Синергетические и эконометрические особенности процесса диффузии инноваций Текст научной статьи по специальности «Математика»

^(саНамшса-млтемлтШ'еасае

моуели^а&гНие

СИНЕРГЕТИЧЕСКИЕ И ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССА ДИФФУЗИИ ИННОВАЦИЙ

Л. А. СЕРКОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент E-mail: [email protected] Европейско-Азиатский институт управления и предпринимательства, г. Екатеринбург

Автор обосновывает вывод о том, что мультипликативный белый шум индуцирует закономерности инновационного процесса, характерные для явления «самоорганизованной критичности». Этот вывод получен в рамках синергетического подхода к исследованию процесса диффузии инноваций. Роль эконометрического анализа заключается в обнаружении длинной памяти во временных рядах инновационной активности.

Ключевые слова: синергетика, инновации, длинная память, временные ряды, авторегрессия.

Одной из распространенных нелинейных моделей экономического роста является модель распространения (диффузии) инноваций. Под диффузией инноваций понимается распространение, рассеивание по территории различных экономических инноваций, а именно: новых видов продукции, технологий, организационного опыта и т. п. Заметим, что моделирование инновационных процессов является необходимым для понимания природы и организации системного управления нововведениями. В работе А. И. Яблонского [5] высказано предположение о возможности использования ^-образных кривых (логистическая, Гомпертца, модифицированная экспоненциальная и др.) и уравнений типа Лотки—Вольтера для моделирования процессов технологического развития. Экспериментальные исследования [9, 3] показали, что процесс диффузии, выраженный в виде доли

выпуска продукции определенного технологического уровня или доли фирм, освоивших рынок новой продукции, также описывается логистической кривой или ее модификациями. Например, на рис. 1 показана динамика изменения показателя производительности ЭВМ в СССР с учетом эксплуатационных затрат, подчиняющаяся логистическим закономерностям [3]. На логистической кривой явно выражен скачок в середине 1960-хгг., определяющий смену технологических платформ (ламповые — полупроводниковые ЭВМ).

Ранее в рамках синергетического подхода при использовании формализма нелинейной динамики исследовалась стохастичность процесса диффузии инноваций и влияние на этот процесс такого системообразующего фактора, как взаимосвязь различных технологий [4]. Исходное уравнение для исследуемой модели инновационного роста в детерминированном случае записывается в виде

<х/ Л = Л(() + р ■ х(1 - х) -Р(?)х, (1)

где А (0 — относительная скорость появления новых участников инновационного процесса, в том числе и из других регионов в силу открытости системы;

х = х{1) — относительное число (доля) участников (компаний) региона, участвующих в инновационном процессе в момент времени £

р(р> 0) — постоянный коэффициент роста числа участников. Второй член уравнения учитывает взаимодействие компаний, участвующих в инно-

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жееРЪЯЪЪР^ЪЖЪК^

вационном процессе, и компании, еще не охваченных этим процессом. Это взаимодействие осуществляется путем технологического трансфера, т.е. передачей научно-технических знаний и опыта для оказания научно-технических услуг, применения технологических процессов, выпуска продукции. Последний член уравнения учитывает отторжение инноваций некоторыми компаниями по причине конкурентной борьбы между ними;

Р (0 — коэффициент отторжения

(Р (0>0).

В общем случае открытой системы параметры А (¡), Р (0 зависят от времени, и исследуемая система описывается неавтономным дифференциальным уравнением (1). Рассмотрим частный случай открытой экономической системы при постоянстве относительной скорости А (() = А и коэффициенте отторжения технологий р (0 = о при 0 < ^ < ¿0 и р (0 = р при г > ¿0, где ^>0 — момент возникновения конкурентной борьбы между участниками инновационного процесса. Вводя безразмерное время t' = t -р, уравнение (1) запишется в виде

сСх / Л' = а + у-х(1 -х)— х, (2)

где у = р / р, а = А / р. В дальнейшем будем опускать штрихи в уравнении (2) и называть переменную х инновационной активностью.

