CC BY
106
УДК 681.51 В.Д. Юркевич
Синтез нелинейных систем с ШИМ в канале управления на основе метода разделения движений
Рассматривается проблема синтеза регуляторов для нелинейных систем управления с широтно-импульсной модуляцией в канале управления. Предлагается методика расчета параметров пропорционально-интегральных регуляторов для нелинейных систем на основе применения метода доопределения А.Ф. Филиппова и метода разделения движений. Получены расчетные соотношения для выбора параметров регулятора и широтно-импульсного модулятора. Приведен пример с результатами численного моделирования.
Ключевые слова: нелинейные системы, пропорционально-интегральный регулятор, широтно-импульсная модуляция, метод разделения движений.
Проблема синтеза нелинейных систем с ШИМ в канале управления
В существующей теории синтеза импульсных систем управления [1-6] остаются открытыми вопросы расчета регуляторов для нелинейных неаффинных по управлению систем при широтноимпульсной модуляции управляющего сигнала в условиях действия сигнальных и параметрических возмущений. В данной работе обсуждается методика расчета параметров пропорциональноинтегральных (ПИ) регуляторов для нелинейной системы, где исходное дифференциальное уравнение нелинейной неаффинной по управлению системы с разрывной правой частью заменяется аффинной моделью усредненного движения, полученной на основе метода доопределения А.Ф. Филиппова [7]. Стабилизация выхода системы в условиях действия сигнальных и параметрических возмущений обеспечивается путем преднамеренного формирования разнотемповых процессов в системе управления. Устойчивость быстрых процессов обеспечивается выбором параметров регулятора, а формируемые медленные процессы соответствуют эталонной модели желаемого поведения выхода нелинейной системы.
Постановка задачи
Обсуждаемый подход к решению задачи синтеза регулятора может быть использован для широкого класса нелинейных динамических систем. В данной работе в качестве примера рассматривается нелинейная, неаффинная по управлению динамическая система вида
где х - выходная измеряемая переменная, хе Я ; и - управляющее воздействие, и е Я ; w - внешнее ограниченное возмущающее воздействие, которое является недоступным для измерения, wе Я. Не-аффинность по управлению системы (1) подразумевает, что функция /(х,w,u) является непрерывной по своим аргументам, но явное обращение данной функции относительно и при заданных х и w является невозможным. Примером такой системы может служить динамическая система следующего вида:
Предполагается, что управляющее воздействие для системы (1) формируется с помощью широтноимпульсного модулятора (ШИМ) первого рода, заданного условием
где Ts - период квантования ШИМ; tK - дискретное время; tK=KTs ; к = 0,1,_______;x(tK) - коэффици-
ент заполнения импульса в момент времени tK . Необходимо обеспечить стабилизацию выхода x(t), т.е. свойство lim x(t) = r , где r = const, для нелинейной системы вида (1) в условиях неполной ин-
t^<x>
формации о виде функции f (x, w,u) .
x = f (x, w,u),
(1)
3 2
x = x + u(1 - u ).
(2)
(3)
Методика синтеза регулятора
Известно [8, 9], что в условиях высокой частоты коммутации управляющего воздействия и(?), формируемого ШИМ (3), и в отсутствие режима насыщения ШИМ на основе метода доопределения А.Ф. Филиппова [7] может быть получена модель усредненного поведения динамической системы (1), (3) вида
* = /”(х м) +[/ +(х м)- /- (х м)]х , (4)
где управляющим воздействием является коэффициент заполнения импульса х,
/+ (х,МІ) = /(х,М!,и + ) , /- (х, V) = /(х,М!,и- ) и Xе (0,1) .
С целью решения поставленной задачи управления, рассмотрим алгоритм управления в виде следующего дифференциального уравнения [10]:
^ х(я) + dq-цxq-1х((Н) + -+аШ(1 = к[(г - х)/Т - х(1) ], (5)
где ц - малый параметр, ц> 0, Т > 0 . В частном случае, при q = 1, из (5) следует
ції = к[(г - х)/Т - X ], (6)
где (6) соответствует структуре пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора, а выражение (5) соответствует структуре ПИ-регулятора с дополнительной фильтрацией. В результате уравнения усредненного поведения замкнутой системы имеют вид
х(1) = / ~(х м) +[ / +(х, м)- / ~(х, w)]X, (7)
цх(q) + -1) + • - + х(1) = к[(г-х)/Т- х(1)].
