О методах оценивания длинной памяти финансовых временных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

13 (37) - 2010

математические методы анализа в экономике

О МЕТОДАХ ОЦЕНИВАНИЯ ДЛИННОЙ ПАМЯТИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Е. ю. ЩЕтинин,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики, ведущий научный сотрудник Всероссийского научно-исследовательского института по проблемам гражданской обороны и чрезвычайных ситуаций МЧС России

E-mail: Riviera-molto@mail. ru Московский государственный технологический

университет «Станкин»

В работе исследованы свойства длинной памяти временных рядов стоимостных показателей финансовых активов. Для моделирования таких процессов использованы модели авторегрессии дробно-интегрированного скользящего среднего, являющиеся наиболее успешными среди подобных моделей. Проведены обзор методов оценивания параметров таких моделей и анализ их основных достоинств, предложен новый метод, позволяющий устойчиво оценивать параметр длинной памяти для нестационарных рядов, содержащих полиномиальный тренд.

Ключевые слова: длинная память, дробно-интегрированные процессы ARFIMA, периодограмма, метод Уиттла.

Временные ряды с долговременной памятью привлекают возрастающее внимание исследователей в таких областях экономики и финансов, как макроэкономические показатели, структура финансов, международные рынки валюты и др. Одной из наиболее успешных математических моделей этих процессов стали так называемые дробно-интегрированные процессы I (А), являющиеся некоторой обобщенной промежуточной стадией между белым шумом I (0) и процессами единичного корня 1(1). По своим свойствам они позволяют успешно моделировать долговременную память в различных областях, содержащих подобное явление [1, 7, 8, 11, 12, 14].

Процессы с длинной памятью впервые были исследованы английским инженером Гарольдом Херстом при изучении притоков Нила и оптимальных размеров резервуаров воды. До начала 1950-х гг. модели, традиционно использовавшиеся в гидрологии, предполагали, что притоки и оттоки рек являются независимыми во времени или по крайней мере слабо зависимыми. В этих условиях изучение истории уровней воды не привносило никакой полезной информации для понимания будущего поведения реки. Другими словами, эффект шока, произведенный, например, крупным паводком, должен был быстро исчезать, не оказывая влияния на изучаемый ряд.

В этом случае мы говорим о нулевой памяти (полная зависимость) или о короткой памяти (слабая зависимость между наблюдениями и краткосрочная зависимость). Херст показал, что эти модели в значительной степени недооценивают сложности гидрологических колебаний, а изучение предшествующих уровней воды предоставляет крайне ценную информацию относительно будущего поведения реки.

Таким образом, впервые было обнаружено то, что французский математик Бенуа Мандельброт назвал «крайне странной корреляционной структурой». Визуальный анализ выявляет медленное убывание автокорреляции ряда, остающееся при

финансовая аналитика

проблемы и решения

этом положительным для всех лагов. Известно, что корреляционная структура такого вида может быть свидетельством нестационарного ряда, однако рассмотрение первых разностей ряда (дифференцированного ряда) с длинной памятью приводит к выводу о его возможном передифференцировании. Кроме того, проведение статических тестов демонстрирует, что такая структура может принадлежать и стационарному ряду.

Необходимо отметить, что понятие длинной памяти является промежуточным между понятиями короткой памяти и бесконечной. Это замечание приобретает особую важность, поскольку зачастую оказывается затруднительным проведение жесткого разграничения между этими типами поведения временных рядов, в особенности в случае рассмотрения экономических данных.

В случае с короткой памятью эффект шока не оказывает влияния на поведение анализируемого ряда в долгосрочном периоде. Напротив, для ряда, характеризующегося бесконечной памятью, эффект шока сказывается на всех без исключения будущих значениях данного ряда.

В промежуточном случае наличие во временном ряде эффекта долгосрочной памяти приводит к крайне длительным, но не перманентным последствиям шока. Они не являются постоянными в том смысле, что рано или поздно ряд вернется к своему равновесному уровню (такой уровень часто называют нормальным или естественным), тогда как ряд с бесконечной памятью никогда не возвращается к равновесному уровню после произошедшего шока.

