Синтез оптимального управления при движении в однородном центральном поле в случае коллинеарности векторов конечного промаха по радиус-вектору и вектору скорости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том II 1971

№ 1

УДК 521.1

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ В ОДНОРОДНОМ ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ В СЛУЧАЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ВЕКТОРОВ КОНЕЧНОГО ПРОМАХА ПО РАДИУС-ВЕКТОРУ И ВЕКТОРУ СКОРОСТИ

Рассматривается задача об оптимальном управлении материальной точкой при движении ее в пустоте в однородном центральном поле тяготения в случае, когда векторы конечного промаха по радиус-вектору и вектору скорости коллинеарны. Детально рассмотрена задача о переходе между произвольными пересекающимися орбитами. Полученные результаты применимы при произвольных законах изменения величины тяги, что позволяет использовать их для построения системы управления, компенсирующей возмущения в величине тяги. Комбинация решения этой задачи и решения задачи о перелете в точку, полученного автором ранее, используется затем для построения траектории перелета с двумя активными участками при произвольных граничных условиях. Решения всех рассмотренных в работе задач получены в виде аналитических формул и достаточно наглядных графиков.

Рассматривается задача об оптимальном управлении материальной точкой при движении ее в пустоте в однородном центральном поле тяготения. Как показано в работе [1], для такого поля соотношения, обеспечивающие выполнение граничных условий в конечный момент І—Т, могут быть записаны в виде

Г. Е. Кузмак

1. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

о

\

(1.1)

\а$)со$ч(Т - £)<# = Д У(Т),

О

где

Д г(Т) = 7(Т)-г0(Ту, (Т) = V {Г) 1/0 (Г); ^

У^7; (1,2)

a(t) — вектор управляющего ускорения; гср — средний радиус шарового слоя, в котором происходит движение;

(а „

gСр = —2---ускорение силы притяжения в средней точке слоя.

r°p -

Через г(Т) и V(T) здесь обозначены значения радиус-вектора и вектора скорости при t = T, которые предполагаются заданными; —►

г0(Т) и V0 (Г) представляют собой значения радиус-вектора и вектора скорости при t = Т, которые получились бы, если бы движение при

Опроисходило при a(i) = 0. Таким образом, векторы Дг(Т)

и ДV(Т) представляют собой невязки в граничных условиях при

t = Т, которые должны быть выбраны в результате действия a {t).

Эго дает основание называть векторы Дг(Г) и AV(Г) векторами конечного промаха. В настоящей статье рассматривается случай, когда эти векторы коллинеарны:

br{T)XbV(T) = 0. (1.3)

Поставим задачу о таком выборе a(t), при котором бы выполнялись условия (1.1), неравенство д (t) < amax (t), где aw (t) — заданная функция, и был минимален интеграл

т

7=ja(5)rfS. (1.4)

U

В работе [1] показано, что для такой задачи при условии (1.3)

существует коллинеарная с векторами Дг(Т) и &V(T) „прямая управления“, которой при оптимальном управлении параллелен

вектор a(t). В процессе движения могут происходить лишь изменения ориентации этого вектора на тт. Однако результаты, полученные в [1], не позволяют указать моменты и число изменений направления, а также количество и расположение активных участков. Перейдем к решению этих вопросов.

2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

В качестве положительного направления на прямой управления

выберем направление a(t) на первом активном участке. Функции Дг(Т) и Д1f(T) будем считать положительными, если направления

-4 —^

векторов Дг(Т) и AV(7) совпадают с этим направлением. Можно считать, что на каждом активном участке направление тяги по—>

стоянно, а если происходит изменение направления a(t), то в этот момент начинается следующий активный участок. Введем в равенствах (1.1) и (1.4) новую переменную интегрирования q:

(2.1)

С учетом этого равенства и сделанных выше предположений равенства (1.1) и (1.4) можно переписать в виде i i

j а (17) sin и (<7) = vAr(T); j а (q) cos <u (q) dq = Д V (T), (2.2)

о и

где

I = q(T), «, = у[Г-Е(?)], (2.3)

a через a(q) обозначена функция, равная единице на всех активных . —►

участках, на которых вектор а (t) направлен в положительную сторону прямой управления, и минус единице при противоположном направлении a{t).

