Синтез ПИД-регуляторов на основе методов пространства состояний и техники линейных матричных неравенств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 445-455

УДК 681.5

СИНТЕЗ ПИД-РЕГУЛЯТОРОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ И ТЕХНИКИ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ

© 2014 г. И.А. Федотов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Псступила в редакцию 08.07.2014

Рассмотрена задача синтеза ПИД-регулятора с помощью методов пространства состояний. Рассмотрены задачи синтеза регулятора с заданной степенью устойчивости, задачи Н2 / Н„ -управления и построение дискретного регулятора. Решение формулируется в терминах линейных матричных неравенств. Каждая задача снабжена примером расчета.

Ключевые слсва: ПИД-регулятор, пространство состояний, линейные матричные неравенства.

Введение

Бурное развитие теории управления, в первую очередь алгебраического подхода, оторвалось от производственной практики. Синтезируемые регуляторы пространства состояний по своей структуре несколько отличаются от используемых в промышленности в настоящее время. Они, несомненно, могут быть реализованы как с помощью аналоговой техники, так и на микропроцессорных системах, но это в свою очередь ведет к необходимости технического перевооружения производства. Наиболее распространён сейчас регулятор, работающий по пропорционально-интегрально-дифференциальному закону (ПИД-регулятор), особенно это касается производств с высокой концентрацией аналоговых процессов, таких, как, например, крупнотоннажное химическое производство. Современный ПИД-регулятор может быть как аналоговым, так цифровым, но неизменной остаётся трудность его точной настройки. К разряду мифологии можно отнести разговоры об оптимальном ПИД-регу-ляторе в силу сложности теоретического обоснования его настройки методами классической теории управления. Разработанные в последнее время методы пространства состояния, основанные на использовании линейных матричных неравенств, могут преодолеть эту трудность.

Главная цель настоящей работы состоит в переложении разработанных алгебраических методов для задачи синтеза ПИД-регулятора, что позволяет удовлетворительно настраивать существующие регуляторы без дополнительных расходов на модернизацию контуров управления. Как будет показано ниже, без дополни-

тельных изменений с помощью предлагаемого подхода можно синтезировать ПИД-регуляторы с заданной степенью устойчивости и Нгл -ПИД-регуляторы; синтез линейно-квадратичных регуляторов всё-таки потребует некоторого вмешательства в реализацию, пусть и минимального.

Используемый нами подход опирается на применение линейных матричных неравенств. Более подробные сведения о методах и средствах их решения можно почерпнуть из работ [1-4, 7-10]. Параметризация ПИД-регуляторов по Нт -критерию отражена в работе [6].

Введение в теорию следящих систем

Рассмотрим динамическую систему без возмущения:

х = Ах + Ви, у = Сх, т = ук - у. (1) Задача слежения ставится как выбор такого управления и, которое обеспечивает стремление т ^ 0 при любом характере движения командного сигнала ук.

Допустим, что командный сигнал формируется некоторой динамической системой с известными коэффициентами, но неизвестными начальными условиями:

г = Яг, ук = Ог. (2)

Тогда величину ошибки можно переписать в следующем виде:

т = Ог - Сх. (3)

Можно подобрать такую матрицу 0, чтобы выполнялось условие

О=С 0, (4)

тогда т =С0г-Сх. Введём новую переменную ^=0г_х, определяющую ошибку векторов со-

стояния. Продифференцируем последнее равенство по t и выпишем уравнение:

4 = Л4- Bu + (0Я-Л0)г, (5)

которое отражает динамику ошибки регулирования. Учитывая выражение (2), получаем новую динамическую систему:

4 = Л4 - Bu + (0Я-Л0)г,

(6)

х =

X +

г- b ^ 0

(7)

г = Rr

или, что то же самое,

г a (©Я - A©)л

.0 r у , ,

Видно, что полученная система неуправляема, поскольку можно воздействовать только на динамику ошибки, но не на поведение задания.

Введём следующее обозначение: F=(0R--Л0), тогда система (6) запишется следующим образом:

4 = Л4 - Bu + Fr, Г = Яг.