Это разграничение становится особенно важным при изучении финансовых рынков. В 1990-е гг. появилось множество исследований, посвященных использованию длинной памяти в макроэкономических и финансовых приложениях. Пионерские работы [3, 4, 8, 12, 13 и др.] показали возможность повышения качества прогноза показателей доходности финансовых активов, демонстрирующих эффекты длинной памяти на основе предложенных ими моделей линейных дробно-интегрированных процессов ЛБ^ША. В дальнейшем эти идеи были развиты в моделировании процессов стохастической волатильности и успешно применены в расчетах стоимостных показателей производных инструментов (опционов и т. д.).

Так, Т. Боллерслев и Х. Миккельсен [2] показали , что цена опциона возрастает вместе со степенью интегрирования. Это означает, что GARCH модели дают нижнюю (наименьшую) цену, тогда как

IGARCH модели дают ее верхнее (максимальное) значение.

Определение длинной памяти. Стохастический процесс называется процессом с длинной памятью, если его спектральная плотность удовлетворяет следующим свойствам:

/(X)~ а1 |Я|-2а при X ^0 , (1)

, ( 11

где а е I -—,— | — некоторый показатель длинной

памяти. Также можно дать определение длинной памяти с использованием автоковариационной функции у (т):

у(т)~ а2 |т| 2а при т^-<х> .

Для характеристики длинной памяти Х1 вводится следующий показатель

а=н - у2, (2)

что связано напрямую с параметрами некоторых моделей таких процессов, описание которых впереди.

Модели временных рядов с длинной памятью. Рассмотрим некоторые примеры процессов с длинной памятью и модели, их описывающие. Необходимо уточнить, что в дальнейшем мы будем говорить только о линейных и стационарных процессах, обладающих длинной памятью. Нелинейные модели будут предметом отдельного исследования.

Гауссов процесс. Он имеет длинную память, если (и только если) его автоковариационная функция имеет вид (1) с показателем Херста 2 — 2Н, 1/2 < Н < 1. Линейный процесс

х, = X а 8<-1, Xа2 < ю {е<} -

¡е2

последовательность

независимых одинаково распределенных случайных величин. Если — гауссов белый шум, тогда X }является гауссовым. Достаточным условием длинной памяти является условие а1 = I (1) 1 -а-1/2, а е (0,1/2), I(у) — медленно меняющаяся функция на бесконечности. Тогда Х1 обладает длинной памятью с показателем Херста Н = а+1/2 .

Фрактальный гауссовский шум. Этот процесс определяется как Х1 = Вн (,)- Вн (, -1),, е К и имеет автоковариационную функцию в следующем виде:

соу(Х,,X,) = 2 (, - -1|2Н +|, - + 1|2Н -21, - 2Н )

~ н (н - У2\1 — А2(Н— 1)1 при , - .

Тогда процесс Х1 имеет параметр длинной памяти а = Н -—.

2

Фрактальное броуновское движение.

(Вн (з),Вн (,))= 1 (,

- .. ,2н I |2н _ | |2н

= -( +Ы -2-3

Авторегрессионная модель дробно-интегрированного скользящего среднего. Прекрасной математической моделью процесса с длинной памятью является предложенная в работе [12] линейная авторегрессионная дробно-интегрированная модель скользящего среднего АЯЕ1МА( р, й, являющаяся обобщением линейной авторегрессионной интегрированной модели скользящего среднего ЛШМЛ (р,ф [5]. Говорят, что процесс Х1 является авторегрессионным порядка р проинтегрированным процессом I (А) порядка А скользящего среднего порядка q, если имеет место следующее его представление:

(1 -1= е,, , = 1,...,Т , ф(Ь)е, = ®(Ь)п,, Ф(Ь)е, =0(L)п, , п, ~ N(0,а2). ф(Ь)(1 - ь)йх, =е(Ь)п,, (3)

где L — оператор обратного сдвига = Х-л),

ф(ь )=1 -ф1ь -...-фp¿p, е(1 )=1 -ехь -...-еди .

