CC BY
28
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 3 (2011)
Труды Международной научно-практической конференции
Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии,
посвященной: 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина
УДК 517.956.226
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ЧАСТИЧНО ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ РЕАКЦИИ ДИФФУЗИИ В СЛУЧАЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КОРНЕЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ
В. Ф. Бутузов, А. В. Костин
Частично диссипативные системы широко применяются в химической кинетике, биологии, астрофизике для моделирования процессов реакции-диффузии, в которых диффузией одного вида можно пренебречь (см., например, [1]—[5]). Особый интерес представляют сингулярно возмущенные задачи, у которых вырожденное уравнение, образующееся при стремлении малого параметра к нулю, имеет пересекающиеся корни, а решение соответствующей вырожденной задачи является негладким ([4], [5]). Стандартная теория [6] к таким задачам не применима. Для преодоления трудностей, связанных с негладкостью решения вырожденной задачи, обычно применяется сложная процедура сглаживания с использованием функции специального вида. Как оказалось, более эффективной процедурой сглаживания является регуляризация вырожденного уравнения ([7], [5]).
1 Частично диссипативная система быстрого и медленного уравнений
1.1 Постановка задачи и основной результат
Рассмотрим систему уравнений
е2(щ — ихх) + д(и, V, х, Ь, е) = 0, V; + /(и, V, х, Ь, е) = 0, (х, Ь) € V (1)
с дополнительными условиями
и(х, 0, е) = и°(х), v(x, 0, е) = ^д(х), их(0, Ь, е) = их(1,Ь, е) = 0, (2)
где е — малый параметр, 0 ^ е ^ е0, Б = {(х,Ь) € Я2 : х € (0,1), Ь € (0,Т]}, и°(х) и v0(x) — заданные функции.
е=0
д(и, V, х, Ь, 0) = 0, (3)
д
д(и^,х,Ь,е) = д(и^,х,Ь, 0) — ед1(и, v,x,t,е).
Условие А1. д € С2 (О), f € С2(О), где О = Сх [0,е0], С = 1ихЕ,Е = Ьи хБ, 1и и — некоторые интервалы изменения переменных и и V, область Б и число е0 определены выше, и°(х) € 1и, v0(x) € 1У при х € [0,1].
Условие А2. Имеет место равенство
д(и^,х,Ь, 0) = к(и^, х,Ь)(и — ф1^,х,Ь))(и — ф2^,х,Ь)), (4)
где к € С2(С), ф1 € С2(Е), ф2 € С2(Е),
к(и^,х,Ь) > 0 в облает и С, (5)
а значения функций ^ и ф2 лежат в интервале 1и при (V,х,Ь) € Е.
Условие АЗ. В области Е существует гладкая поверхность Г0, описываемая уравнением
v = v0(x, Ь), (х, Ь) € Б такая, что v0(x,t) € 1Ь и для (V,х,Ь) € Е выполнены соотношения
ф1^,х,Ь) > ф2^,х,Ь) при v<Vo(x,t), ф1^о(х,Ь),х,Ь) = ф2^о(х,Ь),х,Ь), ф1^,х,Ь) <ф2^,х,Ь) при v>v0(x,t).
Условие АЗ означает, что корни и = ф]_^,х,Ь) и и = ф2^,х,Ь) уравнения
(3) пересекаются по некоторой поверхности, проекцией которой в пространство (V, х, Ь) является поверхность Г^, лежащая в области Е.
Используя корни ф1 и ф2, построим решение вырожденной задачи, полу-
е=0
соотношение между начальной функцией v0(x) (см. (2)) и значением v0(x, 0) функции v0(x,t). Остановимся на случае, когда
v0(x) < Vo(x, 0), х € [0,1]. (6)
(О других возможных случаях будет сказано в замечании 1 ниже).
Разобьем область Б на две — область Б1 = {(х,Ь) € Я2 : 0 < Ь ^ Ь0(х), х € (0,1)} и область Б2 = {(х,Ь) € Я2 : Ь0(х) < Ь ^ Т, х € (0,1)} где функция Ь0(х) играет роль параметра.
Рассмотрим две задачи:
VI + f (ф^,х,Ь)^,х,Ь, 0) = 0, (х,Ь) € Б1, (7)
v(x, 0) = v0(x), х € [0,1],
V; + f (ф2&,х,Ь)^,х,Ь, 0) = 0, (х,Ь) € Б2, (8)
v(x, Ь0(х)) = v0(x, Ь0(х)), х € [0,1].
Пусть выполнено
Условие А4. Существует гладкая функция Ь0(х), такая, что 0 < Ь0(х) < Т, х € [0,1], и задачи (7) и (8) имеют единственные решения V = v1(x,t) и V = v2(x,t), удовлетворяющие соотношениям
v1 (х,Ь) <v0(x,t) при (х,Ь) € Б1,
v1(x,to(x)) = v2(x,t0(x)) = v0(x, Ь0(х)) при х € [0,1], v2(х,Ь) > v0(x,t) при (х,Ь) € Б2.
Введем функцию V(x, Ь), составленную из решений v1(x,t) и v2(x,t) начальных задач (7) и (8):
;,(хЬ)={ vl(x,t), (х,Ь) € Бъ ( \ V2(x,t), (х,Ь) € Б2.
В силу условия А4, функция V(x, Ь) является классическим {у(х,Ь) € С 1(Б)) решением задачи
VI + f (ф^,х,Ь)^,х,Ь, 0) = 0, (х,Ь) € Б, (9)
v(x, 0) = v0(x), х € [0,1],
где ф^,х,Ь) — составной корень вырожденного уравнения (3):
(., Ь) = Г ф1('и,х,Ь) При v ^ v0(x,t), (х,Ь) € Б,
ф , , ) \ ф2^,х,Ь) при V ^ v0(x,t), (х,Ь) € Б.
Введем функцию
и(х,Ь) = ф$(х,Ь),х,Ь).
Отметим, что в отличие от V(x, Ь) функция и(х,Ь) имеет, вообще говоря, на кривой Ь0(х) разрывы (скачки) производных.
Пару функций и(х,Ь), V(x,t) назовем составным решением вырожденной задачи.
Замечание 1. Если вместо (6) выполнено противоположное неравенство
v0(x) > v0(x, 0), х € [0,1],
то функции ф^, х, Ь) и ф2^, х, Ь) в начальных задачах (7) и (8) нужно поменять местами.
Условие А5. Функция д1(и^,х,Ь, 0) положительна на поверхности пересечения корней ф1 ^,х,Ь) и ф2^,х,Ь) вырожденного уравнения (3), т. е.
д^ф^о^х^)^^)^^^)^^, 0) > 0, (х,Ь) € Б. (10)
Замечание 2. Условие А5 можно ослабить, потребовав, чтобы неравенство (10) выполнялось лишь на кривой Ь = Ь0(х), х € [0,1]. Но для упрощения изложения мы принимаем условие А5.
Условие А6. Начальная функция и°(х) лежит в области влияния точки покоя и = ф^^(х)^, 0) присоединенного уравнения
йи , 0, ч
-—+ д(и^ (х),х, 0, 0) = 0, т > 0.
