CC BY
30
ТРАНСПОРТНЫЕ СИСТЕМЫ
УДК 625
А.М. Кириллов, М.А. Завьялов
ФГБОУВПО «СГУ»
СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ ФИЗИЧЕСКОГО ИЗНОСА ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Показана возможность использования фазовой траектории процессов физического износа, ползучести и катастрофы «сборка» для определения критического момента времени, соответствующего началу катастрофического роста повреждений в системе. Получен альтернативный подход к описанию процессов физического износа и ползучести дорожного покрытия, заключающийся в сопоставлении кривой ползучести асфальтобетона, с кривой, соответствующей математической модели теории катастроф «сборка». Используемый синергетический подход дает возможность усовершенствования существующих и создания новых методов прогнозирования ресурса дорожных покрытий и оценки физического износа инженерно-технических сооружений.
Ключевые слова: физический износ, инженерно-техническая система, дорожное покрытие, синергетика, точка бифуркации, катастрофа «сборка».
В конструктивных элементах инженерно-технических систем с течением времени накапливаются дефекты и повреждения от влияния нагрузок и воздействия окружающей среды. Дефектами принято называть любые несоответствия нормативным документам, а повреждениями — любые нарушения сплошности структуры. Дефекты и повреждения приводят к снижению эксплуатационных свойств сооружений (несущей способности, водонепроницаемости, термостойкости и т.д.). События такого рода называют физическим износом. Другими словами, под физическим износом конструкций, технических систем, зданий и сооружений следует понимать потерю ими первоначальных, заданных и обеспеченных на всех стадиях строительства эксплуатационно-технических параметров (надежности, прочности, устойчивости) в результате воздействия техногенных и природно-климатических факторов при эксплуатации. Физический износ оценивается путем сравнения значений фактических эксплуатационно-технических характеристик и их расчетных (запроектированных) значений через признаки физического износа, выявленные в результате обследования.
Физический износ инженерно-технической системы можно представить как процесс эволюции нагружаемого материала под действием множества внешних и внутренних факторов, как процесс развития нелинейной динамической системы. При моделировании таких процессов задача поиска методов анализа решений соответствующих нелинейных уравнений динамики сплошных сред может решаться с помощью основополагающих идей синергетики.
Математическая модель, описывающая физический износ, в этом случае должна содержать [1]: 1) нелинейные динамические уравнения механики сплошных сред; 2) эволюционные уравнения, которые необходимы для описания скоростей, например, пластической деформации, накопления повреждений и т.п.; 3) положительные и отрицательные обратные связи между параметрами.
Нелинейные уравнения могут иметь множество качественно различных решений, что физически означает возможность различных путей эволюции системы. Особенностью нелинейных динамических систем при переходе их в неравновесное состояние является наличие крупномасштабных корреляций, выражающихся в самосогласованном (когерентном) взаимодействии частиц. Поэтому неравновесность и наличие неустойчивостей должны также быть и особенностью системы уравнений, применяемых при моделировании эволюции твердого тела при внешних воздействиях.
В динамической системе траектории частиц в фазовом пространстве могут быть как регулярными (при отсутствии взаимодействия между частицами), так и стохастическими (отражающими взаимодействие между частицами). Системы без взаимодействия между элементами ее структуры называют интегрируемыми, а при наличии взаимодействия — неинтегрируемыми.
Изменение качественной картины разбиения фазового пространства в зависимости от изменения параметра (или нескольких параметров) изучает теория бифуркаций. Бифуркация — приобретение нового качества эволюции динамической системы при малом изменении ее параметров. Бифуркация соответствует перестройке характера движения или структуры реальной системы. С математической точки зрения бифуркация — это смена топологической структуры разбиения фазового пространства динамической системы на траектории при малом изменении ее параметров. При изменении управляющего параметра состояние равновесия становится неустойчивым, возникают бифуркации. Важной чертой бифуркационных процессов является то, что в момент времени, когда система находится вблизи точки бифуркации, большую роль играют малые возмущения значений ее параметров [2, 3]. Такие возмущения могут иметь чисто случайный характер (флуктуации, шум) или быть целенаправленными. От этих возмущений зависит по какой эволюционной ветви пойдет система, преодолев точку бифуркации. До точки бифуркации поведение системы детерминировано, в самой же точке бифуркации решающую роль играет случай.