где

г л о f^

Л =

5 = (1 0 ... 0), В =

Г- в ) 0

V 0 у

Поскольку матрица Л имеет вид блочно-диагональной, то её собственные значения находятся как объединение собственных значений диагональных блоков. Тогда возникает задача: с помощью управления вида

и = Ку (12)

сдвинуть собственные значения матричного

- ГЛ 0^

блока Л = 1 I в левую область комплекс-

V5 0|

ной полуплоскости так, чтобы максимальное собственное значение располагалось левее 0 по действительной оси на расстоянии не менее ст, где ст = шт{-Яе^ г (Л)} есть степень устойчиво-

г

сти матрицы Л .

Запишем вспомогательную систему

(л 0У41

(8)

5 0

у = С

Г- в ^

+

5

у

ГА

(13)

1. Синтез ПИД-регулятора, обеспечивающего заданную степень устойчивости

Обычный ПИД-регулятор функционирует по следующему закону:

и (Г) = крт(Г) + к1 т^ )йг + кл т(Г) (9)

0

При записи системы в пространстве состояний имеем только переменные т и т. Для построения ПИД-регулятора необходимо к уравнению (8) добавить переменную 5, которая будет отражать интегральную составляющую ошибки. Введём также уравнение измеряемого выхода у, где будут известны только переменные 41,42 и 5:

4 = Л4 - Ви + Fr, 5 = 54,

Г = Яг, (10)

у = С4.

Окончательно будем иметь систему

XX = Ах + Ви , (11)

(

где с =

[10 0 ... 0] 0 [0 1 0 ... 0] 0 [0 0 0 ... 0] 1

,тогда у =

Г41 ^

5

V у

или в другом виде

х = Лх + Ви,

У = Сх,

и = Ку,

(14)

где В =

Г- В

V 0 у

По виду требуемого управления (12) можно сделать заключение, что необходимо синтезировать стабилизирующий регулятор по выходу 0-го порядка. Задачу стабилизации системы (13) с заданной степенью устойчивости Р=2ст можно сформулировать [4] как задачу существования квадратичной функции Ляпунова V (х) = хтХх

4

с X = Хт > 0 и X =

такой, что по любой

5 0 0 0 0 Я

\ у

Система по-прежнему неуправляема из-за наличия компоненты г. Если матрица Л е □ пхп, а матрица 5 е □ 1хп, то задача модального регулятора будет состоять в сдвиге первых п+1 собственных значений матрицы Л в левую область комплексной полуплоскости.

траектории замкнутой системы имеет место неравенство

V + pV < 0. (15)

Подставляя сюда выражения для функции V, получим:

Л тх+ХЛ + рх+ХвкС+СтктВтх < 0. (16)

Для решения этого неравенства перепишем его в так называемом каноническом виде, введя при

этом матрицы Q = ВтХ, Р = С, Т = ЛтХ + + ХЛ + рХ:

и

0

V 5 у

V 5 у

Таблица 1

Матрицы регуляторов при различных значениях в

в К к,а к

1.0 -1.534 2.2253 4.4969

1.5 2.5337 3.2544 8.6376

2.0 8.1787 4.3695 15.659

2.25 11.751 4.9859 20.75

3.0 25.728 6.9124 44.942

5.0 84.993 12.346 196.12

стема линейных матричных неравенств:

Wl (АТх + хА + рХ< 0,

С

где А =

Г 0

- 9

1 ^ -1

в =

у = Сх.

г 0 ^

v 1 у

, С = (1 0),

с матрицами

Я =

V0 0У

Вспомогательная система с интегрирующим звеном (13) будет иметь следующие матрицы:

Г 0 ^ Г100 ^

г 0 10 ^

А =

-9 -1 1 0

, В =

-1

0

С =

0 1 0 0

о?КР+рТкТд <0. (17) Последнее неравенство, согласно работам [3, 4], разрешимо, если разрешима следующая си-

(18)

(УАТ + АУ + рУЩТ < 0,

где неизвестные матрицы X, У связаны следующим выражением: ХУ=1, столбцы матриц Wc, ^в составляют базис ядра соответствующих матриц. После решения последней системы методом поиска взаимообратных матриц [3, 4] и определения необходимой матрицы х можно решить исходное неравенство (17) и найти интересующую нас матрицу регулятора К.