йт
Введем область Бс = {(х,Ь) € Я2 : х € (0,1), Ь1 < Ь ^ Т}, где Ь1 = — V,
Ьтт = тт Ь0(х), V — любое малое положительное число, такое что Ь1 > 0.
хе[0,1]
В [4] методом дифференциальных неравенств доказано существование решения задачи (1), (2). При этом для сглаживания верхнего и нижнего решения использовалась сложная функция специального вида. Как оказалось, метод регуляризации вырожденного уравнения позволяет не только построить более простые и симметричные верхнее и нижнее решения для задачи (1), (2), но и получить более точную асимптотику.
Теорема 1. Если выполнены условия .1 / .1 в. то для любого достаточного малого 5 > 0 при достаточно малых е существует решение и(х,Ь,е), v(x,t,е) задачи (1), (2), имеющее асимптотическое представление
, , ч Г и(х,Ь)+ П0и(х,т) + О(е) для (х,Ь) € Б\Бс,
и(х, I,е) = { их Ь) + 0(еИ2) „ля (х, I) € Б, <п>
,х.Ье)=\ г}(х,Ь) +0(е) для (х,Ь) € Б\Б^
( , , ) \ г>(х,Ь) + 0(5е1/2) для (х,Ь) € Бс,
где П0и(х,т) — пограничная функция нулевого порядка (т = Ь/е2).
Доказательство. Известно [6], что в области Б\Бс решение и(х,Ь,е), v(x,t,е) задачи (1), (2) существует для достаточно малых е и имеет асимптотическое представление
и(х,Ь,е) = и(х,Ь)+П0и(х,т)+О(е), v(x,t,е) = ь(х,Ь)+0(е), (х,Ь) € Б\Бс. (13)
Пограничная функция П0и(х, т) является решением задачи
й 7°и + д(ф^0(х),х, 0) + П0и, ьд(х),х, 0, 0) = 0, т > 0, йт
П0и(х, 0) = и°(х) — ф1^0(х),х, 0),
и в силу условия А6 имеет оценку \П0и(х,т)| < сехр(—кт) для некоторых положительных чисел с и к.
Пусть и1 (х,е) = и(х,Ь1,е), v1(x,е) = v(x,t1,е). В области Бс рассмотрим задачу
е2(щ — ихх) + д(и, V, х, Ь, е) = 0, VI + f (и, V, х, Ь, е) = 0, (х, Ь) € Бс, (14)
и(х,Ь1,е) = и1(х,е), v(x,t1,е) = v1(x,е), их(0,Ь,е) = их(1,Ь,е) = 0. (15)
Требуется доказать существование решения этой задачи с асимптотическим представлением (11), (12) для (х,Ь) € Бс.
1.2 Существование и асимптотика решения задачи (14), (15)
1.2.1 Регуляризация вырожденного уравнения (3).
Как уже было отмечено, компонента и(х,Ь) составного решения вырожденной задачи не является гладкой на кривой Ь = Ь0(х), х € [0,1]. Для преодоления трудностей, связанных с негладкостью и(х,Ь), воспользуемся методом регуляризации вырожденного уравнения (3) и связанной с ней модификацией вырожденной задачи. Вместо уравнения (3) рассмотрим уравнение
д(и^,х,Ь,е) = д(и^,х,Ь, 0) — ед1(и^, х,Ь,е) = 0. (16)
В силу условия А5 и неравенства (5) уравнение (16) имеет два различи
ф^,х,Ь,е)) справедливо равенство
ф(ю,х,Ь,е) = 2 {ф1^,х,Ь) + ф2^,х,Ь) +
+ [(ф1^,х,Ь) — ф2^,х,Ь))2 + 4еН (ф^,х,Ь,е)]1/2}, (17)
ГД6
Н (ф^,х,Ь,е) = д^ф^^^^)^1^^^^).
Для функции ф^,х,Ь,е) имеют место следующие легко проверяемые соот-
ношения:
0 < ф^,х,Ь,е) — ф^,х,Ь) ^ се1/2, (V,х,Ь) € Г0)г, (18)
ф^,х,Ь,е) — ф^,х,Ь) = О(е), (V,х,Ь) € Е\Г0)г, (19)
где Г0;(5 — 5-окрестность поверхности Г^ с — положительное число, не завися-
е
Таким образом, замена вырожденного уравнения (3) уравнением (16) является регуляризацией вырожденного уравнения в том смысле, что вместо негладкого составного корня ф^, х,Ь) получается близкий к нему при малых е гладкий корень ф(V, х, Ь, е).
Приведем некоторые оценки для производных функции ф(V, х, Ь, е), которые нам понадобятся в дальнейшем:
фь^,х,Ь,е) = 0(1), (V,х,Ь) € Е, (20)
фх^,х,Ь,е) = 0(1), (V,х,Ь) € Е, (21)
ф^,х,Ь,е) = 0(1), (V,х,Ь) € Е. (22)
Для производной второго порядка фхх^(х,Ь),х,Ь,е), где v(x,t) — дважды
х Бс
ставление
фхх^(х,Ь),х,Ь,е) = {2еН (ф1х(ю(х,Ь),х,Ь) — ф2х^(х,Ь),х,Ь))2-
■[(ф1^(х,Ь),х,Ь) — ф2(V(х, Ь), х, Ь))2 + 4еН]-3/2} + 0(1).
А значит, для производной фхх^(х,Ь),х,Ь,е) справедливы оценки
фхх(ь(х,Ь),х,Ь,е) = 0(е-1/2), Vх,Ь),х,Ь) € Го,й, (23)
фхх^(х,Ь),х,Ь,е) = 0(1), ^(х,Ь),х,Ь) € Е\Го,г. (24)
Для производных ф,их^(х,Ь),х,Ь,е) и фуу^(х,Ь),х,Ь,е), где v(x,t) — дважды
х Бс
оценки вида (23), (24).
Приведем еще одну, важную в дальнейшем оценку, а именно оценку производной ди(ф^,х,Ь,е)^,х,Ь,е). Из (4) следует
ди(ф^,х,Ь, 0) = Ь,и(ф^,х,Ь)(ф — ф1)(ф — ф2) + Ь,(ф^,х,Ь)(2ф — ф1 — ф2).
Так как для функции ф^,х,Ь,е) справедливо равенство (17), то имеют место соотношения
(ф — ф1)(ф — ф2) = еН (ф^,х,Ь,е) = 0(е),
2ф — ф1 — ф2 = [(ф1 — ф2) + 4еН (ф^,х,Ь,е)]1/2.
Используя эти равенства, для производной ди(ф^,х,Ь, 0) получаем оценки:
ди(ф^,х,Ь,е)^,х,Ь, 0) ^ Ые1/2, (V,х,Ь) € Г0;^, (25)
ди(ф^,х,Ь,е)^,х,Ь, 0) ^ N, (V,х,Ь) € Е\Г0;г, (26)
где N и N — числа, не зависящие от е, но N зависит от 5.
Очевидно, что для производной ди(ф^,х,Ь,е)^,х,Ь,е) также справедливы оценки вида (25), (26).
1.2.2 Модификация вырожденной задачи.
