Асимптотически оптимальные по надежности схемы в базисе Россера — Туркетта в p 4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 1 (33), 2015

Физико-математические науки. Математика

УДК 519.718

М. А. Алехина, С. П. Каргин

АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО НАДЕЖНОСТИ СХЕМЫ В БАЗИСЕ РОССЕРА - ТУРКЕТТА В P41

Аннотация.

Актуальность и цели. Многозначная логика предоставляет широкие возможности для разработки различных алгоритмов во многих областях. Она позволяет уменьшить как вычислительную сложность, так и размеры, число соединений в различных арифметико-логических устройствах, повысить плотность размещения элементов на схемах, найти альтернативные методы решения задач. Уже сейчас многозначная логика с успехом применяется при решении многих задач и во множестве технических разработок. Среди них различные арифметические устройства, системы искусственного интеллекта и обработки данных, обработки сложных цифровых сигналов и т.д. Определенный интерес представляет задача исследования надежности функционирования схем в полном конечном базисе из k-значных функций (к > 3). Задача построения надежных схем в произвольном полном базисе из трехзначных функций (т.е. при к =3) решена в диссертации О. Ю. Барсуковой. Цель работы -построить асимптотически оптимальные по надежности схемы в базисе Россера - Туркетта при к = 4.

Результаты. Найдена схема, которую можно использовать для повышения надежности исходных схем, получено рекуррентное соотношение для ненадежностей исходной схемы и предлагаемой схемы. Описан метод синтеза надежных схем, получена верхняя оценка ненадежности схем. Описан класс функций K, содержащий почти все четырехзначные функции, и доказана нижняя оценка ненадежности схем, реализующих функции из этого класса. Для функции из класса K построена схема, верхняя и нижняя оценки ненадежности которой асимптотически равны.

Выводы. Почти любую функцию четырехзначной логики можно реализовать асимптотически оптимальной по надежности схемой.

Ключевые слова: функции четырехзначной логики, ненадежные функциональные элементы, синтез схем из ненадежных элементов.

M. A. Alekhina, S. P. Kargin

ASYMPTOTIC RELIABILITY-OPTIMAL CIRCUITS IN THE ROSSER-TURKETT BASIS IN P4

Abstract.

Background. The multivalued logic offers ample opportunities for various algorithms development in multiple fields. It allows to decrease both the computational complexity and the magnitude, a number of connections in various arithmetic and logic units, to increase the density of gate placement on circuits, to find alternative methods of problem solving. Already nowadays the multivalued logic is successfully applied for solution of multiple problems and in many technological developments. The latter include various arithmetical devices, systems of artificial intelligence and data processing, complex digital signal processing etc. The research of reliability of circuit functioning in the complete finite basis from k-valued functions

1 Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проект № 14-01-00273).

Physical and mathematical sciences. Mathematics

37

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

(k > 3) is of certain interest. The problem of reliable circuit building in a random complete basis from three-valued functions (i.e. k = 3) has been solved in the thesis work by O.Yu. Barsukova. The aim of the work is to build asymptotically reliability-optimal circuits in the Rosser-Turkett basis at k = 4.

Results. The authors found a circuit that may be used to increase the reliability of initial circuits, obtained a recurrent correlation for unreliabilities of the initial circuit and the estimated circuit. The researchers described the method of reliable circuits synthesis, obtained the upper estimate of circuit unreliability. The article describes K class functions, containing almost all four-valued functions, proves the lower estimate of circuit unreliability, realizing function of the said class. For the K class functions the authors built a circuit, the lower and upper estimates of which are asymptotically equal.

Cocnlusions. Almost any function of four-valued logic may be realized by an asymptotically reliability-optimal circuit.

Key words: four-valued logic functions, unreliable functional gates, synthesis of circuits composed of unreliable gates.

Введение

В современной технике и математике в подавляющем большинстве случаев используется двузначная логика. Это исторически сложившееся положение предопределено ее сравнительной простотой и сделало ее применение предпочтительным (в сравнении с другими логическими системами) с технической и экономической точек зрения. Основные модельные объекты, работающие на основе двузначной логики (например, схемы из ненадежных элементов [1-3], неветвящиеся программы [4]) на данный момент являются хорошо изученными. Однако сложность решаемых задач, а следовательно и технических устройств, постоянно возрастает.

Многозначная логика предоставляет более широкие возможности для разработки различных алгоритмов во многих областях. Она позволяет уменьшить как вычислительную сложность, так и размеры, число соединений в различных арифметико-логических устройствах, повысить плотность размещения элементов на схемах, найти альтернативные методы решения задач.

Уже сейчас многозначная логика с успехом применяется при решении многих задач и во множестве технических разработок. Среди них различные арифметические устройства, системы искусственного интеллекта и обработки данных, обработка сложных цифровых сигналов и т.д.

В работе [5] описан функционально полный в Р3 базис, в котором на компромиссной основе согласованы математические и технические (МДП-техники) требования и интересы; а также рассмотрены некоторые аспекты синтеза электронных схем в этом базисе. В работе [6] построен функционально полный в Р4 базис, реализуемый в МОП-структурах. В работе [7] описаны свойства четырехзначных функций, схемы которых можно использовать для повышения надежности исходных схем, и изложен соответствующий метод синтеза.

Таким образом, определенный интерес представляет задача исследования надежности функционирования схем в полном конечном базисе из k-значных функций (k > 3). Задача построения надежных схем в произвольном полном базисе из трехзначных функций (т.е. k = 3) решена в диссертации

38

University proceedings. Volga region

№ 1 (33), 2015

Физико-математические науки. Математика

О. Ю. Барсуковой [8], а в работе [9] решена задача синтеза асимптотически оптимальных по надежности схем в базисе Россера - Туркетта при k = 3.

