Синтез регуляторов заданной точности по среднеквадратичному критерию при действии неизмеряемых внешних возмущений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71

В.Н. Честнов, Ж.В. Зацепилова

СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ ПО СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕИЗМЕРЯЕМЫХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

В работе формулируется задача синтеза непрерывных регуляторов состояния и регуляторов по выходу линейных многомерных систем, гарантирующих требуемую точность по регулируемым переменным в среднеквадратичном смысле при действии неизмеряемых, ограниченных по мощности полигармонических детерминированных внешних возмущений с неизвестными амплитудами, частотами и числом частот.

Линейные многомерные системы, регулятор по полному вектору состояния, регулятор по измеряемому выходу, LQ-оптимизация, функционал обобщенной работы, точность системы по среднеквадратичному критерию, неизмеряемые внешние возмущения

V.N. Chestnov, Zh.V. Zatsepilova CONTROL DESIGN WITH REQUIRED ACCURACY VIA MEAN-SQUARE CRITERION IN THE PRESENCE OF POLYHARMONIC DISTURBANCES

We formulate the controller design problem where the desired accuracy of controlled variables in the mean-square sense is guaranteed in the presence of bounded polyharmonic disturbances with a priori unknown number of harmonics, amplitudes, and frequencies.

Linear multivariable systems, state feedback controller, output feedback controller, LQ-optimization, Lyapunov-equation, required accuracy via mean-square criterion, bounded exogenous disturbances

Введение

Метод аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) является одним из самых популярных методов синтеза регуляторов оптимальных систем. Критерием оптимизации таких задач является квадратичный функционал, выбор и задание которого является наиболее важной частью задачи. Показатели качества работы автоматической системы (точность, быстродействие, перерегулирование и др. инженерные критерии) определяются задаваемыми значениями весовых коэффициентов функционала. При практическом синтезе регуляторов на основе процедур LQ-оптимизации математически строгие результаты превращаются в метод проб и ошибок с целью удовлетворения заданных требований к качеству замкнутой системы. Заметим, что в стандартной постановке задачи LQ оптимизации внешние возмущения никаким образом не участвуют. В связи с этим задача выбора весовых коэффициентов критерия, обеспечивающих требуемые инженерные показатели качества, является основной проблемой АКОР, начиная с первых работ А.М. Летова [1] и Р.Е. Калмана [2].

Работы в рамках LQ-оптимизации, посвященные проблеме выбора коэффициентов функционала оптимизации при действии ступенчатых внешних возмущений начаты в конце 60-х годов прошлого века А.Г. Александровым [3, 4]. В дальнейшем, решение задачи синтеза при действии ступенчатых, случайных и гармонических внешних возмущений с учетом требований точности путем выбора весовых матриц функционала проводились в работах Ю.К. Тимофеева, Ю.В. Садомцева, А.Г. Александрова, В.Н. Честнова. Данная работа развивает результаты, полученные в [5, 6].

Рассмотрим линейную стационарную систему, описываемую уравнениями состояния

х = Ах + Бщ + В2и, г = С1 х, у = С2х, (1)

где х^)е Я" - вектор состояния объекта; и^) е Ят - вектор управления; г($)е Ят1 - вектор регулируемых переменных; у(?) е Ят2 - вектор измеряемых переменных; ) е Ям — вектор

внешних неизмеряемых возмущений. Постоянные числовые матрицы А, Б1, В2, С1, С2 известны. Пара матриц (А, В2) предполагается управляемой, а пары (С1, А) и (С2, А) - наблюдаемыми.

Компоненты вектора внешних возмущений - полигармонические функции с неизвестными амплитудами , начальными фазами и частотами юк

р _________________________

Щ ^) = 2 Щк • 81П(Ю^ + У а X i = 1 ^ 1 < р (2)

к=1

где р - неизвестное число гармоник.

Полагается, что среднеквадратичное значение (мощность) каждой компоненты внешнего возмущения ограничено

1 т 1 р _____________________________

щ / = Т1т ~ | щ2(t№ = т 2 Щк2 < , i =1, ^ 1 < р < , (3)

I 1 ! * 2

1 0 2 к =1

* • 1

где щ - заданные числа, i = 1, ц.

Среднеквадратичные значения регулируемых переменных и управляющих воздействий определим соотношениями

1 т ____ 1 т ___

(г-2) = Ят т I )^, i = 1, ™1, (и}^ = ттТIи}2(t)^, } = 1, т. (4)

1 0 1 0

Задача. Найти стабилизирующий регулятор такой, что среднеквадратичные значения регулируемых переменных замкнутой системы при действии возмущений из класса (2), (3) удовлетворяли требованиям

2 \ *2 * г )< г , - = 1, т1, г - заданные числа. (5)

Далее уравнения регулятора будут конкретизированы.