В каждом конкретном случае, в связи с физическими особенностями рассматриваемой системы, необходимо определиться с переменными, которые будут являться для нее параметрами порядка. Параметры порядка — это те факторы, от которых может зависеть поведение системы в целом и отдельных ее частей. Параметры порядка играют одну из ключевых ролей в концепции самоорганизации [4—6]. С определением параметров порядка сложность задачи описания поведения системы значительно понижается, так как описание поведения системы посредством описания отдельных ее частей заменяется описанием поведения только параметров порядка («информационное сжатие» [2, 3]).
Следует отметить, что параметр порядка, влияя на протекающие в системе процессы, сам испытывает обратное влияние со стороны частей системы, которые, по словам Г. Хакена, «генерируют параметр порядка своим коллектив-
ным поведением» [2, 3]. Эта круговая причинная связь известна как «обратная связь». Обратной связью принято называть воздействие результатов какого-либо процесса на интенсивность его протекания в системе (самовоздействие, саморегулирование), которое может осуществляться как с помощью внешнего по отношению к системе канала связи, так и с помощью процессов, протекающих внутри системы. Если интенсивность процесса в системе возрастает, то обратная связь называется положительной, если уменьшается — отрицательной.
При нагружении твердого тела переход деформационного состояния от упругого к пластическому осуществляется по бифуркационному сценарию. Таким образом, изучение механического поведения нагружаемого материала как системы должно быть связано с теорией динамических систем (или нелинейной динамикой), позволяющей анализировать генеральную линию эволюции динамических систем независимо от их физической природы. Все обсужденные выше свойства, присущие динамическим системам и определяющие синергетические явления в них, должны быть учтены в соответствующей системе уравнений. Это, таким образом, касается и системы уравнений, моделирующей деформационные процессы (включая также процессы накопления повреждений и разрушение).
Принципиальным для эволюции самоорганизующихся систем — систем, демонстрирующих (по Г. Хакену) «самопроизвольное обретение пространственной, временной или функциональной неоднородности» [2], является наличие диссипативных процессов. Это, например, диффузия, теплопроводность, конвекция, вязкость и др., а также важные для динамики нагружаемого материала процессы пластичности, накопления повреждений и разрушения. Именно нелинейные диссипативные процессы обеспечивают нелинейные связи в системе и регулируют в среде развитие неустойчивостей или переход к устойчивому равновесному состоянию, в зависимости от внешнего конкурирующего воздействия.
Следует подчеркнуть, что процессы самоорганизации возможны только в открытых системах, обменивающихся веществом, энергией или информацией с окружающей средой. Такой энерго-информационный поток в открытой системе, т.е. внешнее воздействие, заставляет систему интенсивнее диссипиро-вать подводимые возмущения и «являются связью в том смысле, что без него система эволюционировала бы к равновесию» [4]. Так, например, переход материала от упругого обратимого поведения к необратимому пластическому течению сопровождается резким увеличением диссипации (внутренний фактор), однако возникает такой переход вследствие локальной потери устойчивости под действием приложенных нагрузок (внешний фактор), т.е. в приведенном примере диссипация и приложенные напряжения и являются конкурирующими факторами. Конкурентная борьба идет между стабилизирующим воздействием диссипации (влекущего систему к равновесию и определяемого в деформируемом теле скоростью пластической деформации) и возмущающими дестабилизирующими факторами (провоцирующих на бифуркационное, хаотическое, неустойчивое поведение) — ростом напряжений в деформируемом материале и другими особенностями течения среды, продиктованными внешними воздействиями.
Для выполнения задачи моделирования в соответствующих уравнениях необходимо прописать положительные и отрицательные обратные связи, характеризующие конкуренцию в среде между стабилизирующим воздействием диссипативных процессов и стремлением системы к равновесному состоянию и дестабилизирующими факторами, приводящими к развитию неустойчиво-стей [7—11].
Таким образом, моделирование, описывающее эволюцию нагружаемой среды по синергетическим законам, должно опираться на систему нелинейных уравнений механики сплошных сред с учетом диссипации. Эволюционные уравнения в релаксационной форме должны учитывать конкурирующие процессы и наличие обратных связей.
Ведомственные строительные нормы ВСН 53—86 (р) для описания физического износа во времени различных (по функционалу, уровню сложности, протекающим физическим процессам и другим критериям) технических систем используют эмпирическую зависимость (рис. 1, а).
