Синтез адаптивного наблюдателя координат бездатчикового асинхронного электропривода Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 62-83:621.313.333(316.71)

СИНТЕЗ АДАПТИВНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ КООРДИНАТ БЕЗДАТЧИКОВОГО АСИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА

В.В. Вдовин, В.В. Панкратов

Новосибирский государственный технический университет E-mail: [email protected]

Предложены процедура синтеза и структура глобально устойчивого алгоритма текущей идентификации неизмеряемых координат бездатчикового асинхронного электропривода - опорного вектора потокосцеплений и электрической частоты вращения ротора двигателя, а также алгоритмы его адаптации к изменениям активных сопротивлений. Описана методика расчета параметров адаптора. Представлены результаты цифрового моделирования.

Ключевые слова:

Асинхронный электропривод, бездатчиковое векторное управление, идентификация координат Key words:

Induction motor drive, sensorless vector control, identification of coordinates.

Введение

Современный общепромышленный электропривод (ЭП) должен быть надежным, недорогим и легко встраиваться в действующее производственное оборудование без вмешательства в его конструкцию. В максимальной степени этим требованиям удовлетворяют так называемые «бездат-чиковые» системы ЭП на базе асинхронных двигателей (АД) с короткозамкнутым ротором, где все необходимые для их функционирования измерения осуществляются внутри структуры управляемого преобразователя частоты.

Наилучшие характеристики бездатчиковых асинхронных ЭП достигаются в системах с векторным управлением, для реализации которого необходимо косвенное получение информации о текущих значениях неизмеряемых координат состояния двигателя - опорном векторе потокосце-плений и электрической частоте вращения ротора. Эта задача решается алгоритмами текущей идентификации (наблюдения) координат.

К настоящему времени разработано большое количество различных алгоритмов идентификации координат АД в системах автоматизированного ЭП [1], которые можно разделить на пассивные и активные. Активные алгоритмы предполагают использование каких-либо специальных тестовых воздействий на объект управления, которые неизбежно вызывают дополнительные потери энергии в преобразователе частоты и двигателе, уменьшают перегрузочную способность привода и могут негативно влиять на ход технологического процесса. Пассивная идентификация, напротив, использует только основные, «рабочие» составляющие токов и напряжений на выходе преобразователя частоты и свободна от указанного недостатка. В этой связи на практике наибольшее распространение получили алгоритмы пассивной идентификации, построенные на основе адаптивных моделей различных модификаций.

К сожалению, все известные технически реализуемые алгоритмы идентификации координат АД по измерениям выходных переменных преоб-

разователя частоты даже теоретически имеют в генераторных режимах на малых частотах питания области неустойчивости, которые можно исключить только ослаблением магнитного потока, связанным в свою очередь с ухудшением энергетической эффективности электромеханического преобразования [2]. Кроме того, все алгоритмы идентификации координат состояния АД в той или иной степени чувствительны к отклонениям параметров машины от их расчетных значений [3]. Поэтому, как правило, при наладке или непосредственно перед каждым запуском ЭП осуществляется процедура предварительной идентификации параметров АД, после чего наиболее критичным параметрическим возмущением на практике становится температурный дрейф активных сопротивлений цепей статора и ротора. Если отклонение активного сопротивления (как следствие - постоянной времени) цепи ротора приводит, в основном, к статическим ошибкам регулирования скорости, то дрейф сопротивления обмотки статора по-прежнему может вызвать потерю устойчивости бездатчикового ЭП на малых скоростях [2].

В настоящей статье предлагаются новая процедура синтеза иструктура глобально устойчивого алгоритма идентификации неизмеряемых координат ЭП - опорного вектора потокосцеплений и электрической частоты вращения ротора, построенного на основе адаптивного наблюдателя полного порядка (НПП), а также возможные алгоритмы его адаптации к изменениям активных сопротивлений АД.