Пример

Проиллюстрируем наш подход на примере объекта второго порядка, имеющего следующее уравнение:

х = Ах + Ви,

(19)

или, что

то же самое, заданного следующей передаточной функцией:

Wuy (*) = ( 1 9 = -Г+— • (20)

7 * (* +1) + 9 *2 + * + 9

Командный сигнал появляется на выходе следующей динамической системы: г = Яг,

О (21)

ук = Ог

Г 0 1 ^

, О = (1 0), 0 = 1.

Поскольку в нашем примере порядок объекта равен 2, то получается частный случай регулятора по состоянию, т.к. доступны измерению все состояния объекта. Поэтому для расчета регуляторов будем использовать несколько другую процедуру [3].

По-прежнему будем требовать, чтобы выполнялось неравенство (15), что приводит к следующему линейному матричному неравенству:

АТХ + ХА + ХВК + КТВТХ + рХ < 0. (22)

Введём новую переменную У = X 1 и умножим справа и слева полученное неравенство:

УАТ + АУ + ВКУ + УКТВТ + рУ < 0. (23) Это неравенство нелинейное относительно неизвестных У, К, но линейное относительно переменных У, 2= К У:

УАТ + АУ + В2 + 2ТВТ +рУ < 0. (24) Таким образом, решив неравенство (16), параметры регулятора получим в виде

к = 2у 1. (25)

Подставляя известные матрицы объекта и значения степени устойчивости в в неравенство (24), получим таблицу 1 со значениями параметров регулятора, где кр - пропорциональная, ка - дифференциальная, к, - интегральная составляющие.

Поведение замкнутой системы будем моделировать с помощью системы уравнений

(<- Л Г(

Данная динамическая система соответствует форме командного сигнала г(?) = 0^ +а2?с любыми значениями коэффициентов а2. Тот же пример динамической системы был рассмотрен при синтезе следящей системы в работе [1].

Г 0 ^ 1 0 0

V 0 у

V г2 у

ка к'

0

1 0 0 0^

- 9 -10 0 0 -10 0 10

0

0 0 0 1

0 0 0 0 0 .

V х ^

'-10 0 1 0^1 0 -10 0 1 0 0 10 0

(26)

с начальными условиями х^ = (0 0 0 1 0).

Ту же систему можно задать в виде аналоговой схемы моделирования, представленной на рис. 1.

2

+

х

2

+

V 2 У

Рис. 1. Аналоговая схема для моделирования

I, с

Рис. 2. Реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие (г(Г)=1)

Результаты моделирования замкнутой системы с найденными параметрами регуляторов при ответе на единичное ступенчатое воздействие представлены на рис. 2.

2. Синтез линейно-квадратичного регулятора

Основная идея синтеза линейно-квадратичного регулятора следующая [1]:

• исключить переменную г из первого уравнения системы (8);

• изолированную систему дополнить уравнением интегрирующего звена и построить линейно-квадратичный регулятор методами Н2-теории.

Управление в этом случае будет уже композитным, и его можно записать в виде

и = иН + иг, (27)

Для обеспечения первого условия выпишем полученное уравнение и выразим из него матрицу коэффициентов К2:

4 = Л4- вин 2 + ^ - вк 2)т.

(28)

где

= к у, иг = к2т .

Необходимо, чтобы последнее слагаемое обратилось в нуль, для этого нужно, чтобы выполнялось равенство

ВК2 = F или ВК2 = (0Я-Л0). (29) Формально решение может быть получено через псевдообратную матрицу, К2 = В + (0Я-Л0), однако может оказаться, что система уравнений несовместна, и точного равенства не удастся достичь. Поэтому всегда нужно иметь в виду, что возможности управления могут и не обеспечить желаемого результата.