Цель данной работы - построить асимптотически оптимальные по надежности схемы в базисе Россера - Туркетта при k = 4.

Постановка задачи

Пусть n е N, а P4 - множество всех функций четырехзначной логики,

т.е. функций f (xi,...,xn):{0,1,2,3}n ^ {0,1,2,3}. Рассмотрим реализацию функций из множества P4 схемами из ненадежных функциональных элементов в базисе Россера - Туркетта {0,1,2,3,J0(xi),Ji(xi),J2(xi),^з(x1), min{xi,x2},max{xi,x2}} (min{xi,x2} будем также обозначать через &, а max{xi, x2} - через v [10]).

Будем считать, что схема из ненадежных элементов реализует функцию f (xn) (xn = (xi,...,xn)), если при поступлении на входы схемы набора an при отсутствии неисправностей в схеме на ее выходе появляется значение f (an).

Пусть схема S реализует функцию f (xn) , an - произвольный входной набор схемы S, f (an) = т . Обозначим через Pj (S, an) вероятность появления значения i (i е {0,1,2,3}) на выходе схемы S при входном наборе an , а через P^ n)^т(S, atn) - вероятность появления ошибки на выходе схемы S

при входном наборе an . Ясно, что

Pf (a n ут( S, <5n) = PT + 1( S, <5n) + PT + 2( S, a n) + PT + 3( S, <5 n),

в выражениях т +1, т + 2 и т + 3 сложение осуществляется по mod 4 .

Например, если входной набор an схемы S такой, что f (an) = 0, то вероятность появления ошибки на этом наборе равна

Pf (a n) ^0( S, <5 n) = P1( S, an) + P2( S, <5 n) + P3( S, <5 n).

Ненадежностью схемы S, реализующей функцию f (xn), будем называть число P(S), равное наибольшей из вероятностей появления ошибки на выходе схемы S. Надежность схемы S равна 1 — P(S).

Предполагается, что элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью £ (Ее (0,1/6)) подвержены инверсным неисправностям на выходах,

т.е. каждый базисный элемент с функцией ф(xk) (k е {1,2}) на любом входном наборе ak таком, что ф(/5k) = т, с вероятностью £ выдает значение т +1( mod 4), с вероятностью £ выдает значение т + 2 (mod 4) и с вероятностью £ выдает значение т + 3 (mod 4). Очевидно, что ненадежность любого базисного элемента равна 3е , а надежность - (1 — 3е) .

Physical and mathematical sciences. Mathematics

39

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Рекуррентное соотношение

Пусть f (xп) - функция из P4, а S - любая схема, реализующая функцию f . Покажем, каким образом по схеме S построить схему, которая реализует ту же функцию f , но, возможно (при некоторых условиях на P(S)), более надежно. Для этого возьмем четыре экземпляра схемы S и соединим их выходы со входами базисного элемента E, реализующего функцию &. Полученную схему назовем схемой D. Далее возьмем два экземпляра схемы D и соединим их выходы со входами базисного элемента E, реализующего функцию v . Новую схему обозначим у(S). Нетрудно проверить, что у(S) реализует ту же функцию f .

В теореме 1 найдено рекуррентное соотношение для ненадежностей схем S и у(S).

Теорема 1. Пусть f - произвольная функция из P4 , S - любая схема, реализующая f , а P(S) - ненадежность схемы S. Тогда схема у(S) реализует функцию f c ненадежностью P (у(S)), удовлетворяющей неравенству

P(y(S)) < 9е + 36eP(S) + 6P2(S).

Доказательство. Пусть f - произвольная функция. Без ограничения общности можно считать, что f зависит от переменных xi,...,xn . Пусть S -любая схема, реализующая f , ап - произвольный набор, f (ап) = т . Обозначим через p вероятность появления ошибки Pf( _п (S, ап) на выходе

схемы S (т.е. p = P' („п)^т(S,ап)) и найдем вероятность ошибки на выходе

схемы у(S) на этом же наборе, учитывая, что ненадежность подсхемы из трех элементов (двух конъюнкторов и одного дизъюнктора) не более 9е:

4

Pf (5п*T(V(S),<5п) <(1 -p)4 -9е + 4p(1 -p)3-9e + £с4(1 -p)4-p.

i=2

Найдем верхнюю оценку выражения

^С4(1 -p)4-ipi : i=2

4

^C4 (1 - p)4-ipi = 6p2(1 - 2p + p2) + 4p3(1 - p) + p4 = 6p2 - 8p3 + 3p4 < 6p2

i=2

при всех p e [0,1].

Тогда

Pf (sп (V(S), ап) < 9e + 3 6pe + 6p2.

Следовательно, P(y(S)) < 9e + 36eP(S) + 6P2(S).

40

University proceedings. Volga region

№ 1 (33), 2015

Физико-математические науки. Математика

Теорема 1 доказана.