Общая структура адаптивного

алгоритма идентификации

Электромагнитные процессы АД могут быть описаны в неподвижной декартовой системе координат следующими уравнениями [4]:

х = Ах + Биа,

У = Сх, (1)

где Х=[/шЦутуг] - вектор координат состояния объекта, образованный токами статора и потокос-

цеплениями ротора двухфазной модели двигателя; и=[итыф]т - вектор управляющих воздействий -напряжений статора; С=[Е0]т - матрица выхода; у=Сх=1=[/т/в]т - вектор-столбец доступных для прямого измерения переменных; А - собственная матрица объекта,

А =

Е--^ Е

Ь Ь

сте СТЄ

КЛ Е

ХК

О Ь я

Е -

к

а, В

—^ Е + а„ В Ь е

Г 1 1

Е "1 0"

Ьое - матрица управления; Е =

0 0 1_

В =

единичная матрица; В =

0 -1

1 0

- матрица пово-

рота вектора на угол ж/2; Д, Д, к, Ьх, Т, Ьш - параметры двигателя; ае - электрическая частота вращения ротора.

Математическая модель НПП для объекта (1) имеет вид [4]:

х = Ах + Ви, + Ь(у- У),

У = Сх, (2)

где А - оценки соответствующих величин; Ь=[ЦЫТ - матрица «стабилизирующей добавки»;

А =

Е -

X,

Ьас Ь

К Я Е

ХА Е - _к

4А Ь

-А В

Вычитая из уравнений наблюдателя (2) уравнения объекта (1), получим уравнение динамики наблюдателя в отклонениях:

е = (А + ІС )е + Атт,

где е=Х-х - вектор ошибок наблюдения; т=[5рр,]Т -вектор отклонений параметров: 8=ёе-ае - отклонение электрической частоты вращения двигателя, р=Д-Д - отклонение активного сопротивления статора, рг=Д-Д. - отклонение активного сопротивления ротора; Ат - матрица влияния вектора отклонений параметров на вектор ошибок наблюдения,

7 ( V

А =

ВТ

ВТ

_1

Ь„.

о

-К, I, + —Т, Ь

где /=[/ю4в]т - вектор токов статора, ТгЦ1 -вектор потокосцеплений ротора.

Для синтеза алгоритма адаптации наблюдателя (2) к отклонениям параметров используем метод функций Ляпунова. Согласно методике Красов-ского [5] зададимся следующей функцией - канди-

датом в функции Ляпунова: V =

е т ' И] 0 " е

т 0 И%_ т

(3)

где Н, Нт - симметричные матрицы весовых коэффициентов.

Предлагается использовать матрицы весовых коэффициентов вида

Н 0 н 2 0

0

Н2

0

Н2

Н2

0

К

0

0 Н2 0

Н2 Е Н2 Е

Н2 Е

К Е

— о

о —

где к, к, к¥, Л3, X, X, - некоторые положительные константы.

Тогда производная функции Ляпунова

V =

е т ' И] 0 " е + е т ' И] 0 " е

т 0 И т т 0 Ит_ т'

(4)

Алгоритм адаптации НПП зададим как т = Єе,

где О - искомая матрица коэффициентов алгоритма адаптации. Тогда уравнения динамики адаптивного НПП в отклонениях принимают вид

А + ЬС Є

Ат

0

Производная функции Ляпунова при подстановке (4) в (3) представляет собой квадратичную форму:

“ “|Т

е

V =

Не (А + ЬС) + (А + ЬС )т И]

И, Є + АТ Ит

ЄНт + И] Ат 0

Как известно, для анализа положительной или отрицательной определенности квадратичных форм можно использовать критерий Сильвестра [5]. Согласно ему в нашем случае для обеспечения отрицательной определенности производной функции Ляпунова достаточно задать

С = - И- АТ И],

при этом из производной функции Ляпунова будут исключены отклонения параметров:

V = ет (Ие (А + ЬС) + (А + ЬС )т И] )е.

Здесь матрица квадратичной формы имеет вид

5П 512

С с

°21 22 .

