CC BY
25
-►
Инфокоммуникационные технологии
УДК 621.391.1
С.Н. Агиевич, А.А. Пономарев, А.А. Смирнов
модель радиосигнала ofdm на основе функций сплайн-понтрягина-виленкина-крестенсона для скрытного коммуникационного взаимодействия
В различных системах коммуникационного взаимодействия (КмВ) уделяется особое внимание вопросам обеспечения конфиденциальности абонентов. Как правило, в коммерческих системах в целях обеспечения конфиденциальности применяются меры, ограничивающие доступ нелегитимных пользователей на уровне кодирования сообщений. Закрытие систем связи с использованием сложных кодов ведет к их потенциальному вскрытию. Это связано с ярко выраженными идентификационными признаками. Кроме того, такой подход увеличивает техническую сложность аппаратуры.
Между тем, анализ существующих подходов показал, что требуемую степень конфиденциальности можно обеспечить не только на уровне кодов, но и на уровне формирования сигналов. Например, за счет использования оригинальных базисов, таких, как базис вейвлет-функций, функций Уолша, Виленкина-Крестенсона и др. Цель работы - исследование временных и спектральных характеристик радиосигналов, сформированных по технологии мультиплексирования с ортогональным разделением частот, отличающихся описанием в базисах сплайн-Понтрягина-Виленкина-Крестенсона функций (СПВКФ) и позволяющих обеспечить скрытное коммуникационное взаимодействие.
Основы формирования базисных функций сплайн-Понтрягина-Виленкина-Крестенсона
Поскольку базис дискретно-экспоненциальных функций (ДЭФ) - частный случай базиса
Виленкина-Крестенсона функций (ВКФ) [1], то можно, используя их, перейти к новому виду представления сигналов. Дополнительное рассмотрение базисов ВКФ показало, что при использовании в качестве параметра модуля с разными значениями можно выйти на семейство еще большего разнообразия базисов, и тем самым изначально увеличить их структурную скрытность по отношению к ДЭФ за счет увеличения возможных комбинаций.
Учитывая, что декомпозицией чисел с различным модулем занимался Понтрягин [2], такой класс функций можно определить как Понтрягина-Виленкина-Крестенсона функции (ПВКФ). Увеличение возможных комбинаций ПВКФ по отношению к ВКФ характеризует рис. 1, показывающий, что для исходных значений длин базисных функций равных 100 такое увеличение составит более чем в 30 раз. Причем с увеличением длины базиса указанный рост принимает экспоненциальный характер. Поясним сущность такого перехода: среди целых чисел длин базиса существуют такие, которые подлежат факторизации, расширяя тем самым возможности комбинаций представления функций. Так, число 12 можно представить семью вариантами возможных комбинаций сомножителей (см. рис. 1).
Обобщение методов сплайн-гармонического анализа (СГА) на функции ПВКФ открыло дополнительные возможности для обработки сигналов. Поскольку новые базисные СПВКФ получены из ПВКФ и сплайнов, то, следовательно, обладают их свойствами, к которым следует отнести непре-
Научно-технические ведомости СПбГПУ 4' 2011 ^ Информатика. Телекоммуникации. Управление
6:2x3 12: 2x6
3x2 6x2
2x3x2
10:2x5 2x2x3
5x2 3x2x2
4x3
3x4
I 2 3 [7| 5 @27
II 13 СЭСЭД 17 © 19 ©© 23 ©[25] ©[27]© 29 ©
31 ©(зз)©©[зб| 37 ©©© ^
41 ©©©©© 47 ©ЕЕ© 53 59 ^
61 ©(бЗ)[б4](бЗ)© 67 ©©© 71 73 ©©©©© 79 ©
83 89
91 ©©©©© 97
Рис. 1. Возможные варианты длин базисных функций ПВКФ
рывную природу (сплайны) и наличие большого количества базисов. Указанные свойства открывают возможность разработки новых средств КмВ с повышенной структурной скрытностью.
Основу теоретических положений СГА с использованием СПВКФ составляют следующие их свойства.
Пусть имеется пространство гладких функций - периодических сплайнов дефекта 1 [3]. Тогда любой сигнал 5" р(?) из этого пространства может быть построен из ^-сплайнов Мр(?) порядка р и заданной степени гладкости р - 1:
sp (t )=-11 qMp (t - tk ), n k
(i)
где N - количество отсчетов сигнала; qk - некоторые коэффициенты; М 1(?) - однопериодический единичный импульс единичной энергии.
