CC BY
13
УДК 519.718
DOI 10.21685/2072-3040-2016-3-2
М. А. Алехина
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ НЕНАДЕЖНОСТЕЙ СХЕМ В БАЗИСЕ, СОСТОЯЩЕМ ИЗ ФУНКЦИИ ВЕББА, В Р4 И Р51
Аннотация.
Актуальность и цели. Многозначная логика предоставляет широкие возможности для разработки различных алгоритмов во многих областях и с успехом применяется при решении многих задач и во множестве технических разработок. Этим объясняется интерес к задаче повышения надежности схем в полном конечном базисе из ^-значных функций (к > 3). Цель работы - построить схемы, которые можно использовать для повышения надежности в базисе, состоящем из функции Вебба, при k равном 4 и 5, а также получить рекуррентные соотношения для ненадежностей предлагаемых схем и исходной схемы.
Материалы и методы. В работе используются известные методы дискретной математики и математической кибернетики. Кроме того, предлагаются новые методы синтеза схем из ненадежных функциональных элементов, а также новый подход в получении оценок ненадежности схемы.
Результаты и выводы. В базисе, состоящем из функции Вебба, получены следующие результаты: Построены схемы, которые можно использовать для повышения надежности исходных схем в Р4 и в P5 ; получены рекуррентные соотношения для ненадежностей предлагаемых схем и исходной схемы.
Ключевые слова: функции ^значной логики, ненадежные функциональные элементы, синтез схем из ненадежных элементов.
M. A. Alekhina
RECURRENT CORRELATIONS FOR UNRELIABILITIES OF CIRCUITS IN THE BASIS CONSISTING OF WEBB FUNCTIONS, IN P4 AND P5
Abstract.
Background. Multivalued logic offer broad opportunities for development of various algorithms in many field and it is successfully applied when solving various problems and in many technical developments. This explains the interest towards the problem of reliability improvement of circuits in the complete finite basis consisting of k-valued functions (k > 3). This article is aimed at building circuits that can be used for reliability improvement in the basis consisting of Webb functions with k being 4 and 5, as well at obtaining recurrent correlations for unreliabilities of the suggested circuits and the original circuit.
Materials and methods. In the course of the study, well-known methods of discrete mathematics and mathematical cybernetics were used. Besides, new methods for synthesing circuits consisting of unreliable functional gates have been suggested, as well as a new approach to obtaining circuit unreliability values.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 14-01-00273.
Results. In the basis consisting of Webb functions, there have been obtained the following results: 1. The author has built circuits that can be used to implemented to improve reliability of original circuits in P4 and P5 . 2. The author has obtained recurrent correlations for unreliabilities of the suggested circuits and the original circuit.
Key words: к-valued logic functions, unreliable functional gates, synthesis of circuits composed of unreliable gates.
Введение
В современной технике и математике в подавляющем большинстве случаев используется двузначная логика. Основные модельные объекты, работающие на основе двузначной логики (например, схемы из ненадежных элементов [1-3], неветвящиеся программы [4, 5]) на данный момент являются достаточно хорошо изученными. Однако сложность решаемых задач, а следовательно, и технических устройств постоянно возрастает.
Многозначная логика предоставляет более широкие возможности для разработки различных алгоритмов во многих областях. Она позволяет уменьшить как вычислительную сложность, так и размеры, число соединений в различных арифметико-логических устройствах, повысить плотность размещения элементов на схемах, найти альтернативные методы решения задач.
К многозначным логикам, к их математическому аппарату как к источнику математических моделей, обладающих большими потенциальными возможностями, обращались неоднократно [6, 7]. В работе [8] построен функционально полный в P3 базис, в котором на компромиссной основе согласованы математические и технические (МДП-техники - от сочетания металл-диэлектрик-полупроводник) требования и интересы, рассмотрены некоторые аспекты синтеза электронных схем в этом базисе. Отметим, что многозначный синтез имеет ряд особенностей, и вопрос повышения надежности схем, реализующих функции многозначных логик, является к настоящему моменту не достаточно изученным. Задача синтеза надежных схем в P3 в некоторых полных конечных базисах решена в [9].