(Ие( А + ЬС) + (А + ЬС )т ИТ) где £п, $12, $21, ^22 - следующие матрицы: ^ =

(5)

( .2^ - + ь + Ц ^ т т

V (УЄ ае у

к2 +

^ =

+(2кл+ь+Ь) к,

(-кгЯ-^--Я + о Б + К т т т е '

V ае ае г

к +

2 Н Я к- к

+ ЯА +Ь2 к2 + г г ^ Фе Б

г г т 2 V ае у 2 V Ате т е а е у

к'2,

¿21 =

(-кг2 Яг Я Яг пТ г

—г—^--------5------ +а Б1 + К

т т т е '

V ае ае г

к2 +

' 2 Я т I Я к к т I

+ Яг кг — + Ьш к2 + г г ^ о)е Б т

г г т 2 V ае у ¥ V та е т е а е у

к'2,

¿22 = ^М-к2 -^к2.

т т

ае г

к 4

Матрица адаптации в развернутом виде:

в = - и- аТ иТ =

{

к

-^-к2 - к2 іт г б1 к

V ^ае

к2 1 к— IТ

1 т 5

'±-к - 2 |т г оТ

V ае

к2 -т

к— I т

5 т 5

(( ,. I I

к2 - к2 |х

V ^ае (

Т 1 т X кг IТ - — Т ,

Ь V V А- уу

(( ,. I I

к2 - к2 |х

V ^ае

V V

т 1 ^ т

кг IТ---------------Т ,

Ь,

Соответствующие ей законы адаптации:

Г ( ,, \ \

8 = к Р 5 =к

(Г

еТ БТ

+«2 БТ г

^ -" у+

V ае у

( к к2 -к- - к

V ае у у

( к2 т > к2 т V

~ТЄ і° +^«2 ^ I’

V ае ае

Рг = к

К-к2 - к2

т

V ае

к« I, - -1в] Тг | +

( к К

+

V V ‘‘“'ае

к еТ I, -— е Т Т

г 2 5 у *^2 г

V тг уу

1. Обеспечение положительной определенности функции Ляпунова, то есть положительной определенности квадратичной формы (3) во всем пространстве состояний объекта управления и НПП.

2. Весовые коэффициенты и матрицы «стабилизирующей добавки» должны обеспечить отрицательную определенность производной функции Ляпунова (4) и в частности квадратичной формы (5) также во всем пространстве состояний объекта управления и НПП. Следует подчеркнуть, что при использовании нулевой «стабилизирующей» матрицы, как предлагается авторами [3, 6], это условие не выполняется.

3. Выбор соотношений весовых коэффициентов должен обеспечивать реализуемость алгоритмов адаптации в условиях отсутствия датчиков магнитного состояния машины.

Алгоритм текущей идентификации электрической частоты вращения ротора

Для исключения из закона адаптации НПП к частоте вращения ротора нереализуемых в рамках бездатчикового управления слагаемых, включающих в себя предлагается принять

к2 = к2 —г

(6)

Кроме того, для отрицательной определенности производной функции Ляпунова (глобальной устойчивости алгоритма адаптации) при выполнении (6) авторами предлагается использовать соотношение

(т ^ 2 ( Я т I

ае

V кг у V Яг тае у

к2 = к2

и матрицу «стабилизирующей добавки»

Я т

(7)

Ь =

-оР Б-

ягьа о

Производная функции Ляпунова

я.

(Я(

*8 =-2 к2

тае + тд2 + т,

Я

для малых 8 является отрицательно определенной.

Принятые выше соотношения (6) и (7) порождают следующий закон адаптации НПП к электрической частоте вращения ротора:

8 = Я5Є'Т БТ г

к2^- - к2

= к8к 'тББ . (8)

Я кг

К весовым коэффициентам функции Ляпунова и матрице «стабилизирующей добавки» предъявляются следующие требования.

Дополняя (8) пропорциональной частью, получим пропорционально-интегральный закон формирования оценки электрической частоты вращения двигателя:

ае

О =

ки е Б Т& + кпет БТ ,

(9)

Известно, что прямой метод Ляпунова позволяет получить структуру закона адаптации, однако не дает четких рекомендаций по нахождению численных значений коэффициентов регулятора -адаптора. Авторами предлагается следующий подход к их определению.