Используя теорему 1, получим верхнюю оценку ненадежности схем. Верхняя оценка ненадежности схем

Лемма 1. При любом n е N любую функцию f (xi,...,xk,...,xn) можно представить следующим образом:

1) при k = 1:

f (Х1, Х2,..., Xn) = Jo( X1)& f (0, X2,... Xn) v J1( X1)& f (1, X2,... Xn) v v J2( X1)& f (2, X2,..., Xn) v J з( X1)& f (3, X2,..., Xn);

2) при к е {2, ..., n - 1}:

f (X1,...,Xk-1,Xk, Xk+1,..., Xn ) = J0(Xk)& f (x1,..., Xk-1,0, Xk+1,...,Xn) v v J1( Xk )& f ( X1,..., Xk-1,1, Xk+1,..., Xn ) v J2( Xk )& f ( X1,..., Xk-1,2, Xk+1,..., Xn) v v J 3( Xk)& f (x1,..., Xk-1,3, Xk+1,..., Xn);

3) при k = n :

f (X1,..., Xn-1, Xn) = Jo(Xn )& f (X1,..., Xn-1,0) v J1(Xn )& f (X1,..., Xn-1,1) v v J2( Xn )& f (X1,..., Xn-1,2) v J з( Xn )& f (X1,..., Xn-1,3).

Теорема 2. Любую функцию f е p можно реализовать такой схемой D', что при всех ее (0,1/1000] верно неравенство Р(D') < 11е.

Доказательство. Индукция по числу n переменных функции f (Xn).

1. Докажем утверждение для n = 1, т.е. для всех возможных функций f (x), зависящих от одной переменной X . Представим функцию f (X) в первой форме: f ( x) = J0 ( x) & f (0) v J1( X) & f (1) v J 2( x)& f (2) v J 3( X) & f (3).

Чтобы промоделировать эту формулу схемой (обозначим ее S'), потребуется не более 15 элементов. Поэтому ненаденжость P(S') схемы S' удовлетворяет неравенству: P(S/) < 45е .

По схеме S' построим схему у(S'). Используя теорему 1 и условие е< 1/1000 , оценим ненадежность схемы у(S'):

2 2 2 2 13770

РШS')) < 9е + 36 45е2 + 6 452е2 < 9е + 13770е2 < 9е +-----е < 23е.

1000

По схеме у(S') построим схему у2(S'). Используя теорему 1 и условие е< 1 /1000 , оценим ненадежность схемы у2(S'):

Р(w2(S')) < 9е + 36 23е2 + 6 232е2 < 9е + 1680е2 < 9е +1680е < 10,68е < 11е.

1000

Таким образом, для n = 1 теорема верна.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

41

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

2. Пусть утверждение теоремы верно для функций f (xn ^ с числом переменных (п — 1). Докажем, что оно верно для функций f (xп). Разложим функцию f (xi,...xn—i,xn) по переменной xn , используя лемму 1:

f (xi,..., xn—i, xn) = Jo( xn )& f (xi,..., xn—i,0) v Ji( xn )& f (xi,..., xn—i,1) v v J2( xn )& f (xi,..., xn—1,2) v Jз( xn )& f (xi,..., xn—1,3).

Используя это разложение, построим схему C, реализующую функцию f (xn), причем <S0 - схема, реализующая функцию fo = f (xi,...,xn—1,0), Si -схема, реализующая функцию f = f (x1,...,xn—1,1); S2 - схема, реализующая функцию f2 = f (xj,..., xn—1,2); S3 - схема, реализующая функцию

f3 = f (x1,..., xn —1,3).

В схеме C выделим подсхему A, состоящую из 11 элементов, выход которой является выходом схемы C, а на входы подаются значения

xn , f0 = f (-^Ь.-xn—1,0) f1 = f(-^Ь.-xn—1,1), f2 = f(x1,...,xn—1,2) и f3 = f ( x1,..., xn—1,3).

Выделенная подсхема A состоит из 11 элементов, поэтому ее ненадежность P(A) < 33е . Функции f0 = f(xi,...,xn—1,0), fi = f(xi,...,xn—1,1)

f2 = f(xj,...,xn—1,2) и fj = f(xj,...,xn—1,3) по индуктивному предположению можно реализовать такими схемами S0, Sj, S2 и S3 соответственно, что ненадежность каждой из них не больше 11е .

Если схема A исправна, то для реализации f она использует значение одной из схем, реализующих функции f0, fi, f и f3 . Поэтому

P(C) < P(A) + 1i£< 33e + 1i£ = 44e .

По схеме C построим схему y(C). Воспользуемся соотношением из

теоремы 1 и оценим ненадежность схемы y(C), учитывая, что

£ <

1 : 1000 :

2 2 2 2 13200

P(w(C)) < 9£ + 3644£2 + 6442£2 < 9£ +13200£2 < 9£ +-£< 22,2£.

1000

По схеме y(C) построим схему у (C). Воспользуемся соотношением

21

из теоремы 1 и оценим ненадежность схемы у (C), учитывая, что £ <

1000

о о o-t о 3757

P(y2(C)) < 9£ + 36 22,2£2 + 6 (22,2)2£2 < 9£ + 3757£2 < 9£ +-£< 12,8£.

1000

23

По схеме у (C) построим схему у (C). Воспользуемся соотношени-

3

ем из теоремы 1 и оценим ненадежность схемы у (C), учитывая, что £<1/1000:

42

University proceedings. Volga region

№ 1 (33), 2015

Физико-математические науки. Математика

3 2 2 2 2 1444

Р(у3(С)) < 9е + 3612,8е2 + 6(12,8)2 е2 < 9е + 1444е2 < 9е +-е < 11е.

1000

Следовательно, схема у3(С) - искомая схема D'.

Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Любую функцию f е Р4 можно реализовать такой схемой

D', что Р(D") < 9е + 954е2 при всех ее (0,1/1000].

