Синтез функций сплайн-Понтрягина Виленкина Крестенсона Текст научной статьи по специальности «Математика»

V кодирование и передача информации V

УДК 621.391

СИНТЕЗ функций СПЛАЙН-ПОНТРЯГИНА - ВИЛЕНКИНА - КРЕСТЕНСОНА

С. Н. Агиевич,

канд. техн. наук, старший научный сотрудник ООО «Специальный технологический центр»

А. А. Пономарев,

адъюнкт

С. С. Тихонов,

начальник учебного командного пункта Военная академия связи им. С. М. Буденного

Предлагаются теоретические результаты синтеза сигналов в базисе функций сплайн-Понтрягина — Виленкина — Крестенсона. Излагаются основы современной теории сплайн-гармонического анализа. Обосновывается их практическое применение в системах инфокоммуникационного взаимодействия для обеспечения структурной скрытности сигналов.

Ключевые слова — сплайн-гармонический анализ, синтез сигналов, функции сплайн-Понтрягина — Виленкина — Крестенсона, инфокоммуникационное взаимодействие.

Развитие теории построения сплайнов привело к появлению математического аппарата, названного сплайн-гармоническим анализом (СГА) [1-5]. Методы СГА являются связующим звеном между непрерывным анализом и его аналогом в дискретном представлении. В основе каждого из них лежат соответственно непрерывные и дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ).

Поскольку базис ДЭФ является частным случаем базиса Виленкина — Крестенсона функций (ВКФ) [2], то можно, используя их, перейти к новому виду представления сигналов. Между тем дополнительное рассмотрение базисов ВКФ показало, что если использовать в качестве параметра модуль с разными значениями, то можно выйти на семейство еще большего разнообразия базисов, тем самым увеличив структурную скрытность сигналов, построенных на основе таких базисов, по отношению к ДЭФ за счет увеличения возможных комбинаций.

Учитывая, что декомпозицией чисел с различным модулем занимался Понтрягин [6], эти функции будем называть Понтрягина — Виленкина — Крестенсона функциями (ПВКФ). Возможные комбинации нового класса функций по отношению к ВКФ, например для исходных значений длин базисных функций, равных 100,

увеличатся более чем в 30 раз, причем с удлинением базиса указанный рост принимает экспоненциальный характер. Сущность такого перехода поясняется следующим: среди целых чисел длин базиса существуют такие, которые подлежат факторизации, тем самым расширяя возможности комбинаций представления функций.

Обобщение методов СГА на функции ПВКФ открыло дополнительные возможности для обработки сигналов. Поскольку базисные сплайн-Понтрягина — Виленкина — Крестенсона функции (СПВКФ) получены из ПВКФ и сплайнов, следовательно, они обладают их свойствами. К таковым следует отнести непрерывную природу (сплайны) и наличие большого количества базисов. Указанные свойства открывают возможность разработки новых средств инфокоммуни-кационного взаимодействия с повышенной структурной скрытностью.

Основу теоретических положений СГА с использованием СПВКФ составляют следующие свойства последних.

Пусть имеется пространство гладких функций — периодических сплайнов дефекта 1 [1]. Любой сигнал Sp(t) из этого пространства может быть построен из В-сплайнов Мр^) порядкар и заданной степени гладкости р - 1:

БР(г) = N Е чМр(*-к),

(1)

где qk — некоторые коэффициенты; N — количество отсчетов сигнала. При этом М1^) — однопериодический единичный импульс единичной энергии.

