экстремаль; 2 - полином Ньютона; 3 - полином Бесселя; 4 - полином Грехема - Летропа; 5 - полином Баттерворта
Экстремаль (кривая 1) является в данном случае «оптимальным» переходным процессом, относительно которого оцениваются остальные, и формируется по закону
-г / Т
х = Хо • е ,
где хо - установившееся отклонение управляемой величины (принята равной единице).
Такой процесс, с одной стороны, не имеет колебательности и перерегулирования, с другой - характеризуется равномерностью нарастания скорости.
Очевидно, что наиболее близким к «оптимальному» процессу при сопоставлении относительно выбранной экстремали является полином Ньютона. Далее следуют полином Бесселя и полиномы Баттерворта, Гре-хема - Летропа. При увеличении порядка модели такое положение сохраняется, однако числовые значения I£ увеличиваются.
При настройке САУ на желаемое время переходного процесса числовые значения I* относительно числовых значений 1£ нормированных полиномов (табл. 3) будут изменяться пропорционально значению щ.
Оценка динамических показателей качества. Нормированный полином Ньютона обладает наибольшим временем переходного процесса. Следовательно, при настройке его на желаемое время в соответствии с (3) он будет обладать наибольшими значениями щ. Также видно, что с ростом порядка возрастает и время переходного процесса, следовательно, щ также будет возрастать. Перерегулирование для процессов, близких к оптимальным, зачастую принимается не более 5 %. Для эталонных моделей 2-го порядка очевидно, что все рассматриваемые полиномы удовлетворяют этому критерию. С ростом порядка модели вслед за повышением колебательности увеличивается и перерегулирование. Единственным полиномом, выходящим за рекомендуемые пределы по параметру а, является полином Баттерворта 3-го порядка и выше.
Разница между и 1пп для полинома Ньютона определяет время прохождения 5 %-ной зоны относительно установившегося значения. За время 1,25 • 1пп отклонение от заданного значения составляет меньше 2 % (например, при заданной отработке 10° отклонение составит всего порядка
11 угловых минут), что снижает негативность его первоначальной оценки
*
по результатам табл.3 (1пп = 4.75 с, а 1пп = 8,8 с). Однако для ряда применений в прецизионных системах с жесткими заданными параметрами настройка на полином Ньютона в качестве эталонной модели САУ может быть неприемлема из-за того, что полином Ньютона больше остальных «затормаживает» систему (снижает скорость приведения выходного сигнала) на заключительном этапе переходного процесса. В таком случае необходимо воспользоваться полиномом, имеющим меньшую крутизну на основном участке переходного процесса, но обеспечивающим более интенсивное нарастание выходного сигнала системы на его заключительном этапе (перерегулирование при этом будет возрастать). Это позволит сохранить требуемое время переходного процесса, но в то же время ускорить приведение выходного сигнала к установившемуся значению.
Оценка точности. Точность является важнейшей характеристикой САУ, и ее обеспечение является первостепенной задачей. Точность САУ при использовании пропорционального регулятора определяется коэффициентом передачи разомкнутой системы. Следовательно, относительная точность эталонных моделей будет определяться величиной свободного члена щ в степени, соответствующей порядку эталонной модели.
Рассмотрим оценку точности САУ на примере одноосного гироста-билизатора (ГС), состоящего из платформы с установленной на ней полезной нагрузкой, датчика момента (ДМ) как исполнительного устройства, усилителя мощности и датчиков угловой скорости (ДУС) и угла отклонения (ДУ) платформы [30, 32]. В этом случае примем объект описываемым моделью 2-го порядка (без учета динамических характеристик ДМ, ДУС и ДУ), а установившуюся погрешность стабилизации, вызванную постоянным возмущающим моментом, определяемой как [30]
4ст Ц)=-мв-, (6)
х к^ к к^ к Л дм^ ум^ дус^ос
где Мв - момент возмущений; кдм - коэффициент передачи датчика момента; кум - коэффициент усилителя мощности; кдус - коэффициент передачи датчика угла; кос - коэффициент формируемого регулятора в главной
обратной связи по углу отклонения.