Возникновение инноваций всегда сопряжено со случайностями, так что параметр тренда у является флуктуирующим. Заметим, что этот параметр характеризует внутренние свойства инновационной системы. В предположении, что эндогенные флуктуации довольно быстры, параметр у заменяется стационарным случайным процессом у t + , где гауссов белый шум ^ имеет нулевое среднее

значение и интенсивность а-

.2.

(с ^) = 0, (С ^) ')) = а2 -1'). (3) Таким образом, стохастическое дифференциальное уравнение для инновационной активности (уравнение Ланжевена) запишется в виде

Сх / Л = / (х) + ст- я (х) ^), (4)

/(х) = а + у-х(1 -х) -х, я(х) = х(1 -х). (5) Учет флуктуаций параметра инновационного роста у приводит к наличию стохастического тренда на логистической кривой диффузии инноваций. Главным результатом, вытекающим из анализа стационарной плотности вероятности, определяемой

Рис. 1. Динамика изменения показателя производительности ЭВМ в СССР к с учетом эксплуатационных затрат [3]. Эмпирические данные обработаны сплайном, сохраняющим форму кривой

из уравнений (3—5), является то, что мультипликативный белый шум в уравнении (4) индуцирует закономерности инновационного процесса, характерные для явления «самоорганизованной критичности» [4]. В пользу самоорганизованной критичности свидетельствует наблюдающееся на практике лавинообразное протекание инновационных процессов в период замен одних технологий на более совершенные и приводящее к скачкам на логистических кривых (рис. 1). Кроме того, одной из закономерностей самоорганизованной критичности является наличие прерванного равновесия или перемежаемости, заключающееся во вспышках высокой инновационной активности, прерывающих состояние относительного покоя, когда ее уровень низок. Явление перемежаемости происходит в результате самоорганизации системы и приводит к наблюдающимся в реальной практике инновационным циклам (циклам Шумпетера).

Еще одной отличительной чертой систем, в которых наблюдается самоорганизованная критичность, являются степенные законы распределения вероятностей, т. е. статистические характеристики происходящих в них событий обыкновенно имеют

плотность вероятности вида р(х) -

-(1+е)

При этом

показатель 9 обычно лежит в диапазоне от нуля до единицы [2]. Степенное распределение имеют характеристики многих явлений, в том числе и научная продуктивность исследований, имеющая отношение к инновациям. О роли степенных законов и самоорганизованной критичности в эпоху инноваций говорится в работе Ф. Янсена [6]. Он

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жг0-ръ%ъ.'н'р?4?:ж'иъ4

отмечает, что приспособляемость организации к нововведениям является наивысшей как раз в области самоорганизованной критичности.

Наличие степенных законов распределения вероятностей связано с проявлением во временных рядах инновационной активности длинной (долгосрочной) памяти, характеризуемой корреляционной структурой высокого порядка. Длинная память — особая форма нелинейной динамики и для ее анализа требуется разработка новых нелинейных моделей оценки, учитывающих существование значимой автокорреляции в моментах высших порядков. Одной из таких моделей является модель из класса дробноинтегрируемых процессов ARFIMA, допускающая нецелый порядок интегрированности ряда. Поэтому представляет интерес исследование временных рядов инновационной активности на основе эмпирических данных с помощью моделей класса ARFIMA с целью обнаружения длинной памяти (long-range зависимости) в этих рядах и дополнения результатов синергетического подхода к процессу диффузии инноваций. Выявим longrange зависимость с помощью R/S статистики, предложенной X. Херстом [11]. В качестве эмпирических данных использовались месячные данные кооперационных соглашений между компаниями научно-исследовательского сектора. Источником информации являлась база данных «Кооперационные соглашения и технологические индикаторы» (САТТ), созданная Маастрихтским экономическим исследовательским институтом инноваций и технологий (MERIT).