Оператор L называется лаговым, и процесс е, является процессом с короткой памятью, т. е. 1(0). Параметр А подразумевается в этом случае дробным

числом из области

1 1

2' 2

. Оператор (1—L)d имеет

следующее разложение в ряд:

(1 - B )д =Х

j=0

r(j - d )

Г(-Д )r(j +1)

Bj

где r(z)= J tz 1e 'dt — гамма-функция. Автокорреля-

0

ционная функция такого ряда имеет вид

= Г(1 -d)Г(к + d) Г(1 -d) 2

Рк = r(d )г(к+1 - d ) r(d)

при к

этого положим у, ~ ЛЯПМЛ (р, А, q) с й е (-12, .

Затем определим процесс х, = Еу} . Определенный таким образом х1 является'йестационарным ЛШМЛ (р, А +1, ф.

Заметим, что представление (3) может быть достигнуто двумя различными путями, которые оказывают в дальнейшем важное влияние на характер асимптотического поведения х. Первый способ состоит в том, чтобы представить процесс

у, в следующем виде:

1 <»

у, = Еп(-й )е<-*, Уо = 0 при х < 0.

5=0

ад

(1 - г ) = £п(й у,

]=0

п V (ё ЬП^.

1=1 1

Процесс имеет длинную память при й е (0,12) и персистентен при й е (- ^, 0). Тогда, как показано в работе [8],

[ir ]

1 ,Е * ® Bd (r),

1

si2

+d 'м1

где Вй (г ) — фрактальное броуновское движение первого типа, определяемое следующим образом [15]:

¥

Bd(r )MFad+){(r - s)"dB (s)+ i о

+rab)/lar- s)d--)Д 1dB w,

для d e .

В этом случае процесс Xt является стационарным. При d м 0 процесс имеет короткую память. По существу это белый шум I (d = 0). Случай d

е (-У2,0) представляется достаточно редким и описывается как свойство антиперсистентности

ряда. Для d е (^'О X является нестационарным процессом, требующим дополнительных исследований и обработки. При d м 1 процесс Xt следует процессам единичного корня. При d е | 1,3 процесс является нестационарным, и требует^:

либо его приведение к стационарному ряду, либо применение специальных процедур оценивания d, инвариантных к тренду.

Модель (3) можно легко обобщить на случай Д е (-у2,<ю) (Dolado, Gonzalo, Mayoral, 2002). Для

где В (я) — обычное броуновское движение.

Второй способ добиться необходимого условия представления (1) состоит в усечении процесса е,, чтобы переопределить представление через процесс у* в следующем виде:

'-1

У'

м е ps а-д d)et—s1 {'- s > 1}=Е ps а-д у

'-s

5=0 5=0

где I — индикатор-функция. Для представления (2) справедливо в соответствии с работой [12]

1 [Тг]

-Л- Е у* ^ ъ (г),

аТ2 ,=1

где (г) — фрактальное броуновское движение второго типа, определяемое как

1 r

Wd (r )меаД1+1)/(r - s)ddB (s).

Г(й +

Методы оценивания параметра длинной памяти.

Среди различных методов оценивания параметра

финансовая аналитика

проблемы и решения

¥

d наибольшее распространение получили два подхода: периодограмма и локальная оценка Уитлла [12, 13]. Периодограммой временного ряда {х}, , = 1,..., Т называется

2

I = I (1 ) =

1

2рТ

Е

?=1

xte

itlj

(4)

2ni

где X, = ^т, 1 ^ i < m , где m — число-ортант периодограммы, включаемое в периодограмму таким образом, что оно растет медленнее, чем размерность выборки m ^ 0. Оценка Портера — Худака

основана на оценке метода наименьших квадратов уравнения линейной логарифмической регрессии следующего вида:

log ( (X ))= г + dlrRi + £,

где R, = log [4 sin2 {^y^j j. Для оценки (4) справедливо выражение -Im (dlf - d )~ N {0,24j.

Стандартная ошибка оценки составляет X/54m.