Доказательство. По теореме 2 любую функцию f можно реализовать схемой D' с ненадежностью Р(D') < 11е. По схеме D' построим схему

у(D') и оценим ее ненадежность по теореме 1, учитывая, что е <

1 : 1000 '

о от о 1122

Р(у (D')) < 9е + 36 • 11е2 + 6 • 112е2 < 9е + 1122е2 < 9е +-е < 10,122е.

1000

По схеме у(D') построим схему у2 (D'). Воспользуемся соотношением из теоремы 1 и оценим ненадежность схемы у2 (D'), учитывая, что

е< 1/1000:

Р(у2 (DO) < 9е + 36 • 10,122е2 + 6 • (10,122)2 е2 < 9е + 979,13е2 < 9,98е.

По схеме у2(D') построим схему у3(DO. Воспользуемся соотношением из теоремы 1 и оценим ненадежность схемы у3(D'), учитывая, что е< 1/1000'

957

Р(у3(D')) < 9е + 36 • 9,98е2 + 6 • (9,98)2е2 < 9е + 957е2 < 9е +-е < 9,957е.

1000

По схеме у3 (D') построим схему у4 (D'). Воспользуемся соотношением из теоремы 1 и оценим ненадежность схемы у4 (D'), учитывая, что е< 1/1000:

Р(у4 (DO) < 9е + 36 • 9,957е2 + 6 • (9,957)2 е2 < 9е + 953,31е2 < 9е + 954е2.

Следовательно, схема у4 (D') - искомая схема D".

Теорема 3 доказана.

Из теоремы 3 следует, что любую функцию из Р4 можно реализовать схемой, ненадежность которой асимптотически (при е^ 0) не больше 9е.

Нижняя оценка ненадежности схем

Для получения нижних оценок ненадежности схем используется теорема 4.

Теорема 4. Пусть f (xn) - произвольная функция, которая принимает четыре значения 0, 1, 2, 3; S - любая схема, ее реализующая. Пусть подсхема

Physical and mathematical sciences. Mathematics

43

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

A схемы S содержит выход схемы S и реализует функцию ф(yт) с ненадежностью P(A) < 1/2 . Пусть po = minP ъm) 0(A,Ьт), где ЬО1 такой вход-

Гт ф(Ьо )^0 и

Ъ0

ной набор схемы A, что ф(^т) = 0 ; pi = minP (ьт) 1 (A,Ь1т), где Ыт такой

г т ф(Ь1 ) ^1 1

Ь1

входной набор схемы A, что ф(Ъ1т) = 1; p2 = minP

Ь т ф( Ь2 2

(A, Ъ2т), где Ь2

такой входной набор схемы A, что ф^т) = 2 ; рз = minP ~т) 3(A,Ъзт), где

Ъ^т ф(Ъз

Ъзт такой входной набор схемы A, что ф(Ъзт) = 3 .

Тогда вероятности ошибок на выходе схемы S удовлетворяют неравенствам:

Pf (an )*0(S, an) > Ро , если f (an) = 0 ; Pf (an)^(S, an) > Р1, если f (an) = 1; Pf (an y2 (S, an) > Р2, если f (an) = 2 ; Pf (an у 3( S, an) > Рз, если f (an) = 3 .

Доказательство. Пусть an такой входной набор схемы S, что f (an) = 0 . В зависимости от набора an и неисправностей в схеме на входы схемы A поступает некоторый набор длины т с компонентами из множества {0,1,2,3} . Обозначим множество всех таких наборов через M(an). Разобьем множество M(an) на подмножества Mj (an) = {ст | ф(ст) = i}, i е {0,1,2,3}. Обозначим через Vj (an) вероятность появления на входах схемы A набора из множества Mj (an). Очевидно, что

Vj(an) > 0 и V0(an) + v1(an) + V2(an) + V3(an) = 1.

Найдем вероятность P0( S, an) появления 0 на выходе схемы S:

P0(S,an) < V0(an)(1 -Р0) + V1(an)P(A) + V2(an)P(A) + V3(an)P(A) =

= (1 - V1(an) - V2(an) - V3(an)) (1 - Р0) + (V1(an) + V2(an) + V3(an)) P( A) =

= 1 -Р0 -(V(an) + V2(an) + V3(an))(1 -Р0 -P(A)).

Тогда вероятность появления ошибки на выходе схемы S удовлетворяет неравенству

44

University proceedings. Volga region

№ 1 (33), 2015

Физико-математические науки. Математика

P

f (an *о

0(S,an) > Ро +{v\(an) + V2(an) + v3(an))(1 -po -P(A)) > > Р0 + ('vi(an) + V2(an) + v3(an))(1 -2P(A)) > po,

поскольку P(A) < 1 / 2 .

Аналогично проверяются три других неравенства из формулировки теоремы.

Теорема 4 доказана.

Следствие 1. P(S) > max{p0,p1,p2,p3}.

Пусть f - функция, которая принимает четыре значения: 0, 1, 2, 3. Пусть S - любая схема, реализующая функцию f , и пусть в схеме S можно выделить подсхему D, которая имеет один вход, содержит выход схемы S и реализует либо тождественную функцию у, либо у +1 (mod 4), либо у + 2(mod4), либо у + 3(mod4), т.е. реализует некоторую функцию у + j (mod 4), jе {0,1,2,3}. Обозначим через C подсхему, получаемую из схемы S удалением подсхемы D .

Будем говорить, что схема C надежнее схемы S (и получается из схемы S удалением подсхемы D), если выполнено неравенство P(C) < P(S).

Пусть f (xn) - функция, которая принимает четыре значения 0, 1, 2, 3.

