CC BY
21
Бифуркации ^^^^^^^^^^^^^^^^^
в динамических системах
Изв. вузов «ПНД», т. 13, № 5-6, 2005 УДК 517.9
ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ РЕЖИМОВ ЧАСТИЧНОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ ХАОСА В АНСАМБЛЕ ИЗ ТРЕХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
А.В. Шабунин, С.М. Николаев, В.В. Астахов
Исследуются механизмы появления и исчезновения режимов частичной синхронизации хаоса в кольце из трех логистических отображений с симметричной диффузионной связью. Проводится двухпараметрический бифуркационный анализ, рассматриваются типичные колебательные режимы и переходы между ними. Обнаружено, что при частичной синхронизации хаоса реализуется режим обобщенной синхронизации.
Введение
В работе [1] нами было исследованы режимы полной синхронизации хаоса в ансамбле из трех хаотических отображений. Однако полная синхронизация не исчерпывает всех возможных случаев синхронного поведения в рассматриваемой системе: в ней возможны также режимы так называемой кластерной синхронизации. Как известно, в ансамблях из большего чем два числа элементов, наряду с полной синхронизацией может наблюдаться кластерная синхронизация, при которой существуют наборы осцилляторов (кластеры), работающие в режиме полной синхронизации, между которыми полная синхронизация отсутствует. Если число осцилляторов в ансамбле невелико, то вместо термина «кластерная синхронизация» принято использовать термин «частичная синхронизация». Теоретические исследования режимов кластерной синфазной и кластерной противофазной синхронизации колебаний были проведены в работе [2], где были установлены конфигурации инвариантных множеств, соответствующих разным случаям частичной синхронизации при разном числе осцилляторов в системе. В работе [3] методом Ляпунова были найдены условия асимптотической устойчивости для частично синхронных режимов. Простейшая модель для систем, в которых возможно наблюдать явление частичной синхронизации - кольцо из трех осцилляторов. На ее примере проще всего рассмотреть сосуществование режимов полной и частичной синхронизации, закономерности их появления и разрушения и соответствующие бифуркационные механизмы. «Сильная» и «слабая»
(то есть грубая и негрубая) частичная синхронизация хаоса в системах с различными топологиями рассматривалась в работе [4]. В работе [5] исследовался режим частичной синхронизации в системе из трех и четырех связанных осцилляторов Ре-слера. Тот же подход был применен к системе из большего числа осцилляторов, в результате была выяснена зависимость числа элементов системы, совершающих синхронные колебания, от величины связи между элементами. Явление частичной синхронизации в системе, состоящей из трех связанных логистических отображений с несимметричной связью, исследовалась в работе [6], в которой был проведен детальный бифуркационный анализ механизмов разрушения полной и формирования частичной хаотической синхронизации.
Целью настоящей работы является выявление закономерностей возникновения и исчезновения режимов частичной синхронизации регулярных и хаотических колебаний в кольце из трех осцилляторов с симметричной диффузионной связью. Данная система рассматривалась в работе [7], однако в ней в качестве основного метода анализа использовался расчет трансверсальных показателей Ляпунова. Подобный подход дает возможность оценить область устойчивости для некоторых синхронных режимов на плоскости управляющих параметров, но не позволяет выявить бифуркационные механизмы их формирования, а также не может дать достаточно полной картины устройства пространства параметров при исследовании систем с развитой мультистабильностью. Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо проведение детального бифуркационного анализа седловых периодических орбит, формирующих скелет синхронного хаотического аттрактора. Проведение такого анализа и является предметом настоящей работы.
1. Исследуемая система, свойства симметрии, классификация симметричных решений
В работе [1] рассмотрен ансамбль из отображений, задаваемый системой уравнений
Хп+1 = /(Хп) + 2(/(Уп) + /(гп) - 2/(хп)),
Уп+1 = /(Уп) + 2(/(Хп) + /(гп) - 2/(Уп)), (1)
гп+1 = /(гп) + |(/(хп) + /(Уп) - 2/(гп)),
где функция / (х) = X — х2 определяет вид одиночного осциллятора (логистическое отображение); X - управляющий параметр, определяющий его динамику; у - параметр связи.
Приведены свойства ее решений и их классификация. В частности, показано, что фазовое пространство системы включает следующие симметричные инвариантные подпространства - «подпространства частичной симметрии»:
1х : У = г, (2)
1у : х = г, (3)
: х = У- (4)
41
2. Трансверсальная устойчивость режимов частичной синхронизации
Рассмотрим трансверсальную устойчивость режимов частичной синхронизации. Для определенности выберем подпространство симметрии 1Х. Для этого перейдем к переменным
x + y
p= 2
x - У
q = 2
Z= Z.