Проведем сравнение точности стабилизации относительно полинома Ньютона ввиду того, что, как уже отмечалось, у него самые большие значения Щ), а, следовательно, и ГС, настроенный на него, будет обладать наибольшей точностью.
Точность относительно полинома Ньютона может быть оценена по зависимости
е
уст
(I) = ) = цПп I (7)
х отн 1„П\ иП
пп
щ0 V.
где Щ - значение м0 выбранного для сравнения нормированного полинома; ¡П - время переходного процесса выбранного полинома.
Ключевыми параметрами ГС являются: значения напряжений на исполнительном элементе, статическая погрешность (в теории гироскопических систем часто встречается термин «ошибка»), возникающая в результате действия моментов внешних сил и фазовое запаздывание (фазовая ошибка), определяемая как отставание выходного сигнала САУ по фазе от сигнала действующего возмущения (например, при качке основания, на котором установлен ГС). Значения отношений формируемых напряжений ки, установившихся ошибок кд, фазовых ошибок к^ (при идентичном
контуре ГС, настроенного на рассматриваемые ЭМ, относительно модели, настроенной на полином Ньютона), представлены в табл. 5.
Таблица 5
Коэффициенты отношений сигналов ГС по статической точности, максимальным уровням напряжений и фазовому запаздыванию, _ настроенных на различные ЭМ_
о ® Эталонная мо-
С * дель на основе полинома к д ки кр
Ньютона 1 1 1
Баттерворта 2,65 1/2,65 1,423
2 Грехема -Летропа 2,68 1/2,68 1,423
Бесселя 1,58 1/1,58 1,16
Ньютона 1 1 1
Баттерворта 1,175 1/1,175 0,8
3 Грехема -Летропа 5,4 1/5,4 1,33
Бесселя 2,57 1/2,57 1,2
Ньютона 1 1 1
Баттерворта 1,64 1/1,64 0,81
4 Грехема -Летропа 10,7 1/10,7 1,32
Бесселя 4,2 1/4,2 1,21
Ньютона 1 11 1
Баттерворта 2,45 1/2,45 0,84
5 Грехема -Летропа 17,4 1/17,4 1,32
Бесселя 6,6 1/6,6 1,21
Анализ табл. 5 показывает, что величина установившейся погрешности ГС, настроенного на эталонные модели в виде полиномов Баттер-ворта, Грехема - Летропа и Бесселя, относительно полинома Ньютона значительно больше при настройке на одинаковое желаемое время переходного процесса. С ростом порядка системы это соотношение будет только увеличиваться. При этом подаваемые уровни напряжений на ДМ будут в кд раз меньше.
Фазовое запаздывание (фазовая ошибка) САУ, настроенной на полином Ньютона для систем 2-го порядка, на частоте изменения ЛАЧХ сигнала на 3 дБ, определяемой полосой ее пропускания (при желаемом времени переходного процесса менее 3 с), будет наименьшим ввиду того, что такая САУ будет обладать чуть большей полосой пропускания. Для систем 3-го порядка и выше наименьшее фазовое запаздывание у ЭМ - в виде полинома Баттерворта, наибольшее - Грехема - Летропа.
Для каждой проектируемой САУ на этапе анализа и синтеза (формирования регулятора) необходимо оценивать значения напряжений, подаваемых на исполнительное устройство. «Обратная связь с большим ко-
эффициентом усиления приведет к очень большому управляющему сигналу (напряжению на двигателе). Это могло бы оказаться вне доступного диапазона входных сигналов и, таким образом, лишило бы законной силы решение» [8]. То есть может сложиться ситуация, при которой синтезированная САУ будет иметь напряжения, превышающие максимально допустимые, что приведёт к ее некорректной работе.
Следовательно, время переходного процесса и эталонная модель должны выбираться по совокупности рассматриваемых характеристик и в зависимости от контура САУ (применяемой элементной базы).