Схему S, реализующую функцию f (xn), будем называть bc-схемой, если из нее нельзя получить более надежную схему удалением подсхемы, реализующей некоторую функцию у + j(mod 4), j е {0,1,2,3}, т.е. либо тождественную функцию у, либо у + 1(mod4), либо у + 2 (mod 4), либо у + 3(mod 4)).

Обозначим через h(Xn) функцию, которую реализует схема C , а через Wj, i е {0,1,2,3} , - вероятность появления ошибки на выходе схемы D при

поступлении на ее вход значения i. Очевидно, что f (Xn) = h(Xn) + j (mod 4).

Справедлива теорема 5.

Теорема 5. Пусть схема S, ненадежность которой равна P(S), реализует функцию f и является bc-схемой. Пусть в схеме S можно выделить подсхему D, имеющую один вход, содержащую выход схемы и реализующую некоторую функцию у + j (mod 4), jе {0,1,2,3}, с такими вероятностями

ошибок W0, W1, W2, W3 , что 0 < W0 + W1 + W2 + W3 < 1. Тогда верно неравенство

где минимум берется по i е {0,1,2,3} .

Доказательство (от противного). Пусть для функции f выполнены условия теоремы. Без ограничения общности можно считать, что функция f

зависит от n переменных X1,...,xn , т.е. f = f (Xn). Пусть подсхема D реали-

min

Physical and mathematical sciences. Mathematics

45

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

зует некоторую функцию y + j (j е {0,1,2,3}), а схема C , получаемая из схемы S удалением подсхемы D, реализует функцию h(Xn). Тогда для

функций f (Xn), h(Xn) и числа j верно равенство h(Xn) + j = f (Xn).

Допустим, что утверждение теоремы неверно, тогда при всех

w-

i е {0,1,2,3} верно неравенство --------------> P(S), из которого получа-

Wo + Wi + W2 + W3

ем соотношение

W;

Wo + Wi + W2 + W3

-- Wi

Wi(1 - Wo - Wi - W2 - W3) > P(S) - w

Wo + Wi + W2 + W3

Следовательно,

Wi > P( S)- Wi

Wo + Wi + W2 + W3 1 - Wo - Wi - W2 - W3

(1)

Пусть an - произвольный входной набор схемы S, пусть f (an) = т и

h(an) = u . Тогда T = u + j (mod 4). Найдем вероятность Рт(S,an) появления т на выходе схемы S:

pt ( s , an) = pu (C, an) Pt ( d, u)+pu+1(c, an) pt ( d, u +1) +

+Pu+2 (C, an) Pt (D, u + 2) + Pu+3C, an) Pt (D, u + 3) =

= Pu (C, an )(1 - Wt ) + Pu+1(C, an) Pt (D, u +1) +

+Pu+2(C, an) Pt (D, u + 2) + Pu+3(C, an) Pt (D, u + 3) =

= (1 - Pu+1(C, an) - Pu+2(C, an) - Pu+3(C, an)) =

= (1 - Wt ) + Pu+1(C, an)Pt (D, u +1) + Pu+2(C, an)Pt (D, u + 2) +

+Pu+3(C,an)Pt(D,u + 3) = 1 - Wt + Pu+1(C,an)(Wt + Pt(D,u +1) -1) +

+Pu+2(C, an)( Wt+ Pt (D, u + 2) -1) + Pu+3C, an)( Wt+ Pt (D, u + 3) -1). Тогда вероятность появления ошибки на выходе схемы S равна:

Pf (an) ^t( S, an) = Wt+ Pu+1(C, an )(1 - Wt- Pt (D, u +1)) +

+Pu+2(C, an )(1 - Wt- Pt (D, u + 2)) + Pu+3(C, an )(1 - Wt - Pt (D, u + 3)) >

> wt+(1 - Wo - W1 - W2 - W3)(Pu+1(C, an)+Pu+2(C, an)+Pu+3(C, an)) =

= wt + (1 - Wo - w1 - W2 - W3)P(C),

т.е. верно неравенство

46

University proceedings. Volga region

№ 1 (33), 2015

Физико-математические науки. Математика

Pf (anуТ(S,аn) > wx+ (1 - w0 - w! - W2 - W3)P(C). Из соотношения (2) следует неравенство:

Pf (аn)^т(S,а ) wT 1 - w0 - wi - W2 - W3

Учитывая (3) и (1), имеем

> P(C).

P

P(C) <

f (аn

(S, <3 n) - wz

P(S) - wx

<

w

(2)

(3)

1 - w0 - wi - w2 - w3 1 - w0 - wi - w2 - w3 w0 + wi + w2 + w3

Тогда

—P(C)(w0 + w1 + w2 + w3) > -wT.

Из неравенства (2), учитывая (4), следует

Pf {а п у%(S, а) > wT+ P(C )(1 - w0 - w1 - w2 - w3) =

= wT + P(C) - P(C)(w0 + w1 + w2 + w3) > wT + P(C) - wT = P(C),

(4)

т.е. Pf (3n) (S,аn) > P(C). Следовательно, P(S) > P(C), что противоречит

J (а )

условию.

Теорема 5 доказана.

Обозначим через K (n) множество таких функций четырехзначной логики, зависящих от переменных Х1,...,xn (n > 3), что каждая из этих функций принимает все три значения 0, 1, 2, 3 и не представима ни в виде xk v h(Xn), ни в виде Xk &h(Xn), (ke{1,2,...,n} , h(Xn) - произвольная функция четырехзначной логики). Пусть K = U к (n).

n=3

Утверждение 1. | K(n) |> 44 - 2n43'4 - 4 • 34 .