Базисные векторы в! и ез направлены по касательной к плоскости 1Х, в то время как вектор в2 перпендикулярен ей. В новых переменных в окрестности подпространства 1Х уравнения (1) запишутся следующим образом:
Рп+1 Zn+1
qn+1
= f (Pn) + (Zn) - f (Pn)), = f(zn)+ Y(f (Pn) - f (zn)), = (l - f) f '(Pn)qn.
(5)
(6) (7)
Уравнения (5), (6) описывают динамику системы внутри подпространства 1Х, а уравнение (7) - динамику выхода из режима синхронизации. Устойчивость его нулевого решения (дп = 0) определяет трансверсальную устойчивость частично синхронных колебаний системы (1). Соответствующий показатель Ляпунова имеет вид
l
N
AZ = lim — V ln
х n^oo N f
n=1
1 - f f'(Pn)
(8)
где усреднение происходит по точкам рп на предельном множестве в подпространстве частичной симметрии, являющемся решением системы (5), (6).
3. Бифуркационный анализ режимов частичной синхронизации
Система (1) демонстрирует как полностью синхронные, так и частично синхронные колебания. При достаточно сильной связи (0<у<2/3) при любом выборе параметра X можно наблюдать режим полной синхронизации хаоса, когда все три отображения демонстрируют идентичные колебания. Уменьшение связи ведет к разрушению полной синхронизации хаоса, которая сначала, через локальную изреше-ченность хаотического аттрактора, становится негрубой, а затем, после прохождения точки бифуркации прорыва, сменяется режимом пузырящегося («bubbling») аттрактора [1]. В этом режиме колебания являются хаотическими и несинхронными. При дальнейшем уменьшении связи в системе формируются, претерпевают ряд бифуркаций, а затем исчезают режимы частичной синхронизации колебаний. Причем, в отличие от кольца отображений с несимметричной связью [6], в рассматриваемом случае бифуркации, ведущие к возникновению режимов частичной синхронизации,
непосредственно не связаны с механизмом разрушения полностью синхронных колебаний. Так, периодические орбиты в подпространствах частичной симметрии 1Х — 1Х появляются одним из следующих способов. 1. В результате бифуркации вил. Из неподвижной точки в начале координат, на линии
х = 4
4
2у
/
ЗУ — ! 2—
1 -
У
ЗУ — 1 2
)
появляется шесть неподвижных точек с координатами
х(1) _ у(1) _ А 0 г(1) _
х 1,2 _ У 1,2 _ А1,2, ¿1,2 _
(1)
1
3! — 1 2—
— X
(1) 1,2,
х(2) _ ¿(2) х1,2 _ ¿1,2
г(3) _ у(3) _ А х(°) _ ¿1,2 _ у1,2 _ А1,2, х1,2 _
А1,2, »122
(3)
1
— 1
2—
х
(1) 1,2,
1
— 1
2—
»¡3,
А1,2 _
1 + 2 ±у](1 + 4Х)(1 — 3?)2 — 2у2
Зу — 2
При изменениях управляющих параметров все эти неподвижные точки остаются неустойчивыми. На их базе не возникают устойчивые периодические режимы или хаотические аттракторы.
2. В результате седло-узловых бифуркаций.
Рассмотрим подробнее второй случай, так как именно аттракторы, возникшие на базе этих орбит, соответствуют наблюдаемым режимам частичной синхронизации.
При исследовании разрушения полной синхронизации хаоса [1] было обнаружено, что ключевую роль в этом процессе играют трансверсальные бифуркации удвоения периода основного семейства периодических орбит: 2мСс ^ 4мСг, г _ 1, 2, 3. Особенность данных бифуркаций для рассматриваемой системы заключается в том, что они являются вырожденными: сразу два мультипликатора становятся равными —1, собственные векторы для данных мультипликаторов формируют базис неустойчивого двумерного многообразия (х + у + г _ 0) бифурцирующей орбиты 2мСс, расположенного перпендикулярно подпространству полной симметрии 1с. В результате бифуркации рождается три симметричных друг другу орбиты удвоенного периода 4мСг, а сама орбита становится репеллером. Таким образом, каждая из описанных бифуркаций рождает новые (неустойчивые) периодические орбиты и создает внутри аттрактора области локальной неустойчивости, формируя его локальную изрешеченность. На рис. 1, а изображено устройство фазового пространства в проекциях х, у и у, г после первой из трансверсальных бифуркаций удвоения периода синхронных периодических орбит (1Сс ^ 2Сг), когда синхронная орбита 1Сс уже потеряла устойчивость как внутри симметричного подпространства 1с,
2
2
Рис. 1. Орбиты и траектории движения системы по их устойчивым и неустойчивым многообразиям до появления в системе режима частичной синхронизации (а), в момент появления (б) и после появления в системе режима частичной синхронизации (в). Обозначения орбит: 1Сс (♦), 2Сс (□), 20 (■), 2СЦ (Л), (А)
