Бифуркации вынужденных колебаний в консервативных динамических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Lyubetsky V.A., Zverkov O.A., Pirogov S.A., Rubanov L.I., Seliverstov A.V. Modeling RNA polymerase interaction: chordates mitochondrial DNA // Biology Direct. 2012. V. 7. № 26.

6. Imanian B., Pombert J.-F., Keeling P.J. The Complete Plastid Genomes of the Two ’Dinotoms’ Durinskia baltica and Kryptoperidinium foliaceum // PLoS ONE. 2010. V. 5. № 5.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (госконтракт 14.740.11.1053 и соглашение 8481).

Zverkov O.A., Seliverstov А/V., Lyubetskiy У.А. AVERAGED ENTROPY AS CONSERVATIVITY MEASURE OF GENOME REGIONS

The averaged entropy criterion is introduced and used in large-scale searches for conserved sites in plastomes of algae.

Key words: entropy; conserved genome regions; plastomes.

УДК 517.938

БИФУРКАЦИИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОНСЕРВАТИВНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

© Л.С. Ибрагимова

Ключевые слова: бифуркация; консервативные системы; вынужденные колебания.

Изучается задача о бифуркации вынужденных колебаний в консервативных динамических системах. Предложенный метод основан на конструировании вспомогательного двухпараметрического операторного уравнения. Данный способ позволяет определить решения исходной задачи о периодических решениях.

В настоящей работе рассматриваются консервативные [1] и близкие к консервативным системы, заданные дифференциальными уравнениями вида

X = ¥(х; Ь; л), х € Я2, (1)

где л — скалярный или векторный параметр. Предполагается, что функция ¥(х; Ь; л) является непрерывно дифференцируемой по совокупности аргументов и периодической по Ь, то есть ¥(х; Ь + Т; л) = ¥(х; Ь; л); пусть также система (1) имеет точку равновесия х* = 0 при всех значениях л- Изучается задача о бифуркации вынужденных колебаний в окрестности точки равновесия х* = 0.

Обозначим через V(х,л) оператор сдвига по траекториям системы (1) за время от Ь = 0 до Ь = Т> 0. В силу периодичности функции ¥ (х; Ь; л) изучение задачи о Т -периодических решениях системы (1) может быть сведено к изучению отображения V(х, л), неподвижные точки которого определяют начальные значения Т -периодических решений уравнения (1). Систему (1) можно представить в виде

х = А(л,Ь)х + а(х,Ь,л), (2)

где А(л,Ь) = ¥'х(0; Ь; л), а(х; Ь; л) = 0(||х||2) при ||х|| ^ 0. Ниже для простоты будем считать, что А(л,Ь) не зависит от Ь, т. е. А(л) = ¥'х(0; Ь; л)- Тогда оператор V может быть

2531

представлен в виде

T

V {х,х)=eTA(^ + e^j s^ds;

(З)

здесь х(Ь) - это решение задачи Коши для дифференциального уравнения (2) при начальном условии х(0) = х.

Рассмотрим отображение сопоставляющее каждому множеству А С новое множество Ш^(А) = У V(х,л)- Динамическую систему (1) называют консервативной, если

ceA

отображение сохраняет объем (меру) любого множества A С RN, т. е. множества A и W^(A) имеют одинаковый объем (меру). Систему (2) назовем близкой к консервативной, если система

X = A(p)x (4)

консервативна.

Имеет место следующая

Л е м м а 1. Система (4) консервативна тогда и только тогда, когда собственные значения матрицы A(^) являются чисто мнимыми.

Значение Ло параметра ц называют точкой бифуркации qT - периодических решений системы (1), если каждому е> 0 соответствует такое ц = /л(е), при котором система (1) имеет ненулевое qT - периодическое решение x(t,e), при этом max ||x(t; е)||^ 0 и /л(е) ^ ^ /л0 при е ^ 0.

При q = 1 будем говорить о бифуркации вынужденных колебаний, а при q ^ 2 - о бифуркации субгармонических колебаний.

Верны следующие утверждения

Л е м м а 2. Пусть ц0 - точка бифуркации вынужденных колебаний системы (2). Тогда матрица A(^o) имеет собственные значения ±при некотором целом к.

Л е м м а 3. Пусть ц0 — точка бифуркации субгармонических колебаний периода qT системы (2). Тогда матрица A(^o) имеет собственные значения ±■

Пусть ц - скалярный параметр. Согласно необходимому условию бифуркации вынужденных колебаний, матрица A(^o) должна иметь собственные значения ±.

Пусть для определенности матрица A(^o) имеет собственные значения ±2р. Рассмотрим вопрос о достаточном признаке бифуркации вынужденных колебаний. Для изучения этого вопроса перейдем к операторному уравнению x = V(х,л), где V(х,л) - оператор (3).

T

Положим В(л)= eTA(^, Ь(х,л) = eTA(^ / e-A(^ sa(x(s); s; fi)ds. Тогда получим уравне-

о

ние

x = В(л)х + Ь(х,л), х Е R2. (5)

Согласно условию консервативности, матрица A(^) должна иметь собственные значения ±w(p)i. Пусть для определенности матрица A(p) имеет вид

A(X) =

О

2п

Тогда w(^0) = t. Далее верно равенство

В(х) = eTA(v) =

cos Tw(^)

І

-w2(x) О

І

sin Tw(^)

w(x)

-w(x)sin Tw(x) cos Tw(x)

2532

Без ограничения общности можно считать, что ло = 0.