Модели ARFIMA и R/S статистика. В общем случае класс параметрических моделей временных рядов может быть описан моделями вида ARIMA (р, d, q) (Autoregressive integrated moving average — авторегрессионная проинтегрированная модель скользящего среднего), которые моделируют различные ситуации, встречающиеся при анализе стационарных и нестационарных рядов. В частности, авторегрессионная модель, которая сокращенно обозначается AR (р) (autoregressiveprocess) порядка р, представима в виде

х, = Ф1X-1 + Ф2 X-2 + •••+ФХ p + a,

где ф1;ф2,...,фр —весовыекоэффициенты;

а — ошибка в виде белого шума.

В этой модели текущее значение ряда в момент t выражается через конечное число прошлых значений и величину возмущения а . Модель скользящего среднего (moving average) предполагает, что в ошибках модели в предшествующие периоды сосредоточена информация по всей предыстории

ряда. Такая модель порядка q запишется в виде

Xt=at-Qlat_l-...-Qqat_q, где 0р..., Q — весовые параметры.

Смешанные модели авторегрессии — скользящего среднего, т. е. модели ARMA (р, q), которые имеют следующий вид:

Ф( B) Xt = 0( B)at,

где ф(B) = 1 - J ф B ; 0(B) =1 + ]Г 0 .BJ - пом J=i линомы, представляющие компоненты процессов

AR и MA, соответственно;

фу., Qj— весовые коэффициенты;

B = Xt1 / Xt — оператор сдвига назад.

В нестационарном случае, проинтегрировав^ ûfpa3, получаем стационарный процесс, удовлетворяющий модели ARIMA (р, d, q) в виде

Ф (B)A dXt = 0( B)at, где Лd = (1 - B)d.

В последнее время значительный интерес проявился к временным рядам, которые можно охарактеризовать термином «временные ряды с долговременной корреляционной зависимостью (time series with long memory)» [8,10]. Существует несколько возможных определений этих рядов, но в основном они должны обладать медленно спадающей автокорреляционной функцией (АКФ) и иметь неограниченную спектральную плотность (СП) на низких частотах. Для описания таких рядов можно воспользоваться моделью, в которой, в отличие от модели ARIMA, показатель d принимает дробные значения. Рассмотрение значений d из интервала d е (-1/2,1/2) приводит к дробной авторегрессионной модели скользящего среднего порядков^, d, q, аббревиатура которой определяется как ARFIMA (р, d, q) (fractional — дробный). Характеристики таких временных рядов обладают важными свойствами. Например, ряд является стационарным и обратимым для d е (-1/2,1/2). Кроме того, положительная или отрицательная зависимости определяются знаком при параметре d, т. е. автокорреляционные коэффициенты процесса имеют тот же знак, что и d. Медленный спад автокорреляций объясняется тем, что при положительном d сумма последних сходится к бесконечности, а при отрицательном d — к нулю. При d< 1 автокорреляционные коэффициенты убывают намного медленнее (по гиперболическому закону), чем экспоненциально убывающие аналогичные коэффициенты для AR (р) процесса. При 0<ûf<0,5 процесс, описываемый моделью ARFIMA (р, d, q), обладает длинной памятью в том смысле, что автокорреляции не являются абсолютно суммируемыми: даже если они индивиду-

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жго7>ъЯ-Ъ.'Н?>?4'КЖЪ.Ъ4

53

ально не значимы, кумулятивный эффект отличен от нуля. Это стремление следовать существующим тенденциям отражает «память» рынка.

Как уже отмечалось, выявление long-range зависимости во временных рядах инновационной активности осуществлялось с помощью Л/^статис-тики [11]. Она определяется размахом частичных сумм отклонений ряда от его среднего, деленного на его стандартное отклонение

Я =1 sn[max-Хи) -min-X„)], j=i j=i гдеXj,X2,...Xn - наблюдения,

n

Xn = 1/ n^ Xi — арифметическое среднее наблюдений, i=j

Q.n > 0 и sn — обычная оценка стандартного

отклонения, sn2 = 1/n^(Xj - Xj)2.

j=j

Также величина d связана с экспонентой Хер-ста Нмз регрессии ln(R /S)n = ln С + Н • ln п равенством Я=^+0.5[10]. n

Для учета автоковариаций в процессах с длинной памятью Э. Ло [13] предложил заменить величину sn в знаменателе Д/^статистики О.n более сложной суммой, учитывающей взвешенные авто-ковариации вплоть до лага q и имеющей вид:

^n (q) = 1/«£ (Xj - Xn )2 +

j=j

+2/®j (q)[ J (Xi - Xn)(XM - Xn)],

j=1 i=j+1 где веса та вычисляются как

® j (q) = 1 - j /(q+1), q < n.