Рассмотрим входящее в (9) векторное произведение

Є'ТБТг = (IТ - I;)БР г =

= V,

2 ,

віп(а) -I 8іп(а) -|| I' || 2

2г віп(а - 8') =

2 г|| віп(а)сов(8,.) + віп(8,. )сов(а),

Рис. 1. Векторная диаграммасистемы идентификации

Вводя допущение |ДН1/!, и полагая, что 8,~8¥ -малые углы, получим

е Т БТГ

НІ 1Лсо§(а)

НІ ■ 2

+11-І

Біп(а) -

2,

Біп(а) 4 +

2 8 = I

8' соБ(а) =

8 =

2г

Кроме того, для электропривода, работающего в первой зоне регулирования, Ц\уг||~2шом- При этом структурная схема линеаризованного НПП принимает вид, изображенный на рис. 2.

Рис. 2. Структурная схема линеаризованного контура идентификации электрической частоты вращения ротора

Настраивая замкнутый контур на звено второго порядка с собственной частотой ОНПП и коэффициентом формы АНПП, получим выражения для параметров регулятора:

Ь , . ^ Ь

к, =П

'НПП 2 2™

кп АНПП^НПП '

2 г

Принятые соотношения весовых коэффициентов и матрица «стабилизирующей добавки» позволяют одновременно с идентификацией частоты вращения ротора осуществлять адаптацию наблюдателя к изменениям активного сопротивления роторной цепи двигателя согласно закону

1

Я, = к„„, Ц к,ет Is - тет Т,

&+Я, (

где Ц., || - модуль вектора оценок токов статора; | модуль вектора оценок потокосцеплений ротора; \\1Ц - модуль вектора токов статора; а - угол между вектором оценок потокосцеплений ротора и вектором оценок токов статора, рис. 1; 8і - угол между вектором токов статора и вектором их оценок.

однако одновременная идентификация активного сопротивления ротора и электрической частоты вращения ротора потребует перехода к активной идентификации с инжекцией тестового воздействия в сигнал задания магнитного потока или в напряжение АД по продольной оси. Выбор характера инжектируемого сигнала может стать предметом отдельного исследования и в данной статье не рассматривается.

Алгоритм текущей идентификации электрической

частоты вращения и активного сопротивлен

ия статорной цепи

На практике наиболее критичным с позиций работоспособности описанного выше алгоритма идентификации потокосцеплений и частоты вращения двигателя является дрейф активного сопротивления статорной цепи в результате изменения температуры обмоток и питающего кабеля. Так как целенаправленный выбор соотношений весовых коэффициентов не позволяет одновременно исключить из законов адаптации частоты вращения и сопротивления статора не реализуемые в рамках бездатчикового ЭП составляющие вида ечтВ'^г и £Д, представляется логичным остановиться на принятых ранее соотношениях и пренебречь нереализуемым слагаемым в законе идентификации сопротивления статора, который примет вид

При этом производная функции Ляпунова

(л л л л

*8,р = -2к2

к2

+ тх + т.

Я.

Я,

-(8Я + РОе +8Р>)

-р ет1

к 2 1

м

кЯ

-е °е2 -

при малых 8 и р, также является отрицательно определенной.

Важной задачей является определение численного значения коэффициента интегрального адап-

тора активного сопротивления статора. Предлагается следующий подход к его расчету. Так как основной причиной дрейфа активного сопротивления статора являются тепловые процессы, а их скорость намного ниже темпа электромагнитных и электромеханических процессов в АД, то подсистему идентификации сопротивления статора можно настраивать на гораздо меньшее быстродействие, чем контуры системы векторного управления и адаптор частоты вращения. Это позволяет пренебречь инерционностью последних и использовать статические модели НПП и двигателя при синтезе алгоритма идентификации активного сопротивления статора.