Из равенств (2.1) и (2.3) следует, что

________(2 4)

dq а (S) ' ( '

Так как функция а (£) по определению неотрицательна, то с ростом <7 угол о) убывает,- причем в соответствии с (2.3) выполняются равенства

<»;?=o = v7’; со|9=/ = 0. (2.5

Ограничение a (¿X amax (¿) ограничивает скорость изменения угла со. Из (2.4) следует, что

(2.6)

dq

or

Равенства (2.2) допускают простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим плоскость переменных Д V(Т) и *&г(Т). Возьмем на этой плоскости декартову систему координат, по оси абсцисс которой будем откладывать значения АУ(Т), а по оси ординат — значения vДг(Т) (фиг. 1, а). Рассмотрим на этой плоскости кривую,

УАГ(Г) -

длина дуги которой равняется q, а угол между касательной и осью абсцисс равняется u>{q). Если считать, что эта кривая соответствует движению, то получающаяся для нее зависимость v>(q) в соответствии с равенствами (2.3) и (2.4) определяет a(t). Будем далее предполагать, что при тех значениях q, при которых функция a(q) меняет свои значения с 1 на —1 и, наоборот, с —1 на 1, угол <о (q)

мгновенно получает приращение, равное тс. Если такие точки существуют, то конечное значение ш в дополнение к (2.5) будет равняться Ы, где k — число перемен знака функции з(^). При таком определении угла ш в интегралах, стоящих в левых частях равенств (2.2), следует положить о(^)=1, и тогда они оказываются проекциями указанной кривой на оси координат. В соответствии с этим любая кривая, выходящая из начала координат и оканчивающаяся в точке В (см. фиг. 1,а)с координатами AV(T) и vAr(7’), обеспечивает выполнение граничных условий; длина же этой кривой равняется /. Решение рассматриваемой вариационной задачи дается той из этих кривых, которая имеет наименьшую длину и, кроме того, удовлетворяет условию (2.6), которое представляет собой

„ dw

ограничение, налагаемое на кривизну кривои щ- .

Ясно, что на пассивных участках приращение q равняется нулю, а Дшп в соответствии с (2.3) равняется — vAin, где Мп — продолжительность пассивного участка. Таким образом, пассивные участки моделируются на указанной кривой угловыми точками, в которых ш уменьшается. .

Длина кривой, соединяющей начало координат и конечную точку (см. фиг. 1, а) с координатами Д1/(Т) и vAr(T), будет наименьшей в том случае, когда используемая кривая во всех своих точках имеет наименьшую кривизну. Из этого в соответствии с (2.4) — (2.6) следует, что величина ускорения a(t) при оптимальном управлении всегда должна иметь граничное значение amax(t).

Рассмотрим далее случай, когда отсутствуют активные участки,

па которых вектор a(t) направлен в отрицательную сторону „прямой управления“ (см. фиг. 1, а). Соединим начало координат и конечную точку кривой с наименьшей возможной кривизной во всех ее точках. Эта кривая соответствует режиму управления с активным участком, расположенным внутри интервала 0 < Т. Пассивные участки в этом случае располагаются в начале и в конце траектории и их величины определяются углами Дш0п и Да>Гп, указанными на фиг. 1 ,а. Пассивный участок внутри интервала О <t<T соответствует кривой с изломом, которая имеет большую длину, чем кривая без излома, и, следовательно, такой режим управления не является оптимальным. Включение активного участка с отрицательным направлением a(t), очевидно, также приведет лишь к увеличению длины кривой. Таким образом, во всех тех случаях, когда конечная точка В может быть достигнута с помощью кривой, соответствующей режиму управления с одним активным участком, расположенным внутри интервала 0этот режим обеспечивает минимальное значение /. Из схемы, изображенной на фиг. 1, а, видно, что при управлении с одним активным участком можно построить решения лишь для конечных точек В, лежащих между положительным направлением оси абсцисс и прямой, выходящей из начала координат и составляющей угол v7 с этой осью. Очевидно, что при таком управлении и vT^u/2 нельзя достигнуть ни одной конечной точки, для которой Дг(Г)<0 или Д1/(Т)<0.