Рассмотрим задачу
vt + f (^(v,x,t,e),v,x,t,e) = 0, (x,t) E Dc, (27)
v(x,ti,e) = v1(x, e), x E [0,1],
в которой дифференциальное уравнение получается из (9), если составной корень tp(v, x, t) уравнения (3) заменить на гладкий корень ф(v,x,t,e) уравнения (16). _
Так как limф(v,x,t,e) = p(v,x,t), (v,x,t) E £ (это следует из (18), (19)), то £—^-0
при e ^ 0 уравнение (27) переходит в уравнение (9).
Лемма 1. Для любого достаточно малого 5 > 0 при достаточно малых e существует решение v = v(x,t,e) задачи (27), имеющее асимптотическое представление
v(x,t,e) = v(x,t) + w(x,t,e), (28)
где w(x,t,e) = O(5e1/2) равномерно в Dc.
Доказательство. Подставляя v = v + w в (27), получаем для w(x,t,e) задачу, которую запишем в виде
wt + k(x,t,e)w = R(w,x,t,e), (x,t) E Dc, (29)
w(x,t1,e) = vl(x,e), x E [0,1],
ГД6
k(x,t,e) = fu(^(v,x,t,e),v,x,t, e)ipv(V, x,t,e) + fv(ip(v,x,t,e),v,x,t,e),
R(w, x, t, e) =
= — f (*KV + w,x,t,e),v + w,x,t,e) + f (p(V,x,t),V,x,t, 0) + k(x,t, e)w.
Отметим два свойства функции R(w,x,t,e).
1) Для функции R(0,x,t,e) справедливы следующие оценки
\R(0,x,t,e)\ ^ \fu*\ \^(v,x,t,e) — p(v,x,t)\ + \f£*\e ^ Roel/2 (30)
в любой сколь угодно малой 5-окрестности кривой t0(x),
\R(0,x,t,e)\ ^ R$e вне 5-окрестности кривой t0(x), (31)
где R0, Rs — положительные числа, причем R0 те зависит от 5 и e, a Rs зависит
5e
2) Если \w(x,t,e)\ < Ke1/2 при (x,t) E Dc, где K — положительное число,
e
\Rw(w,x,t,e)\ ^ a0K в 5-окрестности кривой t0(x), (32)
\Rw(w,x,t,e)\ ^ asKe1/2 внe 5-окрестности кривой t0(x), (33)
где сто и — положительные числа, не зависящие от е, но зависит от 5. Эти
неравенства нетрудно получить, написав выражение для Яш и учитывая оценку (20) и оценки типа (23), (24) для функции фм(г](х,Ь),х,Ь,е).
Известно, что существует функция Коши
!R(x, t, т, e) = exp ^— J k(x, s, e)ds
позволяющая свести задачу (29) к эквивалентному интегральному уравнению
t
W(x,t,e) = J ^ 1(„», (34)
tl
причем №(x,t,T,e) — ограниченная функция:
\№(x,t,T,e)\ ^ K0. (35)
R(w, x, t, e)
ре Hwll^;^) ^ Kel/2, где K — положительное число, при достаточно малых e I(w)
Действительно, Ww1,w2 E C(Dc)
t t
/Г £) ТЭ *
^.(R(w1) — R(w2))dT = ^ dj— (w1 — w2)dT,
tl tl
где производная —— вычисляется в промежуточной точке. Следовательно, в dw
силу оценок (32), (33) и (35) справедливы неравенства
11 (w1) — 1 (w2)lC(Dc) < |^|
t
dR *
dw
dT ■ ||(w1 — w2)lC(Dc) <
*1
^ Ко(стоК5 + Ке1/2(Т — Ь1 — 5)) ■ ||(ш1 — Ш2)\с(фс).
5е
\\1 М — I(т2)\сфс) ^ 1||(ш1 — ш2)||C'(Dc), ^ш1,ш2 € С(Бc), а значит, оператор I(ш) — сжимающий.
t
Далее воспользуемся методом последовательных приближений, чтобы получить оценку решения уравнения (34):
шп+1 = I(шп), п = 0,1, 2,... шо = 0, Шп+1 = (Шп+1 — Шп) + (Шп — Шп-1) + ... + (Ш1 — Шо) + Шо,
*
1К+1||с(Фс) < (у1 + \ + ■■■ + 2^) ^Лсфс) < 2 ! 1^1 \п(0,х,т,е)\Ат ^
*1
^ 2Ко(Яое1/25 + Я6е(Т — и — 5)) < 3КоЯое1/25
е
11
1+----+ ... +-< 2.
2 2п
При п ^ то последовательность шп сходится равномерно в Бс к решению ш уравнения (34), для которого справедлива оценка \ш(х,Ь,е)\С(Фс) ^ 3КоЯо5е1/2, где Ко ж Яо — числа из оценок (30) и (35).
Тем самым доказано существование решения у(х, Ь, е) задачи (27), имеющего представление (28). Лемма 1 доказана.
1.2.3 Нижнее и верхнее решения задачи (14), (15).
Определение 1. Две пары функций Ц_(х, Ь, е), V(х, Ь,е) и и(х, Ь, е), V(х, Ь, е) (и> и € С2,1(Бс х [0,ео]), V, V € С0,1(Бс х [0,ео])^ называются упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (14), (15), если при (х,Ь) € Бс они удовлетворяют условиям:
1о) и(х,Ь,е) ^ и(х,Ь,е), V(х,Ь,е) ^ V(х,Ь,е);
2о) Ье(и,у) = е2(и* — ихх) + д(и,у,х,Ь,е) ^ 0 ^ Ье(Ц,у) при У_(х,Ь,е) ^ V ^ V(х,Ь,е);
3о) М(V, и) = V* + f (и, V, х,Ь,е) ^ 0 ^ М(V, и) при Ц_(х,Ь,е) ^ и ^ и(х,Ь,е);
4о) их(0,Ь,е) ^ 0 ^ их(0,Ь,е), Ц_х(1,Ь,е) ^ 0 ^ их(1,Ь,е) при Ь1 ^ Ь ^ Т;
5о) и_(х,Ь1,е) ^ и1(х,е) ^ и(х,Ь1,е), ¥_(х,Ь1 ,е) ^ vl(x,е) ^ V(х,Ь1,е) при х € [0,1].
Известно [8], что если существуют нижнее и верхнее решения задачи (14), (15), то существует решение и(х,Ь,е), v(x,Ь,е) этой задачи, удовлетворяющее неравенствам
ство (17), V(x,Ь,е) — решение задачи (27), а — положительное число, удовлетворяющее неравенствам 1/2 < а < 1,
5, 0, \ и к — положительные числа.
Покажем, что можно выбрать эти числа так, что и, V и и, V, определенные
е
п верхним решениями задачи (14), (15).
1о
венства 4^) для и и и выполняются при достаточно большом к, входящем в выражение (40) для г(х, е). В самом деле, если к — достаточно большое число, то
4о
Перейдем к условиям 2^ и 3о) определения 1. Если функция v(x, Ь, е) удовле-
в виде V = V(x,Ь,е) + 5е1/2к(Ь)в, где —1 ^ в ^ 1, и для Ье(Ц_,ь) получаем:
Ц_(х,Ь,е) ^ и(х,Ь,е) ^ и(х,Ь,е),
V(х,Ь,е) ^ v(x,Ь,е) ^ V(х,Ь,е), (х,Ь) € Бс.