Определенный интерес представляет задача исследования надежности функционирования схем в полных конечных базисах из четырехзначных или пятизначных функций. Насколько известно автору, в P4, в P5 и, вообще, в Pfc описаны свойства функций, схемы которых можно использовать для повышения надежности исходных схем [10, 11], а в P4 построены надежные
схемы только в базисе Россера - Туркетта [12].
В этой работе предложены схемы, которые можно использовать для повышения надежности исходных схем в полном [13, c. 50] базисе, состоящем из функции Вебба Vk (*1, л^) = max{x1, Х2} + 1(modk), при к е {4,5} и найдены рекуррентные соотношения для ненадежностей схем. В работе [14] эта задача решена при к = 3 , а также для произвольной трехзначной функции получена верхняя оценка ненадежности схемы, ее реализующей. В этой статье, в отличие от [14], для получения рекуррентных соотношений для ненадежностей схем используется другая, более «тонкая», техника вычислений, поскольку с увеличением к рассматриваемая задача значительно усложняется.
Введем необходимые понятия и определения.
Пусть п е N, Е^ = {0,1,2,...,к -1} , а Рк - множество всех функций к-значной логики, т.е. функций /(л^,...,хп):(Ек)п ^ Ек . Рассмотрим реализацию функций из множества Рк схемами из ненадежных функциональных элементов в базисе В = V (XI, Х2)}.
Будем считать, что схема из ненадежных элементов реализует функцию /(Хп) (Хп = (Х1,...,хп)), если при поступлении на входы схемы набора ап при
отсутствии неисправностей в схеме на ее выходе появляется значение /(ап).
Предполагается, что все базисные элементы ненадежны, переходят в неисправные состояния независимо друг от друга. Опишем неисправности элементов.
Пусть а - произвольный входной набор базисного элемента, Ук (а ) = х . Неисправность элемента такова, что любое неверное значение
(т.е. значение, не равное х) он выдает с вероятностью е, ее
0,
1
2(к -1)
Другими словами, при любом i е {1,2,...,к -1} значение х + i появляется на выходе элемента с вероятностью е . Тогда правильное значение х элемент выдает с вероятностью 1 - (к - 1)е . Отметим, что в выражениях х + 1, х + 2, ..., х + к -1 сложение осуществляется по mod к .
Пусть схема S реализует функцию f (xn), ап - произвольный входной набор схемы S, f (ап) = х . Обозначим через P (S, ап) вероятность появления значения i (i е Ек) на выходе схемы S при входном наборе ап , а через Pj-(¿п)S, ап) - вероятность появления ошибки на выходе схемы S при
входном наборе ап . Ясно, что
Pf (an )^х( S, ап) = PT+1( S, ап) + PT+2( S, ап) +... + Pт+k-1( S, ап).
Например, если входной набор ап схемы S такой, что f (ап) = 0 , то вероятность ошибки на этом наборе равна
Pf ап )^0( S, ап) = P1( S, ап) + P2( S, ап) +... + Pk ч( S, ап).
Ненадежностью схемы S будем называть число
P( S) = max{Pf (_п) S, ап)},
где максимум берется по всем входным наборам ап схемы S. Надежность схемы S равна 1 - P(S).
Замечание 1. Очевидно, что в Pk ненадежность P(E) базисного элемента Е равна (к - 1)е, а надежность элемента Е равна 1- (к - 1)е. В частности, P(Е) = 3е в P4 и P(Е) = 4е в P5.
Замечание 2. Схема, не содержащая функциональных элементов, функционирует абсолютно надежно и реализует одну из функций х^,...,хп .