Доказательство. Сначала найдем число функций, представимых в виде Xk &h(Xn), (ke {1,2,...,n} , h(Xn) - произвольная функция четырехзначной

логики). Для этого разложим функцию Xk &h(Xn) по переменной Xk, используя лемму 1:

Xk & h(Xn) = J0(Xk) & 0 & h(X1,...,Xk-1,0,Xk+1,...,Xn) v v J1( Xk) & 1 & h( X1,..., Xk-1,1, Xk+1,..., Xn) v V J2( Xk) & 2 & h( X1,..., Xk-1,2, Xk+1,..., Xn) v vJ3 (Xk) & 3 & h( X1,..., Xk-1,3, Xk+1,..., Xn) =

= J1( Xk) & 1 & h( X1,..., Xk-1,1, Xk+1,..., Xn) v

Physical and mathematical sciences. Mathematics

47

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

v J2( Xk) & 2 & h( xi,..., хл-1,2, хлxn) v

vJз(Xk) & h(xi,...,Xk-i,3,Xk+i,...,Xn).

Тогда число функций, представимых в виде Xk &h(Xn), не больше

,n-i

,n-i

/I n i

n 4 ■ 4 ■ 4 = n4

3-4'

n-i

Теперь найдем число функций, представимых в виде Xk v h(Xn), ke {i,2,...,n}, h(Xn) - произвольная функция четырехзначной логики. Для этого разложим функцию Xk v h(Xn) по переменной Xk, используя лемму i:

Xk vh(Xn) = Jo(Xk) & [0 vh(Xi,...,Xk-i,0,Xk+i,...,Xn)] v v Ji( Xk) & [i v h( Xi,..., Xk-i,i, Xk+i,..., Xn)] v v J2( Xk) & [2 v h( Xi,..., Xk-i,2, Xk+i,..., Xn)] v vJз( Xk) & [3 v h( Xi,..., Xk-i,3, Xk+i,..., Xn)] =

= Jo( Xk )& h( Xi,..., Xk-i,0, Xk+i,..., Xn) v v Ji( Xk )&[i v h( Xi,..., Xk-i,i, Xk+i,..., Xn)] v v J2( Xk )&[2 v h( Xi,..., Xk-i,2, Xk+i,..., Xn)] v J 3( Xk).

Тогда число функций, представимых в виде Xk v h(Xn), не больше, чем

4n-i ,n-i ,n-i „3-4п-1

n4 ■ 44 ■ 44 = n43 4 .

Таким образом, число функций, представимых в виде Xk & h(Xn) или

n 3_4n-i

Xk v h(X ), не больше, чем 2n43 .

Наконец, рассмотрим функции, принимающие не больше трех значений

3 4n 4n

из множества {0, i, 2,3} . Очевидно, их число не больше С4 ■ 3 = 4 ■ 3 . Заме-

тим, что среди этих функций содержатся все константы 0, i, 2, 3.

Следовательно, число функций, не принадлежащих классу K(n), не

3.4n-i 4n 4n 3 4n-i

134 + 4 ■ 34 . Поэтому | K (n) |> 44 - 2n43'4

- 4 ■ 34

больше 2n4“

Утверждение i доказано.

Из утверждения i следует, что класс K (n) содержит почти все функ-

2n4

3'4n

+ 4 ■ 34

= 0.

ции четырехзначной логики из /4(n), поскольку lim

n^» 44

Справедлива теорема о нижней оценке ненадежности схем, реализующих функции из класса K.

Теорема 6. Пусть функция f e K . Тогда для любой схемы S, реали-

2 3

зующей f , при ее (0,1/1000] верно неравенство P(S) > 9е-33е + 36е .

Доказательство. Пусть функция f е K, пусть S - любая схема, реализующая f . Заметим, что схема S содержит хотя бы три элемента.

48

University proceedings. Volga region

№ 1 (33), 2015

Физико-математические науки. Математика

Для ненадежности P(S) схемы S верно одно из двух неравенств: либо P(S) > 9е + 954е (тогда утверждение теоремы верно), либо

P(S) < 9е + 954е2.

2

Пусть P(S) < 9е + 954е . Без ограничения общности схему S можно считать bc-схемой (иначе будем удалять из схемы S подсхемы, реализующие либо тождественную функцию у, либо функцию у +1, либо функцию у + 2, либо функцию у + 3, и получать более надежные схемы, реализующие функции f + const до тех пор, пока не получим bc-схему S", для которой и проведем дальнейшие рассуждения, заменив S на S*).

Обозначим через Ei функциональный элемент, выход которого является выходом схемы S , и в зависимости от приписанных ему базисных функций рассмотрим следующие варианты.

1. Пусть элементу Ei приписана функция &. Поскольку f е K, входы элемента E1 соединены не с полюсами, а с выходами некоторых элементов

E2 и E3 .

1.1. Пусть элементы E2 и E3 различны. Обозначим через D подсхему, состоящую из элементов Ei, E2 и E3 . Пусть входной набор схемы D таков, что при отсутствии неисправностей в схеме D на ее выходе появляется значение 3 (такой набор найдется, поскольку f е K ).

1.1.1. Пусть выход элемента E2 не соединен со входом элемента E3 и выход элемента E3 не соединен со входом элемента E2 . Вычислим вероятность появления 3 на выходе схемы D по формуле полной вероятности и получим: (1 - 3е)3 + 2 • 3е(1 - 3е)е + (3е)2е = 1 - 9е + 33е2 - 36е3.