Новую статистику, где sn заменено чп (q), будем обозначать через Q.n. При анализе временных рядов в качестве нулевой гипотезы будет выступать краткосрочная зависимость, а в качестве альтернативной — long-range зависимость. При выборе лага q обычно руководствуются правилом Л. Эндрюса, основанном на свойстве наблюдений ряда [7].

Э. Ло показал, что асимптотическое распределение стандартизованной статистики

Vn = 1/4n-Qn сходится по распределению к случайной величине V, функция распределения которой явно найдена в работе Д. Кеннеди [12]:

да

FV (v) = 1 + 2^ (1 - 4k V) exp(-2 • k2). Таблицукрити-

k=1

ческих значений этого теста можно найти в работе Э. Ло [13]. Интервалы при различных уровнях значимости, при попадании в которые статистики F нулевая гипотеза о краткосрочной зависимости не отвергается, будут следующими: 1 % — (0,721; 2,098),

5%-(0,089; 1,862), 10%-(0,861; 1,747). Заметим, что наличие длинной памяти во временных рядах обменных курсов с помощью модифицированной R/S-статистики Э. Ло ранее анализировалось П. В. Конюховским и О. А. Подкорытовой [1].

Эмпирические исследования временных рядов инновационной активности. В качестве эмпирических данных исследования временных рядов инновационной активности использовались месячные данные кооперационных соглашений между компаниями научно-исследовательского сектора. Источником информации являлась база данных «Кооперационные соглашения и технологические индикаторы» (САТ1), созданная Маастрихтским экономическим исследовательским институтом инноваций и технологий (MERIT) [14]. Основными методами формирования этой базы данных являются обследования фирм и обследования на основе литературных источников. В последнем случае информация о промышленных альянсах собирается на основе обзоров газетных и журнальных статей, специализированных книг и журналов, а также ежегодных отчетов корпораций и промышленных справочников.

В качестве эмпирических данных использовались месячные данные кооперационных соглашений между компаниями сектора высоких технологий (HIGH-TECH SECTOR) и агрегированные данные по кооперационным соглашениям между компаниями всех научно-исследовательских секторов (TOTAL SECTOR).

Аналогичный процесс роста кооперационных соглашений с целью выбора и оценки подходящей модели временного ряда уже исследовался [16]. При этом оценивались модели из общего класса моделей с линейным трендом в комбинации с авторегрессионными слагаемыми, то есть с детерминированным и стохастическим трендом. Один из классов этих моделей описывается уравнением

р = а + ф, • P, + £ ф, (P_j+1 - Pt)+р • t+a,, (6)

j=2

где t представляет линейный временной тренд; а, Р — фиксированные параметры; Pt—число кооперационных соглашений между компаниями различных научно-исследовательских секторов в момент времени t\

фг..фу.— коэффициенты авторегрессии различных порядков;

at — случайная составляющая. При этом отличие переменной Pt от инновационной активности заключается в том, что последняя является нормированной переменной (деленной на

54

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгбРЪЯЪ'НР^'Х'ШЪ'^

800

,= ТОО

600

500

400

300

200

г 100

I960

1964

1968

1972

1976

1984

1988

1992

1996

1988 год

Рис. 2. Рост кооперационных соглашений между компаниями сектора высоких технологий (пунктирная линия) и между компаниями всех научно исследовательских секторов (сплошная линия) в период с 1960 по 1998 гг.