Если матрицу К2 удалось найти, то можно приступать с заключительному этапу синтеза регулятора. Для этого будем рассматривать систему (13), записанную в следующем виде:

х = Лх + Ви, г = С1х + Би, у = Сх, и = К, у,

н2 '

(30)

где матрицы Л, В, С описаны в предыдущем разделе, а матрицы С1, Б определяют заданный функционал. Отсюда возникает естественная задача синтеза оптимального линейно-квадратичного управления, но поскольку в общем случае нам доступен для измерения не весь вектор состояния системы, мы вынуждены прибегнуть к синтезу у-оптимального регулятора по выходу [3]. В частном случае это регулятор объекта второго порядка; вектор измерения будет совпадать с вектором состояния, тогда можно прибегнуть к решению стандартного уравнения Риккати [8] при условии, что пара матриц

(Л, В) - стабилизируемая, а другая пара матриц (АЛ, С1) - детектируемая:

РЛ + ЛтР - РВ(Бт Б)Вт Р + С1тС1 = 0 , (31) тогда матрица К1 определяется как

К1 =-(БтБ)-1 ВтР.

Согласно [3] параметры у-оптимального регулятора могут быть найдены как решение следующего линейного матричного неравенства:

У +РтК£ + 0тК1Р <0, (32)

где

X = Хт > 0, у = X-1,

' т лтг<т \

ЛУ + УА

V С1У

ус;

-у/

Р = (( 0), 0 = ((т Бт),

О = (х 0),

Г ЛтХ + ХЛ С,

т Л

С,

-у/

wт

Г УЛ + ЛтУ УС,т Л СУ -у/

WG < 0,

wв < 0

Г / ЛЛ

V 0 у

> 0.

3 =

Пример

Рассмотрим снова систему (19)-(21). На первом этапе нужно определить матрицу К2 из уравнения (29). Поскольку при взятых матрицах примера система получается совместной, можно легко вычислить необходимые коэффициенты:

Г 0 0 Л Г0 0Л

(35)

К0 К0

9 1

К2 = (9 1). (36)

На заключительном этапе необходимо найти оптимальное управление, при котором достигает минимума принятый функционал. В качестве матриц функционала возьмём следующие:

Г100 Л Г 0 Л

С, =

Б =

0

V1 у

(37)

0 1 0 V0 0 1 у

Поскольку для нашего примера порядок объекта равен 2, то матрицу регулятора можно вычислить на основе решения уравнения Рикка-ти или как регулятор по состоянию. Поскольку

пара матриц (Л, С,) не является детектируемой, то воспользоваться уравнением Риккати мы не можем, но можно воспользоваться методом расчета регулятора по состоянию [3].

Для расчета параметров регулятора воспользуемся следующей расчетной процедурой: матрица К, находится как К, = 2У-1, где матрицы X, У удовлетворяют следующей системе линейных матричных неравенств:

тт тлт Л

-у/

< 0,

(38)

а столбцы матриц WG, Wв составляют базис ядра соответствующих матриц. Неравенство (32) имеет решение при выполнении системы линейных матричных неравенств

> 0.

(33)

^ 0) у/

Найденная таким образом матрица регулятора К, при заданном параметре у обеспечивает выполнение неравенства

ЛУ + УЛт + 2тВт УС + Х'О1 С,У + Б2

V 1

ГУ /1 ^ у/ у

Решение этой системы проводят совместно с процедурой минимизации параметра у. Подставляя известные матрицы, получаем параметры

К =(0.0554 0.4529 0.0) (39)

при значении у = 2.0389. Интересно отметить, что при стремлении у сверху к указанному значению происходит вырождение интегральной составляющей, которая при минимально возможном значении у обращается в 0. Этот факт объясняет природу интегральной составляющей именно как стабилизирующей компоненты.

Функционал, таким образом, можно оценить неравенством

3 =

) |2 & < 4.1571 х0

(40)

\\zit)|2 Л <у2|х0|2, VXо * 0. (34)

что при единичном ступенчатом воздействии ограничивает функционал сверху величиной

4.157.

