CC BY
54
2016
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2016-2018
УДК 52.531:52-14
СИНХРОНИЗАЦИЯ СВЯЗАННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И «СИМПАТИЯ» ЧАСОВ ГЮЙГЕНСА
© 2011 г. В.Н. Белых, Е.В. Панкратова
Волжская государственная академия водного транспорта, Нижний Новгород
belykh@aqua.sci-nnov.ru
Поступила в редакцию 24.08.2011
Приведено исследование эффектов синхронизации в рамках двух классических задач, часто возникающих при изучении коллективного поведения колебательных систем в ансамблях различной физической природы. Рассмотрена задача о взаимодействии диффузионно связанных динамических систем. Предложен новый подход к решению данной проблемы, позволяющий на основе использования метода связного графа получить пороговые значения коэффициентов связи, достаточных для установления 5-синхронизации в таких сетях. Также рассмотрена задача о нелинейно (инерционно) связанных системах. Приводятся результаты математического моделирования, с одной стороны, объясняющие причины и виды «симпатий часов», наблюдаемых в задаче Гюйгенса, а с другой, - демонстрирующие возможность разнообразных как регулярных, так и хаотических стационарных движений, а также существенную зависимость переходных процессов от начальных условий.
Ключевые слова: синхронизация, метод связного графа, аттракторы, регулярные и хаотические колебания, управление.
Исследование синхронного поведения элементов в сетях идентичных или квазиидентичных динамических систем — одна из основных задач механики, решение которой имеет важное как теоретическое, так и прикладное значение. В то же время огромное количество вопросов, возникающих при изучении коллективной динамики ансамблей различной физической природы, стимулировало интенсивное развитие данного научного направления в самых различных областях науки. В рамках этого направления в настоящее время получен целый ряд интересных математических результатов и дано объяснение многим физическим явлениям.
Основное внимание авторами уделено рассмотрению двух классических примеров постановки и решения проблемы синхронизации: задачи о взаимодействии квазиидентичных систем, связанных линейно (диффузионно), и задачи о нелинейно (инерционно) связанных системах.
В рамках первой проблемы рассмотрен ансамбль п линейно связанных квазиидентичных динамических систем:
dx п
-£-= F(Xг ) +Р& (хг ) +Ё 8У (()Рх}', * П (1)
где хг = (хг(1),хг(2),...,х(1)) — d-вектор, содержащий координаты г-го осциллятора; F(xг■): Я1 ^ Я1 — нелинейная вектор-функция, определяющая ди-
намику элемента сети; £(хг): Я1 ^ Я1 — вектор-функция расстройки; ц — положительный скалярный параметр, определяющий расстройку подсистем. Ненулевые элементы матрицы Р = = diag(p1, р2, ..., р1) размерности 1x1, где рИ = 1 для И = 1, 2, ..., S и рИ = 0 для И = s + 1, ..., 1, определяют переменные, по которым связаны индивидуальные системы. Матрица связи О = (£¿,(0) — симметричная матрица размерности пХп с нулевыми суммами строк, то есть £, = £,г, 8 и = -^,= ^ гу. Согласно методу связного графа, эта матрица определяет связный граф с п вершинами и т ребрами [1]. При этом число ребер т равно числу ненулевых элементов £,, лежащих над главной диагональю матрицы связи. Для любой пары вершин (г,у) выберем простую цепь С,, то есть покроем граф п(п — 1)/2 цепями. Пусть (гк, д) е Ск означает, что к-е ребро лежит в С,. Обозначим через £(Су ) длину цепи С,.
Очевидно, что установление полной синхронизации элементов в сети (1) возможно лишь при ц = 0, когда все осцилляторы в ансамбле совершенно одинаковы. В этом случае устойчивость синхронизации означает глобальную устойчивость многообразия М = {х1 (0 = х2(0 = ... = хп(0}. При ц ^ 0 можно говорить лишь о так называемой 5-синхронизации, которая устанавливается, если 5-окрестность синхронного многообразия
М = {х^О = х2(0 = ... = х„(0}
|| X (ц, t) - X j (ц, t)|| <5(|Д i Ф j, i, j = 1,k, n, lim 5(ц) = 0, (2)
становится глобально устойчивой.
Теорема. Предположим, что каждая индивидуальная система сети (1) имеет шар диссипации в некоторой области параметра |1, и пусть существуют матрицы A = diag(a1 , ..as , 0,.. 0), a1 > 0, H = diag(h , ..., as, H1 ), где h1 > 0, (d — s)x(d — 8)-матрица H1 положительно определена, и матрица C = diag(c1 , cd) такие, что
вспомогательная система
X
dt
jDF(ßx. + (1 - ß)xt )dß +H4C - A
X = x . - x., i, j = 1,k,n
ij і i 7 7 J 77
X.
глобально устойчива. Тогда в сети квазиидентич-ных элементов устанавливается 5-синхронизация, если
8 k(t) >- bk (n, m), k = 1,K, m,
d2 x.