Оптимальный выбор значения m согласно работе [9] составляет

27 j-15 1

512п2

4/ -T'5

(5)

Rd (diw - dN [ 0,4 I для

11 2'2

метод оценивания GPH. Более того, она является робастной в условиях гетероскедастичности [15, 10]. Практическое применение разработанного метода упирается в оптимальный выбор значения ширины спектральной области суммирования, т. е. величины т *, выбор которой определяется соотношением вариации оценки (5) и ее смещением.

Остановимся на этой проблеме более подробно. Как известно, выбор излишне большой или малой области влечет излишне большую смещенность, и, соответственно, вариацию оценки (6). Например, для нахождения баланса в соотношении этих показателей в труде [10] оптимальное значение т* предлагается выбирать в следующем виде:

*

m =

4п

4/ (

/5

л25

t +

12

4

T/5

Хотя, как правило, количество гармоник периодограммы выбирается фиксированным, в работе [10] предложен итерационный алгоритм нахождения оптимального значения т *, базирующийся на методе минимизации среднеквадратичной ошибки оценки:

с1{к) = а^ттБ (т"к) , d),

Метод локальной оценки Уиттла основан на минимизации логарифмической функции максимального правдоподобия в спектральной области в следующем виде:

2а.

m

(к+1) ={

I 4п

,(к)

е* +-

12

4/ Т/5

для

1 1

2'2

и на-

R(d )= log (G(d ))-—X log (X j), m j=1 1 m

где G (d ) = m Е l)dly (j. j=1

Была предложена и локальная оценка Уиттла, в которой суммирование производится не по всей области частот. Вместо этого полагается, что m ^ да несколько медленнее, чем размерность выборки

T ^ да, так что — + m ^ 0 при T ^ да . m T

Тогда локальная оценка Уиттла имеет следующий вид:

dlW = argmin (de[dbd2 ]R (d)). (6)

Робинсон доказал [6], что при определенных условиях справедливо выражение:

чального значения т{ = Т5. (7)

В случае модели ЛБГШЛ параметр 9* может быть приближенно выбран согласно работе [6] как

= Ш

е* =

2 fx (0)

, где fx (X) — спектральная плотность

АБМА-процесса. Также в этом труде показано, что эффективная оценка для этого параметра может быть на оценке регрессии методом наименьших квадратов:

I (К 1 )=Х ^ к

к=0

п + £ ■,

Гк j

X ,

ф 0 +ф 1X j + ф 2 ~2"""

2 Л

Этот результат может быть расширен до d < 0,75; более того, оценка (5) остается состоятельной и при d < 1 . Она довольно распространена на практике, поскольку более эффективна, чем

„ ч 1 - ехр (¡К 1)

2кк (а)= ^ 1

I (К1 )= |1 - ехр (¡К1)

у = 1, ..., т(о>.

Значит, оценками /' (0) и /х (0) являются ~0 и ср2 соответственно, так что величину 9* в (7) можно заменить на 9* ~2 / 2~0 .

Существенной проблемой при оценивании параметра d является определение типа стационарности исследуемых данных. Как правило, для

3

1

m

_2

t

4

этих целей применяется широкии класс известных критериев на стационарность и единичные корни. Однако их мощности не всегда достаточно для того, чтобы с высокой надежностью выявить наличие дробно-интегрированных процессов и, соответственно, долговременной памяти.

Применительно к I (d) процессам проблема

состоит в выборе й >1 или d < 1/2, так как I (й)

2 , 1 являются нестационарными, когда й >— .

В работе [16] предложен новый метод оценки й, так называемый метод точной локальной оценки Уиттла (ЕЬЩ, позволяющий получить оценку й вне зависимости от области стационарности процесса. ELW-оценка является состоятельной и имеет нормальное распределение N (0; 1/4) для всех значений й, если процедура оценивания покрывает интервал значений й не менее чем 9/2 и известно математическое ожидание.