Уравнения установившегося режима НПП в системе координат (1, 2), ориентированной по оценке вектора потокосцеплений ротора, с учетом «стабилизирующей добавки» имеют вид

Я ^1 -О2 тае »5 2 - Я зТг - 'І2 X® ~ ® - ) = ^1’

Яї І 5 2 +О2 (тае » 51 + кгЦ г ) +

+ЯТг (»>1 - 'Л°2 -О > ) = и>2’

»51 =Уг ’ тт 1,2 -О Д> г = 0

a(.) = Tr2

(10)

где у/г=х¥[4 - заданное потокосцепление ротора; ws - частота скольжения.

Уравнения АД в установившемся режиме в той же в системе координат (1, 2), направленной по оценке вектора потокосцеплений ротора:

RAl -% LaJS 2 -% К Wr 2 = U 1.

_ ЯА2 +% (L°eh 1 + KWr l) = U 2.

LJSX + Tr ®Wr 2 =Wr 1.

_ LJs 2 - Tr ®Wr 1 =Wr 2- (11)

Так как алгоритм идентификации электрической частоты вращения ротора сводит к нулю векторное произведение токовой ошибки на вектор оценок потокосцеплений ротора, то

e,TВТr = Є,-2/r1 -Єп/2 = Є,- 2і/ 1 = 0.

Следовательно, в установившемся режиме єй=0, и

, s2 _ ,s2- (12)

Тогда закон идентификации активного сопротивления статора можно записать как

Rs = Rs0 +

ks Je! isldt.

Решая совместно системы уравнений (10) и (11) с учетом равенства (12) относительно частоты скольжения, получим уравнение

amS + bms + c = 0, (13)

где a, b, c - коэффициенты, зависящие от параметров АД, положения рабочей точки ЭП и отклонения оценки активного сопротивления статора:

4,(kA (R* -Р) - 4. Р) --T Р(К Я-К* (2Я-Р))

b(.) = wvkrLJr (% (RsTr + L)% -2(Rs -p)T К), c(.) = -krLJr% (% ® А + ЯА К К - К )) -

PLS% - T P(P(K -Ks) - (Rs -P)(% - 2K )).

Решением (13) является значение частоты скольжения

® () = -Ь(.) + 4Ь(.)2 - 4а(.)с(.)

0 (-) О / \ ’

2а(-)

при этом подынтегральная величина, входящая в закон адаптации активного сопротивления статора, принимает вид

,^ »2 о¥кХК®(.) -®) -р(1 + Т2О2(.))

ея(-)г11 = '11 -Ц----------------------------•

(Я. -р)(1 + т>2(.))+02®* (•) кА4

Таким образом, выражение ея /й для установившихся режимов ЭП является функцией как положения рабочей точки, так и отклонения активного сопротивления статора. Результаты проведенного исследования показывают, что функция е;1 г51(р) в любой рабочей точке, может быть с достаточной точностью аппроксимирована прямой линией. Предлагается осуществлять линеаризацию этой зависимости по формуле

е ц‘АR-’ ®2’® - ’ V1’ Р) = К(Ц ’ ®2 ’ О ’ » 1) Р-

Соответствующая структурная схема представлена на рис. 3.

Рис. 3. Структурная схема линеаризованного контура идентификации активного сопротивления статора АД

Настраивая замкнутый контур идентификации Д на апериодическое звено с собственной частотой Ор, получим выражение для коэффициента передачи регулятора - адаптора активного сопротивления статора

Ц Ц » П

кр (Ц, ®2 О, Іп) =—Ц-------•

К (4 ’ ®2 ’0-’ Z-1)

Таким образом, с помощью полученных выражений можно осуществлять непрерывную подстройку регулятора оценки активного сопротивления статора, что обеспечит требуемое качество процессов вычисления сопротивления во всей плоскости механических характеристик ЭП.

Структурная схема алгоритма совместной идентификации потокосцеплений, электрической частоты вращения ротора и активного сопротивления статорной цепи представлена на рис. 4.