Введем пространство РУС Ор периодических сплайнов (РУС - признак ПВКФ; р - порядок сплайна дефекта 1; п - номер базисной функции) и распишем видоизмененное выражение:
рус ^ ц)=N х ^мр а )=
i
= 77 У Mp (t0 tk )У PVC(«, k )pVC Fn (q) =
N k * n
(2)
i
= IPVCFn (q)-S PVC(n,k)Mp (Щ ) =
n N k
= I PVC ^n PVC mn (t) = I PVC cn PVC Un (tX n n
где цр ц2, ..., ц - модули представления чисел (ц - старший, ц - младший разряды); l - количество разрядов представления числа; 0 - сдвиг по модулю ц; tk = (p/2 + k )/N ; Ml
PVC(n, k ) = exp( j 2%Înk- );
i=i Ml
F (q) =1У PVC(n, k)q ; N k
■Л n =-
F ( z )
i
= PVCFn(M) = PVC(n,k)Mp(tk) .
N k
i
'(t ) = 77 У PVC(n, k )M (t 0 tk );
N k "
:Cn = PVC Fn ( z ); pvcUn (t) = -
vc < (t) up
PVC" n
Из выражения (2) видно, что появились новые
функции: рус тр(t) и РУС ^р (*).
Рассмотрим свойства СПВКФ. _
Свойство 1. РУСт С©¿М) = РУС(и,/)х
х рус т *'
Свойство 2. РУСтр(t) - Апериодические по отношению к N.
С в о й с т в о 3. Справедливы выражения
Í PVC < (t) PVC К (t)dt = К PVC <+b ;
- У »V
дт PVC n Vlk N k
mp (t. ) mA (t. ) = 8' PVC u u
n V k ' r ^ k ' r PVC n r
upub
PVC mn
интерполируют
i PVCuP * 2N // PVC n
PVC mp (l / N) =
m (t )=
РУС( п, ?):
= РУС(п, I / N).
Свойство 5. Свертка
= тр+ь 8Г РУС" 1п ип
Свойства показывают, что выражение (1) есть разложение сигнала РУС 5Р (t) по базисным функциям РУС тР (I) или РУС иРр (t) .
Теорема 1. Сплайны PVCК (ОД/PVCu2np образуют ортонормированный базис пространства
Gp
PVCU n
Следствие i. При = ц2 =...= ц;-1 = N = справедливо равенство PVC Sp (t) = Pal Sp (t) =
=У
Pal"n Pa^ n
up(t ).
Следствие 2. При ц = N, l = 1, W = exp(jn/N) справедливо равенство PVC (?) =
= pd sp (t)=(t)=x (?).
n
Следствие 3. При ц = N, l = 1, p имеем: lim PVCSp (t) = У cn ej2nnt.
p^ot 1
ц=N n
Следствие 4. Из в^1ражения (2) при ц = N, l = 1, p = 1 следует: S1 (t) = У сп^П (t), что можно
n
рассматривать как классическое дискретное разложение сигнала Sp(t) (дискретный анализ Фурье) в базисе ступенчатых функций Uln (t), которые в точках tk совпадают с ДЭФ.
PVC un
4
Инфокоммуникационные технологии
a)
Рис. 2. Реальная и мнимая части: a - ПВКФ, N = 12; б - СПВКФ, N = 96 (ц = 2, ц2 = 6)
В качестве примера приведена система базисных функций PVC Up(t) (рис. 2 б), полученных из ПВКФ (рис. 2 а).
Базисные СПВКФ, характеризуемые параметром p, остаются гладкими на всем интервале ц что позволяет излучать в эфир радиосигналы, сформированные на их основе. Следствия теоремы 1 определяют инструмент синтеза и обработки сигналов в базисах СПВКФ.
Модель радиосигнала, сформированного по технологии мультиплексирования с ортогональным разделением частот в базисах СПВКФ
В последнее время в системах радиосвязи широкое распространение получили так называемые радиосигналы, сформированные по технологии мультиплексирования с ортогональным разделением частот (OFDM) [4].
Сигнал OFDM представляет собой суперпозицию гармонических колебаний различной частоты. Аналитически он описывается как
N-1
s(t) = £ Reb/277 An eJ% ej]
(3)
где A и ф - амплитуда и фаза n-го комплексного символа канального алфавита, предназначенные для манипуляции n-й поднесущей; f - n-я подне-сущая частота из N возможных.