Однако, как правило, математическое ожидание экономических временных рядов неизвестно и представляет собой полиномиальные тренды, которое довольно сложно выделить. В результате исследований доказано: во-первых, если неизвестное математическое ожидание заменить на среднее выборки, ELW-оценка сохраняет состоятельность при й е| 1,1

ванный таким образом двухшаговый ELW-метод, использующий функцию тейпирования на первом шаге, имеет предельное нормальное распределение N(0,1/4), а получаемые с его помощью оценки являются состоятельными для d > -1. Рассмотрим

некоторые примеры применения разработанного метода к исследованию финансовых временных рядов на предмет обладания ими длинной памяти.

Исследование эффектов длинной памяти в финансовых временных рядах. В этом разделе автор попытается продемонстрировать эффективность применения рассмотренных выше методов для оценивания длинной памяти различных экономических показателей, таких как инфляция, стоимость золота, фондовый индекс NASDAQ. На рис. 1 приведены результаты оценивания параметра длинной памяти различными методами для искусственных данных, полученных с помощью модели ARFIMA (0,d, 0).

Анализ приведенных данных показал, что наилучшим методом для стационарных процессов является вейвлетный метод. Однако применение его для нестационарных процессов, содержащих линейный тренд, дает неудовлетворительные результаты (рис. 2).

Однако, оказалось, что разработанный улучшенный двухшаговый метод локальной оценки

и асимптотическую

нормальность; во-вторых, если неизвестное математическое ожидание заменить на начальное значение процесса, тогда Е/Ж-оценка состоятельна для й > 0 и асимптотически нормальна для й е (0,2), но при этом требуется наложить более строгие ограничения на число используемых компонент периодограммы, используемых при оценивании.

В данной работе предложен усовершенствованный двухшаговый метод локальной точной оценки Уиттла, комбинирующий в себе оба этих подхода.

Целевая функция модифицирована таким образом, чтобы она сочетала в себе и медианную оценку выборки, и оценку начального значения, зависящую от й. Модифициро-

0,9

0,7

0,5

0,3

0,1

-0,1-

-0,3

-0,5 ■

A4

/

^ M / ^r* Л Л Y \ * V />

„ rJ -—-' \ % / t

0 5 -0 4 - 1 0,3 -02 -J V Ш А 0^0/0, 1 0,2 0, 3 0,4 0 5 0,6 0, 7 0,8 0, 91

ф

* Y>y г ^ I С / * ________\ Ж * '

- - -d

—■-Periodogram

— *— Abry-Veitch

-Aggregate Variance ■ Absolute Moments Whittle

R/S

-Variance of Residuals

Рис. 1. Оценки параметра длинной памяти искусственных данных, полученных на основе модели ARFIMA (0,ё, 0)

0,9

0,7

0,5

0,3

0,1

-0Д1

-0,3

-0,5"

Т

_0 - / ■ 4 — - •

и - ЙГ " ■ 4 z' k-

0,5 -0,4 -J ОД' 0 0 1 0,2 0 3 0,4 0, 5 0,6 0 7 0,8 0 91

■к-— г *

- -d

■— Periodogram «— Abry-Veitch

-Aggregate Variance

— - Absolute Moments —■—Whittle

a R/S --Variance of Residuals

Рис. 2. Оценки параметра длинной памяти искусственных данных, полученных на основе модели ARFIMA (0, й, 0) + линейный тренд

0,9

0,7

0,5

0,3

0,1

-0,Г

-0,3

- 0,5 ^

* /-ЧЗ

А У ■

/■

У/ у ф

0,5 -0,4 - 0,3 -0,2 - jf* 0,1 0 0 1 0,2 0, 3 0,4 0, 5 0,6 0 7 0,8 0 91

t

-d

ELW

FELW w/detrending — 2stage FELW w/detrending

LW FELW ■ 2stage FELW

Рис. 3. Оценки параметра d, полученные различными модификациями метода уиттла для искусственных данных ARFIMA (0, d, 0)

Уиттла в условиях присутствия детерминированного тренда позволяет с хорошей точностью оценить d даже для квадратичных трендов. На рис. 3 приведены соответствующие расчеты с использованием различных модификаций метода локальной оценки Уиттла: 1) метод локальной оценки; 2) метод точной

локальной оценки; 3) усовершенствованный двухшаговый метод локальной точной оценки Уиттла.