(36)
Будем искать нижнее и верхнее решения задачи (14), (15) в виде
и(х, Ь, е) = ф(х, Ь, е) — 5е1/20к(Ь) — еаг(х, е),
V (х,Ь,е) = Ф(х,Ь,е) — 5е1/2к(Ь), и(х, Ь, е) = ф(х, Ь, е) + 5е1/20к(Ь) + еаг(х, е), V(х, Ь, е) = V(x, Ь, е) + 5е1/2к(Ь),
(37)
(38)
где ф(х,Ь,е) = ф(^д(х,Ь,е),х,Ь,е), для функции ф^,х,Ь,е) справедливо равен-
к(Ь) = вхр(ХЬ),
(39)
(40)
и_х(0, Ь, е) = ффх(0, Ь,е) + к + о(е) > 0,
1.
творяет неравенствам V(х, Ь, е) ^ v(x, Ь,е) ^ V(х, Ь, е), то ее можно представить
Ъе(и, V) = е2ф(х, Ь, е) — е2фхх(х, Ь, е) — е5/25Хк(Ь)0 + е2 ак2г(х, е) +
+ [д(х, Ь, е) — фи(х, Ь, е)(5е1/20к(Ь) + еаг(х, е)) + ддъ(х, Ь, е)5е1/2к(Ь)в+ (41)
+0(52е) + 0(5еа+1/2) + 0(е2а)],
где д(х,Ь,е) = д(ф(х,Ь,е)^(х,Ь,е),х,Ь,е) и такой же смысл имеют обозначения фи(х,Ь,е)ъ ди(х,Ь,£).
Так как ф^,х,Ь,е) — корень уравнения (16), имеют место соотношения
ф(х,Ь,е) = 0, фу (х,Ь,е) = —фи(х,Ь, е)гду (х,Ь,е),
где гфу(х,Ь,е) = фу Vх,Ь,е),х,Ь,е).
С учетом этих соотношений и в силу оценок для производных функции ф^,х,Ь,е) (см. (20)-(24)) получаем
Ье(и V) = е2-ак2г — еадиг — 5е1/2фи(0 — гдув)к(Ь) +
+0(52е) + 0(5еа+1/2) + 0(е2а). (42)
1/2 < а < 1
а также члены порядка 0(5еа+1/2) и 0(е2а) имеют порядок о(е). Для фи(х,Ь,е) справедливы оценки вида (25), (26). Кроме того, к(Ь) ^ ехр(ЛЬ1) > 1, г(х,е) ^ 0. Поэтому при достаточно большом 0 и достаточно малых 5 и е выполняется неравенство
!^е(и^) < 0 при V(х,Ь,е) ^ V ^ V(х,Ь,е), (х,Ь) € Бс.
Аналогично доказывается, что
Ье(и^) > 0 при V(х,Ь,е) ^ V ^ V(х,Ь,е), (х,Ь) € Бс.
Рассмотрим теперь выражение М(¥^, и). Если функция и(х,Ь,е) удовлетворяет неравенствам и(х,Ь,е) ^ и(х,Ь,е) ^ и(х,Ь,е), то ее можно представить в виде и(х,Ь,е) = гф(х,Ь,е) + (5е1/20к(Ь) + еаг(х,е))в, где —1 ^ в ^ 1. Поэтому для М(V,,и) получаем:
М (У,и) = Vt(x,Ь,е) — 5е1/2Лк(Ь) +
+ [ф(х, Ь, е) + фи(х, Ь, е)(5е1/20к(Ь) + еаг(х, е))в — д(х, Ь, е)5е1/2к(Ь) + +0(52е) + 0(5еа+1/2) + 0(5е2а)],
где f (х,Ь,е), фи(х,Ь,е), ф(х, Ь, е) имеют такой же смысл что и ф(х,Ь,е) (см. (41)). Так как V*(х,Ь,е) + f (х,Ь,е) = 0 в силу уравнения (27), то
М(V, и) = —5е1/2к(Л — фи0в + фу) + еафигв + 0(52е) + 0(5еа+1/2) + 0(е2а). (43)
В силу неравенства а > 1/2 второе слагаемое в правой части равенства (43) имеет порядок о(е1/2), а члены порядка 0(5еа+1/2), 0(е2а) — порядок о(е), а
Ле
неравенство
М(К,и) < 0 при и(х,Ь,е) ^ и ^ и(х,Ь,е), (х,Ь) € Бс.
Аналогично доказывается, что
М(V,и) > 0 при и(х,Ь,е) ^ и ^ и(х,Ь,е), (х,Ь) € Бс.
5о
(13) и оценки для функции Пои(х,т) (т = Ь/е2) начальные функции и1(х,е), v1(x,е) можно записать в виде
и1 (х,е) = й(х,Ь1) + 0(е), v1(x,е) = V(x,Ь1) + 0(е), х € [0,1].
Так как при Ь = Ь1 значения фун кции V(x,Ь1) лежат в не 5-окрестности поверхности Г^, то с учетом оценок (19), (28) и неравенства а > 1/2 при достаточно Ле
5о
и(х, Ь1,е) = ф$(х, Ь1,е),х, Ь1,е) + 5е1/20к(Ь1) + еаг(х, е) =
= и(х, Ь1) + 0(е) + 5е1/20 ехр(ЛЬ1) + 0(5е1/2) + о(е1/2) ^
^ и1(х,е) ^ и(х,Ь1,е),
V(х, Ь1,е) = V(х, Ь1,е) + 5е1/2к(Ь1) =
= V(x,Ь1) + 5е1/2 ехр(ЛЬ1) + 0(5е1/2) ^ v1(x,е) ^ V(х,Ь1,е).
Таким образом, для достаточно малых 5 и е и достаточно больших к, 0 и Л нижнее и верхнее решения задачи (14), (15) построены в виде (37), (38). Отсюда следует, что для достаточно малых е существует решение и(х,Ь,е), v(x,Ь,е) задачи (14), (15), удовлетворяющее неравенствам (36). Из этих неравенств и вида (37), (38) нижнего и верхнего решений получаем асимптотические формулы
и(х, Ь, е) = ф(х, Ь, е) + 0(5е1/2), v(x, Ь, е) = V(х, Ь, е) + 0(5е1/2), (х, Ь) € Бс,
а так как
V(x,Ь,е) = г>(х,Ь) + 0(5е1/2) (см. (28)), ф(х,Ь,е) = и(х,Ь) + 0(е1/2) (см. (18), (19)), то для решения и(х,Ь,е), v(x,Ь,е) задачи (14), (15) имеют место равенства (11), (х, Ь) € Бс
1.3 Пример
В качестве примера рассмотрим начально-краевую задачу, описанную в работе [4],
е2(щ — ихх) + д(и, V, х, Ь, е) = 0, V* + ф(и, V, х, Ь, е) = 0, (х, Ь) € Б (44) и(х, 0,е) = 2, v(x, 0,е) = 1, их(0,Ь,е) = их(1,Ь,е) = 0, (45)
где д(и^,х,Ь,е) = и(и — V + х + Ь + 2) — е, ф(и^,х,Ь,е) =—и — 2, Б = {(х,Ь) € Я2 : х € (0, 1), Ь € (0, 3]}.