Тогда вероятность появления ошибки на выходе подсхемы D 2 3

равна Р3 = 9е- 33е + 36е . По теореме 4 получаем неравенство

2 3

P(S) > 9е - 33е + 36е , т.е. утверждение теоремы верно.

1.1.2. Пусть выход одного из элементов, например E2 , соединен со входом другого элемента E3 .

1.1.2.1. Пусть элементу E3 приписана функция J3(x) или константа 3 (иначе значение 3 не появится на выходе схемы D ), или же элементу E3 приписана функция двух переменных (& или v) и оба входа элемента E3 соединены с выходом элемента E2 . Вероятность появления значения 3 на выходе схемы D в этих случаях равна

(1 - 3е)

(1 - 3е)2 + 3ее

+ 3е е = 1 -9е + 33е2 -36е3.

Тогда вероятность появления ошибки на выходе подсхемы D 2 3

равна Р3 = 9е- 33е + 36е . По теореме 4 получаем неравенство

2 3

P(S) > 9е - 33е + 36е , т.е. утверждение теоремы верно.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

49

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

1.1.2.2. Пусть элементу E3 приписана функция & или v , но только один из входов элемента E3 соединен с выходом элемента E2 . Вероятность появления значения 3 на выходе схемы D в этих случаях равна

(1 - 3е)

(1 - 3е)2 + 3ее

+ 3е е = 1 - 9е + 33е2 - 36е3 .

Тогда вероятность появления ошибки на выходе подсхемы D 2 3

равна Р3 = 9е- 33е + 36е . По теореме 4 получаем неравенство

2 3

P(S) > 9е - 33е + 36е , т.е. утверждение теоремы верно.

1.2. Пусть элементы E2 и E3 совпадают, т.е. оба входа элемента E1 соединены с выходом элемента E2 . Обозначим через D подсхему, состоящую из элемента E1. Очевидно, что схема D реализует тождественную функцию, а вероятности появления ошибок на выходе схемы D равны: w0 = W1 = w2 = W3 = 3е. По теореме 5 справедливо неравенство

2

3е /(12е) < 9е + 954е , что неверно, поскольку при е< 1/1000 верно неравенство: 1/4 > 9е> 9е + 954е2.

Полученное противоречие означает, что рассматриваемая схема не может быть подсхемой bc-схемы S.

2. Пусть элементу E1 приписана функция V . Поскольку f е K , входы элемента E1 соединены не с полюсами, а с выходами некоторых элементов E2 и E3 .

2.1. Пусть элементы E2 и E3 различны. Обозначим через D подсхему, состоящую из элементов E1 , E2 и E3 . Пусть входной набор схемы D таков, что при отсутствии неисправностей в схеме D на ее выходе появляется значение 0 (такой набор найдется, поскольку f е K ).

2.1.1. Пусть выход элемента E2 не соединен со входом элемента E3 и выход элемента E3 не соединен со входом элемента E2 . Вычислим вероятность появления 0 на выходе схемы D по формуле полной вероятности и получим: (1 -3е)3 + 2-3е(1 -3е)е + (3е)2£ = 1 - 9е + 33е2 -36е3. Тогда вероятность

2 3

ошибки на выходе подсхемы D равна Р0 = 9е- 33е + 36е . По теореме 4 по-

2 3

лучаем неравенство P(S) > 9е- 33е + 36е , т.е. утверждение теоремы верно.

2.1.2. Пусть выход одного из элементов, например E2, соединен со входом другого элемента E3 .

2.1.2.1. Пусть элементу E3 приписана одна из функций Jj(x), ie {1,2,3} или константа 0 (иначе значение 0 не появится на выходе схемы D), или же элементу E3 приписана функция двух переменных (& или v) и оба входа элемента E3 соединены с выходом элемента E2 . Вероятность появления значения 0 на выходе схемы D в этих случаях равна

(1 - 3е)

(1 - 3е)2 + 3ее

+ 3е-£ = 1 - 9е + 33е2 - 36е3 .

50

University proceedings. Volga region

№ 1 (33), 2015

Физико-математические науки. Математика

Тогда вероятность появления ошибки на выходе подсхемы D равна 2 3

Ро = 9е- 33е + 36е . По теореме 4 получаем неравенство

2 3

P(S) > 9е - 33е + 36е , т.е. утверждение теоремы верно.

2.1.2.2. Пусть элементу E3 приписана функция & или v, но только один из входов элемента E3 соединен с выходом элемента E2 . Вероятность появления значения о на выходе схемы D в этих случаях равна

(1 - 3е) (1 - 3е)2 + 3ее

+ 3ее = 1 - 9е + 33е2 - 36е3 .

Тогда вероятность появления ошибки на выходе подсхемы D равна 2 3

Ро = 9е- 33е + 36е . По теореме 4 получаем неравенство

2 3

P(S) > 9е - 33е + 36е , т.е. утверждение теоремы верно.

2.2. Пусть элементы E2 и E3 совпадают, т.е. оба входа элемента E1 соединены с выходом элемента E2 . Обозначим через D подсхему, состоящую из элемента E1. Очевидно, что схема D реализует тождественную функцию, а вероятности появления ошибок на выходе схемы D равны: w0 = W1 = w2 = w3 = 3е . По теореме 5 справедливо неравенство 2

3е / (12е) < 9е + 954е , что неверно, поскольку при е< 1 /1000

1/4 > 9е> 9е + 954е2.

Полученное противоречие означает, что рассматриваемая схема не может быть подсхемой bc-схемы S.