так и в нормальном к нему направлении. Неустойчивые многообразия точек одной из орбит (2С1) подходят к подпространству частичной симметрии Iz и вдоль него уходят к устойчивой орбите 2Cc, расположенной в подпространстве полной симметрии. Затем, при дальнейшем уменьшении связи, в указанном подпространстве частичной симметрии, в непосредственной окрестности неустойчивых многообразий орбиты 2C1 в результате седло-узловой бифуркации появляется пара орбит периода два: устойчивая 2CZZ (s - «stable») и неустойчивая 2CU (u - «unstable»). Момент бифуркации изображен на рис. 1, б. Расположение данных периодических орбит и соответствующая структура фазового пространства после бифуркации показаны на рис. 1, в. Вновь возникшие орбиты претерпевают два каскада бифуркаций удвоения периода. Первый из них происходит в тангенциальном к подпространству частичной симметрии Iz направлении и завершается образованием режимов частичной синхронизации хаоса (двухленточного хаотического аттрактора). Второй - в трансверсаль-ном к подпространству Iz направлению. Он ведет к появлению новых несинхронных орбит и одновременно - к локальной изрешеченности хаотических аттракторов, соответствующих режиму частичной синхронизации хаоса. Рассмотрим бифуркации периодических орбит в Iz более подробно. На рис. 2 представлены бифуркационные линии, а также границы области существования режимов частичной синхронизации для рассматриваемой системы. На линии Lsn2 (до точки A) происходит указанная выше седло-узловая бифуркация: 2CZZ + 2CUZ ^ 0. Рождение указанных орбит происходит при пересечении линии Lsn2 справа налево, то есть в сторону уменьшения параметра связи. Появившаяся устойчивая орбита 2CZZ на линии Ь1,с_4С претерпевает тангенциальную бифуркацию удвоения периода, в результате которой орбита 2CZZ
0.7 С_|_I_|_I_|_I_|_I_|_3
0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 у
Рис. 2. Области существования режимов частичной синхронизации и линии бифуркаций для предельных множеств, соответствующих режимам частичной синхронизации: - линии седло-узловых бифуркаций для орбит периода N = 2,4, 8,..., - линии тангенциальных бифуркаций удвоения периода, а - линии трансверсальных бифуркаций удвоения периода для этих же орбит, и - линии бифуркаций несинхронных орбит 4С8 и 8С5, ведущие к их стабилизации, Ьсьаоэ -граница формирования синхронного хаоса, Ьы^ош - линия бифуркации прорыва. Знаками «•» показана линия кризиса Ьсг для синхронного хаотического аттрактора
теряет устойчивость и в ее окрестности, в подпространстве 1Х рождается орбита периода четыре 4С£. Таким образом, устойчивая орбита периода два 2С£ существует в области, ограниченной линиями Ь&П2 и ¿2С-4с • Линия Ь2с-4с опирается на линию седло-узловой бифуркации (точка А), деля ее на две ветви. Аналогичная бифуркация удвоения периода происходит и с седловой орбитой (2С£): 2С£ ^ 4С£, в результате которой данная орбита теряет устойчивость еще по одному направлению и в ее окрестности рождается седловая орбита периода четыре 4С^. Линия этой бифуркации расположена в окрестности линии Ь1С_4С и также опирается на точку А (на рисунке линии тангенциальных бифуркаций с этой и другими седловыми орбитами не приводятся). Таким образом, в нижней части линии Ь8П2, до точки А (она обозначена сплошной кривой), одна из орбит периода два устойчивая, а другая - седловая, а выше точки А и до точки А1 - обе орбиты седловые, причем первая (2С£) остается седлом и в подпространстве (5), (6), а вторая (2С£) в этом подпространстве является репеллером.
Возникшая в результате тангенциальной бифуркации удвоения периода орбита 4С£ сама, в свою очередь, претерпевает бифуркацию удвоения периода (линия 8с), в результате чего в подпространстве появляется устойчивая орбита периода восемь 8СЦ. При увеличении связи на линии Ьап4 происходит седло-узловая бифуркация с орбитами 4С£ и 4С£, в результате которой они сливаются и исчезают: 4С£ + 4С£ ^ 0. Так же как и в случае с бифуркацией орбит периода два, эта линия делится в точке В на две ветви: на нижней ветви бифуркация происходит между седлом и узлом, на верхней (выше точки В) - между седлом и седлом. Соответственно в точку В подходит линия удвоения периода для орбиты 4С8 (Ь4с-8с). Таким об-
разом, бифуркационные линии ¿2с-4С , 8с и Ь8п4 ограничивают область существования устойчивой орбиты периода четыре , где наблюдаются периодические колебания периода четыре. Подобные бифуркации происходят и для других орбит каскада бифуркаций удвоения периода. На рис. 2 приведены линии тангенциальных бифуркаций удвоения периода для орбит периода восемь (¿8с- 16с) и шестнадцать (¿16с_32с), а также соответствующие линии седло-узловых бифуркаций (Х^) и (Ь8п16). Каскад тангенциальных бифуркаций удвоения периода завершается линией перехода к хаосу (Ьсьао8). В закритической области наблюдаются бифуркации слияния лент хаотических аттракторов, завершающиеся образованием двухленточного хаотического аттрактора. Поскольку эволюция режимов в подпространстве 1Х происходит на базе орбиты периода два (устойчивых орбит периода один в подпространствах частичной симметрии нет), то режим частично синхронного одноленточного хаоса в системе не наблюдается.