Очевидно, условия А1 и А5 выполнены.
Вырожденное уравнение
д(и, V, х, Ь, 0) = и(и — V + х + Ь + 2) = 0
имеет два корня и = ф1^,х,Ь) = 0 и и = ф2^, х, Ь) = v—x—Ь—2, пересекающихся на поверхности, описываемой уравнением
V = vо(x, Ь) = х + Ь + 2.
Неравенства ф1^,х,Ь) > (<)ф2(V, х, Ь) справедливы при V < (>^о(х,Ь), а значит, условия А2 и АЗ выполнены.
Начальная задача
V* — 2 = 0, Ь € (0, Ьо(х)], v(x, 0) = 1, х € [0,1]
имеет решение V = v1(x,Ь) = 2Ь + 1. Из равенства v1(x,Ь) = vо(x,Ь) следует, что
Ьо (х) = х +1.
Начальная задача
V* — V + х + Ь = 0, Ь € (Ьо(х), 3], v(x,Ьо(x)) = 2х + 3, х € [0,1]
имеет решение V = v2(x, Ь) = ехр(Ь — х — 1)+ х + Ь + 1.
Для (х,Ь) € Б справедливы неравенства v1(x,Ь) < vо(x,Ь) при Ь < Ьо(х), v2(x,Ь) > vо(x,Ь) при Ь > Ьо(х), 0 < Ьо(х) < 3, а значит, условие А4 также выполняется.
Составное решение вырожденной задачи имеет вид
ь(х Ь) = { 2 +1, 0 ^ Ь ^ х + 1, х € [0,1], Г461
( , ) | ехр(Ь — х — 1)+ х + Ь + 1, х + 1 ^ Ь ^ 3, х € [0,1], ^ '
-г ,\ _ { 0, 0 ^ Ь ^ х + 1, х € [0,1], , ,
и(х,Ь) = \ ехр(Ь — х — 1) — 1, х + 1 ^ Ь ^ 3, х € [0,1]. ^
Условие А6 выполнено в силу того, что решение и(х,т) присоединенного уравнения
Ли , .
-—+ и(и + х + 1) = 0, т > 0 ат
с начальным значением и(х, 0) = 2 стремится к ф1^°(х),х, 0) = 0 при т ^ то. Кроме того, решение Пои(х, т) задачи
а и + Пои(Пои + х + 1) = 0, т > 0, Пои(х, 0) = 2 ат
можно представить в виде
2(х + 1)
ПМх’т ] = 2(1 — ехр,(—(х +1)т)) + х +1 еЛр{— (х +1)т(48)
Таким образом, все условия А1-А6 теоремы 1 выполнены. Следовательно, начально-краевая задача (44), (45) имеет единственное решение, удовлетворяющее равенствам (11), (12), где й(х,Ь), V(x,Ь)ж Пои(х,т) определены равенствами (46)-(48).
2 Частично диссипативная система двух быстрых уравнений
2.1 Постановка задачи и основной результат
Рассмотрим систему уравнений
е2(щ — ихх) + g(u,v,x,Ь,е) = 0, еpvt + ф(и^,х,Ь,е) = 0, (х,Ь) € Б (49)
с дополнительными условиями
и(х, 0, е) = и°(х), v(x, 0, е) = v0(x), их(0, Ь, е) = их(1,Ь, е) = 0, (50)
где е — малый параметр, 0 ^ е ^ ео, 1 < р < 2, Б = {(х,Ь) € Я2 : х € (0,1), Ь € (0,Т]}, и°(х) и v0(x) — заданные функции.
е=0
д(и, V, х, Ь, 0) = 0, (51)
ф(и^,х,Ь, 0) = 0. (52)
В отличие от задачи (1), (2) ниже сформулировано требование пересечения корней вырожденного уравнения (52), а не (51). Случай пересечения корней уравнения (51) для задачи (49), (50) рассмотрен в работе [5].
Представим функцию ф в виде
ф(и, V, х, Ь, е) = ф(и, V, х, Ь, 0) — еф1(и, V, х, Ь, е).
Условие В1. д € С2(О,), ф € С2(О,), где О = Сх [0,ео], С = 1их£, £ = 1у хБ, /и и 1у — некоторые интервалы изменения переменных и и V, область Б и число ео определены выше, и°(х) € Iи, v0(x) € 1и при х € [0,1].
Условие В2. Вырожденное уравнение (51) имеет гладкий корень и = = ф^,х,Ь), такой, что ф^,х,Ь) € 1и при (V,х,Ь) € £ и
ди(ф^,х,Ь)^,х,Ь, 0) > 0, (V,х,Ь) € £. (53)
Условие ВЗ. Имеет место равенство
ф(и^,х,Ь, 0) = к(и, v,x,Ь)(v — v1 (х,Ь))^ — v2(x,Ь)), (54)
где к € С2(С), Vl € С2(Б), V2 € С2(Б),
к(и^,х,Ь) > 0 в облает и С, (55)
а значения функций v1 и v2 лежат в интервале 1у при (х,Ь) € Б.
Условие В4. В области Б существует гладкая кривая Го, описываемая уравнением
Ь = Ьо(х), х € [0,1], такая, что для х € [0,1] выполнены соотношения
0 < Ьо(х) < Т, v1(x,Ь) > v2(x,Ь) при Ь<Ьо(х),
Vl(x,Ьо(x)) = V2(x,Ьо(x)), v1(x,Ь) <v2(x,Ь) при Ь>Ьо(х).
Условие В4 означает, что корни V = v1(x,Ь) и V = v2(x,Ь) уравнения (52)
( х, Ь)
ляется кривая Го, лежащая в области Б.
Отметим, что из представления (54) и условия В I следует, что для производных Д и фи справедливы соотношения
ф(ф^1(х,Ь),х,Ь)^1(х,Ь),х,Ь, 0) > 0, (<р^2(х,Ь),х,Ь)^2(х,Ь),х,Ь, 0) < 0,
фу (ф^1(х,Ь),х,Ь)^1(х,Ь),х,Ь, 0) < 0, (<р^2(х,Ь),х,Ь)^2(х,Ь),х,Ь, 0) > 0,
фи(ф&1 (х,Ь),х,Ь)^1(х,Ь),х,Ь, 0) = 0, фи(ф^2(х,Ь),х,Ь)^2(х,Ь),х,Ь, 0) = 0,
Ь < Ьо(х),
Ь > Ьо(х); (56)
(х,Ь) € Б. (57)
Используя корни v1 и v2, построим решение вырожденной системы (51), (52). Введем функцию •й^Ь), составленную из корней v1(x,Ь) и v2(x,Ь) уравнения (52):
л , ,, ( v1(x,Ь), 0 ^ Ь ^ Ьо(х), х € [0,1],
= { V2(х,г), Ьо(х) « Ь « Т, х € [0,1]
и функцию
и(х,Ь) = ф$(х,Ь),х,Ь).