Формально переход к OFDM сигналу в базисе СПВКФ может осуществляться путем замены экспоненты
:Sp (t) = £ Re
2 An
UP (t, Фп)
(4)
где п = 1 ...Я - номер базисной функции (физический смысл - частота в базисе ДЭФ); Я -размерность сигнала (количество амплитуд, используемых для формирования сигнала); А — амплитуда сигнала; РУсир (?) = РУСт
РУС ип
русmpn (í) = -1 XРУС(п,k)Мр(Г©Гк);
N к Ц
Л (Мр) =1X РУС(п, к )Mp ^);
N к
I
РУС(п,к) = ехр(у2пХп1к1!Ц,); РУС — признак
¿=1
базисной функции ПВКФ; 0 < t < Т ; Т <%<ТЦ ; ц1, ц2, ..., - модули представления чисел (ц1 -старший, - младший разряды); I - количество разрядов представления числа; Т - длительность символа сигнала; Т' — длительность информационной посылки базиса; ф — фаза.
При I = 1 ц = N и гладкость функции (порядок сплайна дефекта 1) (р -1) , т. е. в качестве модулируемого используется сигнал, сформированный на основе cos(t). В результате приходим к классическому аналитическому выражению радиосигнала в терминах ДЭФ (3).
В качестве показателя скрытности обоснована способность системы противостоять обнаружению и измерению параметров ее сигнала.
В интересах противодействия несанкционированным средствам радиоприема можно изменять порядок выбора базиса СПВКФ. Количество базисов велико, поэтому обеспечивается структурная скрытность радиосигналов, построенных на их основе.
п=0
Научно-технические ведомости СПбГПУ 4' 2011 Информатика. Телекоммуникации. Управление
а)
б)
Рис. 3. Модули спектров тестовых сигналов (ц1 = 4, ц2 = 64, р = 4, N = 256, п = 70, 74): а - в базисе ДЭФ; б - в базисе СПВКФ
Так, спектры сигналов, отличающихся только длиной п, в базисе ДЭФ будут полностью перекрываться (рис. 3 а), поскольку имеют одну и ту же несущую частоту и совпадающие полосы частот. В то же время в базисе СПВКФ спектры указанных сигналов полностью разделимы (рис. 3 б).
Таким образом, если в процессе работы радиолинии изменять параметры базиса формируемых сигналов, они становятся структурно недоступными для несанкционированных средств радиоприема.
Для базисов СПВКФ параметром, определяющим структурную скрытность, является вариатив-
Разряд длины функций в двоичной системе счисления 2к)
Рис. 4. Зависимость количества возможных вариантов базисов от разряда длины функций в двоичной системе счисления
ное значение p,(t). Количество базисов СПВКФ, лежащих в основе модели (4), на порядки больше чем СВКФ и ДЭФ (рис. 4).
Из рис. 4 видно, что для ДЭФ для любой длины функции N = 2k существует только один базис. Количество базисов ВКФ растет прямо пропорционально длине функции. А рост количества базисов СПВКФ принимает экспоненциальный характер, их количество определяется путем перебора делителей длины функции.
Особенность формируемых сигналов заклю-чется в том, что их обработка доступна как методами гармонического анализа, так и методами СГА. Это позволяет использовать такие сигналы в существующих средствах КмВ.
Снижение пик-фактора сигналов с OFDM для более эффективного использования их в спутниковых каналах связи рассмотрено в [5].
Разработанная модель радиосигнала OFDM в СПВКФ сочетает преимущества дискретной и непрерывной форм представления, определяемых двойственной природой сплайнов. Потенциальное разнообразие базисов СПВКФ позволяет формировать множества ортогональных функций, что открывает возможность организации КмВ с высоким уровнем конфиденциальности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Трахтман, А.М. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах [Текст] / А.М. Трахтман, В.А. Трахтман. -М.: Сов. радио, 1975.
2. Понтрягин, Л.С. Непрерывные группы [Текст] / Л.С. Понтрягин. -М.: Наука, 1973.
3. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций [Текст] / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошни-
ченко. -М.:Наука, 1980.
4. Proakis, John G. Digital communication [Текст] / John G. Proakis. - NY.: McGraw Hill, 2008.
5. Макаров, С.Б. Снижение пик-фактора сигналов с OFDM с помощью блочного кодирования [Текст]/ С.Б. Макаров, А.В. Рашич // Научно-технические ведомости СПбГПУ -2008. -№ 3.