Область существования режимов частичной синхронизации ограничена по параметру связи как в сторону его увеличения, так и в сторону уменьшения (см. рис. 2). При увеличении параметра связи регулярный режим исчезает в результате седло-узловой бифуркации соответствующей устойчивой орбиты, а хаотический - в результате кризиса аттрактора, при седло-седловой бифуркации орбиты, входящей в его замыкание. Линия кризиса Ьсг хаотического аттрактора обозначена на рис. 2 знаками «•». Для двухленточного аттрактора она проходит по линии Ь8п2, а после слияния лент аттрактора «перебегает» на линии Ь8п4 - Ь8п16.
Как было сказано выше, кроме тангенциальных бифуркаций, ведущих как к образованию синхронного хаоса через каскад субгармонических бифуркаций, так и к его исчезновению в результате кризиса, в системе происходят бифуркации в транс-версальном к подпространству направлении. Так, на линии Х2с-2С уже успевшая стать седловой орбита 2С^ претерпевает еще одну бифуркацию удвоения периода, на этот раз - в трансверсальном к направлении. В результате данная орбита становится трансверсально неустойчивой, а в ее окрестности рождается седловая орбита периода четыре 4С8, располагающаяся вне симметричного подпространства . Линия 2С, так же как и Ь^-2С опирается на кривую седло-узловой бифуркации Хвп2 (точка А1). В эту же точку входит линия трансверсальной бифуркации удвоения периода орбиты 2С^, в результате которой данная орбита становится репеллером, а в ее окрестности, вне подпространства 1Х, появляется седловая орбита периода четыре 4Си. При увеличении связи обе орбиты периода четыре 4С8 и 4Си сливаются и исчезают на линии Ь^. Если увеличивать параметр X, то старший мультипликатор орбиты 4С8 входит в единичную окружность через значение +1, после чего орбита 4С8 становится устойчивой. Линия данной бифуркации (Ьас) опирается на линию седло-узловой бифуркации Ь^п4. Структура фазового пространства в окрестности орбиты 2С^ изображена на рис. 3. На нем представлены расположение точек седло-вой орбиты 2С^ (о), которая является неустойчивой как в тангенциальном, так и в трансверсальном направлениях, устойчивой орбиты 4С^ (♦) и седловой орбиты 4С8 (□). В дальнейшем, на базе устойчивой орбиты 4С8 через бифуркацию Неймарка -Сакера рождается четырехобходная инвариантная кривая 4Т8, соответствующая квазипериодическим колебаниям. При разрушении данной кривой образуется четырех-ленточный хаотический аттрактор 4А8, не лежащий ни в одном из подпространств частичной симметрии.
Рис. 3. Расположение периодических орбит периода два и четыре, участвующих в разрушении режима частичной синхронизации хаоса
Аналогичный бифуркационный сценарий наблюдается и для орбит больших периодов. На рис. 2 приведены соответствующие бифуркационные линии для орбиты периода четыре: линия трансверсальной бифуркации удвоения периода ^ ^ 8Cs (¿4с-8с), линия, на которой вновь возникшая орбита 8С становится устойчивой (Ь8с), линия седло-узловой бифуркации орбит 8С и 8С (¿^4). Каскад транс-версальных бифуркаций удвоения периода завершается бифуркацией прорыва (¿ы^шО, при которой трансверсальный показатель Ляпунова для хаотического аттрактора из 1Х (8) становится положительным, что приводит к его трансверсальной неустойчивости. Таким образом, линия бифуркации прорыва оганичивает область существования режимов частичной синхронизации слева, то есть со стороны слабой связи. Левее линии ¿ьь^^ режим частичной синхронизации хаоса не наблюдается.
Весь описанный бифуркационный сценарий повторяется внутри каждого из двух других подпространств частичной симметрии: 1Х и 1Х. Таким образом, в каждом из подпространств частичной симметрии и его окрестности наблюдается последовательность бифуркаций, обладающая следующими характерными чертами.
• Регулярные и хаотические режимы частичной синхронизации появляются на базе орбиты периода два через каскад тангенциальных бифуркаций удвоения периода.
• Каждый из таких режимов ограничен по параметру связи линией седло-узловой (для регулярных режимов) или седло-седловой бифуркации (для хаотических режимов).