Рис. 1. Зависимость величины физического износа системы от времени эксплуатации (а) и фазовая траектория процесса износа, ползучести, катастрофы типа «сборка» (б). Время приведено в условных единицах
Такие теоретические кривые согласуются с наблюдениями организаций Москвы и Санкт-Петербурга, опубликованными в технической литературе1, и которые показывают, что опытные кривые имеют в средней части замедленный рост и значительный временной интервал [12]. Следует отметить, что в начальной части зависимости физического износа от времени (см. рис. 1, а) велика роль отрицательной обратной связи (диссипативные процессы как стабилизирующие факторы), а в конечной части — доминируют дестабилизирующие факторы (накопление повреждений), проявляющие себя как положительная обратная связь. Подобного рода зависимости имеют место и в научной литературе [8, 13]. Например, работа [13] посвящена диагностике и прогнозированию разрушения многомасштабных объектов.
Фазовые траектории процессов физического износа, ползучести и катастрофы «сборка» имеют вид, представленный на рис. 1, б, из которого можно видеть, что на начальном этапе рассматриваемых процессов имеет место преобладание отрицательной обратной связи (с ростом величины скорость роста убывает), а затем начинает доминировать положительная обратная связь (рост величины приводит к увеличению скорости роста). Момент времени соответствует началу катастрофического роста повреждений в системе.
Автомобильные дороги также являются сложными инженерно-техническими сооружениями и упомянутые выше методики могут быть применимы для оценки их физического износа. Например, в [14—16] приведены кривые деформирования асфальтобетона при испытании в режиме ползучести до момента разрушения, которые являются типичными для многих материалов (например, металлов) [17]. Многие авторы, занимались и занимаются разработкой математических моделей ползучести [18], решая, в т.ч. задачу аппроксимации экспериментально полученных кривых ползучести.
Перспективным для моделирования эволюции асфальтобетонного дорожного покрытия также является привлечение синергетической концепции [8] и аппарата теории катастроф. Проведенный авторами работы [19] анализ и сопоставление характера энергетических изменений в асфальтобетонном покрытии при его эксплуатации и видов поверхностей теории катастроф, а также видов зависимостей синергетического потенциала [8], исходя из принципа «мягкого моделирования» [20], позволил установить тип катастрофы. В данном случае это катастрофа типа «сборка», которая соответствует, в частности условному потенциалу:
Ж^) = ^4 - Ы2 + at, (3)
где а, Ы и с — управляющие параметры, зависящие от технологии строительства, типа и марки асфальтобетона, а также условий эксплуатации.
В выражении (3) слагаемое, содержащее ¿2, связано с «линейным поведением» системы. Отрицательный коэффициент Ы перед ¿2 определяет отрицательную обратную связь и отражает положительную роль внешних воздействий (например, уплотнение дорожного полотна под действием механической нагрузки со стороны транспорта) и внутренних процессов в асфальтобетоне (упорядочивание структуры). В выражении (3) слагаемое, содержащее I4, свя-
1 ВСН 53—86 (р). Правила оценки физического износа жилых зданий. М. : Госграждан-
строй СССР, Прейскурантиздат, 1988.
зано с «нелинейным поведением» системы. Положительный коэффициент с перед I4 определяет положительную обратную связь и отражает отрицательную роль внешних воздействий (например, усталостное растрескивание дорожного покрытия под действием механической нагрузки со стороны транспорта) и внутренних процессов в асфальтобетоне (старение асфальтобетона).
Если сравнить график зависимости (рис. 2), соответствующей математической модели катастрофы «сборка», с кривой ползучести асфальтобетона, то можно предположить, что использование этого типа катастрофы может быть перспективным для описания поведения кривой ползучести и, возможно, для выяснения смысла управляющих параметров а и Ь.
Рис. 2. Аппроксимация кривой ползучести асфальтобетона кривой, соответствующей математической модели теории катастроф «сборка»: Ь3 > Ь2 > Ь1 => > > /к1. Время приведено в условных единицах, так как реальные значения зависят от конкретной инженерно-технической системы
О влиянии управляющих параметров а и Ь на поведение кривых на рис. 2 можно сказать следующее:
1. Параметр Ь в зависимости, представленной выражением (3), определяет положение точки перегиба. Для асфальтобетонного покрытия этот период интерпретируется как основной период эксплуатации, на котором свойства изменяются незначительно. Увеличивая Ь можно «оттянуть» момент наступления катастрофического участка (катастрофический рост накопления повреждений). Это продемонстрировано на рис. 2, на котором видно, что увеличение Ь приводит к увеличению ^.