Отметим, что функции V(x,Ь) И и(х, Ь) непрерывны в Б, но имеют, вообще говоря, на кривой Ь = Ьо(х), х € [0,1] разрывы (скачки) производных.
Пару функций и(х,Ь), V(x,Ь) назовем составным решением вырожденной задачи.
Условие В5. Начальная функция v0(x) лежит в области влияния точки покоя V = v1(x, 0) присоединенного уравнения
(IV
——+ ф(и°(х)^,х, 0, 0) = 0, в> 0, ав
т. е. v0(x) > v2(x, 0^ х € [0,1].
Начальная функция и°(х) лежит в области влияния точки покоя
и = ф(у°(х),х, 0)
присоединенного уравнения
йи , 0, ч
-—+ д(и,у (х),х, 0, 0) = 0, т > 0. йт
Условие В6. Функция /і(ф,у,х,і, 0) положительна на линии пересечения корней (х,Ь) и у2(х,і) уравнения (52), т. е.
/1(ф{у,х,г),1),х,г, 0)|і=іо(Л) > 0, х є [0,1].
Введем область Бс = {(х,Ь) Є В2 : х Є (0,1), Ь1 < Ь ^ Т}, ще Ь1 = ітіп — V, їтт = тіп Ь0(х\ V — положительное число, такое что Ь1 > 0.
ж€[0,1]
Рассмотрим две задачи (х Є [0,1] рассматривается как параметр):
и
+ д(ф(у (х),х, 0) + П0и,^ (х),х, 0,0) = 0, т> 0, (58)
йт
П0и(х, 0) = и°(х) — ф(у°(х),х, 0).
йР0у йв
+ /(ф(у1(х, 0) + Р0^, х, 0),ь1(х, 0) + Р0^, х, 0, 0) = 0, в > 0, (59)
Р0у(х, 0) = V0(х) — у1(х, 0);
В силу условий В2, ВЗ, В5 и соотношений (56), (57) решения задач (58), (59) существуют и для них справедливы экспоненциальные оценки
\Пои(х,т)| < с1 ехр(—к1т), т ^ 0, \Р^(х, в)\ < с2 ехр(—к2в), в ^ 0, (60)
где Сг, кг — некоторые положительные числа.
Теорема 2. Если выполнены условия В1-В6, то для достаточно малых е существует решение и(х,Ь,е), v(x,Ь,е) задачи (49), (50), имеющее асимптотическое представление
, , 4 Г и(х,Ь) + Рои(х, в) + Пои(х,т) + 0(е2-р) для (х,Ь) Е Б\БС,^,
и(х'Ь е = { и(х, Ь) + 0(е1/2) г)яя х Ь) € Б, ^
, , 4 \ V(x,Ь)+ Pоv(x,в) + 0(е2-р) для (х,Ь) € Б\БС, , ,
1'(х' е | й(х, Ь) + 0(е1/2) (X, Ь) € Б, <62>
где
Р0и(х, в) = ф^(х, 0) + Р^(х, в),х, 0) — ф^-\_(х, 0), х, 0), (63)
функции П0и(х, т) и Р^(х, в) являются, соответственно, решениями задач (58) и (59), т = і/є2, в = і/єр.
Доказательство. В области Б\БС корни вырожденного уравнения (52) не пересекаются, а значит, можно применить стандартную теорию (см., например,
[6]). При выполнении условий В1-В5 решение и(х,Ь,е), v(x,Ь,е) задачи (49), (50)
е
и(х,Ь,е) = и(х,Ь)+^и(х,т, в), v(x,Ь,е) = у(х,Ь)+Ш(х,т, в), (х,Ь) € Б\БС, (64)
ГД6
и(х,Ь) = и(х,Ь) + 0(е), 0>и(х, т, в) = Рои(х, в) + Пои(х, т) + 0(е2-р), (65)
у(х,Ь) = ь(х,Ь) + 0(е), ^(х,т,в) = Р^(х,в) + 0(е2-р), (66)
При этом пограничные функции &и(х, т, в) и ^(х, т, в) при т ^ то > 0, в ^ во > 0 имеют оценку о(еп) для любого положительного п. (Данная оценка для пограничных функций нулевого порядка Р^(х, в) Рои(х, в) и Пои(х, т) следует из оценок (60) и равенства (63)).
Пусть и1 (х,е) = и(х,Ь1,е), v1(x,е) = v(x,Ь1,е). В области БС рассмотрим задачу
е2(щ — ихх) + g(u,v,x,Ь,е) = 0, еpvt + ф(и^,х,Ь,е) = 0, (х,Ь) € БС, (67)
и(х,Ь1,е) = и1(х,е), v(x,Ь1,е) = v1(x,е), их(0,Ь,е) = их(1,Ь,е) = 0. (68)
Требуется доказать существование решения этой задачи с асимптотическим представлением (61), (62) для (х,Ь) € БС. Это будет сделано в п. 2.2.
2.2 Существование и асимптотика решения задачи (67), (68)
2.2.1 Регуляризация вырожденного уравнения (52).
Как уже было отмечено, компоненты й(х,Ь) и й(х,Ь) составного решения вырожденной задачи не являются гладкими на кривой Ь = Ьо(х), х € [0,1]. Для преодоления трудностей, связанных с негладкостью V(x,Ь), воспользуемся методом регуляризации вырожденного уравнения (51). Вместо уравнения (52) рассмотрим уравнение
ф(Ф^,х,Ь,е) = ф(Ф,V,X,Ь, 0) — еф1 (Ф^,х,Ь,е) = °. (69)
В силу условия В5 и неравенства (55) уравнение (69) имеет два различных гладких корня относительно V, для большего из которых (обозначим его V(x,Ь,е)) справедливо равенство
V(х, Ь, е) =
= 1 {и1(х,Ь) + V2 (х, Ь) + [^1(х,Ь) — V2(x,Ь))2 + 4еН (ф^ ,х,Ь)^,х,Ь,е)]1/2}, (70)
где
Н (ф^,х,Ь)^,х,Ь,е) = ф1(ф^,х,Ь)^ ,х,Ь,е)к-1(ф^,х,Ь)^,х,Ь).
(х, Ь, е)
шения:
0 < ь(х,Ь,е) — й(х,Ь) ^ се1/2, (х,Ь) € 1$, (71)
V(х,Ь,е) — V(x,Ь) = 0(е), (х,Ь) € БС\1$, (72)
где I$ — 5-окрестность кривой Г^ с — положительное число, не зависящее от е.
Таким образом, замена вырожденного уравнения (52) уравнением (69) является регуляризацией вырожденного уравнения в том смысле, что вместо негладкого составного корня V(x, Ь) получается близкий к нему при малых е гладкий корень V(x,Ь,е).