Подстановка выражения для х из правой части первого уравнения системы (7), в правую часть второго уравнения данной системы приводит к системе уравнений вида
х(1) = /_ (х м)+[/+(х, м)- /_ (х, (8)
І^х^ + dq-lЦq-1х(q-1) + • - + х(1) + к[/ + (х,V)-/~ (х,м)]х= к[(г -х)/Т-/~ (х,V)].
Обозначим х1 = х, х2 = ЦТС,■■■, Xq = 1 X(q 1), тогда систему (8) представим в виде
х = / - (х, м) +[ / +(х, м)- / - (х, м)]х1, Цх1 =X2,
...... (9)
Iхq-1 =Xq ,
Iхq =-к[/ + (-м) - /- (х,м)]х1 - 4X2------dq_lXq - к[(г - х)/Т - /~ (-м)].
Применяя технику разделения движений А.Н. Тихонова [11,12], из уравнений (9) получаем усредненную модель подсистемы быстрых движений (ПБД) вида
Цх1 =X2,
ЦХ д-1 = Хд, ( )
Мхд = -к[/ + (x, w) - /- (x, ^>]х1 - М2-Лд-1Хд - к[(г - Х)!Т - /- (x, w)],
где х, w рассматриваются как замороженные параметры на интервале времени переходных процессов в ПБД (10). Из (10) получим характеристический полином ПБД
Цдsд + dq-lМд 15д-1 +---+ dl|М s + к[/ + (х, w) - /~ (х, w)], (11)
где параметр к выбирается так, что в рабочей области пространства состояний системы (4) выполняется условие к[/ + (х,w)-/-(х,w)] = у>0. Остальные параметры регулятора dg-l,...,dl выбира-
ются в соответствии с требованием устойчивости процессов в ПБД. Полагая ц = 0 в системе (10), получим квазиравновесный режим ПБД, где X = Х1 = х^ и
= [(г -х)/Т- /- (х,w)]/[/ + (х,w) - /- (х,w)]. (12)
Подставляя (12) в (4), получим усредненную модель подсистемы медленных движений (ПМД) вида
х = (г — х)/Т . (13)
С целью разделения темпов между быстрыми и медленными процессами выбор параметра ц осуществляется в соответствии с условием ц = Т / п , где п — 10.
Согласно свойствам сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений [11, 12], при выполнении условий экспоненциальной устойчивости процессов в ПБД и условий разделения темпов быстрых и медленных процессов, получаем, что после затухания быстрых процессов поведение выхода системы (1) определяется свойствами уравнения ПМД (13). Тем самым обеспечивается не только стабилизация выходной переменной х(?), но и формирование заданных показателей качества переходных процессов для х(?).
Влияние импульсного режима ШИМ на процессы в обсуждаемой замкнутой системе управления можно оценить при х = 0,5 на основе следующих соотношений:
Ax (as
пш,
f+ (x, w) — f (x, w)
AX (as )f
к
_1 Ax (aS ) :
(14)
где ras = 2n/Ts ; Ax (ras)— амплитуда гармонической составляющей с частотой ras в выходном сигнале x(t) системы (1), Ax(ras) — амплитуда гармонической составляющей с частотой ras во входном сигнале x(t) широтно-импульсного преобразователя (3). Выбор периода квантования Ts осуществляется с учетом дополнительных требований Ax(юs)<si, Ax(юs)<S2, где si >0и S2 >0.
