CC BY
77
УДК 681.513
В.Х. Пшихопов, М.Ю. Медведев
СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПОДВОДНЫМИ АППАРАТАМИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ
ОРГАНОВ*
Рассматривается метод синтеза робастных управлений подводными аппаратами на основе их многосвязных моделей, учитывающих нелинейности по управляющим воздейст-
.
. , состоящих из одного блока. Найдено преобразование, приводящее математическую модель подводного аппарата к виду, состоящему из одного блока. Приводятся достаточные условия решения задачи синтеза.
Подводные аппараты; нелинейные многосвязные системы; робастность.
V.Kh. Pshikhopov, M.Yu. Medvedev
SYNTHESIS OF CONTROL SYSTEMS FOR UNDERWATER VEHICLES WITH NONLINEAR ACTUATORS
This paper presents novel methods of the synthesis of a robust control systems for underwater vehicles with nonlinear actuators. The synthesis procedure is based on the method of Lyapunov. Bounds of controls are considered. A new procedure for a special form of mathematical models is developed. A transformation of the underwater vehicle model to the special form is proposed. Sufficient condition of the design problem solvability is calculated.
Underwater vehicle; nonlinear multi-connected systems; robustness.
.
системы управления в условиях существенной неопределенности математической модели объекта. Как известно, теория систем с переменной структурой (СПС) разработана под руководством Е.В. Емельянова [1-3]. Теория разрывных систем также исследовалась в [4-7].
Основные направления использования скользящих режимов связаны с синтезом управлений в условиях неопределенности. В работе [8] для механических сис-, , -,
устойчивости замкнутой системы. Кроме того, в работе [9] для указанного класса систем получены условия управляемости.
В работе [10] разрабатывается блочный метод синтеза нелинейных систем с использованием скользящих режимов. Процедура синтеза основана на блочном методе [11-13], базирующемся на блочно-управляемой нелинейной форме вида
dx,(t) , ч ч
dt = fi (,..., x, t) + B1(x1,..., xr, t ju,
dxi (t)
dt dxr (t) dt
= fi(.....xr>t) + Bi(.....xr.t)-і. i = r-1.2. (1)
= fr (xr .t) + Br (xr .t )xr-1.
* Работа поддержана грантами РФФИ № 10-08-00200-а. № 10-08-00219-а.
где fi ( xr , t), Bi ( x;,...,xr, t)_1 - непрерывно дифференцируемые i -1
раз по всем своим аргументам функции.
Дополнительно принято условие
dimx = dimВг. (хг.,...,xr,t). (2)
При выполнении условия (2) и гладкости функций fi ( ,..., xr , t), Bi (i,..., xr , t )xi _1 В [10] доказано существование преобразования в блочно-управляемую форму и существование разрывного управления, обес-
печивающего скользящий режим, описываемый линейным уравнением с желае-. -
вания динамических систем к регулярной форме. Предложена итерационная процедура синтеза поверхности и желаемого уравнения скольжения.
Блочный подход к синтезу разрывных управлений также использован в [14]. В данной работе функции, описывающие объект управления, в качестве которого
( ), . При этом рассматривается класс задач слежения за заданными траекториями. Также представлено соответствующее информационное обеспечение, позволяющее синтезировать и исследовать полученные робастные законы управления.
Еще одним путем синтеза релейных систем управления является синтез регуляторов на основе принципа максимума [15, 16], на основе которого получено широко известное программное кусочно-постоянное управление, оптимальное по .
широкое применение для решения различных задач управления [17-19].
В работе [20] предложен еще один способ формирования близкого к релейному управления, который получен на основе методов структурного синтеза [21], путем устремления постоянных времени эталонных уравнений к нулю. Данный подход отличается свое простотой и удобством физической реализации.
В данной работе результаты, полученные в [18, 19, 22, 23], развиваются для класса нелинейных многосвязных систем, неаффинных по управляющим воздействиям. Рассматривается случай, когда управляющие воздействия ограничены по, , которой приведено в [22, 23].
Подводные аппараты (ПА) также имеют блочную структуру, однако для них характерна нелинейная зависимость сил и моментов от состояния управляющих , . Постановка задачи. Математическая модель ПА с учетом нелинейности характеристики управляющих органов может быть представлена следующими уравнениями:
X = f (х) + b (x,u), (3)
где X - n-вектор переменных состояния размерности n; U - m-вектор управляющих
воздействий размерности m; f (х ) = ( (х)), i = 1, n - функциональный вектор;
B (х ) = ( (х)) , i = 1, n - функциональная матрица размерностью n X m .
,
вида
\u}\ < ujmax, j = 1,m,. (4)
max ^ r\
где uj > 0 - постоянные положительные числа.