Увеличение точности ГС может осуществляться за счет увеличения коэффициента передачи разомкнутого контура. В рассматриваемом примере ГС это возможно либо за счет изменения параметров контура САУ путем увеличения (более приемистый двигатель), кум (большие значения усиления мощности), либо за счет настройки эталонной модели на меньшее время переходного процесса.
В случае первого варианта это потребует изменения элементной базы относительно выбранной (особенно критично в том случае, когда уже существует натурный образец). Во-вторых, это приведет к тому, что выбранная ранее ЭМ в итоге будет сопоставима с ЭМ на основе полинома Ньютона и за счет приближенных вычислений (табл.5) время переходного процесса будет несколько больше требуемого. На рис.5 приведены графики переходных процессов ГС при отработке углового отклонения в 10° при настройке их на ЭМ в виде полиномов Ньютона, Баттерворта, Грехема -Летропа и Бесселя с желаемым временем переходного процесса 0,1 [с], при увеличении в контуре ГС кум в £д раз (табл.5) для обеспечения одинаковой погрешности стабилизации (относительно настройки ГС на ЭМ на основе полинома Ньютона). Пересчет модального регулятора при изменении параметров контура ГС вернет динамику выбранного полинома, но также вернет и прежний уровень ошибки.
Второй вариант выглядит более предпочтительным из-за простоты его физической реализации, так как коэффициенты модального регулятора (коэффициенты обратных связей) задаются программно в вычислительном блоке. Однако следует понимать, что чем меньше время переходного процесса, тем больше динамический удар испытывает механическая часть системы. Кроме того, быстродействие определяется и динамическими характеристиками элементов САУ, и параметрами цифровой части контура, поэтому не всегда такой вариант представляется возможным. САУ при такой настройке будет обладать критериями качества выбранной эталонной модели.
При реализации данного подхода для того чтобы, например, уменьшить статическую ошибку ЭМ, настроенную на полином Бесселя, до уровня ошибки, соответствующей ЭМ, настроенной на полином Ньютона,
190
требуется при расчете <и0 уменьшить желаемое время в к^ раз. То есть
при настройке ГС, описываемого моделью 2-го порядка, на время 0,1 [с] по полиному Ньютона, такой же уровень установившейся ошибки при действии постоянного возмущающего момента можно достичь при настройке ГС на полином Бесселя со временем его переходного процесса ~ 0,08 с, а на полиномы Баттерворта и Грехема - Летропа « 0,06 с (рис. 6). Для системы 5-го порядка для этого уже потребуется уменьшать время переходного процесса при настройке на полином Бесселя « в 2,5 раза, а на полином Грехема - Летропа - в 4,2 раза.
10
§■7 ■е*
£ 4
А\ 2,3,4
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Время,с
Рис.5. Переходные процессы ГС, настроенных на ЭМ, при увеличении кум в раз: 1 - полином Ньютон; 2,3,4 - полиномы
Бесселя, Баттерворта и Грехема - Летропа соответственно
Также стоит помнить, что «увеличение усиления контура обратной связи регулятора ведет к увеличенной чувствительности к шуму измерения. Таким образом, при определении усиления контура обратной связи следует выбирать разумный компромисс» [8].
СКО погрешности рассматриваемого ГС <т, вызываемое шумами датчиков угловой скорости и датчика угла, может быть оценено по зависимости [30]
1 к2ус-А1т2+к2у-У1т2 ° 2\ ' и где А11\¥ - спектральная плотность шума датчика угловой скорости; VIIIV -спектральная плотность шума датчика угла; В, - относительный коэффициент демпфирования; Т-постоянная времени.