2 У

2

Для моделирования процесса регулирования/слежения воспользуемся схемой, представленной на рис. 3 или заданной матричной записью 0 1 0 0 0^

Г X ^ гг

V т2 У

- 9 -10 0 0 -10 0 10

VV

0 0 0 1 0 0 0 0

(01

1 Г кр )

0 к,

0 Vк.)

V 0

-10 0

кР + к21

0

+ К

Г X >

УУ

3 =

| (^2 2 + = 4.156

возможность применить методы Нш-теории и проверить качество процессов управления. Рассмотрим систему

х = Ах + Бы + Рт,

(41)

г = С1х + Бы, х

У = Сх, ы = Ку,

где все матрицы, кроме Р =

( Р 1 V 0 У

(42)

определены

0 -1 0 0

-1 0 0 1 0 0 1 0

ч

с начальными условиями

хТ =(0 0 0 1 0).

Результат моделирования системы при единичном ступенчатом воздействии приведен на рис. 4, при этом достигнуто значение функционала

что соответствует расчетному значению.

3. Синтез Дш-ПИД-регулятора

Для синтеза Нш-регулятора будем рассматривать сигнал задания т как возмущающее воздействие, тогда цель управления будет заключаться в гашении колебаний, вызванных изменением сигнала задания. Такая постановка задачи может быть применима для систем, у которых сигнал задания изменяется достаточно часто и по неизвестному закону, как, например, для каскадных регуляторов. Конечно, при такой постановке задачи мы жертвуем частью известной информации о сигнале задания, но это даёт

ранее. Особенность Нш-теории заключается в её применении для устойчивых объектов. Может

оказаться так, что матрица А будет неустойчивой или находиться на границе устойчивости из-за введения интегрирующего звена. Поэтому можно попробовать ввести композитное управление - одна составляющая будет стабилизировать систему, а вторая - проводить Нш-управление. Управление тогда запишется как ы = Кху + Кн у. Но управление по-прежнему

формально останется таким, как на выходе ПИД-регулятора: ы = (К5у + Кн ) у. Для случая

устойчивой матрицы А коэффициенты Кх будут нулевыми.

Задача, как и в предыдущем разделе, разбивается на две части. Сначала надо найти стабилизирующее управление Кх, а затем уже для устойчивой матрицы синтезировать Нш-управление. Для нахождения матрицы К3 воспользуемся результатами первого раздела. Будем считать, что вспомогательная задача решена, поэтому рассмотрим уже стабильную систему х = Ахх + Бы + Рт,

г = С1х + Дт + Бы, х

у = Сх,

ы = Кн „ ^

2

+

т

к

Т

х

2

4 6 К !0 12 14 16 18 20 0 2 4 6 3 Ш /, С

Рис. 4. Реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие (г(Г) = 1)

12 14 16 18 20 1. с

где А, = А + БК,. Цель Направления будет заключаться в нахождении регулятора Кн , обеспечивающего неравенство

(44)

чем в = 2.25, обратной связью в виде ПИД-регулятора с коэффициентами К,, приведенными в таблице 2.

Таблица 2

2

8ир— < у

уФ0 Г

к' кР к, к,

11.751 4.9859 20.75

для наперед заданного значения у. Нас здесь интересует минимальное значение параметра у, при Таким °браз°м, матрица А котором регулятор существует. Сам регулятор объекта будет записана в виде может быть найден как решение линейного матричного неравенства [3]

(

А,, =

т + рткН ^ б + отк„„ р < о

(45)

устойчивого

Л

при выполнении условий

WT

(

wT

f А] X + ХА, РтХ

С,

ГАт+ а,у

~т

С, у

т

хр с -у/ пт

£ -у/

wP < о,

р ус, -у/ п п -у/

т

WR < о,

(46)

где

0 1 о

- 20.751 - 5.9859 - 20.75

1 0 0

V /

её собственные числа

А,1А3 = (-2.2578 ±3.0024/ -1.4704).

Поскольку мы снова имеем объект второго порядка, нет необходимости синтезировать регулятор по выходу, можно обойтись более простой процедурой синтеза регулятора по состоянию [3]. Разрешив систему (47) относительно переменных У, 2 и заданной степени гашения колебаний у,

Р (У, X, у) =

т Л 1

т

X = Хт > 0, У = X-1

' ацх+ха, хр с?