Введем пространство русСр периодических сплайнов (здесь РУС — признак ПВКФ, р — порядок сплайна дефекта 1, п — номер базисной функции) и распишем видоизмененное выражение:

РУС Sp (0 = N £ ^кМР( © ^) =

= N£Мр(©%)£РУС(п, к)русFn =

' п

= Е РУС Fn (я)NЕ РУС(п, К)Мр ) =

'(#)=Е РУСспРУС ир (і),

п РУСтП

где © — сдвиг по модулю дг; Др Д2, •••, Дг — модулі

ли представления чисел (д1 — старший, дг — младший разряды); I — количество разрядов представления числа; ^ = (р/2 + ії)/Щ РУС (га, к) — комплексное сопряжение PVC(re, й);

РУС(га, к) = ехр

і2т^Пік

і=і

Ці

РУС

*п(*) = N Е РУС(«, к)&;

РУС^л = РУСРп(г)/ РУС ип'-’

PVCun = РУСРп (мР) = 1/У ЕРУС(га, к)мР (гк );

^стПг (г) = —Е рус(п, ЩМр(г © гЛ;

и k \^і )

РУСсп = РУСРп (Х>; РУСип (г) = "РУС ~~-

,Р

РУС ип

Из (2) видно что появились новые функции рустр (£) и рус ир №)■ Рассмотрим свойства рустрр(#)• Свойство 1.

РУС тР

г ® цы

Ці /

= РуС(га, 1)рус тр(г)-

Доказательство:

РУС<(*®у М) = NЕ РуС(п, 1)МР

# ©-

Цг

k © г

Цг

N

= РУО(п, I) -1Е РУС(п, ЩМР

і

= РУС(п, 1)руС тР (і).

Свойство 2.

рус тр (#) — Апериодические по отношению к N.

Доказательство:

При I = N (из свойства 1)

РУС тп( ® NI РУС(п’ ^)рус тп (^) —

— рус(р, 0)рустр№ — рустР №•

Свойство 3.

Справедливы выражения:

1 ________

$ рустР(^)рустг = §5 русиР+Ь; (3а)

0

N Е рус тр (^ ) тЬг (^ ) = §5 рус ири • (3б)

к

Доказательство (3а):

1

п ------ /

] РУСтП №рустЬг = Е РУСсп(

0 П= — ¥

п\ РУС 1П

, \ ¥ х рус сп ітГ )= Е

^ РУС(п, t) рус тГ (t)dt 0

ї і

= Е §П / РУС(п,І)ИР

П= — ¥

1

8П f РУС (п, t)MЬ 0

© dt

Ш 1;к d t

№г

¥

Е (ВД )(8П^Ь )=

_ Е 8г Е РУС^^У _ 8Г РУС “П,+6,

П = —¥ ]=-<¥

где РУС(п, #) — континуальные функции ПВКФ; рус — коэффициенты Фурье в базисе РУС(п, #).

Из доказательства следует, что сплайны рустр(#) образуют ортогональный базис пространства рус Ср.

Доказательство (3б):

N Е ктР (*к)тЬ (#к) =

= Е рус рп (тР (*к ))рус ри(тЬ (*к)) =

У РУС V-к'

JлРУСип РУСиг •

хг ,,Р -.6

п

п

X

П=—¥

0

X

к

X

Свойство 4.

Сплайны

РУС т п

г ©Ці

2У

РУС ир интерполиру-

ют РУС(га, г), а именно: рус тр (і / Ы) = РУС(га, і / Ы). Доказательство:

рус тр

Р

2 N

® і N Ц і /

= РУСтга

Р ® і N 2 цг/

= руср,1 / У)рус тл = рус(р,1 / ^)рус иР •

Свойство 5.

Свертка рустр ■ рустЬ (^) = руст/р+Ь§« • Доказательство непосредственно следует из (3а). Доказанные выше свойства показывают, что (1) есть разложение сигнала рус $р (#) по базисным функциям рус тР (#) или рус ир (#).

Теорема 1.

Сплайны рустР ($)/\[руси2р образуют орто-нормированный базис пространства Ср. Доказательство:

Из (3а) следует

$ рус тр м/Vрус и«Р рус тг (^/\/рус иГР ^ = §р • 0

Следствие 1. При д1 = д2 = — = Д1 - 1 = Д^ N = д1 справедливо русSР (#) = ра1 SР (#) = Е ра1 Ср ?е!ир (#)•

п

Доказательство: При равенстве модулей разрядов представления чисел д1 ПВКФ переходят в ВКФ:

РУС(га, к) = ехр

І2пЕ—

= Ці

Е пікі

= Wi=1 = Ра1(га, к),

где Ж = ехр

,2п 1—

Ці

откуда и следует искомый ре-

зультат.

