СИНТЕЗ СХЕМ ИЗ НЕНАДЕЖНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В Pk Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.718

М. А. Алехина

СИНТЕЗ СХЕМ ИЗ НЕНАДЕЖНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В Pk

Аннотация.

Актуальность и цели. Многозначная логика предоставляет широкие возможности для разработки различных алгоритмов во многих областях и с успехом применяется при решении многих задач и во множестве технических разработок. Этим объясняется интерес к задаче построения надежных схем в полном конечном базисе из к-значных функций (к > 3), которая решена при к равном 3 и 4. Цель работы - выявить свойства k-значных функций (к > 5), схемы которых можно использовать для повышения надежности исходных схем, и описать соответствующий метод синтеза.

Материалы и методы. В работе используются известные методы дискретной математики и математической кибернетики для получения оценок ненадежности схемы и для оценок числа функций специального вида. Кроме того, предлагается новый метод синтеза схем из ненадежных функциональных элементов.

Результаты. Выявлены свойства k-значных функций (к > 5), схемы которых можно использовать для повышения надежности исходных схем, и описан соответствующий метод синтеза. Также получены верхняя и нижняя оценки для числа этих функций.

Вывод. Выявленные ранее свойства трехзначных и четырехзначных функций, схемы которых можно использовать для повышения надежности исходных схем, можно обобщить на случай k-значных функций при любом натуральном к > 5.

Ключевые слова: функции к-значной логики, ненадежные функциональные элементы, синтез схем из ненадежных элементов.

M. Л. Л1екИта

SYNTHESIS OF CIRCUITS CONTAINING UNRELIABLE GATES IN Pk

Abstract.

Background. Multivalued logic gives ample opportunities for creation of various algorithms in many fields and can be successfully applied in solving problems and in multiple technical developments. This explains the interest to the problem of building reliable circuits in the complete finite basis of к-valued functions (к > 3), which is solved with к equaling to 3 and 4. The aim of the work is to reveal features of к-valued functions (к > 5), the circuits of which may be used for improvement of initial circuits’ reliability, and to describe the corresponding synthesis method.

Materials and methods. The study included well-known methods of discrete mathematics and mathematical cybernetics for obtaining circuit unreliability values and for

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 14-01-00273.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

3

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

estimating a number of functions of a special type. Besides, the author suggests a new method of synthesizing circuits containing unreliable functional elements.

Results. The author revealed k-valued functions (k > 5), the circuits that can be used for improvement of initial circuits’ reliability, and described the corresponding synthesis method. The researcher obtained the upper and the lower values for a number of such functions.

Conclusions. Features of three-valued and four-valued functions, revealed previously, circuits that can be used for improvement of initial circuits’ reliability may be generalized in case of k-valued functions at any natural k > 5.

Key words: k-valued logic functions, unreliable functional gates, synthesis of circuits containing unreliable gates.

Введение

В современной технике и математике в подавляющем большинстве случаев используется двузначная логика. Основные модельные объекты, работающие на основе двузначной логики (например, схемы из ненадежных элементов [1-3], неветвящиеся программы [4]), на данный момент являются достаточно хорошо изученными. Однако сложность решаемых задач, а следовательно, и технических устройств, постоянно возрастает.

Многозначная логика предоставляет более широкие возможности для разработки различных алгоритмов во многих областях. Она позволяет уменьшить как вычислительную сложность, так и размеры, число соединений в различных арифметико-логических устройствах, повысить плотность размещения элементов на схемах, найти альтернативные методы решения задач.

Уже сейчас многозначная логика с успехом применяется при решении многих задач и во множестве технических разработок. Среди них различные арифметические устройства, системы искусственного интеллекта и обработки данных, обработка сложных цифровых сигналов и т.д.

В работе [5] описан функционально полный в Р3 базис, в котором на компромиссной основе согласованы математические и технические (МДП-техники) требования и интересы; а также рассмотрены некоторые аспекты синтеза электронных схем в этом базисе. В работе [6] построен функционально полный в Р4 базис, реализуемый в МОП-структурах.

Таким образом, определенный интерес представляет задача исследования надежности функционирования схем в полном конечном базисе из k-значных функций (k > 3). Задача построения надежных схем в произвольном полном базисе из трехзначных функций (т.е. при k = 3) решена в диссертации О. Ю. Барсуковой [7], а в работах [8, 9] описаны функции трехзначной и четырехзначной логик, схемы которых можно использовать для повышения надежности исходных схем. Результаты этих работ можно обобщить на k-значные функции при k > 5.

Цель данного исследования - выявить свойства функций k-значной логики, схемы которых можно использовать для повышения надежности исходных схем, и описать соответствующий метод синтеза.