Остановимся на случае, когда после первого активного участка

с положительным направлением a(t) существует второй активный участок, на котором направление a(t) отрицательно. Возможные

расположения кривых в этом случае изображены на фиг. 1, б. Кривая наименьшей длины строится следующим образом. Из начала координат проводится кривая /, имеющая наименьшую кривизну и касающаяся в начале координат прямой, наклоненной к оси абсцисс под углом v7\ Далее из конечной точки В по касательной к линии мДг = const проводится кривая 2, также имеющая во всех своих точках наименьшую возможную кривизну. Кривые 1 и 2 продолжаются до момента их пересечения. Угол, который они образуют между собой в точке пересечения Дшш определяет продолжительность пассивного участка, разделяющего активные. Ясно, что активные участки примыкают к концам промежутка О Построенная таким образом кривая определяет опти-

мальное решение, позволяющее достигнуть конечные точки, соответствующие отрицательным значениям Д г (Г) и Д1/(Г). Таким образом, рассмотренный режим оптимального управления весьма существенно расширяет область возможных значений vAг(Т) и AV(T), при которых существует решение рассматриваемой задачи.

Более детальный анализ возможного расположения кривых в рассматриваемой плоскости показывает, что при чТ < я/2 никаких других режимов оптимального управления, кроме описанных, не существует. Следует отметить, что этот результат согласуется с результатами работы [2].

Рассмотренная геометрическая интерпретация может использоваться при оптимальном выборе зависимости amax(t), которая связана с распределением массы летательного аппарата между ступенями.

3. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ а„

■ const

Рассмотрим сначала режим оптимального управления с одним активным участком. Для этого режима граничные условия (1.1) могут быть преобразованы к виду

2 sin —fH1- sm v (T ■

2 sin

2

vAL

, 4 _ Ar(T)lrcp _

a' CP Qmax/ftp ’

COS v (T

*a. cp

) =

bV(T)IV:KP #max/£cp

(3.1)

Здесь Д£а — продолжительность активного участка, ¿а. сР — положение середины активного участка. Решение системы (3.1), имеющее физический смысл, должно удовлетворять условиям

vAia > 0;

vi.

a. cp

Д L

a. cp

2

>0;

(3.2)

выражающим факт существования активного участка внутри интервала 0</<7\ Область допустимых значений чМа и ср представляет собой внутреннюю область треугольника, отображение гра-„ Д г{Т)/гср Д У(Т)/Укр

ниц которой на плоскость параметров --------------- и ----------может

О- тах/§ср йщах/^Гср

быть получено с помощью равенства (3.1) (фиг. 2). Сторона, на которой Д^а = 0, переходит в начало координат; стороны же, на

которых обращаются в равенства последние два неравенства (3.2)—

„ vAía

в дуги окружностей. Центр окружности, на которой чія.ср = ,

располагается в точке Е (см. фиг. 2) с координатами (—cosvT, sinvT), а радиус равен единице. Центр окружности, на которой

v¿a. cp = vT-, располагается в точке G (см. фиг. 2) с коорди-

натами (1, 0), радиус равен единице. При изменении vT в качестве границы используются разные по величине дуги этой окружности. Нетрудно убедиться в том, что преобразование (3.1) переводит область, определяемую неравенствами (3.2), в чечевицеобразную область, ограниченную дугами указанных окружностей.

^тят/Уср 4 [-(/+ COS-УҐ),SíffvT] f(rC0SVTtS¿ffVT)r tj 175 9fí

fsV Y 4 1

/ '0,75 \ qp V/ 075. HfY /fe* J

га,so Г"-L 70,50 \ ,<4 „

ч ' / t

5 0 ~0> 5 0 А/ ~n /1,1 1 лг(Т)/гср

í / V A

y X y T~~

^5

Фиг. 2

Определяемые таким образом области существования режима

Дг(Г)/гср Д V(T)¡Vkv

с одним активным участком в координатах —-—г-— , —-—т-—

Я max/бср ^max/Sep при различных значениях v7 построены на фиг. 2. При чТ они расположены в первом квадранте и уменьшаются с уменьшением v7\

С помощью формул (3.1) можно построить ЛИНИИ vAía = const и v/a. ср = const. Из этих формул видно, что семейство ЛИНИЙ = const состоит из окружностей с центром в начале координат

и радиусами, равными 2 sin—. Семейство же линий v¿a.cp=const

представляет собой семейство прямых, выходящих из начала координат и составляющих угол с осью ординат, равный v(T — U. ср). Физический смысл имеют части этих линий, расположенные внутри области существования.