Синтез схем в р и в Р5
Пусть /(Хп) - произвольная функция из Р4 , а S - любая схема, реализующая функцию / . Покажем, каким образом по схеме S можно построить схему, которая реализует ту же функцию /, но, возможно (при некоторых условиях на Р(S), более надежно. Для этого возьмем два экземпляра схемы S и базисный элемент с функцией У4(х^, Х2). Соединим выходы схем S со входами базисного элемента. Новую схему обозначим S). Затем возьмем два экземпляра схемы S) и другой базисный элемент. Соединим выходы схем 5") со входами второго базисного элемента. Получим схему
22
5)) = ^ (5). Возьмем два экземпляра схем ^ (5) и третий базисный
элемент. Соединим выходы схем ^ (5) со входами этого базисного элемента и получим схему ^3(5). Аналогично построим схему ^4(5) (рис. 1).
X
Рис. 1. Схема S)
Возьмем схему (5) и выделим в ней нижнюю подсхему С4, содержащую выход схемы и состоящую из 15 базисных элементов (все 15 элементов представлены на рис. 1). Очевидно, что РС4) < 15 • 3е = 45е . Обозначим
через g4(Х16) функцию, которую реализует подсхема С4. Нетрудно проверить, что при любом 7 е Е4 верно равенство g4(/16) = 7 и при изменении любой одной координаты набора 716 значение функции g4 по прежнему равно 7 .
Наборы 016,116,216,316, как и раньше [6, 7], будем называть характеристическими наборами функции g4 .
Пусть /(Хп) - произвольная функция из Р5, а 5 - любая схема, реализующая функцию / . Покажем, каким образом по схеме 5 построить схему,
которая реализует ту же функцию / , но, возможно (при некоторых условиях на P(S), более надежно. Для этого возьмем два экземпляра схемы S и базисный элемент с функцией Xl,X2). Соединим выходы схем S со входами базисного элемента. Новую схему обозначим S). Выполняя те же дей-
2 3 4
ствия, что и раньше, построим схемы ^ (£), ^ (£), ^ (£) . Наконец, возьмем два экземпляра схемы ) и новый элемент. Соединим выходы схем (£) со входами этого базисного элемента и получим схему (£).
Возьмем схему (£) и выделим в ней подсхему С5 , содержащую выход схемы и состоящую из 31 базисного элемента. Очевидно, что
32
Р(Сз) < 31 • 4е = 124е. Обозначим через £з(X ) функцию, которую реализует эта подсхема. Нетрудно проверить, что при любом 1 е Е5 верно равенство
~32 -32
g5(i ) = 1 и при изменении любой одной координаты набора 1 значение
32 32 32 32 32
функции g5 по прежнему равно 1. Наборы 0,1,2,3 ,4 - характеристические наборы функции g5.
Чтобы получить рекуррентные соотношения для ненадежностей схем £ и (£) в Р4, а также схем £ и (£) в Р5, воспользуемся ранее известными утверждениями (леммой 1 и теоремой 1).
Лемма 1 [15]. При всех ре [0,1] и т > 3 справедливо неравенство
т
^стр (1 - р) т - < ст р2.
1=2
Теорема 1 [11]. Предположим, что любую функцию из Рк (к > 3) можно реализовать схемой с ненадежностью не больше р . Пусть схема Sg
реализует функцию g(Хт)е О с ненадежностью Р(Sg), причем V0, V1, ...,
ук 1 - вероятности ошибок схемы Sg на характеристических наборах
ат, ат,..., ®т соответственно и g(аm) = 0, g(aml) = 1, ..., g(a'm) = к -1. Тогда произвольную функцию / можно реализовать такой схемой А, что
Р(А) < шах^0,V1,.../-1} + трР(Sg) + (2т -т -1)р2 .
Рекуррентные соотношения для ненадежностей схем в Р4 и в Р5 Теорема 2. Пусть / - произвольная функция из Р4 , £ - любая схема,
реализующая / , Р(£) - ненадежность схемы £. Тогда схема ^4(£) реализует функцию / с ненадежностью
Р(у4(Я)) < 17е + 945е2 + 720еР(5!) + 65519Р2(£).
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы, а функция / зависит от переменных х^,..., хп (п > 1).