1. Основные понятия и определения

Пусть n е N, Ek = {0,1,2,...,k -1} , а Pk - множество всех функций четырехзначной логики, т.е. функций f (xi,...,xn):(Ek)n ^ Ek . Рассмотрим ре-

4

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

ализацию функций из множества Рк схемами из ненадежных функциональных элементов в произвольном полном конечном базисе B.

Будем считать, что схема из ненадежных элементов реализует функцию

f (xn) (xn = (xj,...,xn)), если при поступлении на входы схемы набора ап при

отсутствии неисправностей в схеме на ее выходе появляется значение f (ап).

Предполагается, что все базисные элементы ненадежны, переходят в неисправные состояния независимо друг от друга, а сами неисправности могут быть произвольными (например, инверсными или константными).

Пусть схема S реализует функцию f (xп), ап - произвольный входной набор схемы S, f (ап) = т . Обозначим через Pf (3п) (S, ап) вероятность

J (а )^т

появления ошибки на выходе схемы S при входном наборе ап . Ясно, что Pf (ап)*т(S,ап) = Рт+1(S,ап) + Рт+2(S,ап) +... + Рт+к-1(S,ап) . Отметим, что в выражениях т + 1, т + 2, ..., т + k — 1 сложение осуществляется по mod к.

Например, если входной набор ап схемы S такой, что f (ап) = 0, то вероятность ошибки на этом наборе равна

Pf (. п) ^0( S, <3 п) = Pj( S, <3 п) + P2(S, <3 п) +... + Рк—1( S, <3 п).

Ненадежностью схемы S будем называть число

Р( S) = max{Pf (а п) ^( S, а п)},

где максимум берется по всем входным наборам ап схемы S .

Надежность схемы S равна (1 — Р(S)).

2. Специальный класс функций

Пусть базисные элементы независимо друг от друга переходят в неисправные состояния, а неисправности могут быть произвольными.

Пусть am, (вm - некоторые наборы с компонентами из множества Ек длины m (m > 3). Обозначим через p(&m ,(3m) число координат, в которых наборы am и (3m различаются.

Например, если (X4 = (0102), (в4 = (3101), то р(а4,(в4) = 2 .

Пусть функция g(xm) обладает следующими свойствами одновременно: существуют такие различные наборы (^1 , (^2 ,...,(Xк , что:

1) значения g(am) и g(a!j) попарно различны при i ^ j (i, jе {1,2,...,к});

2) для любого набора am такого, что найдется iе {1,2,...,к}, при котором p(am, am) < 1, верно равенство g(am) = g(am).

Physical and mathematical sciences. Mathematics

5

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Наборы am , а™am будем называть характеристическими наборами функции g(xm).

Замечание 1. Если am , схm,..., am - характеристические наборы функции g (Xm), то любые два из них отличаются не менее чем в трех координатах. Обозначим через Gm множество функций g (Xm) с перечисленными

свойствами. Пусть G = и Gm .

m=3

Пример. Нетрудно проверить, что:

1) функция gj(.X4) = max{ min(xj,X2),min(X3,X4)}G, а (0000), (1111), ..., (k -1, k -1, k -1, k -1) - ее характеристические наборы;

3

2) функция g2(X ) = X1 + X2 + X3(mod k) g G.

Замечание 2. Нетрудно видеть, что если k-значная функция g(Xm) е G ,

то функция g'(Xm), получаемая из нее сужением на (Ek-1)m, обладает свойствами 1 и 2, т.е. (k -1) -значная функция g' е G . Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Теорема 1. Для числа | Gm | функций в множестве Gm справедливо двойное неравенство:

m 2 k-1

kkm -k m+(k+1)m-k П (km - ia) <| Gm |< k

i=1

km - k 2m+2km -k

где a = (k - 1)m +1 + C^k -1)2.

Доказательство. Пусть функция g(Xm) е Gm . Характеристический набор am , на котором g(am) = 0, можно выбрать km способами. Характеристический набор am , на котором g(am) = 1, можно выбрать не более чем km способами и т.д. Набор am , на котором g(am) = k -1 также можно выбрать не более чем km способами.

Пусть характеристические наборы am, am,..., am известны. Тогда известны значения функции g (Xm) на всех наборах, соседних с набором am (таких наборов km ); на всех наборах, соседних с набором am (таких наборов km) и т.д. на всех наборах, соседних с набором am (таких наборов km). Остальные значения функции g(Xm) могут быть любыми из множества Ek . Поэтому | Gm |< (km )k kkm -k(k-1)m -k = kkm -Pm+2km -k .