Т= РтХ -у/ £ ч С А -у/

р = (С 0 0 ) ,

\ ПуХПу Пу^П2 /

б = (х 0иц^ £),

R = ( 0Иц^ Бт),

т пгЛ

УАт + А,У +11 Б1 Р УС + Х'п

Р

СУ + ш

-у/ п

П

-у/

< 0, (47)

У = У1 > 0,

матрицу регулятора Кннаходят тогда как Кн = 2У-1. Нас здесь, прежде всего, будет

интересовать минимально возможное значение параметра у, поэтому одновременно с решени-

а столбцы матриц WP, WR составляют базис яд- ем системы (47) поставим оптимизационную ра соответствующих матриц. задачу:

Пример

у = т£ у.

Р (У ,2 ,у )<0, У >0

(48)

Для выбранного объекта (19)-(21) построим Реш™ системы (47) и задачи (48) щж матри-Нш-регулятор, предварительно застабилизировав цах С1(1 0 0), п(0 0), п = 0 даёт результаты, систему со степенью устойчивости не меньше, представленные в таблице 3.

Таблица 3

У кн- кН- кн-

2.4543-10-5 2.9697 108 383.14 -20.734

Результирующий вектор настроек записывается как сумма стабилизирующего и Нш-управления: К = К! + Кн(табл. 4).

Таблица 4

кР к, к

2.9697 108 388.13 0.016

Это приводит к реакции на единичное ступенчатое воздействие, изображённое на рис. 5, в соответствии со схемой моделирования рис. 1 или системой (26).

Приведенный регулятор выглядит заманчивым, но из-за слишком больших коэффициентов усиления в обратной связи он практически не реализуем. Лучшие результаты даёт управляемый выход следующего вида:

7 = С1 х + Дг + Би =

Г-1 о

«V Г1

х +

о

о ^

оо

г+

Г о ^ р

(49)

с параметром р, равным, например, 0.03. Параметры регулятора для этого случая приведены в таблице 5, а отклик на единичное ступенчатое воздействие представлен на рис. 6.

Таблица5

К К к

74.988 25.676 21.736

Стоит заметить, что в нашем случае динамическая система, генерирующая сигнал задания, рассматривается как негармоническая, в более же общем случае возможна генерация гармонического сигнала задания, что может привести к возникновению резонанса в системе регулирования/слежения. Расчет регулятора методами Нш-управления позволяет предусмотреть этот случай и гарантировать удовлетворительное ка-

чество слежение за командным сигналом даже на резонансной частоте. Всё вышесказанное относится к так называемым каскадным контурам, где сигнал задания ведомого регулятора вырабатывается ведущим и может иметь достаточно сложную форму вплоть до гармонической. Отсюда следует, что процедура настройки таких контуров должна несколько отличаться от приведенной и основываться на анализе АЧХ замкнутой системы.

4. Синтез цифрового ПИД-регулятора

Большинство существующих ПИД-регулято-ров в промышленности являются цифровыми, реализованными в программном обеспечении контроллера. Всем цифровым системам присуща дискретность. Для контроллеров эта величина называется временем т скана контроллера, т.е. временем между опросом входных сигналов или, что то же самое, временем между выдачей сигналов управления. Для большинства современных систем это время лежит в интервале 0.1 <т< 1 с. Есть и более быстродействующие системы ^р, специальные контроллеры), но на настоящий момент они занимают малый сектор средств автоматизации.

Известно [11], что чем больше величина дискретности, тем весомее отличия цифровых систем от аналоговых, поэтому ниже опишем процедуру настройки цифровых ПИД-регуля-торов и сравним полученные настройки и переходные процессы с уже полученными результатами для непрерывных систем. Будем рассматривать относительно простой пример синтеза регулятора с заданной степенью устойчивости.