2. Управляющий параметр a определяет начальный этап развития системы. Чем больше a, тем быстрее идет процесс накопления дефектов на начальном этапе эволюции системы (на рис. 2 a3 > a2 > at).
3. Участок катастрофического роста повреждений малочувствителен к значениям параметров a и b (его наступление только можно отсрочить, увеличивая b), и здесь совершенно неважна «предыстория» покрытия: для всех покрытий динамика будет одинаковой, определяемой первым слагаемым выражения (3) (см. рис. 2).
Выводы. 1. Сравнение кривых физического износа сооружений и ползучести для асфальтобетона говорит об общности происходящих в этих системах процессах и при их описании можно пользоваться одинаковыми математическими и физическими моделями. Например, при описании физического износа используется логистическая эволюционная модель, которую, исходя из вышесказанного, можно применить и при описании процессов ползучести, старения (износа) асфальтобетонных дорожных покрытий.
2. Начиная с некоторого момента, процессы физического износа и ползучести начинают носить катастрофический характер (скорость накопления дефектов и необратимых изменений резко возрастает), что, в конце концов, приводит к разрушению системы. Аппарат теории катастроф позволяет в этом случае найти альтернативный и общий подход к описанию этих процессов. Например, сопоставление кривой ползучести асфальтобетона с кривой, соответствующей математической модели теории катастроф «сборка», служит аргументом в пользу перспективности такого подхода.
3. Проведенный анализ позволяет сделать заключение о возможности усовершенствования существующих и создания новых методов прогнозирования ресурса дорожных покрытий и оценки физического износа любых инженерно-технических сооружений.
Библиографический список
1. Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблемы моделирования // Физическая мезомеханика. 2005. Т. 8. № 6. С. 39—56.
2. Хакен Г. Информация и самоорганизация: макроскопический подход к сложным системам / пер. с англ. М. : Мир, 1991. 240 с.
3. Хакен Г. Синергетика: иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М. : Мир, 1985. 419 с.
4. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой / пер. с англ. А.Ю. Данилова ; под общ. ред. и послесл. В.И. Аршинова, Ю.Л. Климонтовича, Ю.В. Сачков. М. : Прогресс, 1986. 431 с.
5. Nicolis G., Prigogine I. Self-organization in nonequilibrium systems. New York : Wiley, 1977. 504 р.
6. Corning P.A. Synergy and self-organization in the evolution of complex systems // Systems Research. 1995. Vol. 12. No. 2. Pp. 89—121.
7. Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. М. : Наука, 1985. 480 с.
8. Олемской А.И., Коплык И.В. Теория пространственно-временной эволюции неравновесной термодинамической системы // Успехи физических наук. 1995. Т. 165. № 10. С. 1105—1144.
9. Zubarev D.N., Morozov V.G., Röpke G. Statistical mechanics of nonequilibrium processes. Vol. 1: Basic Concepts, Kinetic Theory. Berlin : Akademie Verlag, 1996. 376 p.
10. De Groot S.R., Mazur P. Non-equilibrium thermodynamics. Courier Corporation, 2013. 510 p.
11. Lebon G., Jou D., Casas-Vázquez ./.Understanding non-equilibrium thermodynamics. Berlin : Springer, 2008. 196 p.
12. Травин В.И. Капремонт и реконструкция жилых и общественных зданий. Ростов-н/Д. : Феникс, 2004. 251 с.
13. Куксенко В.С. Диагностика и прогнозирование разрушения крупномасштабных объектов // Физика твердого тела. 2005. Т. 47. Вып. 5. С. 788—792.
14. Кирюхин Г.Н. Термофлуктуационная и фрактальная модель долговечности асфальтобетона // Дороги и мосты. 2014. Т. 1. № 31. С. 247—268.
15. Uzan J. Viscoelastic-viscoplastic model with damage for asphalt concrete // Journal of materials in civil engineering. 2005. Vol. 17. No. 5. Pp. 528—534.
16. Gibson N.H., Schwartz C.W., Schapery R.A., Witczak M.W. Viscoelastic, viscoplastic, and damage modeling of asphalt concrete in unconfined compression // Transportation Research Record: Journal of the Transportation Research Board. 2003. Vol. 1860. No. 1. Pp. 3—15.