• Каждая из орбит, участвующих в каскаде тангенциальных бифуркаций удвоения периода претерпевает бифуркации еще и в трансверсальном направлении, что приводит как к локальной изрешеченности хаотического аттрактора, соответствующего режиму частичной синхронизации хаоса, так и к появлению новых седловых режимов вне подпространства частичной симметрии.
• Вновь появившиеся в результате трансверсальных бифуркаций удвоения периода несинхронные периодические орбиты впоследствии становятся устойчивыми, что приводит к развитию мультистабильности в системе (1).
4. Колебательные процессы, наблюдаемые при формировании и разрушении режимов частичной синхронизации
Рассмотрим теперь, какие колебательные режимы частичной синхронизации и переходы между ними наблюдаются при уменьшении связи в соответствии с бифуркационным сценарием, рассмотренным в предыдущем разделе. При уменьшении связи после разрушения режима полной синхронизации хаоса в системе наблюдаются несинхронные хаотические колебания в окрестности подпространства полной симметрии: пузырящийся хаотический аттрактор. Проекции фазового портрета для несинхронного хаотического аттрактора приведены на рис. 4 а. При дальнейшем уменьшении связи на одной из линий седло-узловых бифуркаций траектория мягким образом (без гистерезиса) переходит на соответствующий регулярный или хаотический режим в подпространствах частичной симметрии 1Х — 1г. Конкретный сценарий наблюдаемых переходов зависит от выбранного параметра X. Так, например, для значения X = 1.67 при у = 0.195, что соответствует седло-узловой бифуркации (линия Ь8п2 на рис. 2), система переходит с режима несинхронного хаоса на режим периодических колебаний периода четыре (рис. 4, б).
Этот режим соответствует одной из трех устойчивых орбит периода четыре 4СХ, 4С или 4С^ каждая из которых располагается в своем подпространстве частичной симметрии. Выбор одной из трех орбит является случайным и определяется начальными условиями. В дальнейшем мы будем рассматривать режимы на базе орбиты 4С^. В окрестности точки бифуркации наблюдается явление перемежаемости, когда интервалы синхронного и несинхронного хаотического поведения сменяют друг друга. Характерный вид временных реализаций для разностей динамических переменных х — у и х — г приведен на рис. 5. Временная реализация время от времени попадает в окрестность одного из трех подпространств частичной симметрии и эволюционирует там, переходя через некоторое время в окрестность другого подпростран-
Рис. 4. Проекции фазовых портретов режимов, сменяющих друг друга при уменьшении связи: а -несинхронный хаотический аттрактор, образованный после бифуркации прорыва из подпространства полной симметрии, у = 0.17; б - орбита периода четыре 40, у = 0.159; в - орбита периода восемь 8С, у = 0.132; г - четырехленточный хаотический аттрактор 4Аг, у = 0.112. X = 1.67
ства. Переключение между разными кластерами частично синхронного поведения было отмечено в работе [7], однако там не исследовался механизм данного явления. В настоящей работе мы определили, что оно является предвестником грядущей седло-узловой бифуркации, ведущей впоследствии к появлению регулярного режима частичной синхронизации.
После появления частично синхронного режима 4С* на его основе при уменьшении связи наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода. При у = 0.1355 происходит бифуркация удвоения периода, после которой наблюдаются периодические колебания с периодом восемь (рис. 4, в), затем при у = 0.122 - следующая бифуркация удвоения и переход на регулярный режим с периодом шестнадцать. Каскад бифуркаций удвоения завершается формированием в подпространстве I* хаотического аттрактора (у = 0.119). В закри-
тической области происходят бифурка-
Рис. 5. Вид временных реализаций для разностей
ции слияния лент хаотического аттрак- динамических переменных. X = 1.67, у = 0.161
тора, завершающиеся (при выбранном
значении X) формированием четырехленточного аттрактора (рис. 4, г). Начиная со значений связи у ~ 0.11 для хаотического аттрактора наблюдается явление локальной изрешеченности. Данное значение связи оказывается близким к точке трансвер-сальной бифуркации орбиты 4С* (у = 0.112). В этом случае синхронизация продолжает существовать только при полном отсутствии шума. Добавление шума ведет к пузырящемуся поведению. Данная ситуация изображена на рис. 6, а, б. На левых рисунках представлена проекция фазовых портретов, правые рисунки изображают эволюцию временной реализации для разностей переменных х и у в присутствии малого шума (до пунктирной вертикальной линии) и в отсутствие шума (после пунктирной вертикальной линии). Видно, что в самом начале процесса изрешечивания (у = 0.1092) «амплитуда» пузырения мала и утолщение проекции фазового портрета незаметно. После выключения шума траектория практически сразу возвращается в симметричное подпространство. Дальнейшее уменьшение связи ведет к развитию пузырения, когда разница в поведении с шумом и без шума становится заметна на глаз (см. рис. 6, б). При у = 0.1085 трансверсальный показатель Ляпунова (8) становится положительным. Хаотический аттрактор перестает быть притягивающим в трансверсальном к I* направлению и превращается в хаотическое седло. Траектория переходит на пузырящийся аттрактор (рис. 6, в). При этом качественная разница в поведении системы без шума и с шумом исчезает. Режим частичной синхронизации хаоса перестает наблюдаться в системе.