3. Пусть элементу E1 приписана любая из функций Jj (x) или константа j (i, j е {0,1,2,3}) . Тогда схема S реализует либо функцию, принимающую только два значения 0 и 2, либо константу j, что противоречит условию

f е K.

Теорема 6 доказана.

Следовательно, любая схема, реализующая функцию f е K, функционирует с ненадежностью, которая асимптотически (при е^ 0) не меньше 9е. Это означает, что схема, реализующая функцию f е K и удовлетворяющая условиям теоремы 3, является асимптотически оптимальной по надежности и функционирует с ненадежностью, асимптотически равной 9е при е^ 0.

Выводы

1. Любую функцию из P4 можно реализовать схемой, функционирующей с ненадежностью, асимптотически (при е^ 0) не больше 9е (теорема 3).

2. Любую функцию из класса K (содержащего почти все функции из P4) нельзя реализовать схемой с ненадежностью, асимптотически (при е^ 0) меньше 9е (теорема 6).

3. Схема, реализующая функцию f е K и удовлетворяющая условиям теоремы 3, является асимптотически оптимальной по надежности и функционирует с ненадежностью, асимптотически равной 9е при е^ 0.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

51

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Таким образом, в базисе Россера - Туркетта:

1) любую функцию четырехзначной логики можно реализовать схемой,

ненадежность которой асимптотически (при 0) не больше 9е;

2) для почти любой функции такая схема является асимптотически оптимальной по надежности и функционирует с ненадежностью, асимптотически равной 9е при е^0.

Список литературы

1. Васин, А. В. О базисах, в которых асимптотически оптимальные схемы функционируют с ненадежностью 5е / А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 1 (13). -

С. 64-79.

2. Алехина, М. А. О ненадежности схем из ненадежных функциональных элементов при однотипных константных неисправностях на выходах элементов / М. А. Алехина // Дискретная математика. - 1993. - Т. 5, № 2. - С. 59-74.

3. Alekhina, M. A. Synthesis and complexity of asymptotically optimal circuits with unreliable gates / M. A. Alekhina // Fundamenta Informaticae. - 2010. - Vol. 104 (3). -P. 219-225.

4. Грабовская, С. М. О надежности неветвящихся программ с ненадежным оператором условной остановки в произвольном полном конечном базисе / С. М. Грабовская // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3 (19). - С. 52-60.

5. Виноградов, Ю. А. О синтезе трехзначных МДП-схем / Ю. А. Виноградов // Математические вопросы кибернетики : сб. ст. - Вып. 3. - М. : Наука, 1991. -С. 187-198.

6. Виноградов, Ю. А. О синтезе четырехзначных квазикомплементарных МОП-схем / Ю. А. Виноградов // Математические вопросы кибернетики : сб. ст. -Вып. 8. - М. : Наука, 1999. - С. 298-300.

7. Алехина, М. А. О синтезе схем из ненадежных элементов в Р4 / М. А. Алехина, С. П. Каргин // Известия высших учебных заведений. Физико-математические науки. - 2014. - № 4 (32). - С. 47-56.

8. Барсукова, О. Ю. Синтез надежных схем, реализующих функции двузначной и трехзначной логик : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Барсукова О. Ю. - Пенза, 2014. -87 с.

9. Алехина, М. А. Оценки ненадежности схем в базисе Россера - Туркетта / М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). - C. 5-19.

10. Яблонский, С. В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. -М. : Высш. шк., 2001. - 384 с.

References

1. Vasin A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2010, no. 1 (13), pp. 64-79.

2. Alekhina M. A. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 1993, vol. 5, no. 2, pp. 59-74.

3. Alekhina M. A. Fundamenta Informaticae. 2010, vol. 104 (3), pp. 219-225.

4. Grabovskaya S. M. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 3 (19), pp. 52-60.

52

University proceedings. Volga region

№ 1 (33), 2015

Физико-математические науки. Математика

5. Vinogradov Yu. A. Matematicheskie voprosy kibernetiki: sb. st. [Mathematical problems of cybernetics]. Issue 3. Moscow: Nauka, 1991, pp. 187-198.

6. Vinogradov Yu. A. Matematicheskie voprosy kibernetiki: sb. st. [Mathematical problems of cybernetics]. Issue 8. Moscow: Nauka, 1999, pp. 298-300.

7. Alekhina M. A., Kargin S. P. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 4 (32), pp. 47-56.

8. Barsukova O. Yu. Sintez nadezhnykh skhem, realizuyushchikh funktsii dvuznachnoy i trekhznachnoy logik: dis. kand. fiz.-mat. nauk [Synthesis of reliable circuits, realizing functions of two-valued and three-valued logic: dissertation to apply for the degree of the candidate of physical and mathematical sciences]. Penza, 2014, 87 p.

9. Alekhina M. A., Barsukova O. Yu. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 1 (29), pp. 5-19.

10. Yablonskiy S. V. Vvedenie v diskretnuyu matematiku [Introduction into discrete mathematics]. Moscow: Vyssh. shk., 2001, 384 p.

Алехина Марина Анатольевна

доктор физико-математических наук, профессор, заведующая кафедрой дискретной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Каргин Степан Павлович аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Alekhina Marina Anatol'evna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of discrete mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Kargin Stepan Pavlovich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 519.718 Алехина, М. А.

Асимптотически оптимальные по надежности схемы в базисе Россера - Туркетта в Р4 / М. А. Алехина, С. П. Каргин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2015. - № 1 (33). - С. 37-53.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

53