Рис. 4. Структурная схема алгоритма идентификации

Результаты цифрового моделирования

Цифровое моделирование разработанного алгоритма идентификации производилось в среде МАТЬАВ^ішиііпк в составе системы бездатчико-вого асинхронного электропривода с векторным управлением на базе электродвигателя 4А225М4У3 мощностью 55 кВт.

На рис. 5 в качестве примера представлены графики переходных процессов по электрической частоте вращения ротора, по ошибке идентификации электрической частоты вращения ротора, задающим воздействиям на токи в ориентированной по вектору оценок потокосцеплений ротора системе координат (й,д), трехфазных токов АД и заданиям фазных напряжений. Электропривод последовательно отра-

0.6

0.4

0.2

О

-0.2

1 1 1-І

Ше, .

*, с

0 0.2 0.4 0.Є 0.8

Рис. 5. Переходные процессы в бездатчиковой системе векторного управления

rj W Rs,o.e. * R*

f > і к і

І \

1 1

1 \ N А

t,c

Рис. 6. Переходные процессы идентификации активного сопротивления статора

батывает следующие режимы - намагничивание двигателя, пуск без нагрузки на частоту юе.ном/2, нагружение номинальным моментом, сброс нагрузки. Все переменные выведены в относительных единицах. Переходные процессы идентификации сопротивления статора при его изменении на 5 % в большую и меньшую сторону представлены на рис. 6.

Результаты моделирования подтверждают работоспособность предлагаемого алгоритма идентификации опорного вектора потокосцеплений и электрической частоты вращения ротора асинхронного двигателя, а также активного сопротивления статора АД во всей плоскости механических характеристик электропривода.

Заключение

Разработаны новая процедура синтеза и структура адаптивного наблюдателя координат состояния для бездатчикового асинхронного электропривода, основанные на методе функций Ляпунова. Целенаправленный выбор соотношений весовых коэффициентов функции Ляпунова и матрицы «стабилизирующей добавки» наблюдателя полного

порядка позволил получить формально устойчивый во всей плоскости механических характеристик электропривода алгоритм идентификации не-измеряемых координат, необходимых для построения системы векторного управления, адаптивной к изменениям активного сопротивления статорной цепи асинхронного двигателя. Предложены выражения для расчета параметров идентификатора и вариант алгоритма его адаптации к дрейфу сопротивления ротора.

Идентификатор не содержит в своей структуре «открытых» звеньев интегрирования и использует лишь основные, «рабочие» сигналы токов и напряжений, а также оперирует параметрами схемы замещения двигателя, получаемыми на этапе предварительной идентификации. Разработанные методики расчета коэффициентов алгоритма обеспечивают требуемое качество процессов идентификации. Достигнутые результаты подтверждаются цифровым моделированием.

Работа выполнена при поддержке Правительства Российской Федерации по государственному контракту № 13.036.31.0010 от 22.10.2010 г.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Holtz J. Sensorless Control of Induction Motor Drives // Proc. of the IEEE. - 2002. - V. 90. - № 8. - P. 1359-1394.

2. Kubota H., Sato I., Tamura Y., Matsuse K. Regenerating-Mode Low-Speed Operation of Sensorless Induction Motor Drive With Adaptive Observer // IEEE Trans. Ind. Applicat. - 2002. - V. 38. -№ 4. - P. 1081-1086.

3. Hinkkanen M., Luomi J. Parameter Sensitivity of Full-Order Flux Observers for Induction Motors // IEEE Trans. Ind. Applicat. -2003. - V. 39. - №4. - P. 1127-1135.

4. Kubota H., Matsuse K., Nakano T. DSP-Based Speed Adaptive Flux Observer of Induction Motor // IEEE Trans. Ind. Applicat. -1993.- V. 29. - №2. - P. 344-348.

5. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. -М.: Физматлит, 2004. - 464 с.

6. Tursini M., Petrella R., Parasiliti F. Adaptive Sliding-Mode Observer for Speed Sensorless Control of Induction Motors // IEEE Trans. Ind. Applicat. - 2000. - V. 36. - № 5. - P. 1380-1387.

Поступила 18.10.2011 г.