максимальное значение кооперационных соглашений). Модели временных рядов, содержащие лишь линейный детерминированный тренд фг..фу. = 0 в уравнении (6), неадекватно описывают эмпирические данные. Адекватное описание эмпирических данных (на основании статистики Дарбина-Уот-сона) наблюдается лишь для моделей, содержащих стохастический тренд. Кроме того, тест для проверки единичных корней (тест Дики—Фуллера) однозначно выявляет нестационарность процесса, описываемого уравнением (6), связанную с наличием стохастического тренда [16], и наличие единичного корня, т. е. процесса 1(1) (при этом стационарный процесс и отсутствие единичного корня может быть описан как процесс 1(0)).

В дальнейшем будем оперировать рядами приращений числа кооперационных соглашений между компаниями (Р1 — При этом отметим, что широко используемый тест Дики—Фуллера (и расширенный тест Дики—Фуллера) на наличие

единичных корней обладает малой мощностью и плохо отличает 1(1) процессы от 1(ф процессов с й<1. Предпочтительным является тест Квятковского-Филипса—Шмид-та—Шина (КР88), имеющий нулевую гипотезу о стационарности. Рассмотрение при этом тестировании проводится в рамках модели: Ряд = Детерминированный тренд + Стохастический тренд + Стационарная ошибка.

Стохастический тренд представляется случайным блужданием, и нулевая гипотеза предполагает, что дисперсия инноваций, порождающая это случайное блуждание, равна нулю. Альтернативная гипотеза соответствует предположению о том, что эта дисперсия отлична от нуля и анализируемый ряд принадлежит к классу нестационарных рядов I (ф. При этом нулевая гипотеза предполагает два вида стационарности: в отсутствии и при наличии тренда. Следует иметь в виду, что процессы I (ф с d<0,5 также являются стационарными (как и процессы 1(0)). В связи с этим мощность теста КР88 может оказаться недостаточной для разделения этих процессов, особенно при небольшом количестве наблюдений (примерно менее 800-1 000).

Процедура КР88-теста выполнялась с использованием программного пакета ОгеИ 1.8.1. В табл. 1 приведены результаты расчетов по КР88-тесту при различных значениях лаговой переменной / для двух временных рядов. В скобках указаны критические значения этого теста для 5-процентного уровня значимости, а полужирным шрифтом выделены эмпирические статистики, значимые на

Таблица 1

Результаты КРвв-теста для временных рядов кооперационных соглашений между компаниями сектора высоких технологий и компаниями всех научно-исследовательских секторов

HIGH-TECH SECTOR TOTAL SECTOR

Приращения числа кооперационных const /=3 0,203 (0,463) Приращения числа кооперационных const /=3 0,483 (0,463)

соглашений между компаниями х 1=6 0,287 (0,463) соглашений между компаниями 1=6 0,445 (0,463)

1= 10 0,245 (0,463) (У) 1= 10 0,423 (0,463)

const+trend /=3 0,225 (0,146) const+trend /=3 0,321 (0,146)

1=6 0,164 (0,146) 1=6 0,160 (0,146)

1= 10 0,140 (0,146) 1= 10 0,149 (0,146)

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жго7>ъЯ-Ъ.'Н?>?4'К'ШЪ.Ъ4

55

Таблица 2

Значения статистики Vn = 1/ V« -Qn(q, n)

q x У

0 2,2345 2,5433

5 2,1209 2,3432

10 1,9877 2,2211

15 1,798 2,0123

20 1,7654 1,9878

25 1,6543 1,9021

30 1,5976 1,8023

этом уровне. Через х обозначен ряд приращений для процессов HIGH-TECH SECTOR, ачерез j-ряд приращений для процессов TOTAL SECTOR.

Приведенные расчеты позволяют сделать вывод о том, что свойства рядов зависят от выбора варианта нулевой гипотезы (о чистой стационарности или о стационарности с точностью до тренда). Кроме того, на свойства рядов влияет и выбор лаговой переменной.

