CC BY
40
МАТЕМАТИКА
УДК 517.929
О МЕТОДЕ УСРЕДНЕНИЯ
В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ*
А. Х. Гелиг
С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
1. Введение
Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение
da ^ . .
л+" = -«' (1)
где
( А„ при nT < t < nT + тп,
) [0 при nT + тп ^ t < (n + 1)T. ( )
Здесь n = 0,1, 2,..., T — положительный параметр, Ап = 0, если a(nT) =0, Ап = signa(nT) при a(nT) = 0,
тп = T^(|a(nT )|), (3)
ф(А) —непрерывная на [0, +то) функция, ^(0) = 0, ^(А) = 1 при А ^ a*, 0 < ^(А) ^ 1 при 0 < А < a*,
0 < ^ ^ ^ /г при Л > 0. (4)
А
Система (1)-(4) описывает простейшую импульсную систему с двухполярной широтноимпульсной модуляцией первого рода (ШИМ-1) [1, 2], состоящую из устойчивого апериодического звена, охваченного отрицательной обратной связью через импульсный модулятор с порогом насыщения a*, частотой импульсации 1 /T и крутизной статической характеристики модулятора, не превосходящей k.
Если для исследования устойчивости в целом (глобальная асимптотическая устойчивость) этой системы воспользоваться методом усреднения, развитым в [2, 3] для
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00245) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-2387.2008.1).
© А.Х.Гелиг, 2009
импульсных систем с широким классом видов модуляции, то легко убедиться, что «эквивалентная нелинейность» имеет вид у>(<г) = |^|)^1§пст, а эквивалентная нелинейная
непрерывная система принимает форму
j+' = -fW' (5)
Можно показать, что импульсная система (1)—(4) имеет 2T-периодическое решение, если выполнено условие
T exp T — 1
1 + ехрТ < а* < 1 + ехрТ' ^ ^
Более того, в [4] было показано, что эта импульсная система имеет счетное множество периодических решений, и получено полное описание этого множества.
Из (6) видно, что сколько бы высока ни была частота импульсации 1/T, существует такое а*, что импульсная система (1)—(4) имеет периодическое решение и, следовательно, не является устойчивой в целом. В то же время эквивалентная непрерывная система (5) устойчива в целом при любых а*, в чем легко убедиться с помощью анализа функции Ляпунова V = а2.
Это противоречие можно устранить, если с помощью усреднения путем замены импульса его средним значением свести описание системы не к непрерывному, а к дискретному уравнению. Впервые такое сведение на эвристическом уровне было предложено в [5, 6] без математического обоснования. В этой статье с помощью метода усреднения математическое описание системы произвольного порядка с ШИМ-1 сведено к дискретной системе и получено достаточное частное условие устойчивости в целом в виде ограничений, накладываемых на дискретную передаточную функцию и частоту им-пульсации.
2. Формулировка результата
Рассмотрим систему с ШИМ-1, описываемую уравнением
— = Ах + Ь£, а = с*х, (7)
где A — постоянная гурвицева m х m-матрица, b и с — постоянные m-мерные столбцы,
«*» —знак эрмитового сопряжения. Поскольку в (7) все величины вещественные, здесь
знак ««*» означает транспонирование. Функции а и £, описывающие сигналы на входе и выходе импульсного модулятора, заданы формулами (2)—(4).
Наряду с (7) рассмотрим усредненную систему, которая при nT < t < (n +1)T имеет вид
dx , , .
— = Ax + b<p(an), (8)
где an = a(nT), y>(an) = Ап^(|ап|).
Сведем системы (7) и (8) к дискретному виду. Проинтегрировав уравнение (7) от t = nT до t = (n + 1)T и представив решение в форме Коши, получим в силу (2) для хп = x(nT) соотношение
,■ пТ+тп
е-А(п+1)т Хп+1 = е-АпТ Хп + е-Ат d^^
пТ
Отсюда в силу (З) вытекает уравнение
хп+1 — Рхп + (—А) р [е п — I ]ЬА„, (9)
где — ^(пТ), I — единичная т х т-матрица, Р — еАТ.