(х, Ь, е)
нам понадобятся в дальнейшем:
Vx(x,Ь,е) = 0(1), (х,Ь) € Бс, (73)
Vt(x,Ь,е) = 0(1), (х,Ь) € Бс, (74)
Vxx(x,Ь,е) = 0(е-1/2), (х,Ь) € 1$, (75)
Vxx(х,Ь,е) = 0(1), (х,Ь) € Бс\1$. (76)
С учетом соотношений (71), (72) запишем оценки для функции ф^(х,Ь,е),х,Ь): ф(V,х,Ь) — ф(ь,х,Ь) = 0(е1/2), (х,Ь) € 1$, (77)
ф(V,х,Ь) — ф(ь,х,Ь) = 0(е), (х,Ь) € БС\1$. (78)
Приведем еще две, важные в дальнейшем оценки, а именно оценки произВОДНЫХ
фи(ф(V,х,Ь)^,х,Ь, 0) и (ф(V,х,Ь)^,х,Ь, 0). Из (54) следует фи(ф, V ,х,Ь, 0) = Ни(ф^,х,Ь)@ — V 1)^ — V 2),
ан
фу (ф, V, х, Ь, 0) = —(ф^,х,Ь)^ — Vl)(v — V 2) + к(ф^,х,Ь)^ — Vl — V2), а
где ф = ф(V(х,Ь,е),х,Ь). Так как для функции V(x,Ь,е) справедливо равенство (70), то имеют место соотношения
(V — v1)(V — v2) = еН(ф, V,x,Ь,е) = 0(е),
2V — v1 — v2 = [(V1 — v2)2 + 4еН(ф, V, х, Ь, е)]1/2.
Следовательно, справедливы оценки:
фи(ф, V, х,Ь, 0) = 0(е), (х,Ь) € Бс, (79)
(ф^,х,Ь, 0) ^ Ые1/2, (х,Ь) € 1$, (80)
фу (ф^,х,Ь, 0) ^ М$, (х,Ь) € БС\1$, (81)
где N и N — числа, не зависящие от е, но N зависит от 5.
Очевидно, что для производной фи(ф, V, х, Ь, е) также справедлива оценка вида (79), а для фу(ф^,х,Ь,е) — оценки вида (80), (81).
2.2.2 Нижнее и верхнее решения задачи (67), (68).
Определение 2. Две пары функций У(х, Ь, е), V(х, Ь,е) и У(х, Ь, е), V(х, Ь, е) (У и € С2,1(БС х [0,ео]), V, V € О0,1(БС х [0,ео])^ называются упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (67), (68), если при (х,Ь) € БС они удовлетворяют условиям,:
1о) У(х,Ь,е) ^ и(х,Ь,е), V(х,Ь,е) ^ V(х,Ь,е);
2о) Ь£(и, V) = е2(Уt — Uxx) + д(У^,х,Ь,е) ^ 0 ^ Ье(У_^) при У_(х,Ь,е) ^ V ^ V(х,Ь,е);
3о) М(V, и) = еpVt + ф(и, V, х,Ь,е) ^ 0 ^ М(V, и) при и(х,Ь,е) ^ и ^ у(х,Ь,е);
4о) Ух(0,Ь,е) ^ 0 ^ Ух(0,Ь,е), Ух(1,Ь,е) ^ 0 ^ Уx(1,Ь,е) при Ь1 ^ Ь ^ Т;
5о) У(х,Ь1,е) ^ и1(х,е) ^ У(х,Ь1,е), ¥_(х,Ь1 ,е) ^ v1(x,е) ^ V(х,Ь1,е) при х € [0,1].
Известно [8], что если существуют нижнее и верхнее решения задачи (67), (68), то существует решение и(х,Ь,е), v(x,Ь,е) этой задачи, удовлетворяющее неравенствам
!
и(х,Ь,е) ^ и(х,Ь,е) ^ и(x,Ь,е), (х Ь) Б ( <
¥_(х,Ь,е) ^ v(x,Ь,е) ^ V(х,Ь,е), ( С.
Будем искать нижнее и верхнее решения задачи (67), (68) в виде
У (х,Ь,е) = ф(х,Ь,е) — 5е1/20 — ег(х,е), V (х,Ь,е) = V (х,Ь,е) — 5е1/2, (83) У (х,Ь,е) = ф(х,Ь,е) + 5е1/20 + ег(х,е), V (х,Ь,е) = V(x,Ь,е) + 5е1/2, (84)
где ф(х,Ь,е) = ф(ь(х,Ь,е),х,Ь), для функции V(x,Ь,е) справедливо равенство (70), ф^,х,Ь) — корень уравнения (51),
г(х, е) = ехр (—к°х^ + ехр ^к^х----^ , (85)
5, в, к — положительные числа.
Покажем, что можно выбрать эти числа так, что У, V и У, V, определенные
е
и верхним решениями задачи (67), (68).
1о
венства 4^) выполняются при достаточно большом к, входящем в выражение
(85) для г(х, е). В самом деле, в силу оценки (73), если к — достаточно большое число, то
Ух(0, Ь, е) = фу (0,Ь, е^х(0,Ь, е) + фх(0, Ь,е) + к + о(е) > 0,
где обозначения фу (х,Ь,е) и фх(х, Ь, е) имеют такой же смысл, что и ф(х,Ь,е).
4о
2.
Перейдем к условиям 2^ и 3о) определения 2. Если функция v(x, Ь, е) удовлетворяет неравенствам V(х, Ь, е) ^ v(x, Ь,е) ^ V(х, Ь, е), то ее можно представить в виде V = V(x,Ь,е) + 5е1/2в, где —1 ^ в ^ 1, и для Ь£(У^) получаем:
У^У^) = е2[фу Vt + ф t — фуу Vх — 2фухУ х — ф хх — фу V хх\ + ек2г+
+[д — ди(5е1/2в + ег) + ду 5е1/2в + 0(е)],
где V = д(ф(х, Ь, е)^(х, Ь, е),х, Ь, 0) и такой же смысл имеют обозначения ди и ду. Так как ф(и,х,Ь) — корень уравнения (51), имеют место соотношения
V = 0, ду = —дифу.
С учетом этих соотношений и в силу оценок для производных функции V(x,Ь,е) (см. (73)-(76)) получаем
У£(и_,У) = 0(е) — 5е1/2ди(в — фув).
С учетом неравенства (53) при достаточно большом в и достаточно малых е выполняется неравенство
У£(У^) < 0 при V(х,Ь,е) ^ V ^ V(х,Ь,е), (х,Ь) € БС.
Аналогично доказывается, что
Ь£(У^) > 0 при V(х,Ь,е) ^ V ^ V(х,Ь,е), (х,Ь) € БС.
Рассмотрим теперь выражение М{у, и). Если функция и(х,Ь,е) удовлетворяет неравенствам У(х,Ь,е) ^ и(х,Ь,е) ^ У(х,Ь,е), то ее можно представить в виде и(х,Ь,е) = V(х,Ь,е) + (5е1/2в + ег(х,е))в, где —1 ^ в ^ 1. Поэтому для М(У, и) получаем:
М(V, и) = еpVt + [ф + фи(5е1/2в + ег)в — фу5е1/2 + 0(52е)],
где ф = ф(ф(х,Ь,е)^(х,Ь,е),х,Ь,е), и такой же смысл имеют обозначения ф и и
й _ ф = 0
венства р > 1 для достаточно малых 5 и е
М(V, и) = —5е1/2фу + 0(52е) < 0 при У(х,Ь,е) ^ и ^ У(х,Ь,е), (х,Ь) € БС.