191
ю
-э- 6
\\
2 1
з, 4
О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Время,с
Рис.6. Переходные процессы ГС, настроенных на ЭМ, при уменьшении 1пп в л[кд раз: 1 - полином Ньютон; 2,3,4 - полиномы Бесселя, Баттерворта и Грехема - Летропа соответственно
Относительный коэффициент демпфирования можно оценить из соотношения
Ь + к дм куМ кдуС к а
V ^ ' кдм кум кду кос
где Ь - коэффициент демпфирования ДМ, определяемый его механической характеристикой; кю - рассчитанный коэффициент регулятора по угловой скорости; J - приведенный момент инерции ГС к оси стабилизации. Постоянную времени можно оценить из соотношения
J
Т =
кдм к ум кду кос
Результирующее СКО погрешности стабилизации можно определить по зависимости [30]
I (кдус кд>2 ■ АЯЖ 2 + • УЯЖ 2 )• кдм кум
Л\\ 2 • кдукос ' {Ь + кдмкумкдускю)
Другой способ повышения точности - это увеличение порядка аста-тизма системы за счет введения дополнительной интегральной связи по главной обратной связи (астатический регулятор). Это устранит установившуюся погрешность при действии постоянного момента. Такая САУ уже может быть использована в качестве следящей системы, однако влияние шумов ДУС и ДУ при решении задачи стабилизации будет значитель-
но выше (из-за интегрирования шума и увеличения коэффициентов регулятора), чем у САУ, синтезированной при помощи статического регулятора, что приведет к ухудшению стабилизации (увеличению амплитуды колебаний относительно заданного углового положения). При этом САУ, настроенная на ЭМ на основе полинома Ньютона, по сравнению с прочими рассматриваемыми за счет больших коэффициентов усиления будет обладать и наибольшими амплитудами таких колебаний.
В заключении отметим, что при настройке на желаемое время переходного процесса относительно нормированных полиномов соответствующих порядков (табл. 3):
- интегральная оценка I* уменьшится в щ раз;
*
- время первого достижения установившегося значения 1п (с) уменьшится в щ раз;
*
- полоса пропускания (оп (рад/с) увеличится в щ раз;
- степень колебательности М не изменится;
- запасы устойчивости ДЬ (дБ), р (°) - не изменятся;
- перерегулирование а (%( - не изменится;
- отношение статических погрешностей (табл. 5) не изменятся.
Использование табл. 3,5 позволяет однозначно определить формируемые критерии качества синтезируемой САУ при настройке ее на эталонную модель в виде одного из стандартных полиномов. Приведенные расчетные зависимости и табличные данные, таким образом, носят справочный, инженерный характер и позволяют на этапе анализа оценить формируемые показатели качества проектируемой САУ. Последующее имитационное моделирование может дать оценку степени влияния неучтенных в линейной модели звеньев.
По результатам проведенного сопоставления стандартных полиномов можно отметить, что выбор эталонной модели - это задача, которая должна решаться комплексным подходом путем сопоставления требований ТЗ, выбранной элементной базой САУ и критериями качества рассматриваемой ЭМ.
Для объектов порядка с 3-го по 5-й наихудшим вариантом является использование настройки САУ на ЭМ в виде полинома Грехема-Летропа. При возможной реализации (по оценке допустимой установившейся ошибки и фазового запаздывания на частоте качки основания) наилучшим вариантом является настройка на полином Бесселя с наименьшим возможным временем переходного процесса. В противном случае (при ограничении на увеличение быстродействия системы и превышения заданных значений ошибок) необходимо настраивать на полином Ньютона (при оценке формируемых уровней напряжений, подаваемых на исполнительное устройство) или на полином Баттерворта (при оценке допустимой установившейся ошибки и если допустимо значительное перерегулирование).
193
Дальнейшим этапом развития представленного материала авторы видят разработку программного продукта, облегчающего проведение экспресс-анализа формируемых критериев качества синтезируемой САУ, и автоматизированно рассчитывающего ее различные модальные регуляторы (статический, астатический, полиноминальный).
Список литературы
1. Что такое система автоматического управления? // Kak-Chto.Info: электр. науч. журнал 2019. [Электронный ресурс] URL: https://www.kak-chto.mfo/sistema-avto-regulirovaniya/ (дата обращения: 01.07.2019).
2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. 4-е изд., перераб. и доп. СПб.: Изд-во «Профессия», 2009. 752 с.