Линии vAia = const и vía. ср = const при vT — 1,0 изображены на фиг. 3. Область существования режима с одним активным участком обозначена на ней цифрой I. Из формул (3.1) нетрудно получить явные выражения для vAta и v¿a. ср.

Интересно отметить, что vAía не зависит явно от продолжи-

5—Ученые записки .N* 1

тельности движения Т. Зависимость от Т проявляется только через зависимости Аг(Т) и АУ(Т). Нет явной зависимости от Т также и у времени движения от конца активного участка до конца перелета ¿ = 7\ Влияние Т явно сказывается лишь на размерах области существования решения и на длине пассивного участка, с которого начинается движение.

а(*Г_ VAt. ¿W)lvro v Г=

&masc /ffcp

I 1

vt tt.CB vr Vt j. в

4

¿1 J

0,5

Æjrraj: Vàt„ s' û,â

jr \ J

vr \ vt a.cu^Oâ

■л B,â

-o,s HP

-v -o,s 0 0,5 *ПП/гср

l & max /&cp

/

к n.cf

4 -~Û,S

% \ X- 0,6

V 4*

A y

Фиг. 3

Перейдем далее к анализу режима оптимального управления с двумя активными участками, примыкающими к концам промежутка 0-iCt^.T, на которых направления a(t) противоположны. Для этого случая граничные условия (1.1) при amax (t) = const могут быть преобразованы к виду

2 cos —у— cos V (Т -vA t,

br(T)/rCD

ta. cp) = -------;------ + 1 + COS vT;

cos —~ sin V (T — tn. cp) =

Æmax/âcp

bV(T)IVt

кр

«ma xlg,

sin vT.

cp

(3.3)

Здесь через Мп обозначена продолжительность пассивного участка, разделяющего активные участки, а через tп. ср — положение его середины (см. фиг. 3). Условия существования рассматриваемого режима управления представляют собой неравенства

* А v/n.

vAin

cp

0; v^n. Ср -f-

vA L

<v7\

(3.4)

Эти условия выражают факт существования пассивного участка внутри промежутка Границы области, определяемой

неравенствами (3.4), при преобразованиях при помощи (3.3) переходят в дуги окружностей. Центр окружности, на которой уД£п=0,

располагается в точке D (см. фиг. 2) с координатами [— (1 + cos vT), -sinvT], а радиус окружности равен 2. Центр окружности, на кото- с

(рои vr„ ср = -----11 , располагается в точке г, а радиус равен единице. Окружность, на которой = ---^п , совпадает с окруж-

ностью, определяющей правую границу области существования режима управления с одним активным участком. Области существования режима управления с двумя активными участками построены на фиг. 2 для тех же значений vT, что и области существования режима с одним активным участком. Из фигуры видно, что при управлении с двумя активными участками при v7'-<it/2 можно попасть в конечные точки, лежащие в третьем и четвертом

Ar(t)¡rcp AV(T)!VKP о

квадрантах плоскости----------------------, --(см. разд. 2). Приумень-

^max/áxp «max/á’cp

шении vT1 область существования режима с двумя активными участками также уменьшается.

Равенства (3.3) позволяют построить семейства линий vá¿n=const и vin. ср = const. В рассматриваемом случае семейство линий vA¿n = const представляет собой семейство окружностей с центром

в точке D (см. фиг. 2) и радиусом, равным 2 cos—. Семейство

же линий v^n. ср —— const представляет собой пучок прямых с вершиной в точке D, составляющих угол — v (Т — tn. ср) с положительным направлением оси абсцисс. Физический смысл имеют лишь те части указанных линий, которые расположены внутри области существования.