Требуется найти управляющее воздействие и — (их и2 ... ит) в виде
векторной функции переменных состояния системы (3) при ограничениях (4), которое переводит объект управления (3) из произвольного начального состояния
х0*0 в заданное конечное состояние хк —0, обеспечивая асимптотическую
устойчивость замкнутой системы и робастность к векторной функции Ї (х).
, (3) -
равенствами:
\£ (х)|< Ь (х,и"“)
, І — 1, П . (5)
Рассматривается случай, когда модель ПА (3) приведена к одному блоку с помощью преобразования, представленного в [22].
В соответствии с [22] объект (3) состоит из одного блока, если выполнено следующее условие:
||Ь; (х)||^0, I = 1,п. (6)
Синтез управления. Рассмотрим квадратичную функцию вида
V = 0,5хг х. (7)
Производная по времени от (7) в силу уравнений ПА (3) равна
V = X Т X = X Т (/ (( ) + ь(х, и)). (8)
Рассмотрим случай, когда матрица Якоби производной (8) по управлению содержит элементы, зависящие от вектора и:
ЭЬ (х, и) , ч
а = Ви (х,и). (9)
Эи
В этом случае можно использовать необходимое условие минимума производной (9), которое заключается в равенстве нулю ее частной производной по вектору управлений и [24]:
ЭУ ЭхТ (Г (х) + Ь (х,и)) ЭЬ(х,и)
— =-----^---------------1- = хТ —^= 0. (10)
Эи Эи Эи
Пусть существует некоторая функция
и = иДх), (11)
удовлетворяющая системе алгебраических уравнений (10). В этом случае управле-, (8), -ется в соответствии со следующим выражением:
иДх), V|иДх)<итах, и= ^ +итах, ^(х)> ит^, (12)
-и т^, Vu1(x )<-итах.
Управление (12) обеспечивает только необходимые условия достижения минимума производной (8). Если существует зависящая от вектора управлений матрица вторых частных производных функции (8) по вектору U :
Э2Ь (х, u) , .
aVu2 = Buu (x,U), (13)
то для нахождения вектора управлений, обеспечивающего минимум выражения
(8), [24]
d2V T Э2Ь(х,u)
eiT х ~а^>°. (14)
Если существует векторная функция
u = U2(x), (15)
(14), , -
(8) , -
ляется выражением
u2 (х) V |u2 (х)|< u^
u= < +umax, Vu 2(х )> umax, (16)
-umax, Vu2 (х) < —umax.
Предположим, что элементы векторной функции b(х,u) в некоторой области Оь удовлетворяют условиям:
b (хu) = b (х)bu (u) i =1,n, (17)
sign(bu (u)) = sign(u+a ), (18)
a - .
(18) , , . -
(8)
система алгебраических неравенств:
|bi u')>| fi (х), i = 1 n . (19)
(19)
|bi (x,u') = ci (х) > | fi (х)|, i = 1, n . (20)
(20) , -
/
тельно u уравнений:
b (х,u ) = с. (х), i = 1, n. (21)
, (19)
системы алгебраических уравнений. Отметим, что для аффинных по управлению (19) ( . . )
ранговым условиям [22, 23].
Управление рулевыми органами ПА. Рассмотрим прим енение изложенного метода для синтеза управления ПА. Вначале рассмотрим локальные каналы органов управления. Характерными нелинейностями, присущими гидродинамическим органам управления ПА, являются тригонометрическая зависимость создаваемых моментов и сил от положения [25] и кубическая составляющая, связанная с гидродинамическим напором. В этой связи рассмотрим пример управления гидродинамическим рулем ПА с учетом тригонометрической нелинейности.
Пусть уравнения объекта имеют вид
dx . i \ i i .
— = -x + sin(u), U < 1. (22)
dt
Рассмотрим квадратичную функцию вида (7). Ее производная по времени,
(22),
V = x(— x + sln(u)). (23)
Вычислим вторую частную производную от выражения (23) по управлению, в результате чего получим:
э 2V
(u). (24)
dV2
Неравенство (14), определяющее область устойчивости замкнутой системы, (22)
|sin(и)> |x|. (25)
(24) ,
(22):
- arcsin (dx), V |arcsin (dx ) < 1,
+1, V arcsin (dx)>1, (26)
-1, V arcsin (dx) < 1.
(22),
(26) . 1 2.
Путем моделирования легко убедиться, что при нарушении условия (25) сис-(22), (25) .
Рассмотрим теперь уравнения рулевого элемента [26] с учетом гидродинамической нелинейности вида
dxi(t) = х
dt 2’ (27)
dx2 (t) 3 (27)
—— = и + и , dt
где на переменные состояния и управление наложены следующие ограничения:
Со, ,
2\ т
где хт, итах - положительные
xJ < x2 У < Umax , (28)
Рис. 1. Переходный процесс в системе Рис. 2. Управление в системе (22), (26)
(22), (26)
Система (27) состоит из двух блоков, т.е. она не удовлетворяет условию (6). В этом случае можно воспользоваться процедурой блочного синтеза, изложенной в [18, 19, 22, 23].
