CC BY
8СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ РЕАКТОРОМ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ОБРАТИМОЙ РЕАКЦИИ
Многие продукты и полупродукты в химической промышленности получаются путем реализации сложных реакций с обратимой первой стадией
A
±Б
->С
->D
где А - исходный реагент; В - целевой продукт; С, й - побочные продукты; к = 0е & 1КТ - константа
скорости соответствующих стадий, Е1,К,Т - энергия активации, универсальная газовая постоянная и температура, соответственно. Реализуется реакция данного типа в трубчатых реакторах или емкостных аппаратах с перемешиванием в зависимости от характера и величины теплового эффекта реакции (АН) и соотношения энергии активации стадий. Вопросы определения оптимальных условий проведения реакций подобного типа (время пребывания и температура), обеспечивающих максимальных выход целевого компонента рассмотрены в [1,2]. Вопросы синтеза систем управления ректором для поддержания оптимальных условий функционирования рассматривались в основном в линейной постановке [3]. Принципиальным недостатком линейных систем управления нелинейными объектами является потеря устойчивости при действии существенных возмущений или смене режима работы объекта. Поэтому актуальна постановка и решение задачи синтеза работоспособной системы стабилизации технологических параметров объекта с использованием нелинейной многосвязанной модели объекта, т.е. синтез нелинейной системы управления. Перспективным способом решения таких задач является метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР), разработанный в рамках синергетической теории управления проф. Колесниковым А.А [4,5]. В работах [6,7] решена задача синтеза автоматической системы стабилизации температуры в реакторах смешения методами синергетической теории управления.
В качестве объекта управления рассматривается химический реактор (рис.1) емкостного типа, снабженный механической мешалкой и рубашкой, в которую подается теплоноситель в случае эндотермической реакции или хладоагент в случае экзотермической реакции. В качестве теплоносителя используется горячая вода или насыщенный пар.
Рисунок 1. Схема объекта управления
Исходный реагент с концентрацией СА и температурой tx .подается в потоке . Поток с расходом 32 и температурой t2 служит для разбавления реакционной смеси. Смесь из реактора забирается насосом. Аппарат работает в политропическом режиме.
Математическая модель, описывающая динамику процессов, происходящих в химическом реакторе, имеет следующий вид:
2
-хТ = /1- Ъххи!; ат
-т = /2 - Ьх2и 1;
ат
ах
3 = / 3 - Ъхъи{;
ат О- = / 4 - Ъх4и 1; ат ах
—Т = / 5 + С1 х6 + щ 2 - Х5)и 1;
ат
-Т- = /6 + Ъ1 (С(тн) - хб )и2, где /1 = МА + к2х2 - к1 х1 - ах{; /2 = к1 х1 - к2х2 - к3х2 - к4х2 - ах2; /3 = к3х2 - ах3;
/4 = к4Х2 - ах4; /5 = Мт - ах5 ± |(-кххх + к2Х2 )|0 - СХ5; /6 = С2Х5 - С2Хб;
и 1 = 32 - расход разбавителя; и2 = Зш(тн)- расход хладоагента (теплоносителя) в рубашке; х1 = СА , х2 = Св , х3 = СС , х4 = С0 - концентрации компонентов в выходном потоке; х5 = I -температура смеси в аппарате; х6 = 1л(тн) - температура хладоагента (теплоносителя) в рубашке;
р, Ст - плотность и удельная теплоемкость; Кт, ¥ - коэффициент теплопередачи и поверхность теплообмена;
а = А; Ъ = Ъ1 = _^; Мл =?а; Мт =М; С = Ж ; С,=-К¥-
V/ Ур Ухлтн ) А Ур ‘ Ур - рСт 1 УррС
С = Кт¥
УХЛ (ТН ) Рхл ( тн ) С хл (тн )
В уравнении для / 5 используется знак «+» в случае экзотермической и «-» при эндотермической реакции.
Следуя работе [1] были определены оптимальные значения температуры (1=70 0С) и объема (УР=1020 л) аппарата, обеспечивающие максимальное значение выхода целевого компонента В при
заданных значениях 3Х,32 и С А.
Задача синтеза закона управления формулируется следующим образом: необходимо синтезировать векторный закон управления и1(х) и и2(х), который обеспечивал бы заданное - оптимальное значение концентрации полезного компонента В х2=х2зад и температуры в аппарате х5=х5зад, при действии возмущений на объект.
Структура математической модели объекта (1) и формулировка задачи таковы, что позволяют использовать процедуру АКАР на основе конструирования параллельно-последовательной совокупности инвариантных многообразий [4, 5]. Поскольку стоит задача синтеза векторного регулятора, то на первом шаге вводятся в рассмотрения два инвариантных многообразия одновременно. С учетом
ах
того факта, что управление и1 воздействует непосредственно на 2/-т , а и2 воздействует на х5
через —У—т предлагается выбрать макропеременные вида
IX!- зад
^1 = х2 - х2 ; (2)
^2 = х6 +У( х5)-
Управления и1, и2 необходимо выбрать таким образом, чтобы изменения макропеременных ^1, ^2 подчинялись функциональным уравнениям
Т ¥. + ¥,. = 0, I = 12. (3)
С учетом выражений для производных
Ит
дх Ит
функциональные уравнения (3) в силу уравнений модели примут вид
/2 - Ъх2и1 = -—(х2 - х2а);
Т
У6 + Ъ1(7 ^н) - х6)и 2 +
хл(тн)
дУ( х5)
дх.