Семейства атих линий при чТ = 1,0 показаны на фиг. 3. Там же указана область существования режима с двумя активными участками, обозначенная цифрой И. Формулы (3.3) позволяют получить явные выражения для суммарной продолжительности активных участков Т — Atn, определяющей значение интеграла /, и для '■tu. ср- Формулы (3.1) и (3.3) и графики фиг. 3, будучи построены для различных значений vT, дают полное решение задачи синтеза

оптимального управления в случае коллинеарности векторов Аг(Т)

и AV(T).

4. ВОЗМОЖНЫЕ СЛУЧАИ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ВЕКТОРОВ

Дг (Г) И д V(T)

Будем считать, что до начала и после окончания перелета

движение происходит по орбитам, уравнения которых в соответ-

ствии с [1] могут быть записаны в следующем виде: начальная орбита

-*■ \/ — —

•Л) (то) = г00 cos VT0 -f- —22 Sin VT0; v0 (т0) = v00 eos VT0 — vr00 sin VT0, (4.1)

конечная орбита

у -► -► -

r('ci) = rioCOSVT1-f--^2sinvT1; V(ti) = l/^cosvxj — vr10sinvxj. (4.2)

5*

67

Через Х0 И Tj здесь обозначено время движения соответственно по начальной и конечной орбитам, отсчитываемое от некоторых

начальных состояний, характеризующихся векторами r00, yo(> ——►

И Гш V10.

Предположим, что между временами х0 и х1 имеется следующая связь:

Т0 = tj = т. (4.3)

. —► —>

При таком предположении выражения (1.2) для Дг(Т) и Д V(Т) записываются в виде

Дг(Т)= Ar0cosvx 4-^^2-sinvx; Д V(Т) = Д V0 cos vx — vAr0 sin vx, (4.4) где

^ro = rie roo' ^^o=^io VV (4-5)

С учетом этих равенств условие (1.3) коллинеарности векторов Дг(7) и Д1/(Т) преобразуется к форме

Дг0 X AV/0cos2vx = 0. (4.6}

Отсюда видно, что векторы Дг(Т) и Д1/(Т) коллинеарны в следующих случаях:

1) ДГ0 = 0; 2) Д Р0 = 0; 3) Дг0 || Д \>0; 4) cos 2 vx = 0. (4.7)

Отметим, что в первых трех случаях коллинеарность имеет место при произвольных X.

Случай Дго = 0 соответствует переходу между орбитами, имеющими точку пересечения, а случай Д1/0 = 0 — переходу между орбитами, у которых в некоторых точках совпадают векторы скорости.

5. ПЕРЕХОД МЕЖДУ ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ

ОРБИТАМИ

Рассмотрим задачу о переходе между пересекающимися орбитами. Моменты начала и окончания работы двигателя предполагаются не заданными и подлежат рациональному выбору.

В соответствии с равенствами (4.4) в рассматриваемом случае

выражения для Дг(Т) и &V(T) записываются в виде

Дг (Т)= sin vx; Д V(T) = Д l/0 cos vx, (5.1)

где х — время движения от точки пересечения орбит до момента окончания перелета. Отсюда видно, что при 0<>х<;7г/2 вектор-

—►

a{t) параллелен вектору Д1/0 и, следовательно, параллелен импульсу тяги, который получается при решении задачи в импульсной постановке.

Рассмотрим сначала случай одного активного участка при произвольной зависимости атах(^). Очевидно, что в данной задаче

без ограничения общности можно предполагать, что двигатель включается при t = 0 и выключается при £=7\ При таких предположениях граничные условия (1.1) записываются в виде

j атах (£) sin V (Г — S) d% = Д Vü sin vx;

о

г

j am ах (S) cos V (Г — \)d% — Д V0 COS vx.

(5.2)

Эти равенства представляют собой систему уравнений для определения Г и х и могут быть переписаны в виде

sin vT‘fc — cos v'/-/f = Д V0 sin vx; cosvr-/e+-sinv7’-/J = Al/Ocosvx, (5.3) где

IC = j Яшах (5) cos v£ ¿ft; 4 = \ amax (£) Sin V?

<8.