~dF
2 n dx + ю x + FI x
d2 y , = -Y—^ dt ) dt
d 2 y +Q2 y+hd-=£
dt
dt
i=1
ю x. + FI x
dxi
dt
i=1,2,
вана Гюйгенсом «симпатией часов». Приведем одно из простейших объяснений этой «симпатии», а также проанализируем широкие возможности различных «антипатий». Для системы (6) можно указать два инвариантных многообразия: 4-мерное синфазное Мц: = {(х1 , 1хх/И) = (х2 , 1х2 1)} и 2-мерное противофазное Ма: = {(х1, 1х2/И) = = (—х2, —1х2Ш), у = г = 0}. Более того, система (6) инвариантна по отношению к отображениям , ч , ч (1х, Шх2 ) (1х2 1х, )
(х„х2)^(х„х,), I)■+[-£.-£■) (7)
и
i.
(3)
dx1 , dx2 dt dt
dy
dt
-
dx1 ,- dx2 dt dt
dy
dt
(8)
(4)
где к означает ребро (ік, ]к), а = шахДаД, сумма длин всех цепей Єі}- , которые проходят через ребро (ік, ]к), определяется равенством:
Ьк («,т) = X7 (С )• (5)
]>г,(гк, ]к У=Сіі
Обсуждаются примеры различных конфигураций связи в сетях, задаваемых уравнениями (1), показано влияние параметра |1 на значение ошибки синхронизации 6(ц).
В рамках второй проблемы рассмотрена задача о синхронизации двух одинаковых грузов массы т, прикрепленных к платформе пружинами с жесткостью кт • Оба груза подвержены влиянию внешнего воздействия ^(хг , dxi Ші), обеспечивающего их незатухающие колебания. Колебания платформы массы М, прикрепленной к вертикальной неподвижной опоре пружиной жесткостью к, частично могут гаситься за счет демпфера с ко -эффициентом вязкого трения ^ Уравнения для такой системы могут быть записаны в следующем виде:
(6)
где переменные хг, у задают отклонения осцилляторов от равновесного состояния, ю2 = кт/т, П2 = к/М, у = т/М, И = 1/М. Система (6) моделирует систему Гюйгенса — пару часов, подвешенных на горизонтальной балке [2]. Удивительное явление — синхронизация этих часов — была наз-
и, следовательно, обладает двумя симметриями. В частности, отображение (7) определяет зеркальную симметрию по отношению к Мх , преобразование (8) — центральную симметрию. Из существования многообразийМх и Ма и симметрий (7), (8) следует, что система (6) может иметь синхронный аттрактор, лежащий на Мх , асинхронный аттрактор, лежащий на Ма . Кроме того, в фазовом пространстве системы (6) могут существовать симметричный аттрактор, лежащий вне Мх иМа , либо четное количество асимметричных аттракторов, попарно симметричных друг другу относительно (7), (8). Эти аттракторы могут быть как регулярными, так и хаотическими. Причиной возникновения странных аттракторов здесь являются сложные гомоклинические бифуркации. Численный анализ, демонстрирующий многообразие возможных притягивающих множеств в рассматриваемой системе, был проведен, в частности, в работах [3, 4], где исследовалась структура как самих аттракторов, так и их бассейнов притяжения.
Обсуждается влияние параметров управления на установление режимов полной и противофазной синхронизации грузов. Показано, что в случае, когда колебаниям грузов соответствуют аттракторы вне синфазного и противофазного многообразий, в системе (6) наблюдается фазовая синхронизация осцилляторов. При этом движения грузов остаются различными, но для разности фаз выполняется условие захвата |01 — 02| < < 2п. Это означает, что, несмотря на сложность колебаний маятников и различия в их отклонениях, часы, закрепленные на общей балке, бу -дут показывать одно и то же время.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №09-01-00498) и Минобрнауки России (проект 11.G34.31.0039).
Список литературы
1. Belykh V.N., Belykh I.V, Hasler M. // Physica D. 2004. 195. P. 159-187.
2. Huygens C. The pendulum clock (English translation, orig. publ. in 1673). Iowa State University Press, Ames., 1986.
3. Belykh VN., Pankratova E.V // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. 15. P. 274-284.
4. Belykh V.N., Pankratova E.V, Pogromsky A.Y. Dynamics and control of hybrid mechanical systems / Ed. by G. Leonov, H. Nijmeijer, A. Pogromsky, A. Fradkov. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2010. P. 181-194.
SYNCHRONIZATION OF COUPLED DYNAMICAL SYSTEMS AND «SYMPATHY» OF HUYGENS CLOCKS
V.N. Belykh, E. V. Pankratova
In this report we examine the effects of synchronization within the framework of two classical problems that often arise in studying the behavior of various ensembles. In the first part of the report we consider a system of diffusively coupled nonidentical dynamical systems. To obtain the conditions for synchronization here, we use an approach based on the connection graph stability method. In particular, we obtain the threshold values of the coupling coefficients, that are sufficient to establish a 8-synchronization. In the second part of the report, the problem of nonlinearly (inertially) coupled systems is considered. The results of mathematical modeling here, explain, particularly, the causes and types of «sympathy» between the Huygens's clocks. A rich variety of both regular and chaotic motions in such systems is demonstrated. The calculations show the significant dependence of transient processes on initial conditions.
Keywords: synchronization, connection graph stability method, attractors, regular and chaotic oscillations, control.