Решения уравнения (5) первоначально будем находить по методу малого параметра в виде х = /їхі + л2х2 + л3х3 + где Х\, х2,... требуют определения. Тогда получим уравнение

Лх1 + ї2х2 + .... = В(р1)(р1х1 + л2х2 + ...) + Ь(їх1 + 12х2 + .., ї).

Отсюда для определения неизвестных хі, х2, ... получим систему уравнений

х1 = В(0)х1,

х2 = В(0)х2 + В'(0)хі + Ь2(хі, 0), ...

0 -І ІО

шением. Второе выражение представляет собой уравнение

Здесь Bf(0) = wf(0)T

, B(0) = I. Для первого уравнения любое Xl является ре-

В'(0)х\ + Ъ2(х\, 0) = 0, (6)

которое имеет нулевое решение Х\ = 0. Здесь Ъ2(х,л) - это квадратичные слагаемые нелинейности Ъ(х,л). Пусть оно имеет и ненулевое решение х]\ На следующем этапе перейдем к вспомогательному двухпараметрическому уравнению

х = (1 + а)В(л)х + Ъ(х, л), х Е R2, (7)

где а - вспомогательный параметр. При а = 0 уравнение (7) совпадает с уравнением (5). Применим для уравнения (7) операторный метод исследования правильной бифуркации, предложенный в [2]. Решения уравнения (7) будем искать по направлению вектора х^.

Для бифурцирующих решений уравнения (7) в операторном методе известны асимптотические формулы:

x(e) = ее + е2е\ + е3в2 + ..., , а(е) = еа\ + е2ах + ..., л(е) = Ло + елх + е2Л2 + ...,

X*

где е = ——, а выражения ei,e2, ..,а1,а2,.., л1 ,л2 вычисляются по формулам, предло-

llxlll

женным в [2]. Можно показать, что а(е) = 0. Следовательно, бифурцирующие решения уравнения (7) совпадают с решениями основного уравнения (5). Таким образом, операторный метод исследования двухпараметрического уравнения (7) позволяет построить бифур-цирующие решения однопараметрического уравнения (5).

Теорема. Пусть матрица A(^) имеет собственные значения ±w(^)i, где w(^0) = = T и w1 (0) = 0; пусть при этом уравнение (6) имеет ненулевое решение х\. Тогда л0 - точка бифуркации вынужденных колебаний системы (2), при этом верны асимптотические формулы для бифурцирующих решений

х(е) = ее + е2е1 + е3е2 + ..., л(е) = Л0 + еЛ1 + е2Л2 + ...,

в которых векторы е1, е2 и числа Л1 и л2 могут быть найдены по формулам операторного метода [2].

Пр и м е р. Рассмотрим уравнение X' + (1 + л)х + x2 sin t = 0.

Полагая yi = x, y2 = X, получим систему

Г Ух = У2 (8)

\ У2 = -(1 + Л)Ух + Ух sint. ( )

2533

Задача о T -периодических решениях системы (8) равносильна интегральному уравне-

нию

т

y = eA(tl)Ty + eA(tl)T J e-A(^sa(y(s); s; )ds,

где у(Ь) - решение задачи Коши для системы (8) с начальным условием у(0) = у. Здесь

А{ц) =

a(y, t) =

0

-y2i

sin t. Положим T = 2п. Вычисления показыва-

0 1

— (1 + /л) 0

ют, что Т -периодические решения уравнения (8) возникают только по направлению векто-0

ра х

4 3 J

ЛИТЕРАТУРА

1. Магницкий Н.А. Теория динамического хаоса. М.: Наука, 1985; ЛЕНАНД, 2011. - 320 с.

2.Вышинский А.А., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах. // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2. № 4. С. 3-26.

Ibragimova L.S. BIFURCATIONS OF FORCED OSCILLATIONS IN CONSERVATIVE DYNAMIC SYSTEMS

The problem about bifurcations of the forced oscillations in the conservative systems is studied. The method is based on construction of the subsidiary two-parameter operator equation. This method allows to define solutions of the initial problem about periodic solutions.

Key words: bifurcation; conservative systems; forced oscillations.

УДК 519.254

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НЕЦЕЛОГО ПОРЯДКА С ПОМЕХОЙ В ВЫХОДНОМ СИГНАЛЕ

© Д.В. Иванов

Ключевые слова: параметрическая идентификация; модель выходной ошибки; метод наименьших квадратов; разности дробного порядка.

Предложен алгоритм, являющийся обобщением метода наименьших квадратов, который позволяет получать сильно состоятельные оценки параметров линейных динамических систем нецелого порядка при наличии помех наблюдения в выходном сигнале в условиях отсутствия информации о законе распределения помех.

В настоящее время активно развиваются методы нелинейного оценивания параметров динамических систем [1, 2]. В статье предложено обобщение метода нелинейных наименьших квадратов на случай динамической системы нецелого порядка с помехой в выходном сигнале.

Рассмотрим линейную динамическую систему нецелого порядка, описываемую стохастическими уравнениями с дискретным временем г = ... — 1, 0,1,...:

Zi = ^ Ь0т)Аатг— + ^ а0т')Автх^, у^ = + &, (1)

т=! т=!

2534