17. Радченко В.П., Саушкин М.Н. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упрочненных конструкциях. М. : Машиностроение-1, 2005. 226 с.
18. Дубровин В.М., Бутина Т.А. Моделирование процесса ползучести конструкционных материалов // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. № 9 (21). Режим доступа: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/material/960.html. Дата обращения: 15.03.2015.
19. Завьялов М.А., Завьялов А.М. Постстроительный период жизненного цикла дорожного асфальтобетонного покрытия: синергетические тенденции свойств материала // Строительные материалы. 2011. № 10. С. 34—35.
20. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. М. : Изд-во МЦНМО, 2004. 32 с.
Поступила в редакцию в марте 2015 г.
Об авторах: Кириллов Андрей Михайлович — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры организации сервиса и безопасности на транспорте, Сочинский государственный университет (ФГБОУ ВПО «СГУ»), 354000, Краснодарский край, г. Сочи, ул. Советская, д. 26а, kirill806@gmail.com;
Завьялов Михаил Александрович — доктор технических наук, доцент, профессор кафедры организации сервиса и безопасности на транспорте, Сочинский государственный университет (ФГБОУ ВПО «СГУ»), 354000, Краснодарский край, г. Сочи, ул. Советская, д. 26а, zavyalov.m.a@gmail.com.
Для цитирования: Кириллов А.М., Завьялов М.А. Синергетический подход к моделированию физического износа инженерно-технических систем // Вестник МГСУ 2015. № 5. С. 93—102.
A.M. Kirillov, M.A. Zav'yalov
SYNERGETIC APPROACH TO SIMULATION OF PHYSICAL WEAR OF ENGINEERING
TECHNICAL SYSTEMS
In course of time in structural elements of engineering technical systems defects and damages are accumulated, which is caused by loadings and environmental influence. The defects are any inconsistencies with normative documents, and damages are
discontinuances of structure. The defects and damages lead to decrease of operational properties of structures (their bearing capacity, waterproofing, thermal resistance, etc. The occurrences of such character are called physical wear.
In the article the authors show the possibility of phase trajectory use of the processes of physical wear, creep and cusp catastrophe for determinating the critical timepoint, corresponding to the beginning of the system damage catastrophic growth. The alternative approach to the description of the processes of physical wear and creep of pavement consisting in comparison of asphalt concrete creep curve and the curve of the mathematical model of cusp catastrophe, is received. The applied synergetic approach gives us the chance to improve the existing and create new methods of pavement resource forecasting and assessment of physical wear of any technical constructions.
Key words: physical wear, engineering technical system, road pavement, syner-getrics, bifurcation point, cusp catastrophe.
References
1. Makarov P.V. Nagruzhaemyy material kak nelineynaya dinamicheskaya sistema. Problemy modelirovaniya [The Loaded Material as Nonlinear Dynamic System. Modeling Problems]. Fizicheskaya mezomekhanika [Physical Mesomechanics]. 2005, vol. 8, no. 6, pp. 39—56. (In Russian)
2. Haken H. Information and Self-Organization: A Macroscopic Approach to Complex Systems (Springer Series in Synergetics). Springer, Softcover reprint of hardcover 3rd ed., 2006, 258 p.
3. Haken H. Advanced Synergetics. Instability Hierarchies of Self-Organizing Systems and Devices. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1983, 356 p. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-45553-7.
4. Prigogine I., Stengers I. Order out of Chaos. Man's New Dialogue with Nature. Bantam New Age Books; First Edition edition, 1986, 349 p.
5. Nicolis G., Prigogine I. Self-Organization in Nonequilibrium Systems. New York, Wiley, 1977, 504 p.
6. Corning P.A. Synergy and Self-Organization in the Evolution of Complex Systems. Systems Research. 1995, vol. 12, no. 2, pp. 89—121. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/ sres.3850120204.
7. Stratonovich R.L. Nelineynaya neravnovesnaya termodinamika [Nonlinear Nonequilibrium Thermodynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1985, 480 p. (In Russian)
8. Olemskoy A.I., Koplyk I.V. Teoriya prostranstvenno-vremennoy evolyutsii neravnoves-noy termodinamicheskoy sistemy [Theory of Existential Evolution of Nonequilibrium Thermodynamic System]. Uspekhi fizicheskikh nauk [Physics-Uspekhi (Advances in Physical Sciences)]. 1995, vol. 165, no. 10, pp. 1105—1144. (In Russian)
9. Zubarev D.N., Morozov V.G., Röpke G. Statistical Mechanics of Nonequilibrium Processes. Vol. 1: Basic Concepts, Kinetic Theory. Berlin, Akademie Verlag, 1996, 376 p.