Аналогичным образом для усредненного уравнения (8) получаем соотношение
ж„+1 — Рж„ + (—А)-1Р[е-АТ - I]6^(а„). (10)
Очевидно, что правые части уравнений (9) и (10) отличаются лишь элементами порядка Т2.
Для дискретной системы (10) с нелинейностью ^>(<т„), удовлетворяющей сектори-альному ограничению
о 95(0)= 0, (И)
А
известен [7] частный критерий устойчивости в целом
—+ КеИ/(г;)>0 при всех Ы = 1, (12)
к
где дискретная передаточная функция Ш(г) имеет вид
Ш(г) — е*(Р - г1)-1(-А)-1Р(еАТ)6.
Найдем частотный критерий устойчивости в целом системы (9) и сравним его с (12). С этой целью представим уравнение (9) в виде
ж„+1 — Рж„ + г^„ + 9„, (13)
где г — (— А)-1Р(е-АТ — I)6,
?п — (—А) 1р Мп — (е — I )А„ — (е АТ — I )^„. (14)
Представив экспоненты в виде рядов, получим для Мп выражение
і A2T2 A3T3 ,2 N f A2T2 A3T3 ,
— (-----2!~ ^ 3!~ ~ ■ J Pn - I-----1 зі • • • )
Отсюда ввиду свойства |^n| = ^n < 1 убеждаемся, что евклидова норма матрицы Mn удовлетворяет соотношению
II мп ||< 2фп + М|И! + .. ^ = 2фп ^\\А\\т_ м || т _ ^
которое можно представить в виде
У Mn У< T2 У A У2 7(У A У T)Vn (15)
где 7(A) = 2————----. Очевидно, 7(A) —> 1 при А —> 0. Из соотношений (14), (15)
Л2
вытекает оценка
II qn У< T2к|^п|, (1б)
где к =У A-1 УУ P УУ A У2 7(У A У T) У b У.
Рассмотрим функцию Ляпунова РП — жП-Нж„, где Н — пока произвольная положительно определенная матрица.
Приращение ДК, — РП+1 — РП в силу системы (13) можно представить в виде
△К. — х(^п,ж„)+ Мп, (17)
где
х(^п,х„) — (Рж„ + 2^„)*Н (Рж„ + 2^„) — жПНж„,
Мп — 2дП Н (Рхп + 2^„)+ ^ Нп (18)
Воспользовавшись ^-процедурой, представим выражение (17) в следующей эквива-
лентной форме:
ДК, — х(^п, х„) — Т(^„, !„) + п(а„, ^„, х„), (19)
хп) = ¥>„ - с*х„) - Т^У„ - Т'32 || х„ ||2, (20)
тг(0п, ¥п,Хп) = ¥п - С*Хп) - ТА^п - II ХП II2 +Мп, (21)
в1 и в — положительные числа.
Будем искать такую положительно определенную матрицу Н, при которой неравенство
х(^п,х„) — Т(<£>„, ж„) < 0 (22)
выполнено для всех !„ € Кт, <^>п € К1, || Хп || +|у>1| — 0.
Желая воспользоваться дискретной частотной теоремой [2, 8], распространим квадратичную форму Т(<^>п,жп) до эрмитовой:
Г($п,хп) = |^„|2 ~ТР2 II *» ||2 -В&р*пс*хп. (23)
Здесь хп € Ст, € С, —комплексное число, сопряженное с <у5„. Согласно дискрет-
ной частотной теореме такая положительно определенная матрица Н существует, если при всех Срп — 0 и |г| — 1, г € С выполнено неравенство
Т(9?п, (^ — Р)-1г<^п) > 0, которое ввиду (23) после сокращения на |^5п|2 примет вид
У+ЯеШ(г)-Т131- \\ с*(Р - гП-1 \\2 Т132 > 0 У г € С : Ы = 1. (24)
к
Таким образом, если выполнено частотное условие (24), то ввиду свойства (11) функции у>(<гп) справедливо неравенство
ДК < Мп — Тв ^п — Тв2 || Хп ||2 . (25)
Оценим теперь величину мп, обозначив через А* максимальное собственное число матрицы Н.