Оценим снизу | Gm |. Ясно, что характеристический набор am , на котором g(am) = 0, можно выбрать km способами. Количество наборов, от-

6

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

личных от набора am не более чем одной координатой, равно (k — 1)m +1. Наборы, отличные от набора am ровно в двух координатах (их число равно C2m(k — 1)2 ), также не могут быть выбраны в качестве am (см. замечание 1). Тогда набор am можно выбрать не менее чем km — ((k — 1)m +1 + Cm (k — 1)2)

способами. Как и для набора am , для набора am число наборов, отличных не более чем в двух координатах, равно Cm (k — 1) . Поэтому его можно выбрать не менее чем km — 2((k — 1)m +1 + C;^k — 1)2) и т.д. Для набора am

число наборов, отличных не более чем в двух координатах, также равно Cm (k — 1) . Поэтому его можно выбрать не менее чем

km — (k — 1) ((k — 1)m +1 + Cm (k — 1)2) способами.

Таким образом, после выбора характеристических наборов

k (k — 1)m + k значения функции g (xm) известны, а остальные

km — k(k — 1)m — k значений функции g(xm) могут быть любыми из множества Ek . Поэтому

| Gm |> kkm — k(k—1)m—kkm (km — ((k — 1)m +1 + Cm(k — 1)2))X x(km — 2 ((k — 1) m +1 + C;2( k — 1)2 ))•...-(km — (k — 1) ((k — 1) m +1 + C;2( k — 1)2 )) =

= kkm —k (k—1)m—k+m П (km — i ((k — 1)m +1 + Cm (k — 1)2)).

i=1

Следовательно,

|Gm |>kkm —k2m+(k+1)m—kП[km — i((k — 1)m +1 + C2m(k — 1)2)).

i =1

Теорема 1 доказана.

Лемма [8]. При всех p е [0,1] и m > 3 справедливо неравенство

m

^Cm' £(2” — m-1)p2.

i=2

Теорема 2. Предположим, что любую функцию из Pk можно реализовать схемой с ненадежностью не больше p . Пусть схема Sg реализует функцию g(xm)е G с ненадежностью P(Sg), причем v°,v1,...,vk—1 - вероятности ошибок схемы Sg на характеристических наборах am, am,..., am соответ-

Physical and mathematical sciences. Mathematics

7

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

ственно и g(am) = 0, g(am) = 1,g(am) = k -1. Тогда произвольную функцию f можно реализовать такой схемой A, что

P(A) < max{v°,v1,...,vk-1} + mpP(Sg) + (2m -m -1)p2 .

Доказательство. Пусть функция g(xm) e G имеет характеристические наборы am, a22,...,am . Пусть схема Sg реализует функцию g с ненадежностью P(Sg), причем v0,v1,...,vk 1 - вероятности ошибок схемы Sg на характеристических наборах am, am,..., am соответственно и g (am) = 0,

g(am) = 1, ..., g(am) = k -1.

Пусть f - произвольная функция из Pk. Без ограничения общности можно считать, что функция f зависит от переменных Х1,..., xn, т.е.

f = f (xn), а функции фу (у ) (у e{1,..., m}) определяются формулами

ЧО), У = 0;

фу(У) =

МО, у = 1;

ak О Х У = k -1

По условию теоремы каждую из функций фу (f (xn)) можно реализовать схемой Фу, ненадежность которой P^у) < p .

Возьмем схемы Ф1,...,Фm и соединим их выходы со входами схемы Sg . Построенную схему обозначим через A . Проверим, что схема A реализует функцию f .

Действительно, пусть на входы схемы A поступает такой набор ап , что f (ап) = j (j e Ek). Тогда при отсутствии неисправностей во всех схемах Фу на входы схемы Sg поступит набор «m+1. При отсутствии неисправностей в схеме Sg на ее выходе появится значение g(о22+1) = j, т.е. значение на выходе схемы A равно j и равно f (ап).

Таким образом, при поступлении на входы схемы A набора ап и отсутствии неисправностей в ней на выходе схемы A появляется значение f (ап), т.е. схема A реализует функцию f .

Вычислим вероятности ошибок на выходе схемы A .