Численный пример
Рассмотрим динамическую систему (2) с ШИМ (3) в канале управления, где управляющий сигнал x(t) на входе ШИМ формируется алгоритмом управления вида
Л(2) + 4цх(1) = Щт - x)/T - х(1)]. (15)
Модель усредненного движения динамической системы (2), (3) при отсутствии насыщения ШИМ имеет вид x(1) =ф-(x,u -) + g (и+,и - )х
где
— — 3 — — 2
ф (x,u ) = x + u [1 — (u ) ] и
g (и+ ,и ) = и+[1-(и+ )2] - и [1 - (и )2]. Тогда х^ = [(г - х)/Т-ф (х,и )]/g (и+ ,и ), где режим отсутствия насыщения ШИМ можно обеспечить выбором величин и + и и . Численное моделирование было выполнено при следующих значениях параметров алгоритма управления (15): Т = 0,75 с,
ц = 0,1 с, й1 = 3, к = -2. Заданы следующие параметры ШИМ: и + = 2,5, и_=-2,5, Т3 = 0,02 с. Соответственно g(и+,и_) = -26,25 и «314,1593 рад/с. Из выражений (14) получаем Ах(ю5)« 0,0532 и Ах(ю5) * 0,0339 , что согласуется с результатами моделирования на рис. 1.
Рис. 1. Результаты численного моделирования системы (2), (3) с регулятором (15)
Заключение
Предлагаемый подход к синтезу регуляторов для нелинейных динамических систем с широтноимпульсным модулятором в канале управления может быть использован в условиях неполной информации о внешних неконтролируемых возмущениях и параметрах модели объекта управления для широкого класса нелинейных динамических систем, в частности, для решения таких прикладных задач, как управление угловой ориентацией спутника с импульсным режимом работы двигателей тяги, стабилизация электромагнитного подвеса, управление силовыми преобразователями.
Литература
1. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. - М.: Физматгиз, 1963. - 968 с.
2. Цыпкин Я.З. Теория нелинейных импульсных систем I Я.З. Цыпкин, Ю.С. Попков. - М.: Наука, 1973. - 414 с.
3. Гелиг А.Х. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем I А.Х. Гелиг, А.Н. Чу-рилов. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993. - 266 с.
4. Чурилов А.Н. Устойчивость систем с интегральной широтно-импульсной модуляцией II Автоматика и телемеханика. - 1993. - № 6. - С. 142-150.
5. Gelig A.Kh. Stability and oscillations of pulse-modulated systems: a review of mathematical approaches I A.Kh. Gelig, A.N. Churilov II Functional-Differential Equations. - 1996. - Vol. 3, № 3-4. -P. 267-320.
6. Churilov A.N. LMI approach to stabilization of a linear plant by a pulse modulated signal I A.N. Churilov, A.V. Gessen II Int. J. of Hybrid Systems. - 2003. - Vol. 3, № 4. - P. 375-388.
7. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М.: Наука, 1985. - 225 с.
8. Sira-Ramirez H. A geometric approach to pulse-width-modulated control in nonlinear dynamical systems II IEEE Trans. Automatic Control. - 1989. - Vol. 34, № 2. - P. 184-187.
9. Sira-Ramirez H. Dynamical discontinuous feedback control of nonlinear systems I H. Sira-Ramirez, P. Lischinsky-Arenas II IEEE Trans. on Automatic Control. - 1990. - Vol. 35, № 12. - P. 1373-1378.
10. Юркевич В. Д. Синтез нелинейных нестационарных систем управления с разнотемповыми процессами. - С.Петербург, Наука, 2000. - 287 с.
11. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных II Математический сборник. - 1952. - Т. 31, №3. - С. 575-586.
12. Геращенко Е.И. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем I Е.И. Ге -ращенко, С.М. Геращенко. - М.: Наука, 1975. - 296 с.
Юркевич Валерий Дмитриевич
Д-р техн. наук, профессор каф. автоматики Новосибирского государственного технического университета
Тел.: 8 (383-3) 46-11-19
Эл. почта: yurkev@ait.cs.nstu.ru
Yurkevich V.D.
Design of nonlinear control systems with pulse-width modulation via time-scale separation
The problem of controller design under pulse-width modulated feedback is discussed in terms of Filippov's average model where control variable is a duty ratio function. The presented design methodology guarantees desired output transient performance indices by inducing of two-time-scale motions in the closed-loop system. The method of singular perturbations is used in order to get explicit expressions for evaluation of controller parameters. Simulation results of numerical example are presented.
Keywords: nonlinear control systems, pulse-width modulation, singular perturbation method.