3. Колганов А.Р. Основные разделы современной теории автоматического управления [Электронный ресурс] URL: http://drive.ispu.ru/elib/ kolganov2/ (дата обращения: 01.07.2019).
4. Синтез систем автоматического управления методом модального управления / В.В. Григорьев, Н.В. Журавлёва, Г.В. Лукьянова, К. А. Сергеев. СПб: СПбГУ ИТМО, 2007. 108 с.
5. Булындин М.Г. Исследование эталонных моделей систем модального управления // Современные научные исследования и инновации. 2013. № 11 [Электронный ресурс] URL: http: //web. snauka.ru/issues /2013/11/28937 (дата обращения: 01.07.2019).
6. Борцов Ю.А., Поляхов Н.Д., Путов В.В. Электромеханические системы с адаптивным и модальным управлением. Л.: Энергоатомиздат, 1984. 216 с.
7. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.
8. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. 911 с.
9. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления / пер. с англ. Б.И. Копылова. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 832 с.
10. Панкратов В.В., Нос О.В. Специальные разделы теории автоматического управления. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. Ч. 1. Модальное управление и наблюдатели. 248 с.
11. Кожевников А.В., Кочнева Т.Н., Кочнев Н.В.. Модальное управление с автонастройкой регулятора в линеаризованных двухмассовых электромеханических системах [Электронный ресурс]. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/modalnoe-upravlenie-s-avtonastroykoy-regu lya to ra-v-linearizovannyh-dvuhmassovyh-elektromehanicheskih-sistemah (дата обращения: 01.07.2019).
12. Балонин Н.А. Новый курс теории управления движением. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 160 с.
13. Красовский А.Я. Локальные системы автоматики // Конспект лекций. «Белорусский государственный университет информатик и радиоэлектроники». [Электронный ресурс] URL: https://www.bsuir.bv/rn/12 104571 1 70395.pdf (дата обращения: 19.07.2019).
14. Р. И. Сольницев, А. И. Каримов, Т. И. Каримов. Синтез цифровых регуляторов гироскопических командных приборов // Гироскопия и навигация. 2017. Т. 25. № 1 (96).
15. Весник национального техничного университета «Харьковский политехнический институт»: сборник научных трудов. Тематический выпуск. Харьков: НТУ ХПИ. 2003. Т.2. №10.
16. Лебедев С. К. Выбор модели динамики для систем векторного управления электроприводами переменного тока // Труды Международной шестнадцатой научно-технической конференции "Электроприводы переменного тока", г. Екатеринбург, 05-09 октября 2015 г. Екатеринбург: Ур-ФУ, 2015. С. 103 - 106 с.
17. Борцов Ю.А., Поляхов Н.Д., Путов В.В. Электромеханические системы с адаптивным и модальным управлением. Л.: Энергоатомиздат, 1984. 216 с.
18. Кузовков Н.Г. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.
19. Терехов, В.М., Осипов О.И. Системы управления электроприводов: учебник для вузов / под ред. В.М. Терехова. М.: Изд. центр "Академия", 2005. 304 с.
20. Усынин Ю.С. Системы управления электроприводов: учебное пособие для вузов. 2-е изд., испр. и доп. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. 328 с.
21. Теория автоматического управления: учебник для вузов: в 2 ч. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов, А.А. Воронова и др.; под ред. А.А. Воронова. 2-е изд., пере-раб. и доп. М.: Высш. шк., 1986. 367 с.
22. Родионов В.И., Телухин С.В. Теория автоматического управления. Анализ и синтез линейных систем: учеб. пособие. Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2014. 124 с.
23. Оппельт В. Основы техники автоматического регулирования. М.:ГЭИ, 1960. 606 с.
24. Промышленный автоматические регуляторы / Ш.Е. Штейнберг [и др.]. М.: Энергия, 1973. 568 с.
25. Настройка типовых регуляторов по методу Циглера - Никольса: метод. указания к выполнению лаб. работы для студентов, обучающихся по направлениям 210100 «Электроника и наноэлектроника» и 201000 «Биотехнические системы и технологии» / сост. О. С. Вадутов. Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2014. 10 с.