10. De Groot S.R., Mazur P. Non-Equilibrium Thermodynamics. Courier Corporation, 2013, 510 p.
11. Lebon G., Jou D., Casas-Vázquez J. Understanding Non-Equilibrium Thermodynamics. Berlin, Springer, 2008, 196 p.
12. Travin V.I. Kapremont i rekonstruktsiya zhilykh i obshchestvennykh zdaniy [Overhaul and Reconstruction of Residential and Public Buildings]. Rostov-on-Don, Feniks Publ., 2004, 251 p. (In Russian)
13. Kuksenko V.S. Diagnostika i prognozirovanie razrusheniya krupnomasshtabnykh ob"ektov [Diagnostics and Forecasting of the Destruction of Multilarge-Scale Objects]. Fizika tverdogo tela [Physics of the Solid State]. 2005, vol. 47, no. 5, pp. 788—792. (In Russian)
14. Kiryukhin G.N. Termofluktuatsionnaya i fraktal'naya model' dolgovechnosti asfal'tobetona [Thermofluctuation and Fractal Model of Asphalt Concrete Durability]. Dorogi i mosty [Roads and Bridges]. 2014, vol. 1, no. 31, pp. 247—268. (In Russian)
15. Uzan J. Viscoelastic-viscoplastic Model with Damage for Asphalt Concrete. Journal of Materials in Civil Engineering. 2005, vol. 17, no. 5, pp. 528—534. DOI: http://dx.doi. org/10.1061/(ASCE)0899-1561(2005)17:5(528).
16. Gibson N.H., Schwartz C.W., Schapery R.A., Witczak M.W. Viscoelastic, Viscoplas-tic, and Damage Modeling of Asphalt Concrete in Unconfined Compression. Transportation Research Record: Journal of the Transportation Research Board. 2003, vol. 1860, no. 1, pp. 3—15. DOI: http://dx.doi.org/10.3141/1860-01.
17. Radchenko V.P., Saushkin M.N. Polzuchest' i relaksatsiya ostatochnykh napry-azheniy v uprochnennykh konstruktsiyakh [Creep and Relaxation of Residual Tension in the Strengthened Designs]. Moscow, Mashinostroenie-1 Publ., 2005, 226 p. (In Russian)
18. Dubrovin V.M., Butina T.A. Modelirovanie protsessa polzuchesti konstruktsionnykh materialov [Modeling of Creep Process of Constructional Materials]. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii [Engineering Journal: Science and Innovation]. 2013, no. 9 (21). Available at: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/material/960.html. Date of access: 15.03.2015. (In Russian)
19. Zav'yalov M.A., Zav'yalov A.M. Poststroitel'nyy period zhiznennogo tsikla dorozhno-go asfal'tobetonnogo pokrytiya: sinergeticheskie tendentsii svoystv materiala [Post-Construction Period of the Life Cycle of Road Asphalt Concrete Pavement: Synergetic Tendencies of Material Properties]. Stroitel'nye materialy [Construction Materials]. 2011, no. 10, pp. 34—35. (In Russian)
20. Arnol'd V. I. «Zhestkie» i «myagkie» matematicheskie modeli ["Rigid" and "Soft" Mathematical Models]. Moscow, MTsNMO Publ., 2004, 32 p. (In Russian)
About the authors: Kirillov Andrey Mikhaylovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Service and Safety Organization on Transport, Sochi State University (SSU), 26a, Sovetskaya str., Krasnodar Krai, Sochi, 354000, Russian Federation; kirill806@gmail.com;
Zav'yalov Mikhail Aleksandrovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Service and Safety Organization on Transport, Sochi State University (SSU), 26a, Sovetskaya str., Krasnodar Krai, Sochi, 354000, Russian Federation; zavyalov.m.a@ gmail.com.
For citation: Kirillov A.M., Zav'yalov M.A. Sinergeticheskiy podkhod k modelirovaniyu fizicheskogo iznosa inzhenerno-tekhnicheskikh sistem [Synergetic Approach to Simulation of Physical Wear of Engineering Technical Systems]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 5, pp. 93—102. (In Russian)