Наблюдаемые в подпространстве частичной симметрии I* многоленточные хаотические аттракторы соответствуют определению частично синхронного хаоса, поскольку переменные х, у и г демонстрируют хаотическое поведение и удовлетворяют соотношениям (4). Однако, как это видно из рис. 4, г, переменные х и г, хотя и не
Рис. 6. Этапы разрушения частичной синхронизации хаоса: а - начало процесса локального изрешечивания аттрактора, б - развитое изрешечивание аттрактора, в - пузырящийся аттрактор. Пунктирная вертикальная линия на правых рисунках отмечает момент выключения внешнего шума. X = 1.67
являются синхронными с точки зрения определения полной синхронизации (х = г), тем не менее и не являются независимыми друг от друга. По виду фазовых портретов можно заключить, что между ними существует некоторая функциональная взаимосвязь гп = д(хп), то есть данный режим представляет собой режим обобщенной синхронизации хаоса [8]. Чтобы проверить это предположение, мы построили функцию взаимной когерентности между колебаниями х и г, а также их спектры мощности. Анализ хаотической синхронизации с использованием функции когерентности был подробно рассмотрен нами в работах [9,10], где было показано, что по усредненной функции когерентности можно построить меру синхронности сложных колебаний, дающую количественную оценку синхронизации от 0 (для несинхронных колебаний) до 1 (для полностью синхронных). Там же было показано, что, хотя, строго говоря, функция когерентности оценивает линейную взаимосвязь между сложными сигналами, но и при не слишком сложной нелинейной зависимости между ними она остается близкой к единице на всех частотах. На рис. 7 приведены спектры мощности колебаний РХ и Рх, построенные по реализациям хпи гп:
Рх,г — (/))
Рис. 7. Спектры мощности (а) и функция взаимной когерентности (б) построенные для режима четы-рехленточного хаотического аттрактора (у = 0.112) по временным реализациям хп и гп
(здесь Fx,z(f) - преобразование Фурье от x и z, (...) - усреднение по ансамблю реализаций), а также функция когерентности
C = (Fx(f )F*z(f)) XZ VPxXf )Pz (f ) '
соответствующие изображенному на рис. 4, г режиму четырехленточного хаотического аттрактора. Из анализа спектров и когерентности можно заключить, что:
• колебания осцилляторов x, у и z являются хаотическими;
• спектры осцилляторов x и z, хотя и являются схожими, отличаются друг от друга, что свидетельствует о существовании нелинейной взаимосвязи между сигналами, не сводящейся к отставанию одного сигнала от другого по времени (подобное поведение носит в литературе название «lag-synchronization» то есть «синхронизация с задержкой» [11]);
• колебания являются полностью когерентными на всех частотах, что свидетельствует о детерминированной взаимосвязи между сигналами.
Таким образом, анализ спектральных характеристик сигналов x и z показывает, что в результате каскада бифуркаций удвоения периода в подпространстве частичной симметрии Iz формируется хаотический аттрактор, соответствующий режиму обобщенной синхронизации хаоса. Поскольку независимой переменной в этом случае является только одна, а остальные две выражаются через нее посредством детерминированных функций, пространство вложения для хаотического аттрактора остается одномерным, как и в случае полной синхронизации хаоса. Можно сказать, что с точки зрения согласованности колебаний подсистем данный режим является не менее синхронным, чем режим полной синхронизации хаоса. Нарушение транс-версальной к подпространству Iz устойчивости (бифуркация прорыва) ведет сразу к рассинхронизациии как между осцилляторами x и у, так и между x и z, то есть пространство вложения становится трехмерным.