В соответствии с указанной процедурой синтеза запишем следующую частную функцию Ляпунова:
V1 = 0,5xf., (29)
(29) (27)
V1 = x1 x1 = x1 x2 . (30)
Фиктивным управлением [18, 19, 22, 23] для первого блока является пере-
x2 . , (30)
(28):
Х2 = Xl X1 ). (31)
, [18, 19, 22, 23], -
проксимацией разрывной функции (31):
x2 = x2m tanh(- qxx1), (32)
где q1 - положительное число, приближающее функцию гиперболического тангенса к знаковой функции.
Выражение (32) задает цель управления в установившемся режиме для второго блока системы (27). В соответствии с (32) формируется общая функция Ляпунова вида
V2=0,5(x2+xmtanh(xj) . (33)
(33)
V2 = (x2 + x2m tanh(qjx1 ))(u + u3 + x2m (1 - tanh2 (qxx1 ))q1 x2). (34)
Минимум функции (34) достигается либо из необходимого и достаточного условия (14), либо на границах управлений. В данном случае неравенство (14) имеет вид
= 4u{x2 + x2m tanh( x1 ))> 0. (35)
вида
Эи2
Из последнего неравенства получаем, например, оптимальное управление
u1 = -x2 + x2m tanh(x1). (36)
На границах управлений максимум функции (35) достигается при следующем управляющем воздействии:
и2 = -Umsign(x2 + x2m tanh(x1)). (37)
Подставим выражения (36) и (37) в (34). В результате получим выражения для производной (34) функции Ляпунова (33) с различными управлениями, разница между которыми определяется выражением
У = V21 - V22 = f2 + /14 - fUmSignf1 - fUmsignfx, (38)
где f1 = x2 + x2m tanhq1 x1.
Из выражения (38) видно, что оно всегда положительно, поэтому оптимальным в данном случае является управление на ограничениях (37).
Вид функции (38) представлен на рис. 3.
.10'
:ї,
У
f1
-so о so 100
Рис. 3. К определению знака выражения (38)
(37) (34):
V2 = (x2 + x2m tanh(q1x1)) •
-Umsign (x2 + x2m tanh (q1x1)) - Umsign (x2 + x2m tanh (qtxi)) + x^(l- tanh2 (qtxx)) qlx2
(39)
Условие отрицательной определенности выражения (39), т.е. условие асимптотической устойчивости замкнутой системы, имеет вид:
Um + U3m
> qi (xl)2. (40)
На рис. 4-7 приведены результаты моделирования замкнутой системы управления (27), (28), (37), которое проводилось при следующих параметрах:
|х2| < 1, У < 3, ^ = 10 .
' і----------------------Г '
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Рис. 4. Фазовый портрет системы (27), (28), (37)
Рис. 5. Изменение переменной X1 системы (27), (28), (37)
1.5
0.5
0
-0.5
x2(t)l 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 - —1 — 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 — н 1 — н 1 — _| 1 1 1 1 1
1 J 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t,c 1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Рис. 6. Изменение переменной Х2 системы (27), (28), (37)
u(t) II
t,c
_3 J I I I I I I I I I I
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
. 7.
воздействия системы (27), (28), (37)
На рис. 4 представлен фазовый портрет замкнутой системы управления, из которого видно, что ограничения на переменные состояния выполняются. Из
рис. 5 видно, что переходный процесс по переменной Х1 завершается приблизительно за 1 секунду, что соответствует оптимальному быстродействию, так как на нее воздействует ограниченная переменная |х2| < 1.
Условиями управляемости по ЕС. Пятницкому объекта (27) являются следующие неравенства:
XL > 0, U „ax > 0. (41)
Заключение. Предложенные регуляторы сов падают с робастными регуляторами [18, 19], полученными на основе принципа максимума Понтрягина в задаче о быстродействии. Сравнивая результаты работ [18, 19] и настоящей статьи можно установить, что связь между робастным управлением, полученным на базе функ, , -
,
dV
= - H , (42)
dt
где H - функция Понтрягина.
Представленные теоретические результаты относятся к системам, состоящим из одного блока, преобразование к которым описано в работах [22, 23]. Однако, как видно из примера 2, при блочной структуре, для неаффинных по управлению , ,
[22, 23], .
В отличие от линейных по управлению систем, в данном случае требуется выполнение условий, (17), (18), связывающих знак нелинейных функций со знаком , ,
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Емельянов С.В., Уткин В.И., Применение систем автоматического регулирования с переменной структурой для управления объектами, параметры которых изменяются в широких пределах // ДАН СССР, 1963. - Вып. 152. - № 2.