195
26. Бурцева Юлия Сергеевна. Беспоисковый метод расчета настроек регуляторов на минимум квадратичного критерия: дис. ... канд. техн. наук. М., 2014. 156 с.
27. Гамков Д.М., Бунтов М.В. Настройка пропорционально-интегрально-дифференциальных регуляторов системы обеспечения тепловым режимом астрофизического телескопа ART-XC обсерватории «Спектр-РГ» // Сборник трудов XIV Конференции молодых учёных «Фундаментальные и прикладные космические исследования» / под ред. А.М. Садовского. М.: ИКИ РАН, 2017. 152 с.
28. Analysis of Parametric Sensitivity and Structural Optimization of Modal Control Systems with State Controllers / A.A. Anisimov, D.G. Kotov, S.V. Tararykin, V.V. Tyutikov // Journal of Computer and System Sciences International. 2011. Vol. 50. 5. P. 698 - 719.
29. Основы автоматического регулирования и управления: учеб. пособие / под ред. В.М. Пономарева и А.П. Литвинова. М.: Высшая школа, 1974. 439 с.
30. Матвеев.В.В, Распопов.В.Я. Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации на МЭМС-датчиках. Тула: Изд-во ТулГУ, 2017. 255 с.
31. Толочко О.И., Коцегуб П.Х., Розкаряка П.И. Применение метода стандартных полиномов при синтезе системы подчиненного регулирования положения // Вюник Схщноукрашського нащонального ушверситету iм. В. Даля. Луганськ, 2007, № 11 (117). С. 182 - 193.
32. Распопов В.Я. Теория гироскопических систем. Гиростабилиза-торы. Тула: Изд-во ТулГУ, 2016. 388 с.
Погорелое Максим Георгиевич, канд. техн. наук, доцент, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Понитков Егор Игоревич, аспирант, tgupuayandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Добаринов Павел Романович, магистрант, tgupuayandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Федоров Дмитрий Викторович, магистрант, tgupu@,yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Филин Иван Алексеевич, магистрант, tgupuayandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
REFERENCE MODEL FOR SYNTHESIS OF MODAL AUTOMATIC CONTROL
SYSTEM REGULA TOR
M.G. Pogorelov, E.I. Ponitkov, P.R Dobarinov, D. V. Fedorov, I.A. Filin
196
The article considers the task of creating a reference model that describes the desired behavior of the automatic control system, and precedes the synthesis of the controller by the modal control method. The relevance and importance of solving this problem is shown. The analysis of the most common standard polynomials used in the formation of the reference model by the method of standard transitional characteristics is carried out. Dependencies and numerical values are obtained that allow using them in engineering practice for analyzing the quality indicators of a designed system configured for various reference models. Recommendations are given on the formation of a reference model depending on the requirements of the technical specifications and the parameters of the system loop.
Key words: reference model, standard polynomial, modal synthesis, regulator, synthesis.
Pogorelov Maxim Georgievich, candidate of technical sciences, docent, MGPogoreloff@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Ponitkov Egor Igorevich, postgraduate, tgupuayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Dobarinov Pavel Romanovich, undergraduate, tgupuayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Fedorov Dmitry Viktorovich, undergraduate, tgupuayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Filin Ivan Alekseevich, undergraduate, tgupu@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 351.383
МОДАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА ПОЛЕЗНОЙ НАГРУЗКИ
М.Г. Погорелов, Е.И. Понитков
Приведена методика синтеза регулятора методом модального управления, обеспечивающая требуемые динамические показатели качества, примененная на примере одноосного гиростабилизатора полезной нагрузки.
Ключевые слова: индикаторный гиростабилизатор, модальный регулятор, модальный синтез.
Стабилизация полезной нагрузки - одна из важных задач в различных областях народного хозяйства. Под стабилизацией в общем случае понимается поддержание или обеспечение требуемого положения контролируемого параметра объекта, например, углового положения объекта в пространстве или его угловой скорости, действующего значения тока, момента и т. д.