При других значениях параметра X сценарий переходов может быть иным. Например, при X = 1.8 при уменьшении связи наблюдается переход между пузырящимся аттрактором и хаотическим аттрактором, соответствующим режиму частичной синхронизации. Соответствующие проекции фазовых портретов изображены на рис. 8. При значении связи у ~ 1.72 с пузырящегося аттрактора (рис. 8, а) траектория мягким образом переходит на четырехленточный хаотический аттрактор, располага-
ющийся в подпространстве частичной симметрии 1г. Зависимость между переменными х и г здесь оказывается более сложной, чем для аналогичного аттрактора при
X = 1.67. В окрестности точки бифуркации также наблюдается явление перемежаемости. При уменьшении связи, в точке у ~ 0.16 происходит слияние лент аттрактора с образованием двух-ленточного хаотического аттрактора 4А^ ^ 2А^ (рис. 8, в). Сразу после этого перехода наблюдается локальное изрешечивание хаотического аттрактора, что можно увидеть на рис. 9, а, б. На нем изображена временная реализация разностей двух динамических переменных х и у в системе с малым аддитивным шумом интенсивностью порядка 10"6 (до вертикальной пунктирной линии) и без шума (после вертикальной пунктирной линии). Видно, что в системе с шумом переход к двухленточно-му аттрактору (у < 0.16) сопровождается появлением выбросов в сторону от подпространства частичной симметрии. При выключении шума выбросы прекращаются. При дальнейшем уменьшении связи, после у ~ 0.18 наблюдается явление изрешечивания бассейна притяжения синхронного хаотического аттрактора областями, входящими в бассейн притяжения несинхронных режимов (в частности, устойчивой орбиты 4С8). Выбирая начальные условия в непосредственной окрестности хаотического аттрактора, можно после завершения процесса релаксации попасть как на синхронный аттрактор, так и на орбиту 4С8. Добавление в систему малого шума делает переход к несинхронному режиму неизбежным при любых
Рис. 8. Этапы формирования и разрушения режима частичной синхронизации хаоса при уменьшении параметра связи у: 0.178 - несинхронный хаотический аттрактор (а); 0.172 - четырехленточный синхронный аттрактор 4Лг(б); 0.159 - двухленточный синхронный аттрактор 2Лг(в); 0.157 - переход с аттрактора 2ЛЯ на несинхронную орбиту 4С8 (точки орбиты обозначены знаками «х»)(г). X =1.8
начальных условиях. Если в системе с шумом подождать достаточно долгое время, то траектория рано или поздно перейдет на регулярный режим - орбиту периода четыре 4С8. Отключение шума при этом не приводит к возвращению в состояние синхронизации. Данная ситуация изображена на рис. 8, г и 9, в. После примерно 10000 итераций в присутствии шума интенсивностью 10_6 траектория переходит на орбиту периода четыре, которая обозначена на рис. 8, г знаком «х». Для исследования явления изрешечивания мы построили срезы бассейна притяжения орбиты 4С8 плоскостями г = г^х. Для построения сечения бассейнов притяжения в некоторой области значений фазовых переменных (хо,уо) при фикси-
рованном = производилось сканирование начальных условий. Для каждых выбранных начальных условий системе предоставлялся длительный интервал времени релаксации, после чего производилась проверка, на какой режим колебаний вышла система. Один из таких срезов для = 0 при последовательно уменьшающихся значениях связи представлен на рис. 10. Области, относящиеся к бассейну притяжения несинхронной орбиты 4С8, изображены черным цветом. Сечение хаотического аттрактора показано знаком «о». Поскольку аттрактор соответствует режиму обобщенной синхронизации, его сечение представляет собой точку. Как видно из рисунков, с уменьшением параметра связи, то есть с приближением к верхней границе устойчивости при у ~ ~ 0.154 (линия на рис. 4), бассей-
ны притяжения аттрактора несинхронного режима колебаний увеличиваются, и все больше доминируют на плоскости значений (х, у). При у = 0.159 (рис.10, а) между аттрактором и бассейном притяжения орбиты 4С8 имеется некоторый зазор, не позволяющий малому шуму перекидывать изображающую точку в область притяжения несинхронного аттрактора. Уменьшение связи до у = 0.157 (рис. 10, б) приводит к появлению в непосредственной окрестности аттрактора точек бассейна притяжения орбиты 4С8. В этом случае необратимый переход в за-шумленной системе от синхронного режима к несинхронному происходит при любом шуме. Уменьшение связи делает процесс изрешечивания более интенсив-
Рис. 9. Вид временных реализаций для разностей фазовых переменных при уменьшении параметра связи у: 0.161 (а); 0.159 (б); 0.157 (в). Вертикальная пунктирная линия отмечает момент выключения внешнего шума. X =1.8
Рис. 10. Сечения бассейнов притяжения орбиты периода два (серый цвет) для последовательно уменьшаемых значений связи у: 0.159 (а); 0.157 (б); 0.155 (в)
ным (рис. 10, в). Наконец, когда значение параметра связи переходит точку бифуркации прорыва, синхронные хаотические колебания перестают быть трансверсально притягивающими и соответственно, бассейн притяжения несинхронных режимов заполняет всю окрестность хаотического предельного множества в подпространстве 1Х. Естественно, что представленная на рис. 10 картина существует лишь для выбранного сечения г^х. Однако, как показывают исследования, данная картина бассейнов притяжения является типичной и для других сечений.