2. Петров Б.Н., Емельянов СВ., Уткин В.И. Принцип построения инвариантных систем автоматического регулирования с переменной структурой // ДАН СССР, 1964. - Вып. 154.
- № 6.
3. Петров Б.El., Емельянов С.В. Принцип построения комбинированных систем автоматического регулирования с переменной структурой // ДАН СССР. - 1963. - Вып. 153. - № 5.
4. Айзерман МЛ., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. Ч. I, II // Автоматика и телемеханика. - 1974. - № 7. - С. 33-47. - № 8. - С. 39-61.
5. Барбашин ЕЛ., Алимов Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений // Известия вузов. Сер. матем. - 1962. - № 1. - С. 3-13.
6. Матрос ов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями. Ч. I, II // Диф. уравн. - 1967. - Т. 3, № 3. - С. 395-409. - № 5. - С. 869-878.
7. Филипп ов АЛ. дифференциальные уравнен ия с разрывной правой частью. - М.: Наука, 1985.
8. Пятницкий Е.С. Управление механическими системами в условиях неопределенности
// -
лемеханика. - 1999. - № 5. - С. 164-169.
9. Пятницкий Е.С. Управляемость классов лагранжевых систем с ограниченными управ-
// . - 1996. - 12. - . 29-37.
10. Лукьянов АТ. Блочный метод синтеза нелинейных систем на скользящих режимах // Автоматика и телемеханика. - 1998. - № 7. - С. 14-34.
11. Лукьянов АТ., Уткин В.И. Построение оптимальных линейных систем с вырожденными критериями // Автоматика и телемеханика. - 1982. - № 7. - С. 3-12.
12. Дракунов С.В., Изосимов Д.Б., Лукьянов АТ., Уткин ВЛ., Уткин В.И. Принцип блочного управления. Ч. I // Автоматика и телемеханика. - 1990. - № 5. - С. 3-13.
13. Дракунов С.В., Изосимов Д.Б., Лукьянов АТ., Уткин ВЛ., Уткин В.И. Принцип блочного управления. Ч. II // Автоматика и телемеханика. - 1990. - № 6. - С. 20-31.
14. Краснова СЛ., Уткин ВЛ., Уткин А.В. Блочный синтез управления механическими
// , .
- 2009. - № 6. - С. 41-54.
15. Болтянский ВТ. Математические методы оптимального управления. М.: Наука. 1969.
16. Понтрягин J1.C., Болтянский ВТ., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко ЕЛ. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Физматгиз, 1961.
17. Карамзин ДМ. Принцип максимума в задаче управления при ограниченных фазовых координатах // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 2. - С. 26-38.
18. Медведев ММ. Синтез замкнутых оптимальных по быстродействию управлений каскадными нелинейными динамическими системами с ограничениями на координаты // Мехатроника, автоматизация и управление. - 2009. - № 7. - С. 2-6.
19. Медведев ММ. Синтез субоптимальных управлений нелинейными многосвязными динамическими системами // Мехатроника, автоматизация и управление. - 2009. - № 12.
- С. 2-8.
20. Пшихопов В.Х. Позиционное, субоптимальпое по быстродействию управление мобильным роботом // Национальная академия наук Украины «Искусственный интеллект».
- 2001. - № 3. - С. 490-497.
21. Бойчук Л.М. Метод структурного синтеза нелинейных систем автоматического управления. - М.: Энергия, 1971.
22. Пшихопов В.Х., Медведев ММ. Синтез адаптивных систем управления летательными аппаратами // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 3 (104). - С. 187-196.
23. Пшихопов В.Х., Медведев ММ. Блочный синтез робастных систем при ограничениях на
( ) // , -
ление. - 2011. - № 1.
24. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973.
25. Костюков В.А., Пшихопов В.Х. Применение программного комплекса NUMECA
International для расчета аэрогидродинамических параметров математических моде// . . - 2008. - 7 (84).
- С. 82-84.
26. Красовски й А А. Александров АТ., Артемьев В.Н. и др. Справочник по теории автоматиче-
/ . . . . - .: : . . .- . . 1987.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор РА. Нейдорф. Медведев Михаил Юрьевич
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: medv_mihal@rambler.ru.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 88634371694.
Кафедра электротехники и мехатроники; к.т.н., доцент.
Пшихопов Вячеслав Хасанович
E-mail: pshichop@rambler.ru.
Кафедра электротехники и мехатроники; зав. кафедрой; д.т.н.
Medvedev Mixail Yur’evich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: medv_mihal@rambler.ru.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634371694.
The Department of Electrical Engineering and Mechatronics; Cand. of Eng. Sc.; Associate Professor.
Pshixopov Vyacheslav Xasanovich
E-mail: pshichop@rambler.ru.
The Department of Electrical Engineering and Mechatronics; Department Head; Dr. of Eng. Sc.