0 12 3
Сначала оценим вероятности ошибок V , V , V , V на выходе схемы С4 на характеристических наборах 016,116,216,316 соответственно, учитывая, что в схеме С4 содержится 15 элементов. При этом будем рассматривать два вида событий: ровно один элемент схемы С4 выдал неверное значение или хотя бы два элемента схемы С4 ошиблись.
1. На наборе 016 только неисправность выходного элемента (он расположен в четвертом ярусе) схемы С4 приводит к ошибке на ее выходе. Вероятность этого события не больше ненадежности выходного элемента, т.е. не больше 3е (см. замечание 1). Поскольку мы доказываем верхнюю оценку ненадежности схемы С4, будем считать, что при неисправной работе двух и более элементов на выходе схемы С4 появляется ошибка. Вероятность этого
15
события не больше 2 С 5(3е)г (1 - 3е)-г . Поэтому вероятность ошибки V
г=2
на выходе схемы С4 удовлетворяет неравенству
15
V0 < 3е + 2 С5 (3е)г' (1 - 3е)15-г.
г =2
По лемме 1 верно
15
2С5(3е/(1 -3е)15-г <С125(3е)2.
г=2
Следовательно,
V0 < 3е + С?5 (3е)2 = 3е + 945е2.
2. На наборе 116 ошибка на выходе схемы С4 появляется только при неисправной работе одного из двух элементов третьего яруса или элемента четвертого яруса (выходного элемента). Вероятность этого события не больше 3Р( Е) = 9е (см. замечание 1). Затем, как и в предыдущем случае, считаем, что ошибки двух и более элементов схемы приводят к появлению ошибки на выходе схемы. Поэтому
15
V1 < 9е + 2С15(3е/(1 -3е)15-г = 9е + 945е2, т.е. V1 < 9е + 945е2.
г =2
3. На наборе 216 ошибка на выходе схемы С4 появляется только при неисправной работе одного из четырех элементов второго яруса (с вероятностью 2е) или одного из двух элементов третьего яруса (с вероятностью 2е) или элемента четвертого яруса (с вероятностью 3е). Вероятность этого собы-
тия не больше 6 • 2е + 3е = 15е . Как и раньше, считаем, что ошибки двух и более элементов схемы приводят к появлению ошибки на выходе схемы. Поэтому
15
V2 < 15е + 2С5(3е/(1 -3е)15- < 15е + 945е2, т.е. V2 < 15е + 945е2.
I=2
4. На наборе 316 ошибка на выходе схемы С4 появляется только при неисправной работе одного из восьми элементов первого яруса (с вероятностью е ) или одного из четырех элементов второго яруса (с вероятностью е ), или одного из двух элементов третьего яруса (с вероятностью е), или элемента четвертого яруса (с вероятностью 3е). Вероятность этого события не больше (8 + 4 + 2)е + 3е = 17е . Как и раньше, считаем, что ошибки двух и более элементов схемы приводят к появлению ошибки на выходе схемы. Поэтому
15
V3 < 17е + 2С5(3е)(1 - 3е)15- < 17е + 945е2, т.е. V3 < 17е + 945е2.
I=2
0 12 3 2
Таким образом, шах^ ,V ,V ,V } < 17е + 945е .
Пользуясь теоремой 1, оценим ненадежность схемы ^4(^): Р(у4(5)) < 17е + 945е2 + 45^ 16Р(5) + (216 -16 - 1)Р2(5) =
= 17е + 945е2 + 720еР( 5) + 65519Р2( 5).
Теорема 2 доказана.
В теореме 2 найдено рекуррентное соотношение для ненадежностей схем 5 и ).
Теорема 3. Пусть / - произвольная функция из Р5, 5 - любая схема,
реализующая /, Р(5) - ненадежность схемы 5. Тогда схема (5) реализует функцию / с ненадежностью
Р(у5(5)) < 34е + 7440е2 + 3968еР(5) +1,074 • 109Р2(5).
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы, а функция / зависит от переменных л^,..., хп (п > 1).