Отсюда

Ic = Д1/0 cosv (Г — x); /j = Д l/0 sin v (T — x).

(5.4)

(5.5)

После возведения этих равенств в квадрат и сложения, получается уравнение для определения Т:

/

* 7 2 ■ г * 2

f amax(£)COS vEdE + f amax (£)sinv$ di

0 . J _0 .

= ДК0.

(5.6)

При известном Т можно считать известными интегралы 1С и /5 и определить х из равенств (5.5).

Найдем теперь координаты точки, соответствующей началу перелета t — 0, при этом рассуждать будем следующим образом. Если бы точка двигалась по начальной орбите, то за время Т она передвинулась бы в точку, время движения до которой по начальной орбите от точки пересечения равняется т. Поэтому время движения по начальной орбите до точки пересечения орбит равняется Т — х. В соответствии с этим радиус-вектор и вектор скорости, соответствующие начальной точке траектории перехода, определяются равенствами (4.1) при х0 = х — Т.

Таким образом,

г0 |/=0 = Гоо COS V (Г — х) — -22- siП V (Т' х) =

1

Д1/0 \¡c г<л

iYj*

s V

(5.7)

Va

<=0

= l/00cosv(7’— х) + vr00 sin V (Г — x)

(Je ^00+ 4'^со)-

д v0 x‘c -00

Формулы (5.5) — (5.7) справедливы при произвольном законе регулирования тяги и могут быть использованы для построения системы управления траекторий перехода между произвольными пересекающимися орбитами.

Проведем вычисления для случая amax (t) — const. Имеем

(1 — cosvT).

(5.8)

Из этих равенств и равенств (5.5) следует, что

Т чТ AVJVKV

Х--5-: s-n-з—<5.9>

Таким образом, при omax(^ = const траектория перехода симметрична относительно точки пересечения орбит.

Рассмотрим для случая amax(^) = const вопрос о всех возможных режимах управления с помощью графиков, приведенных на фиг. 3. В этом случае выражения для безразмерных параметров,, откладываемых по осям координат фиг. 3, записываются в виде

Лг(7Жр , . *V(T)IVKP

---——■— = Xsinvx; -----;--= ). cosvx, (5.10)-

йтах/^ср Omax/g’cp

где

Д Vol

х=----(5.11>

flmax/^cp

При изменении х и фиксированном X функции (5.10) определяют окружность с радиусом I. Угол vx на фиг. 3 отсчитывается от оси

Д V (T)l VKp

по часовой стрелке. Из графиков фиг. 3 видно, что-

Ятах/^ср

решение рассматриваемой задачи существует лишь в случаях,, когда выполняется неравенство

Ra =2 sin 4^. (5.12)=

Через Rb и Ra здесь обозначены расстояния от точек А и В на фиг. 3 до начала координат. Указанное в (5.12) выражение для этих величин получается, если в соответствии с графиками фиг. 3

Т

принять в равенствах (3.1)Д^а = Т, ¿аср= —, а в равенствах (3.3)'

Д^п = 0, tn. ср = 0.

Из фиг. 3 видно, что при значениях л, удовлетворяющих неравенству (5.12) с запасом, возможны режимы управления как с одним активным участком, так и с двумя. Режимы с одним активным участком соответствуют на фиг. 3 дуге а|3 и отличаются от режима, рассмотренного выше, наличием пассивных участков-по краям.

Режимы с двумя активными участками соответствуют на фиг. 3 дугам и е8. Однако из расположения кривых чМа = const

и = const следует, что эти режимы имеют большее значение /, чем режимы с одним активным участком. Покажем, что с их помощью нельзя уменьшить время перелета Т. Минимальное значение Т, очевидно, соответствует такому расположению кривых, при которых область существования столь мала, что ее крайние точки А и В лежат на окружности с радиусом X. Если бы Ra было больше Rb, то перелеты с двумя активными участками, соответствующие дуге е8, существовали бы при меньших значениях Т, чем перелеты с одним активным участком. Поэтому из равенства Ra = Rb следует, что при amax (t) — const перелеты с двумя активными участками не позволяют уменьшить время совершения маневра.