Регулятор по полному вектору состояния

В данной работе предложены две процедуры синтеза непрерывных регуляторов по полному вектору состояния. Условия разрешимости поставленной задачи первой процедуры получены на основе LQ-оптимизации Летова-Калмана, которая опирается на решение матричного уравнения типа Риккати (процедура 1). Вторая из процедур использует критерий обобщенной работы [7], и сводится для устойчивых объектов управления к решению линейного матричного уравнения Ляпунова (процедура 2), что с вычислительной точки зрения гораздо проще.

Закон управления по полному вектору состояния строится в виде

и = Кх, К = -Я~1Бт2Р , (6)

где матрица Р = Рт > 0 в зависимости от используемой процедуры является решением соответствующего матричного уравнения.

Такой регулятор по полному вектору состояния гарантирует выполнение следующих утверждений, если управления и внешние возмущения приложены в одной точке В1=В2.

Рассмотрим первую процедуру синтеза, где Р - решение уравнения Риккати АтР + РА - РБ2Я1 Б2тР = -С1QC1, матрицы 0 = О > 0 и Я = ЯТ > 0 - весовые матрицы квад-

• (*м т т

ратичного функционала оптимизации ] = шт I (г + и Яи)&, выбираемые проектировщиком.

и Ло

Теорема 1. Средние квадраты регулируемых переменных (ошибок регулирования) замкнутой системы при действии полигармонических возмущений (2), (3), в случае диагональных весовых матриц $ и Я, принадлежат множеству, определяемому неравенством

т1 т

(7)

¿=1 ¿=1

а средние квадраты управляющих воздействий (при Я = г I, г > 0, I - единичная матрица соответствующих размеров)

т

2(и?) < 4II ж* II2, (8)

]=1

где и Г1 - элементы диагональных весовых матриц $ и Я; ||ж*|| - евклидова норма вектора

ж* = [ж*, ж*, ..., ж**] т с компонентами из правых частей неравенств (3).

Следствие 1. Закон управления по полному вектору состояния разрешает задачу (5), если элементы диагональных весовых матриц $ и Я квадратичного функционала качества удовлетворяют равенствам

«I = ж* Iг*2, I = 1,т1, г- = 1, , = 1,т. (9)

Вторая процедура синтеза также использует закон управления (6), где Р - решение

уравнения Ляпунова АтР + РА = -Ст$С1, матрицы $ = О > 0 и Я = Ят > 0 - выбираемые

проектировщиком весовые матрицы функционала обобщенной работы

] = шт I (гТ+ итЯи + и *т Яи*)&, и* = -Я~1БтРх.

и ^0

Теорема 2. Средние квадраты регулируемых переменных (ошибок регулирования) замкнутой системы при действии полигармонических возмущений (2), (3), в случае диагональных весовых матриц 0 и Я, принадлежат множеству, определяемому неравенством

т1 т

2«,(г,2) < 0,52^(ж”), (10)

¿=1 ,=1

а средние квадраты управляющих воздействий (при Я = г1, г > 0, I - единичная матрица соответствующих размеров)

2 (и2) < || ж* II2, (11)

1=1

где иг- - элементы диагональных весовых матриц 0 и Я, II ж* II евклидова норма

*!-***-■ Т V / /Л \

вектора ж = [ж1, ж2,...,жц] с компонентами из правых частей неравенств (3).

Следствие 2. Закон управления по полному вектору состояния разрешает задачу (5), если элементы диагональных весовых матриц 0 и Я квадратичного функционала качества удовлетворяют равенствам

= 0,5 ж* Iг*2, , = 1, т1, г{ = 1, , = 1, т. (12)

Из условий теорем 1 и 2 следует, что уменьшения установившихся ошибок можно добиться увеличивая весовые коэффициенты матрицы 0 и уменьшая весовые коэффициенты матрицы Я.

Подчеркнем, что такой закон управления позволяет обеспечить сколь угодно высокую точность управления (числа г* > 0 любые) независимо от частот внешнего возмущения (2).

Мощность управления в случае устойчивого объекта для процедуры 2 (11) в 4 раза меньше, чем для процедуры 1 (8).

Регулятор по измеряемому выходу

Аналогичная задача синтеза ставится для регулятора по измеряемому выходу.

В этом случае управления и возмущения могут быть приложены в разных точках Б1 Ф Б2, а объект должен быть минимально фазовым с одинаковым числом регулируемых переменных и управлений т1 = т.

Для объекта управления строится вектор / эквивалентных внешних возмущений, приведенный ко входу объекта f (5) = [С2(5 -1 - А)_1 Б2]-1С2(51 - А)-1 Б1ж(^) = Тж (5)ж(5), связанный с вектором внешних возмущений ж передаточной матрицей Т^, и находится число р — такое, что выполнено Т^(-]а)Т^(а) < р21, юе [0, ю*] (р = Цт^Ц^).

Закон управления по выходу строится на основе наблюдателя и = Кхг , где матрица обратной связи по оценкам состояний объекта К найдена при формировании регулятора по полному вектору состояния в зависимости от используемой процедуры, хг е Яп - вектор состояния наблюдателя (фильтра) полного порядка

Хг = Ахг + Б2и + К1 (у - С2хг), Кг = УСТ, (13)

где У > 0 — решение матричного уравнения Риккати для наблюдателя (фильтра)

АтУ + УА - УС2ТС2 у = -аБ2 Б2т , (14)

в правой части которого а — достаточно большой положительный весовой коэффициент.