Пусть входной набор ап таков, что f (ап) = j (j e Ek). Вероятность Pr,^. (A,ап) появления ошибки (т.е. появления любого из значений

f (а )^ j ’ ’ V

j + 1(modk), j + 2 (modk), ..., j + k -1 (modk)) на выходе схемы A в этом случае удовлетворяет неравенству

8

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

m

Pf (.„ у . (A,aп) < v j + mpP(Sg) + ^ CmP,

i=2

где vj - вероятность появления любого из значений j +1 (mod k), j + 2 (modk), ..., j + k — 1 (modk) на выходе схемы Sg при поступлении на

ее входы набора 6^+1.

m

По лемме 1 верно неравенство ^Clmpl(1 — p)m—l < (2m — m — 1)p2, сле-

i=2

довательно,

Pf ian)j (A, an) < vJ + mpP(Sg) + (2m — m — 1)p2.

Из этого неравенства следует утверждение теоремы:

P(A) < max{v0,v1,...,vk—1} + mpP(Sg) + (2m — m — 1)p2 .

Теорема 2 доказана.

Таким образом, получены следующие результаты:

1. Выявлены свойства k-значных функций, схемы которых можно использовать для повышения надежности исходных схем (теорема 2) и описан

соответствующий метод синтеза.

2. Получены верхняя и нижняя оценки для числа таких функций (теорема 1).

Список литературы

1. Васин, А. В. О базисах, в которых асимптотически оптимальные схемы функционируют с ненадежностью 5е / А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 1 (13). -С. 64-79.

2. Алехина, М. А. О ненадежности схем из ненадежных функциональных элементов при однотипных константных неисправностях на выходах элементов / М. А. Алехина // Дискретная математика. - 2012. - Т. 24, № 3. - С. 17-24.

3. Alekhina, M. A. Synthesis and complexity of asymptotically optimal circuits with unreliable gates / M. A. Alekhina // Fundamenta Informaticae. - 2010. - Vol. 104 (3). -P. 219-225.

4. Грабовская, С. М. О надежности неветвящихся программ с ненадежным оператором условной остановки в произвольном полном конечном базисе / С. М. Грабовская // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3 (19). - С. 52-60.

5. Виноградов, Ю. А. О синтезе трехзначных МДП-схем / Ю. А. Виноградов // Математические вопросы кибернетики : сб. ст. - Вып. 3. - М. : Наука, 1991. -С. 187-198.

6. Виноградов, Ю. А. О синтезе четырехзначных квазикомплементарных МОП-схем / Ю. А. Виноградов // Математические вопросы кибернетики : сб. ст. -Вып. 8. - М. : Наука, 1999. - С. 298-300.

7. Барсукова, О. Ю. Синтез надежных схем, реализующих функции двузначной и трехзначной логик : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Барсукова О. Ю. - Пенза, 2014. - 87 с.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

9

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

8. Алехина, М. А. О надежности схем, реализующих функции трехзначной логики / М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова // Дискретный анализ и исследование операций. - 2014. - Т. 21, № 4. C. 12-24.

9. Алехина, М. А. О синтезе схем из ненадежных элементов в Р4 / М. А. Алехина, С. П. Каргин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 4 (32). - C. 47-56.

References

1. Vasin A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2010, no. 1 (13), pp. 64-79.

2. Alekhina M. A. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 2012, vol. 24, no. 3, pp. 17-24.

3. Alekhina M. A. Fundamenta Informaticae [Fundamental informatics]. 2010, vol. 104 (3), pp. 219-225.

4. Grabovskaya S. M. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 3 (19), pp. 52-60.

5. Vinogradov Yu. A. Matematicheskie voprosy kibernetiki: sb. st. Vyp. 3. [Mathematical problems of cybernetics: collected papers. Issue 3]. Moscow: Nauka, 1991, pp. 187-198.

6. Vinogradov Yu. A. Matematicheskie voprosy kibernetiki: sb. st. Vyp. 8. [Mathematical problems of cybernetics: collected papers. Issue 8]. Moscow: Nauka, 1999, pp. 298-300.

7. Barsukova O. Yu. Sintez nadezhnykh skhem, realizuyushchikh funktsii dvuznachnoy i trekhznachnoy logik: dis. kand. fiz.-mat. nauk [Synthesis of reliable circuits, realizing functions of two-valued and three-valued logic: dissertation to apply for the degree of the candidate of physical and mathematical sciences]. Penza, 2014, 87 p.

8. Alekhina M. A., Barsukova O. Yu. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy [Discrete analysis and research of operations]. 2014, vol. 21, no. 4, pp. 12-24.

9. Alekhina M. A., Kargin S. P. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 4 (32), pp. 47-56.

Алехина Марина Анатольевна

доктор физико-математических наук, профессор, заведующая кафедрой дискретной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Alekhina Marina Anatol'evna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of discrete mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 519.718 Алехина, М. А.

Синтез схем из ненадежных элементов в Pk / М. А. Алехина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 3 (35). - С. 3-10.

10

University proceedings. Volga region