Аналогично доказывается, что
М(V,и) > 0 при У(х,Ь,е) ^ и ^ У(х,Ь,е), (х,Ь) € БС.
5о
(64)-(66) и оценок для функций &и(х, т, в) и Qv(x, т, в) начальные функции и1(х,е), v1(x,е) можно записать в виде
и1 (х,е) = й(х,Ь1) + 0(е), v1(x,е) = V(x,Ь1) + 0(е), х € [0,1].
Так как точка Ь = Ь1 лежит в не 5-окрестности кривой Ь = Ьо(х), х € [0,1], то с
е
5о
У(х, Ь1,е) = ф(Ь(х, Ь1,е),х, Ь1) + 5е1/2в + ег(х, е) =
= и(х, Ь1) + 5е1/2в + 0(е) ^ и1(х, е) ^ У(х, Ь1,е),
V(х, Ь1,е) = V(x, Ь1,е) + 5е1/2 = V(x, Ь1) + 5е1/2 + 0(е) ^ v1(x, е) ^ V(х, Ь1 ,е).
5 е к
и верхнее решения задачи (67), (68) построены в виде (83), (84). Отсюда следует, что для достаточно малых е существует решение и(х, Ь, е), v(x, Ь, е) задачи (67), (68), удовлетворяющее неравенствам (82). Из этих неравенств и вида (83), (84) нижнего и верхнего решений получаем асимптотические формулы
и(х, Ь, е) = ф(х, Ь, е) + 0(5е1/2), v(x, Ь, е) = V(x, Ь, е) + 0(5е1/2), (х, Ь) € БС,
а так как V(x, Ь, е) = ь(х, Ь) + 0(е1/2) (см. (71), (72)), ф(х, Ь, е) = и(х, Ь) + 0(е1/2) (см. (77), (78)), то для решения и(х,Ь,е), v(x,Ь,е) задачи (67), (68) имеют место равенства (61), (62) для (х,Ь) € БС. Теорема 2 доказана.
Замечание 3. Для случаев, когда р = 2 ил и р > 2, теорема 2 формулируется аналогично. Отличие заключается в пограничных функциях нулевого порядка, входящих в равенства (61), (62). При этом члены порядка 0(е2-р) необходимо заменить на 0(е).
2.3 Пример
Рассмотрим начально-краевую задачу
е2(щ — ихх) + д(и, v,x, Ь, е) = 0, еpvt + ф(и, V, х, Ь, е) = 0, (х, Ь) € Б (86) и(х, 0, е) = х, v(x, 0, е) = —1/2, их(0,Ь,е) = их(1,Ь,е) = 0, (87)
где д(и, v,x,Ь,е) = и — V — х — Ь, ф(и^, х, Ь, е) = v(v — х — Ь + 2) — еи, 1 < р < 2, Б = {(х,Ь) € Я2 : х € (0,1), Ь € (0, 3]}.
Очевидно, условие В1 выполнено.
Вырожденное уравнение
д(и, v,x,Ь, 0) = и — V — х — Ь = 0
имеет единственный корень и = ф^,х, Ь) = V + х + Ь, причем
ди(ф^,х,Ь)^,х,Ь, 0) = 1 > 0,
т. е. условие В2 выполнено.
Вырожденное уравнение
ф(и^,х,Ь, 0) = v(v — х — Ь + 2) = 0
имеет два корня V = v1(x,Ь) = 0 и V = v2(x,Ь) = х + Ь — 2, пересекающихся по
( х, Ь)
ем
Ь = Ьо(х) = 2 — х.
Для (х,Ь) € Б справедливы неравенства v1(x,Ь) > v2(x,Ь) при Ь < Ьо(х), v1(x,Ь) < v2(x,Ь) при Ь > Ьо(х), 0 < Ьо(х) < 3, а значит, условия ВЗ и В4 также
ВЫПОЛНЯЮТСЯ.
Составное решение вырожденной задачи имеет вид
,, 4 { 0, 0 ^ Ь ^ 2 — х, х € [0,1], , ,
<х'Ь) = { х + Ь — 2, 2 — х « Ь « 3, х € [0,1], (88)
, , л \ х + Ь, 0 ^ Ь ^ 2 — х, х € [0,1], , ,
и{хЛ) = \2(х + Ь — 1), 2 — х < Ь < 3, х € [0,1]. (89)
Условие В5 выполнено в силу того, что решение v(x,в) присоединенного уравнения
— + v(v — х + 2) = 0, в> 0 ав
с начальным значением v(x, 0) = —1 /2 стремится к v1(x, 0) = 0 при в ^ то, а решение и(х,т) присоединенного уравнения
аи 1
-—+ и — х +— = 0, т > 0 ат 2
с начальным значением и(х, 0) = х стремится к ф^°(х),х, 0) = х — 1/2 при т ^ то.
Кроме того, решения Пои(х, т) и Р^(х, в) задач
апои „ „
— -+ Пои = 0, т > 0, Пои(х, 0) = 1/2,
ат
—ро—+ Pоv(Pоv — х + 2) = 0, в > 0, Р^(х, 0) = —1/2 ав
можно представить в виде
П0и(х,т) = exp(—т )/2, (90)
2 — х
Pow(x,s) = ----- ------ --------~exp(—(2 — x)s). (91)
2х — 3 — exp(—(2 — x)s)
Условие В6 также выполнено, т. к. fi(p(v,x,t),v,x,t, 0)|t=to(^) = u(x,t0(x)) =
2 > 0.
Таким образом, все условия В1 156 теоремы 2 выполнены. Следовательно, начально-краевая задача (86), (87) имеет единственное решение, удовлетворяющее равенствам (61), (62), где U(x,t), V(x,t), П0и(х,т) и P0v(x, s) определены равенствами (88)—(91), P0u(x, s) = P0v(x,s).
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Marion М. Inertial manifolds associated with partly dissipative reaction-diffusion systems // J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 143. P. 295-326.
[2] Fabrie P., Galusinski C. Exponential attractors for a partially dissipative reaction system // Asymptotic Anal. 1996. V. 12. 329-354.
[3] Hollis S.L., Morgan J.J. Partly dissipative reaction-diffusion systems and a model of phosphorus diffusion in silicon // Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 1992. V. 19. P. 427-440.
[4] Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.E. Singularly perturbed partly dissipative reaction-diffusion systems in case of exchange of stabilities // Weiersiras Insiiiiii fur Angewan-dte Analysis und Stochastik Berlin, Preprint No. 572, Berlin 2000.
[5] Костин А.В. О сингулярно возмущенной частично диссипативной системе реакции-диффузии в случае смены устойчивости // Математические методы и приложения: Труды двадцатых математических чтений РГСУ. М.: РГСУ, 2011. С. 57-67.
[6] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
[7] Бутузов В.Ф. Об устойчивости и области притяжения негладкого в пределе стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46, № 3. С. 433-444.
[8] Pao C.V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. Plenum Press, New York and London. 1992.
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Поступило 25.10.2011
