Синхронизация вынужденных колебаний в модели Ван-дер-Поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

СИНХРОНИЗАЦИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В МОДЕЛИ

ВАН-ДЕР-ПОЛЯ

© Э.С. Суюндукова

Ключевые слова: синхронизация; вынужденные колебания; динамическая система; бифуркация.

Рассматривается задача о синхронизации вынужденных колебаний в динамических объектах, описываемых уравнением Ван-дер-Поля. Предлагается операторная схема, позволяющая определить значения параметров модели, при которых в системе возникают вынужденные колебания малой амплитуды.

Известно, что нелинейные динамические системы могут демонстрировать результат отклика на внешнее периодическое воздействие не только при возбуждении на частоте, близкой к собственной, но и, например, в ситуации, когда частота внешнего сигнала приблизительно в д раз (здесь д - натуральное число) превосходит собственную частоту. Такие ситуации называют субгармоническими резонансами порядка д, а само явление - синхронизацией на субгармониках [1, 2].

Одним из наиболее известным в нелинейной динамике является уравнение Ван-дер-Поля. Он представляет собой пример системы, демонстрирующий автоколебательные режимы, бифуркацию Андронова-Хопфа, седло-узловую бифуркацию субгармонических колебаний, сложные хаотические движения.

В настоящей работе рассматривается уравнение Ван-дер-Поля вида

х'' — ц(1 — х2)х' + V2х = /(і, ц)

(1)

зависящее от параметров ц и V ив котором / (Ь, ц) - некоторая Т -периодическая функция, удовлетворяющая условию /(Ь, 0) = 0. Уравнение (1) при ц = 0 является уравнением гармонического осциллятора х" + V2х = 0.

Субгармонический резонанс порядка д в уравнении (1) возможен при значениях параметров а и V, близких к числам а0 = 0 и v0 = —; здесь — = Соответствующая

д Т

задача о синхронизации на субгармониках в математической постановке приводит к задаче о седло-узловой бифуркации субгармонических колебаний периода дТ уравнения (1). Коразмерность такой бифуркации равна двум.

Ниже указанная задача о бифуркации рассматривается в окрестности точки х = 0. С этой целью уравнение (1) представляется в виде:

у' = А(ц, V)у + и(ц, у) + д(ц, і),

(2)

где

А() =

0

—V

2

1

Ц

и(ц,у) =

0

2

ЦУ2У2

д(ц,і) =

0

/ (і,ц)

Периодические решения периода дТ системы (2) определяются из уравнения

гчт

ю

г дТ

Н = едТАМН + едТАМ е-здАМ (и(у(в)) + д(ц, в))ів,

Jo

2702

где у(Ь) - это решение задачи Коши для дифференциального уравнения (2) при начальном условии у(0) = Ь. А именно, если вектор у € Я2 является решением указанного уравнения, то он является начальным вектором дТ -периодического решения у(Ь) уравнения (2) и наоборот.

Полагая

rqi

B(p,v ) = eqTA(lv), b(y,»,v ) = eqTAM e-sqA(lv )u(y(s))ds,

J 0

r qT

(»,v ) = eqTAM e-sqA(lv )g(^,s))ds,

0

qT

. . q'l1 A( ii v) I

a(u,v) = e

0

придем к следующему уравнению

h = B(p,v )h + b(y,y,v) + a(^,v). (3)

По построению матрица B(po, Vo) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Пусть e, g и e*,g* - собственные векторы матрицы B(po,vo) и сопряженной матрицы B*(^o,vo), соответственно. Эти векторы будем считать выбранными в соответствии с равенствами (e, e*) = (g, g*) = 1 и (e,g*) = (g,e*) = 0.

Введем обозначения B'v = B'v(^o,vo) и a| = a|(^o,vo). Здесь B'v - матрица, полученная дифференцированием матрицы B(y,v) по v и a^ - вектор, полученный дифференцированием вектора a(^, V) по ц.

Основным утверждением работы является

Теорема1. Пусть выполнено условие

р = (BVe,e*)(al,g*) - (BVe,g*)(al,e*) = 0. (4)

Тогда пара чисел (^o,vo) является точкой синхронизации на субгармониках периода qT уравнения (1). А именно, существуют определенные при малых е ^ 0 непрерывные функции ц = ц(е) и v = V(е) такие, что ц(0) = 0 и V(0) = vo, и уравнение (1) при ц = = ц(е) и v = V(е) имеет нестационарные qT -периодические решения x(t, е) такие, что max\x(t,e)\^ 0 при е ^ 0.

Это утверждение доказывается на основе применения к уравнению (3) операторного метода, изложенного в [2]. При этом для функций ц(е), v^) и x(t, е) могут быть получены приближенные формулы.

Число р, определенное равенством (4), для конкретных правых частей уравнения (1)

4^q2

может быть эффективно вычислено. Например, если f (t,y) = ц sin ut, то р = —^ и, сле-

ш2

довательно, в этом случае пара чисел (^o,vo) является точкой синхронизации на субгармониках периода qT уравнения (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

2. Вышинский А.А., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации о многопараметрических динамических системах. // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2. № 4 С. 3-26.

Suyundukova E.S. SYNCHRONIZATION OF FORCED OSCILLATIONS IN MODELS OF VAN-DER-POL

The problem of synchronization of forced oscillations in dynamic objects is described by the equation of Van-der-Pol. The operator scheme which allows to determine the values of the model parameters under which arise in the system forced oscillations of small amplitude is offered.

Key words: synchronization; forced oscillations; dynamical system; bifurcation.

2703