Сначала оценим вероятности ошибок V0, V1, V2, V3, V4 на выходе схемы С5 на характеристических наборах 032,132,232,332 ,432 соответственно, учитывая что в схеме С5 содержится 31 элемент. При этом будем рассматривать два вида событий: ровно один элемент схемы С5 выдал неверное значение или хотя бы два элемента схемы С5 ошиблись.
~ 32
1. На наборе 0 только неисправность выходного элемента (он расположен в пятом ярусе) схемы С5 приводит к ошибке на ее выходе. Вероят-
ность этого события не больше ненадежности выходного элемента, т.е. не больше 4е (см. замечание 1). Поскольку мы доказываем верхнюю оценку ненадежности схемы С5, будем считать, что при неисправной работе двух и более элементов на выходе схемы С5 появляется ошибка. Вероятность этого
31
события не больше 2 С31(4е)'" (1 - 4е)31-''. Поэтому вероятность ошибки V
'=2
на выходе схемы С5 удовлетворяет неравенству
31
V0 < 4е + £ С31 (4е)г' (1 - 4е)31-''. ' =2
По лемме 1 верно неравенство
31 2
2С31(4е)''(1 -4е)31-'' <С3^(4е)2.
'=2
Следовательно,
V0 < 4е + С2 (4е)2 = 4е + 7440е2.
2. На наборе 1 ошибка на выходе схемы С5 появляется только при неисправной работе одного из двух элементов четвертого яруса или элемента пятого яруса (выходного элемента). Вероятность этого события не больше 3Р( Е) = 3 • 4е = 12е (см. замечание 1). Затем, как и в предыдущем случае, считаем, что ошибки двух и более элементов схемы приводят к появлению ошибки на выходе схемы С5 . Поэтому
31
V1 < 12е + ^ С31(4е)'' (1 - 4е)15-'' = 12е + 7440е2, т.е. V1 < 12е + 7440е2.
'=2
3. На наборе 232 ошибка на выходе схемы С5 появляется только при неисправной работе одного из четырех элементов третьего яруса (с вероятностью 4е) или одного из двух элементов четвертого яруса (с вероятностью 3е) или элемента пятого яруса (с вероятностью 4е). Вероятность этого события не больше 4 • 4е + 2 • 3е + 4е = 26е . Как и раньше, считаем, что ошибки двух и более элементов схемы приводят к появлению ошибки на выходе схемы С5 . Поэтому
31
V2 <26е + ^С31(4е)''(1 -4е)15-'' = 26е + 7440е2, т.е. V2 <26е + 7440е2.
'=2
~ 32
4. На наборе 3 ошибка на выходе схемы С5 появляется только при
неисправной работе одного из восьми элементов второго яруса (с вероятностью 2 е) или одного из четырех элементов третьего яруса (с вероятностью 2 е), или одного из двух элементов четвертого яруса (с вероятностью 2 е),
или элемента пятого яруса (с вероятностью 4 е). Вероятность этого события не больше (8 + 4 + 2) • 2е + 4е = 32е . Как и раньше, считаем, что ошибки двух и более элементов схемы приводят к появлению ошибки на выходе схемы С5 . Поэтому
31
V3 < 32е + 2С1(4е)/(1 -4е)15- = 32е + 7440е2 , т.е. V3 < 32е + 7440е2.
I =2
~ 32
5. На наборе 4 ошибка на выходе схемы С5 появляется только при
неисправной работе одного из шестнадцати элементов первого яруса (с вероятностью е ) или одного из восьми элементов второго яруса (с вероятностью е), или одного из четырех элементов третьего яруса (с вероятностью е), или одного из двух элементов четвертого яруса (с вероятностью е), или элемента пятого яруса (с вероятностью 4 е ).
Вероятность этого события не больше 16е + 8е + 4е + 2е + 4е = 34е. Как и раньше, считаем, что ошибки двух и более элементов схемы приводят к появлению ошибки на выходе схемы. Поэтому
31
V4 < 34е + ^С31(4е)/(1 - 4е)15- = 34е + 7440е2, т.е. V4 < 34е + 7440е2.