Перепишем систему (14) в дискретном виде:

хг+1 = Айхг + Вйиг,

у, = СЛ,

и, = КУ,

(50)

и

!. С

Рис. 5. Реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие (г (,) = 1)

Рис. 6. Реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие ( г (,) = 1)

Таблица 6

Матрицы дискретных моделей для разных значений т

т Aid Bd

f 0.9598 0.0937 0 л f- 0.0048ï

0.1 - 0.8437 V 0.0985 0.8630 0.0048 0 1 y - 0.0937 V- 0.0002y

f 0.7525 0.2011 01 Г- 0.02751

0.25 -1.8095 V 0.2286 0.5515 0.0275 0 1y - 0.2011 V- 0.0024y

Г 0.2025 0.20611 0ï f- 0.0886 ï

0.5 - 2.3596 -0.0597 0 - 0.2622

V 0.3508 0.0886 1 y f- 0.0166 /

Г - 0.5776 0.0374 0ï f- 0.1753^

1.0 -0.3368 -0.6151 0 - 0.0374

V 0.2127 0.0886 1 y V- 0.0875y

и потребуем выполнение неравенства (15) для замкнутой системы ~+1 = АЛ х,, переписанного в дискретном виде:

У,+1 - V +рг, < 0, (51)

где дискретная функция Ляпунова записывается в виде V = х^Хх, и матрица замкнутой системы Ас = АЛ + БЛКСЛ. С учетом выражения для функции Ляпунова и леммы Шура [5] неравенство (51) может быть записано в виде линейно-

го матричного неравенства

(

- Y

v AT + C'dK'B'd

Ad + BdKCd (P-1) X

A

< 0,

X = XT > 0, (52)

Y = YT > 0,

где матрицы X, Y связаны соотношением Y = X-1. Перепишем первое неравенство в виде Т + PT®TQ + QT®P < 0, (53)

(

где T =

- Y

\

AT

V Ad

, P = (0 Cd ), Q = (BdT 0),

(Р-1) X,

© = К. Согласно утверждению 5.9 работы [3] регулятор по выходу существует, если разрешима следующая система неравенств:

Г 0 ï

W~

V Cd

Y

-Y

AT

Vd

Ad Y 0 ï

(P-1) X

W~

V Cd y

< 0,

(W~T Y Г- Y A, Yw~t ï

v 0 y

AT

Vd

(P-1) X

v 0 y

где матрицы W~ , W~T являются ядрами соот-

Cd Bd

ветствующих матриц.

Если система (54) разрешена относительно взаимообратных матриц X, Y, то параметры регулятора находятся как решение неравенства (53).

Пример

В качестве примера рассмотрим систему (19), (20) c соответствующими матрицами. Прежде всего нужно перейти от непрерывного описания системы к дискретному, для этого

необходимо вычислить матрицы Ad , Bd , Cd . Используя допущение о кусочно-постоянном характере управления ( u (t ) = u(ti ) ) можно получить [2] соответствующие формулы пересчета:

Ad = , Bd = A-1(Ad -P)B, Cd = C. (55)

В нашем случае ситуация осложняется вырожденностью матрицы A , что не позволяет прямо получить матрицу Bd . Поэтому рассмотрим расширенную систему в интервале времени tk - tk+j в предположении о кусочно-постоянном управлении (u(t) = u(tk ), tk < t < tk+j ):

~ (t ) = Ax (t ) + Bu(t ), u(t ) = 0. (56) Введём расширенный вектор x = col(~(t), u(t))

Г ~ Xï

и матрицу A =

. Система (56) запишется

(54)

в виде

х (,) = АХ (,), (57)

тогда матричную экспоненту, учитывая блочную структуру матрицы А , представим как

d

Таблица 7

Матрицы регуляторов при различных значениях т_

т в* кр к, к

0.1 0.30625 51.5884 12.0851 74.6698

0.25 0.565 5.9156 4.5014 11.648

0.5 0.9 -0.34921 1.8942 6.4594

1.0 0.995 -2.3742 -1.7854 3.5909

Рис. 7. Реакция дискретного объекта на единичное ступенчатое воздействие (г (,) = 1)

А, =

В,

V 0 1 у

(58)

Принимая во внимание вышесказанное, сформируем таблицу 6 дискретных моделей для разных значений периода дискретности.