В этом случае матрицы регулятора будут иметь вид Ас = А + Б2 К - Кf С2, Бс = К{,

СС = К, БС = 0. Тогда при диагональных весовых матрицах 0 и Я= г1 имеет место

Теорема 3. При достаточно большом а утверждения теорем 1 и 2 и следствий 1 и 2 в системе с наблюдателем остаются в силе с точностью до замены в соотношениях II ж* II2 на р2II ж* II2 .

Численный пример

В качестве примера рассмотрим задачу синтеза регулятора с использованием первой процедуры (на базе решения уравнения Риккати) для взаимосвязанного электропривода, математическая модель и параметры которого приведены в [8].

Матрицы уравнений состояния (1) объекта управления имеют вид

1 1 0 о 0 0 0 0 ' " 0 " "16120 0 '

0 - 83,3333 0 0 0 0 0 13702

137,8105 0 -11,2866 0 -1123,155 . в, = 0 , В 2 = 0 0

0 -132,4591 0 -11,0653 -1101,133 0 0 0

_ 0 0 0,2488 0,2536 0 _ - 0,0307_ _ 0 0 _

А =

С1 = [0 0 0 0 1].

Регулируемая переменная г - угловая скорость.

Требования по точности г*= 1 рад/с, внешнее возмущение - момент нагрузки ампли-

"1 01

тудой 600. Весовые матрицы найдены из (10): Q = [боо2 ] я =

0 1

Коэффициент а = 100.

Полученные матрица регулятора по полному вектору состояния и матрица коэффициентов передачи наблюдателя

Г- 0,05114 - 0,0507 - 0,2987 - 0,3048 - 459,93]

К =

|_- 0,04311 - 0,0428 - 0,2496 - 0,2547 - 383,49 Кг =[38792 41763 34076 144410 313.15]г.

Матрицы регулятора по выходу имеют вид:

Ас =

"- 924,34 -8.1753е + 002 -4.8156е + 003 -4.9133е + 003 -7.4529е + 006" " 3,8792е + 004"

-590,67 -6.6968е + 002 -3.4201е + 003 -3.4895е + 003 -5.2963е + 006 4.1763е + 004

137,81 0 -1.1287е + 001 0 -3.5199е + 004 , Вс = 3.4076е + 004

0 1.3246е + 002 0 -1. 1065е + 001 -1.4551е + 005 1.4441е + 005

_ 0 0 2.4867е - 001 2.5364е - 001 - 3.1315е + 002 3.1315е + 002

С =

-5.1137е-002 -5.0715е-002 -2.9874е-001 -3.0480е-001 -4.5993е + 002 -4.3108е-002 -4.2793е-002 -2.4961е-001 -2.5467е-001 -3.8349е + 002

Ос =

0

0

Рис. 1. АЧХ замкнутой системы от возмущения к регулируемой переменной для регуляторов состояния

Рис. 2. АЧХ замкнутой системы от возмущения к регулируемой переменной для регуляторов выходу

Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) замкнутой системы от возмущения к регулируемой переменной (промасштабированы амплитудой 600 внешнего возмущения) для регулятора по полному вектору состояния и для регулятора по выходу приведены ниже. Из этих характеристик видно, что амплитуда ошибки для регулятора по состоянию не превышает 0,05 рад/с, а для регулятора по выходу - 0,13 рад/с, что доказывает практическую эффективность предложенного метода синтеза регуляторов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов // АиТ. 1960. № 4, 5, 6.

С.436-443, 561-568, 661-665; 1961. № 4. С. 425-435.

2. Kalman R.E. Contributions to the theory of optimal control // Bol. Soc. Mat., Mexicana. 1960. V.5. № 1. P.102-119.

3. Александров А.Г. Частотные свойства оптимальных линейных систем управления // АиТ. 1969. № 9. С.176-182.

4. Александров А.Г. Частотные свойства оптимальных линейных систем с несколькими управлениями // АиТ. 1969. № 12. С. 12-17.

5. Александров А.Г., Честнов В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности. I. Применение процедур LQ-оптимизации // АиТ. 1998. № 7. С. 83-95.

6. Честнов В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию // АиТ. 1998. № 12. С.109-117.

7. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

8. Агафонов П.А., Честнов В.Н. Синтез регуляторов по заданному радиусу запасов устойчивости с учетом внешних возмущений на основе Hœ подхода // АиТ. 2004. № 10. С.101-108.

Честнов Владимир Николаевич -

доктор технических наук, старший научный сотрудник лаборатории «Адаптивные и робастные системы управления» Института проблем управления РАН им. В. А. Трапезникова г. Москва

Зацепилова Жанна Валерьевна -

аспирант Научно-исследовательского технического университета «Московский институт стали и сплавов»

Статья поступила в редакцию 13.02.12, принята к опубликованию 12.03.12