I=2
Таким образом, шах^0, V1, V2, V3, V4} < 34е + 7440е2. Пользуясь теоремой 1, оценим ненадежность схемы ^5(5):
Р(у5 (5)) < 34е + 7440е2 + 32 • (31 • 4е) • Р(5) + (232 - 32 -1)Р2 (5) <
< 34е + 7440е2 + 3968еР(5) + 1,074 • 109Р2(5). Теорема 3 доказана.
В теореме 3 найдено рекуррентное соотношение для ненадежностей схем 5 и (5).
Таким образом, в базисе, состоящем из функции Вебба, получены следующие результаты:
1. Построены схемы, которые можно использовать для повышения надежности исходных схем в Р4 и в Р5 .
2. Получены рекуррентные соотношения для ненадежностей предлагаемых схем и исходной схемы (теоремы 2 и 3).
Цель дальнейших исследований - получение верхних оценок ненадежности схем в Р4 и в Р5 .
Список литературы
1. Алехина, М. А. Синтез и сложность надежных схем из ненадежных элементов / М. А. Алехина // Математические вопросы кибернетики. - 2002. - № 11. - С. 193218.
2. Алехина, М. А. О надежности и сложности схем в базисе {х\у} при инверсных неисправностях элементов / М. А. Алехина // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. - 2005. - Т. 12, № 2. - С. 3-11.
3. Алехина, М. А. Об асимптотически наилучших по надежности схемах в базисе {&, v, -} при инверсных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина, В. В. Чугунова // Дискретный анализ и исследование операций. - 2006. - Т. 13, № 4. - С. 3-17.
4. Алехина, М. А. О надежности неветвящихся программ в произвольном полном конечном базисе / М. А. Алехина, С. М. Грабовская // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2012. - № 2. - С. 13-22.
5. Alekhina, M. A. Reliability of nonbranching programs in an arbitrary complete finite basis / M. A. Alekhina, S. M. Grabovskaya // Russian Mathematics. - 2012. -Т. 56, № 2. - С. 10-18.
6. Грабовская, С. М. Асимптотически оптимальные по надежности неветвящи-еся программы с оператором условной остановки : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Грабовская С. М. - Пенза, 2012. - 89 с.
7. Виноградов, Ю. А. Машинный анализ схем ЭВМ / Ю. А. Виноградов, М. А. Иорданский // Проблемы кибернетики. - 1972. - Вып. 24. - С. 147-160.
8. Моделирующие системы с многозначным гибридным кодированием : сб. науч. тр. / под ред. М. А. Ракова. - Киев : Наукова думка, 1980. - 192 с.
9. Виноградов, Ю. А. О синтезе трехзначных схем // Математические вопросы кибернетики / Ю. А. Виноградов. - 1991. - Вып. 3. - С. 187-198.
10. Барсукова, О. Ю. Синтез надежных схем, реализующих функции двузначной и трехзначной логик : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Барсукова О. Ю. - Пенза, 2014. - 87 с.
11. Алехина, М. А. О синтезе схем из ненадежных элементов в P4 / М. А. Алехина, С. П. Каргин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 4 (32). - C. 47-56.
12. Алехина, М. А. Синтез схем из ненадежных элементов в Pk / М. А. Алехина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 3 (35). - С. 3-10.
13. Алехина, М. А. Асимптотически оптимальные по надежности схемы в базисе Россера - Туркетта в P4 / М. А. Алехина, С. П. Каргин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. -№ 1 (33). - С. 38-55.
14. Яблонский, С. В. Введение в дискретную математику : учеб. пособие для вузов / С. В. Яблонский. - М. : Высш. шк., 2001. - 384 с.
15. Алехина, М. А. Верхняя оценка ненадежности схем в базисе, состоящем из функции Вебба / М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2015. - № 3 - С. 15-27.
16. Алехина, М. А. Об одной оценке вероятности ошибки / М. А. Алехина, А. Е. Лакомкина, Ю. Д. Ильина // Открытые инновации - вклад молодежи в развитие региона : сб. материалов регионального молодежного форума (Россия, г. Пенза, 22 ноября 2013 г.). - Пенза : Инф.-изд. центр ПГУ, 2013. - С. 11-12.