Очевидны следующие соотношения:
<Нп < А*||9п||2,
\2д*пНРхп\ < 2А*||Р||||жп||||дп|| = 2\\хп\\^. ■ Щ\\Р\\ <|| Р || (а\\хп\\2 + Ы!")
у/а \ а )
где а — произвольный положительный параметр, выбором которого распорядимся в дальнейшем. Из этих неравенств и (18) вытекает оценка
1 +
а2
І9„||2 + ||Р ||а2||х„||2 + 2||г|||Ы|Ы
Отсюда ввиду соотношения (17) следует неравенство
|Р II
1 +
к2Т4 + 2х||г||Т2
+ 11Р 1Н1хп
Если потребовать выполнения неравенств
Л* (: + ^г)н2тА + 2Л*х11г11т2 < тА’
Л*||Р||а < Тв2,
(26)
(27)
то в силу (25) ДК, будет мажорироваться сверху определенно отрицательной формой относительно у>п, хп и, следовательно, система (9) будет устойчива в целом. Представим неравенства (26), (27) в эквивалентной форме
Г2 Г^-2 -Кк2т2 -2А«*||г||
а ^ ЦРЦх2 ’
Т2 А,||Р||
а Т^-2 '
Очевидно, что а, удовлетворяющее этим неравенствам, найдется, если выполнено соотношение
А*||Р|| _ ГА~2 - Кя2Т2 - 2Кн\\г\\
ТР 2-2 <
ІРІІ К2
которое эквивалентно неравенству
КТ) < о,
(28)
где
КТ) = Л*х2Т3 + Л*||Р|2к2Т3-в2 + 2Л*х||г||Т - Тв
-і
Если положить в1 — в — 1, то ^(Т) является кубическим полиномом относительно Т, причем ^(Т) > 0. Обозначив через а единственный корень уравнения ^(Т) — 0, убеждаемся, что неравенство (28) выполняется при
Т < а.
2
а
Таким образом, получен следующий результат.
Теорема. Система (7) с широтно-импульсной модуляцией (2)-(4) устойчива в целом, если существуют такие положительные числа и в2, что выполнено частотное условие (24) и оценка (28). Если условие (24) выполняется при в1 = в2 = 1, то T должно удовлетворять неравенству (29).
3. Приложение
Рассмотрим систему, описываемую уравнениями (1)—(4). В этом случае m =1, A =
— 1, b = —1, с =1, P = exp( —T), r = exp(—T) — 1. Передаточная функция усредненной системы (10) имеет вид
2
w(z) = ±^L,
z — q
где q = exp (—T). При z = cos ш + i sin ш
„ TTw n / 2 cos ш — q
ReW(z) = (q - q)------------------.
W КЧ 4,l-2qcosuj + q2
Так как q < 1,
min W(z) = (q2 — q) max Ф(и),
|z| = 1 |«|<1
u_q
где Ф(м) = ------^-----. Поскольку Ф'(и) > 0,
v ' 1 + q2 — 2qu j \ >
max Ф(и) = Ф(1) =
М<1 1 — Ч
Поэтому частотный критерий (12) принимает форму
1
к>4
и, следовательно, в отличие от усредненной непрерывной системы (5) определенная частотным критерием область устойчивости усредненной дискретной системы зависит от к.
Литература
1. Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтноимпульсной модуляцией. Киев: Техника, 1970.
2. Гелиг А. Х., Зубер И. Е., Чурилов А. Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006.
3. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of ^пИпеаг Pulse-Modulated Systems. Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 1998.
4. Кипнис М. М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсной системы управления // Доклады РАН. 1992. Т. 324. №2. С. 273-276.
5. Andeen R. E. The principle of equivalent areas // Trans. AIEE (Applications and Industry). 1960. N 79. P. 332-336.
6. Andeen R. E. Analysis of pulse duration sampled-data systems with linear elements // IRE Trans. Autom. Control. 1960. Vol. 5. N 4. P. 306-313.
7. Цыпкин Я. З., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973.
8. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления // Сибирский математический журнал. 1973. Т. 14. № 2. С. 384-420.
Статья поступила в редакцию 14 октября 2008 г.