Имея дискретную модель объекта, можно приступать к процедуре синтеза регулятора. Поскольку в нашем случае порядок объекта равен 2, можно обойтись без решения системы (54). Перепишем систему (52) с учетом единичной матрицы С, :

(

- У

А, + В ЛК

\

V АТ + КТВТ (Р-1) X

< 0,

(59)

X = ХТ > 0, У = УТ > 0.

Полученное неравенство является линейным матричным и может быть разрешено сразу, с учетом применения алгоритма поиска взаимообратных матриц. Полученные матрицы регуляторов при максимально возможных значениях в сведём в таблицу 7.

По полученным данным можно смоделировать отклик системы; для этого воспользуемся уравнениями моделирования (26), предварительно переведя систему в дискретный вид по

формулам (55), (58). В итоге получим переходные процессы, представленные на рис. 7.

Заключение

В настоящей работе с помощью современных методов теории управления решена задача синтеза ПИД-регулятора, обеспечивающего различные качества процессов слежения. Показано, что интегральная составляющая обратной связи нужна для обеспечения устойчивости и робастности замкнутой системы, но для достижения оптимального характера управления соответствующий коэффициент стремится к вырождению. По-видимому, для лучшей настройки ПИД-регулятора ПД-составляющую нужно искать исходя из соображений оптимальности, а И-составляющую подбирать для обеспечения робастности. Данное предложение нуждается в дополнительной проработке, равно как и случай присутствия в системе транспортного запаздывания и наличия неконтролируемых помех.

Список литературы

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

2. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории управления с примерами на языке МаНаЪ. СПб.: Наука, 2000.

3. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Наука, 2007.

4. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств и алгоритма поиска взаимообратных матриц //Автоматика и телемеханика. 2005. № 1. С. 82-99.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

6. Грязина Е.Н., Поляк Б.Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Нх: параметрический подход //Автоматика и телемеханика. 2007. № 3. С. 94-105.

7. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

8. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

9. Чурилов А.Н., Гессен А.В. Исследование линейных матричных неравенств. СПб.: СпбГУ, 2004.

10. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

11. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 1987.

PID CONTROLLER SYNTHESIS ON THE BASIS OF STATE SPACE METHODS AND LINEAR MATRIX INEQUALITY TECHNIQUES

I.A. Fedotov

PID controller synthesis on the basis of state space methods is considered. The article examines the problems of a PID controller with a given degree of stability, Н2 / Нx -infinity optimal control, and discrete controller synthesis. The solution is formulated in terms of linear matrix inequalities. Each problem is provided with an example of calculations.

Keywords: PID controller, state space, linear matrix inequalities.

References

1. Andreev Yu.N. Upravlenie konechnomernymi linejnymi ob"ektami. M.: Nauka, 1976.

2. Andrievskij B.R., Fradkov A.L. Izbrannye glavy teorii upravleniya s primerami na yazyke Matlab. SPb.: Nauka, 2000.

3. Balandin D.V., Kogan M.M. Sintez zakonov upravleniya na osnove linejnyh matrichnyh neravenstv. M.: Nauka, 2007.

4. Balandin D.V., Kogan M.M. Sintez regulyatorov na osnove resheniya linejnyh matrichnyh neravenstv i algoritma poiska vzaimoobratnyh matric //Avtomatika i telemekhamka. 2005. № 1. S. 82-99.

5. Gantmaher F.R. Teoriya matric. M.: Nauka, 1967.

6. Gryazina E.N., Polyak B.T. Sintez regulyatorov nizkogo poryadka po kriteriyu Нal. parametricheskij podhod //Avtomatika i telemekhanika. 2007. № 3. S. 94105.

7. Ikramov H.D. Chislennoe reshenie matrichnyh uravnenij. M.: Nauka, 1984.

8. Polyak B.T., Shcherbakov P.S. Robastnaya ustoj-chivost' i upravlenie. M.: Nauka, 2002.

9. Churilov A.N., Gessen A.V. Issledovanie linejnyh matrichnyh neravenstv. SPb.: SpbGU, 2004.

10. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia. SIAM, 1994.

11. Ostrem K., Vittenmark B. Sistemy upravleniya s EhVM. M.: Mir, 1987.