Однозначный вывод можно сделать лишь для ряда HIGH-TECH SECTOR: при выборе нулевой гипотезы в виде чистой стационарности этот ряд при всех лаговых переменных является стационарным. С меньшей долей вероятности то же самое можно сказать и о ряде TOTAL SECTOR. Для обоих видов рядов справедливость гипотезы о стационарности с точностью до тренда и возможность описания этих рядов процессом вида 1(d) остается под вопросом.

Таким образом, мощность KPSS-теста оказывается недостаточной для разделения процессов I (0) и I (d) при заданном количестве наблюдений.

Список литературы

Для более однозначных выводов о наличии в исследуемых рядах длинной памяти протестируем эти ряды с помощью модифицированной R/S-статис-тики Э.Ло, описанной ранее.

Расчет R/S-статистики проводился в п/п Matlab. Результаты расчета при различных значениях лагов приведены в табл. 2. Полужирным шрифтом выделены те значения, при которых на 5-процентном уровне значимости принимается альтернативная гипотеза о наличии длинной памяти в анализируемых временных рядах.

Таким образом, расчет модифицированной R/S-статистики Э. Ло подтверждает вывод о наличии длинной памяти во временном ряде, описывающем процессы в TOTAL SECTOR. Для ряда, описывающего процессы в HIGH-TECH SECTOR, свойство длинной памяти проявляется лишь при расчетах с небольшим числом лагов, что связано с уменьшением мощности теста с ростом числа лаговых переменных.

Нарастание активности в использовании информационных технологий и Интернета убеждает, что прежнее мышление на основе старых экономических парадигм больше не является надежным. Нелинейное поведение экономики становится все более очевидным. В результате прежняя парадигма менеджмента устарела. Возникла необходимость в разработке новых приемов менеджмента, основанных, в том числе, на нелинейном поведении инновационных процессов. Поэтому исследование нелинейных процессов в экономике и факторов, влияющих на них, особенно актуально. При этом нелинейный и эконометричес-кий подходы должны дополнять друг друга.

1. Конюховский П. В., Подкорытова О. А. «Длинная память» в обменных курсах //Вестник СПбГУ, 2007.

2. Малинецкий Т. Т., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика. Подходы, результаты, надежды. М.: КомКнига, 2006.

3. Полтерович В. М., Хенкин А. А. Диффузия технологий и экономический рост. М.: Наука, 1988.

4. Серков Л. А. Синергетические аспекты моделирования социально-экономических процессов. Екатеринбург: ИЭ УрО РАН, 2008.

5. Яблонский А. И. Математические модели в исследовании науки. М.: Мысль. 1986.

6. Янсен Ф. Эпоха инноваций. М.: Инфра—М, 2002.

7. AndrewsD. Non-Strong MixingAutoregressive Processes // Journal ofProbability. 1984. №21.

8. Granger C. W.J., Joyeux R. An Introduction to Long Memory Time Series Models and Fractional Differencing // Journal of Time SeriesAnalysis. 1980. № 1.

9. GrublerA. Time for a Change: On the Pattern of Diffusion of Innovation //Daedalus, 1996. № 1.

10. Hoskins J. R. MFractional Differencing // Biometrica. 1981. № 68.

11. H.T. Hurst. Longterm Storage CapacityofReservoirs//Transactions oftheAmerican Society ofCivilEngineers. 1951. № 116.

12. KennedyD.P. The distribution ofthe maximum Brownian excursion // JournalApplied Probability. 1976. № 13.

13. LoA. W. Long-termmemory in StockMarket Prices //Working Paper, Sloan School ofManagement. 1988.

14. Maastricht Economic and Social Research and training centre on Innovation and Technology. URL: http://www. merit, unu. edu/library/databases. php.

15. Millen S., Beard R. Estimation of the Hurst exponent for the Burdekin River using the Hurst-Mandelbrot Rescaled Range Statistic: Working paper on the University of Queensland. 2003.

16. Hagedoorn J., Kranenburg H. Growth patterns in R&D partnerships: an exploratory statistical study // International Journal

56

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жвбръяъър^кжък^