Следствие 2. При д = N, I = 1, Ж = ехр(/л / N справедливо

РУС

3Р (г) = Ра1«Р (г) = Sp (г) = Е спи Р (г).

Доказательство следует из следствия 1 и следствия 1 теоремы 1 в работе [5].

Следствие 3. При д = N, I = 1, р ^ да имеем

Ит рус sР (#) = Е Спе2Пр ■

АТ П

ц=Л

Доказательство следует из следствия 1, следствия 1 теоремы 1 в работе [5] и выражения (16) в работе [7].

Следствие 4.

Из (2) при д = N, I = 1, р ^ <х> следует S1(#) =

= Е спи\ (#)•

од-П-П-П П I

4

■ Рис. 1. Функции Понтрягина — Виленкина — Крестенсона, длина функции N = 12 (слева реальная часть, справа мнимая часть)

Полученное выражение можно рассматривать как классическое дискретное разложение сигнала SD(^) (дискретный анализ Фурье) в базисе ступенчатых функций и\ (#), которые в точках tk со-

32

64

96

0[

оЕ__

32 64 96

о\А/\ААА/

32 64 96

оГ

О

32

64

96

32

32

64

64

96

96

32

32

64

"б4~

“\_

96

96

32

64

96

32 64 96

-У\Г^/\/

32

32

64

64

96

96

■ Рис. 2. Функции сплайн-Понтрягина — Виленкина — Крестенсона, длина функции с учетом интерполяции N = 96 (слева реальная часть, справа мнимая часть)

п

п

впадают с ДЭФ. Теорема 1 показывает, что при разложении сигнала минимума спектральных коэффициентов можно достичь в базисе, гладкость которого совпадает с гладкостью описывающей сигнал функции. В частности, из следствия 3 этой теоремы видно, что базисные функции е2пП оптимальны для бесконечно дифференцируемых сигналов. И чем больше отличаются степень дифференцируемости сигнала и гладкость базисных функций, тем больше спектральных коэффициентов потребуется для разложения анализируемого процесса.

Литература

1. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л.

Методы сплайн-функций. — М.: Наука, 1980. — 352 с.

2. Трахтман А. М., Трахтман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. — М.: Сов. радио, 1975. — 239 с.

3. Zheludev V. A. Periodic splines, harmonic analysis and wavelets in signal and image representation in combined spaces, wavelet // Anal. Appl. / ed. Y. Y. Zeevi and R. Coifman. San Diego, CA: Academic Press, 1998. N 7. P. 477-509.

4. Желудев В. А. Периодические сплайны и быстрое преобразование Фурье // Вычислительная матема-

На рис. 1 показана система ПВКФ, из которой получены базисные функции рус и Р (#) с модулем д1 = 3, д2 = 4, порядком сплайна дефекта 1 р = 3, пример системы таких функций приведен на рис. 2.

Анализ представленного теоретического материала показал, что на его основе можно строить функциональные базисы для синтеза аналитических моделей сигналов, реализация которых позволила бы использовать их в интересах инфоком-муникационного взаимодействия в целях обеспечения структурной скрытности.

тика и математическая физика. 1992. Т. 32. № 2. С. 179-198.

5. Агиевич С. Н. Сплайн-Виленкина — Крестенсона функции в представлении сигналов // Научное приборостроение. 2002. Т. 12. № 1. С. 79-89.

6. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. 3-е изд., испр. — М.: Наука, 1973. — 519 с.

7. Агиевич С. Н., Алексеев А. А., Глушанков Е. И. Модели сигналов в базисах сплайнов дефекта 1 и оценивание параметров радиоизлучений // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1995. Т. 38. № 4. С. 3-16.