References
1. Alekhina M. A. Matematicheskie voprosy kibernetiki [Mathematical problems of cybernetics]. 2002, no. 11, pp. 193-218.
2. Alekhina M. A. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy. Ser. 1 [Discrete analysis and research of operations. Series 1]. 2005, vol. 12, no. 2, pp. 3-11.
3. Alekhina M. A. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy [Discrete analysis and research of operations]. 2006, vol. 13, no. 4, pp. 3-17.
4. Alekhina M. A., Grabovskaya S. M. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matemat-ika [University proceedings. Mathematics]. 2012, no. 2, pp. 13-22.
5. Alekhina M. A., Grabovskaya S. M. Russian Mathematics. 2012, vol. 56, no. 2, pp. 10-18.
6. Grabovskaya S. M. Asimptoticheski optimal'nye po nadezhnosti nevetvyashchiesya pro-grammy s operatorom uslovnoy ostanovki: dis. kand. fiz.-mat. nauk [Asymptotically reliability-optimal nonbranching programs with conditional stop statement: dissertation to apply for the degree of the candidate of physical and mathematical sciences]. Penza, 2012, 89 p.
7. Vinogradov Yu. A., Iordanskiy M. A. Problemy kibernetiki [Problems of cybernetics]. 1972, iss. 24, pp. 147-160.
8. Modeliruyushchie sistemy s mnogoznachnym gibridnym kodirovaniem: sb. nauch. tr. [Analogs with multidigit hybrid encoding: collected papers]. Ed. by M. A. Rakov. Kiev: Naukova dumka, 1980, 192 p.
9. Vinogradov Yu. A. Matematicheskie voprosy kibernetiki [Mathematical problems of cybernetics]. 1991, iss. 3, pp. 187-198.
10. Barsukova O. Yu. Sintez nadezhnykh skhem, realizuyushchikh funktsii dvuznachnoy i trekhznachnoy logik: dis. kand. fiz.-mat. nauk [Synthesis of reliable circuits realizing functions of two- and three-valued logics: dissertation to apply for the degree of the candidate of physical and mathematical sciences]. Penza, 2014, 87 p.
11. Alekhina M. A., Kargin S. P. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 4 (32), pp. 47-56.
12. Alekhina M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematiches—kie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 3 (35), pp. 3-10.
13. Alekhina M. A., Kargin S. P. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences] 2015, no. 1 (33), pp. 38-55.
14. Yablonskiy S. V. Vvedenie v diskretnuyu matematiku: ucheb. posobie dlya vuzov [Introduction into discrete mathematics: tutorial for universities]. Moscow: Vyssh. shk., 2001, 384 p.
15. Alekhina M. A., Barsukova O. Yu. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matemat-ika [University proceddings. Mathematics]. 2015, no. 3, S. 15-27.
16. Alekhina M. A. Otkrytye innovatsii - vklad molodezhi v razvitie regiona: sb. materialov regional'nogo molodezhnogo foruma (Rossiya, g. Penza, 22 noyabrya 2013 g.) [Open innovations - youth contribution into regional development: proceedings of the regional youth forum (Russia, Penza, 22nd November 2013)]. Penza: Inf.-izd. tsentr PGU, 2013, pp. 11-12.
Алехина Марина Анатольевна
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики, Пензенский государственный технологический университет (Россия, г. Пенза, проезд Байдукова/улица Гагарина, 1а/11)
E-mail: ama@sura.ru
Alekhina Marina Anatol'evna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics, Penza State Technological University (1a/11 Baydukova lane/ Gagarina street, Penza, Russia)
УДК 519.718 Алехина, М. А.
Рекуррентные соотношения для ненадежностей схем в базисе, состоящем из функции Вебба, в Р4 и Р5 / М. А. Алехина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2016. - № 3 (39). - С. 19-30. БОТ 10.21685/2072-3040-2016-3-2