Очевидно, что все описанные выше явления и переходы наблюдаются и для двух других частично синхронных режимов из подпространств 1Х и 1У. Таким образом, частично синхронные колебания возникают в системе (1) в зависимости от выбранного значения X либо через переход «хаос - цикл», либо через переход «хаос - хаос», сопровождающиеся переключающейся перемежаемостью, когда в окрестности точки бифуркации траектория время от времени эволюционирует в том или ином подпространстве частичной симметрии, переходя затем в другое подпространство симметрии. Разрушение частичной синхронизации хаоса сопровождается либо локальной изрешеченностью хаотического аттрактора, либо еще и изрешечен-ностью его бассейна притяжения.
Заключение
В результате двухпараметрического бифуркационного анализа, а также численного исследования наблюдаемых колебательных режимов в кольце из трех логистических отображений с симметричной диссипативной связью рассмотрены механизмы формировании и разрушении режимов частичной синхроннизации. Формирование режимов частичной синхронизации хаоса происходит на базе периодических орбит, возникших в результате седло-узловых бифуркаций в подпространствах частичной симметрии. В каждом из подпространств частичной симметрии через каскад бифуркаций удвоения периода формируются хаотические аттракторы, демонстрирующие в закритической области бифуркации слияния лент. Разрушение режима синхронизации происходит либо вследствие бифуркации прорыва, при которой трансверсальный показатель Ляпунова становится положительным, либо в результате необратимого перехода на несинхронный режим при изрешечивании бассейна притяжения хаотического аттрактора. Оба эти процесса предваряются серией транс-версальных бифуркаций удвоения периода седловых периодических орбит основного семейства, результатом которых является формирование в аттракторе областей локальной трансверсальной неустойчивости, что, в свою очередь, приводит к негрубости режима хаотической синхронизации. Описанные механизмы отличаются от соответствующих механизмов в ансамбле с несимметричной связью.
Наблюдаемые в подпространствах частичной симметрии хаотические режимы можно рассматривать как пример обобщенной синхронизации, поскольку между всеми тремя координатами системы существует функциональная взаимосвязь и пространство вложения аттрактора, одномерно. Существование в подпространствах частичной симметрии режимов обобщенной синхронизации является особенностью выбранного типа связи и не наблюдается в ансамбле осцилляторов с однонаправленной связью. Детальное рассмотрение закономерностей появления и исчезновения обобщенной синхронизации хаоса в системе идентичных осцилляторов с несимметричной связью (5), (6) в настоящей работе не проводилось и может быть предметом самостоятельного научного исследования.
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ и Американского фонда гражданских исследований (СКВ¥, грант ЯЕС-ООб).
Библиографический список
1. Шабунин А.В., Николаев С.М., Астахов В.В. Двухпараметрический бифуркационный анализ режимов полной синхронизации хаоса в ансамбле из трех осцилляторов с дискретным временем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т. 13, № 5-6. С. 24.
2. Belykh V.N., Belykh I.V., Hasler M. Hierarchy and stability of partially synchronous oscillations of diffusively coupled dynamical systems // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62. P. 6332.
3. Pogromsky A., Santoboni G., Nijmeijer H. Partial synchronization: from symmetry towards stability // Physica D. 2002. Vol. 172. P. 65.
4. Maistrenko Y., Popovich O., Hasler M. On strong and weak chaotic partial synchronization // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2000. Vol. 10. P. 179.
5. Yanchuk S., Maistrenko Y., Mosekilde E. Partial synchronization and clustering in a system of diffusively coupled chaotic oscillators // Mathematics and Computers in Simulation. 2001. Vol. 54. P. 491.
6. Taborov A.V., MaistrenkoY.L., Mosekilde E. Partial synchronization in a system of coupled logistic maps // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2000. Vol. 10. P. 1051.
7. Tsukamoto N., Miyazaki S., Fujisaka H. Synchronization and intermittency in three-coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67. P. 016212.
8. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M. Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53. P. 4528.
9. Анищенко В.С., Астахов В.В., Николаев В.В., Шабунин А.В. Исследование хаотической синхронизации в системе симметрично связанных генераторов // Радиотехника и электроника. 2000. Т. 45. С. 196.
10. Shabunin A., Astakhov V., Kurths J. Quantitative analysis of chaotic synchronization by means of coherence // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 016218.
11. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J.From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 4193.
Саратовский государственный Поступила в редакцию 15.07.2005
университет
TWO-PARAMETRIC BIFURCATIONAL ANALYSIS OF FORMATION AND DESTRUCTION OF REGIMES OF PARTIAL SYNCHRONIZATION OF CHAOS IN ENSEMBLE OF THREE DISCRETE-TIME OSCILLATORS
A. Shabunin, S. Nikolaev, V. Astakhov
We invetsigate mechanisms of appearance and disappearance of regimes of partial synchronization of chaos in a ring of three logistic maps with symmetric diffusive coupling. Two-parametric bifUrcational analysis is carried out and typical oscillating regimes and transitions between them are considered. Partial chaotic synchronization is revealed to lead to generalized synchronization.