Представим себе вид траекторий перелета для всех рассмотренных режимов. Выше было указано, что положительное направ-

ление для Д г (Г) и АУ(Т) совпадает с направлением аЦ) на первом активном участке. Для того чтобы анализ возможных режимов перелета был полным, необходимо рассматривать оба возмож-

* —> ср

ных направления вектора а. Формулы (5.10) для -------------------; и

А У(Т)1У,

*/й

ср

кр

получены для случая, когда направление вектора а(0 Ят»х/ёср

на первом активном участке совпадает с направлением вектора

ДУ0. При изменении направления а (¿) входящий в эти формулы угол VI заменяется на угол я + ут.

Указанный анализ был выполнен, и результаты его в виде взаимного расположения траектории перехода, начальной и конечной орбит представлены на фиг. 4. Случаи а и б соответствуют перелетам с одним активным участком, случаи в и г —с двумя. В случае а изображена траектория перехода, соответствующая

дуге ар на фиг. 3; при этом тяга направлена по вектору Д1/0. Случай б соответствует противоположному направлению тяги, когда перелет с одним активным участком в окрестности точки пересечения орбит невозможен.

.Режимы уЗ у

Режимы К р

Конечная оріита

Конечная орбита

Начел мая орбита

Нет решения ^иаяорбита

Мачалы/ая орбита г>

Режимы £/?

Начальная орбита

Конечная орбита

Начальная арбе та

Фиг. 4

В случаях в и г тяга на первом активном участке направлена,

соответственно, по вектору Д1/0 и противоположно ему. В случае в возможные режимы перелета определяются дугой ¡3? на фиг. 3. Этот перелет заканчивается за точкой пересечения орбит. Случай же г соответствует дуге е8 на фиг. 3 и заканчивается до точки пересечения орбит или за ней.

6. ПЕРЕЛЕТ С ДВУМЯ АКТИВНЫМИ УЧАСТКАМИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

Задачи, рассмотренные в работе [1] и в разд. 5, позволяют решить задачу о переходе из произвольного начального состояния в произвольное конечное состояние. В такой задаче необходимо

при выборе а(£) удовлетворить одновременно обоим граничным

условиям (1.1) при произвольных векторах Аг(Т) и Д1/(7')-

Разобьем весь маневр на два этапа. В течение первого этапа управление осуществляется таким образом, чтобы попасть в заданную конечную точку, характеризующуюся вектором г(Т) (фиг. 5). Такая задача рассматривалась в работе [1]. Там было выяснено,

что для осуществления такого маневра вектор а(£) должен быть постоянно ориентирован в пространстве и направлен по вектору

Аг(Т), который является известным. Момент включения двигателя совпадает с моментом ¿ — О, а для момента выключения двигателя tк в работе [1] получено уравнение. Приращение вектора скорости к моменту t = T при таком управлении может быть определено с помощью формулы

АУ"(Т) = а(^)со5у(7'-^а??.

(6.1)

Соответственно полное изменение вектора скорости ДУ7, которое должно быть выбрано на второй фазе маневра, определяется как

Д V'(Т) — АУ(Т) — Д У" (Т). (6.2)

После того как первая фаза маневра закончена, задача сводится кнахождениюперехода между произвольными пересекающимися орбитами (см. разд. 5). В данном случае вектор точки пересечения орбит совпадает с заданным заранее вектором

г(Т), а разность скоростей в точке пересечения орбит равняется

АУ'(Т) и после окончания первого активного участка может считаться известной величиной.

Рассмотренная схема перелета с двумя активными участками, на каждом из которых тяга имеет свое постоянное направление в пространстве, привлекательна простотой программы изменения ориентации тяги.

Автор выражает признательность Е. И. Арбековой, выполнившей все приведенные здесь расчеты.

Фиг. 5

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузмак Г. Е. О некоторых свойствах оптимального управления пространственным движением материальной точки в однородном центральном поле тяготения. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 5, 1970.

2. Кузмак Г. Е., Исаев В. К., Давидсон Б. X. Оптимальные режимы движения точки переменной массы в однородном центральном поле. Доклады АН СССР, 149, № 1, 1963.

Рукопись поступила 21X11 1969 г.