1
(/5 + С1 х6 + Щ2 - х5)и1) = - — (х6 + Лх5)).
Отсюда выражения для законов управления
и 1 = /2+.(х2 - хГ).
и 2 = -
( х6 +Г(х5) ^ (
Т2 Ъ1(/5 тн)
- х6)
Ъх2 Т1Ъх2
/ 6 ГдГ( х5) У5 + С! х6 + Щ 2 - х5)и1 Л
(6)
Ъ1(/“(тн) - х6)
дх5
Ъ1(/5тн) - х6)
Под действием управлений и1 , и2 изображающая точка объекта из произвольного начального состояния через некоторое время переместится в окрестность многообразий Ш1 = 0, Ш2 = 0, т.е. на многообразие пересечений
Ш1,2 = (х2 - х2ад ) - (х6 + 7(х5)) = 0.
Из данного уравнения выразим координату х6
х6 = (х2 - х2ад)-у(х5),
и подставив её в пятое уравнение системы (1), получим систему, описывающую движение объекта вдоль пересечения Ш12 = 0 под действием внутреннего управления у( х5)
= /1 - Ъх1и1;
ат
Их2
-т -х3
-т
Их4
-т Их5
-т
= У2 - Ъх2и 1;
= / 3 - Ъх3иг;
= / 4 - Ъх4и 1;
/5 + С, [ - [") - г(.х5)]+ Ч‘2 - х, )и,.
(7)
На втором шаге (последовательно) вводится в рассмотрение макропеременная Ш3
Ш = (х5 - х5зад),
(8)
отражающая технологическое требование к системе. Движение изображающей точки в окрестность Ш3 = 0 под действием управления у происходит в соответствии с функциональным уравнением
Т3 Ш3 + Ш3 = 0. Уравнение (9) в силу уравнений системы (7) примет вид
/5 + С1 [(х2 -хГ ) -У(х5)]+ ] - х5)и1 = -^(х5 - х^ад ).
Отсюда выражение для внутреннего управления
У(х5)=
(х5 - х") + С + (х - х2ад) +
Т3С1 С1
Ъ(12 - х5)и1
С,
(9)
(10)
Используя (10) можно в явном виде получить выражения для производной
дК х5)/
дх
. Подставив
полученное выражения, а так же выражение (10) в формулу (6) получим в явном виде закон управления температурой в аппарате.
Параметрами настройки закона управления являются величины Т1, Т2 и Т3. Значения этих параметров определяют время регулирования. Условия устойчивости замкнутой системы имеют вид Т1 >0; Т2 >0, Т3 >0. В этом можно убедиться подставив у(х3) из (10) в уравнение для температуры (81) 2 3 3
-х
зад зад
где х3 - постоянное значение. Решение данного уравнения имеет зату-
Т3
+ х3 = х3
Ит
хающий характер х3
=х
3 ,при Т3 >0.
В математическом редакторе МаШСАй было реализовано моделирование разработанной системы управления. На рис. 2 и рис. 3 представлены результаты компьютерного моделирования синтезированной системы при подаче возмущающих воздействий и изменении задания регулятору температуры для экзотермической реакции. При моделировании использовали следующие значения параметров модели объекта: Ур=213 л - объем рубашки; Ср=4,19 кДж/кгК - теплоемкость вещества в аппарате и входных потоках; р=1,2 кг/л - плотность вещества в аппарате и входных потоках; кт=13 кДж/м^мин^К - коэффициент теплопередачи; Р=4,66 м2 - поверхность теплообмена; АИ=10 кДж/моль -тепловой эффект реакции (на единицу вещества А);К10=20 мин-1, К20=20 мин-1, К30=500 мин-1, К40=800 мин-1 - предэкспоненциальный множитель константы скорости; Е1=20000 Дж/моль, Е2=25000 Дж/моль, Е3=45000 Дж/моль, Е4=50000 Дж/моль - энергия активации; САвх=1,1 моль/л - концентрация компонента А на входе; = 1,5 л/мин; Э2 = 0,5 л/мин; Зхл = 0,63 л/мин; 11=25 °С; 12=35
°С; ¡2 = 32,5 °С; х1 =0,1617 моль/л; х2 =0,619 моль/л; 1=70 °С; Т1=650, Т2=400, Т3=600 - настройки регулятора.
Рисунок 2. Переходные процессы фазовых координат и управлений при ступенчатом возму-
щающем воздействии Л СА =+0,12 моль/л для экзотермической реакции
зли
ЗЙОО
4800
600&
а)
*5
б)
Рисунок 3. Переходные процессы фазовых координат и управлений при изменении задания регулятору концентрации для а) экзотермической реакции, б) эндотермической реакции
В работе было рассмотрено использование метода АКАР для синтеза законов управления в химическом реакторе емкостного типа с мешалкой при проведении сложной реакции с обратимой первой стадией. Исследуемая система инвариантна к возмущениям и ковариантна с заданием.