Для анализа параметра длинной памяти реальных данных были выбраны три ряда финансовых показателей: инфляция в США (средний показатель за месяц в 1950— 2000 гг.), курс валют долл. /руб. (ежедневный курс в 1990—2010 гг.), NASDAQ (месячный показатель в 1987—2010 гг.). Из представленных графиков можно сделать вывод о том, что все три ряда обладают длинной памятью, и первые два являются нестационарными, что также подтверждается стандартными тестами.

Стационарность ряда проверялась двумя тестами: Дики-Фул-лер и Филипс-Перрон. Эти тесты удобно использовать в паре, так как они имеют разные нулевые гипотезы 1(0) и 1(1) соответственно. Для первого (долл. /руб.) и третьего (инфляция в США) ряда оба теста отвергают нулевые гипотезы, что является классическим случаем для процессов с длинной памятью. Для второго ряда (NASDAQ) тестом Филипса-Перрона на уровне значимости 0,05 принимается нулевая гипотеза (о стационарности ряда), что говорит либо о принадлежности ряда к I (1), либо о значении параметра длинной памяти, близком к единице. Так как параметр длинной памяти может быть больше единицы, необходимо также построить функции автокорреляции для приращений рядов.

При этом выяснилось, что ряды были передифференцированы, т. е. приращения обладают отрицательной памятью. Следовательно, они являются нестационарными, а параметр длинной памя-

к

Кроме того, исследовались логарифмические приращения этих рядов. Результаты оценок параметра

ти этих рядов принадлежит интервалу

0,9

0,7

0,5

0,3

0,1

-0,Г

-0,3

-0,5

Фр~т

+JL2

' -к 1 ФЖ Ф £7 _ / Jy Ф

Л ф/

0,5 -0,4 - 0,3 -0,2 - ф / tyf'0 0 1 0,2 0, 3 0,4 0, 5 0,6 0, 7 0,8 0, 91

* / Ф / Ф / Ф / У У

*

■ d

-ELW

- FELW w/detrending

- 2stage FELW w/detrending

LW

- FELW

- 2stage FELW

Рис. 4. Оценки параметра d, полученные различными модификациями метода уиттла для искусственных данных, содержащих линейный тренд.

ARFIMA (0, d, 0) + linear trend.

длинной памяти данных рядов и их логарифмических приращений приведены в таблице.

Параметр длинной памяти реальных данных и их логарифмических приращений

Ряд d (X) d (log (X / X -i))

NASDAQ 0,924 0,212

USD/RUB 0,763 —0,056

Инфляция в США 0,412 —0,143

В заключение следует отметить, что проведенные автором исследования подтвердили, что большинство экономических процессов обладают длинной памятью. Существующие методы оценивания в своем большинстве не позволяют адекватно вычислить ее характеристики, поскольку практически все экономические временные серии являются нестационарными, содержат детерминированный тренд, сезонную компоненту, сложную стохастическую компоненту.

В работе исследованы наиболее известные методы, направленные на преодоление этих препятствий, и на основе вычислительных экспериментов показано, что предложенный обобщенный двухша-говый метод Уиттла позволяет устойчиво определять параметр длинной памяти при наличии линейного и квадратичного трендов. Это позволило расширить диапазон значений параметра d и сохранить при этом асимптотическую состоятельность его оцен-

ки. В дальнейшем необходимы исследования, направленные на тестирование предложенного метода к гетероскедастичности остатков, а также на решение проблемы включения разрывов значений параметра длинной памяти в модель исследуемого ряда.

Список литературы

1. Baillie R. T.(1996). Long memory processes and fractional integration economics. Journal of Econometrics, 73: 5—59.

2. Baillie R. T., Bollerslev T., Mikkelson H.(1996). Fractionally Integrated Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 14: 3—30.

3. Beran J.(1994). Statistics for long memory processes. Chapman & Hall, New York.

4. Bollerslev T. and Mikkelsen H.(1996). Modelling and Pricing Long Memory in Stock. Market Volatility.

Journal of Econometrics, 73: 151—184.

5. Box G. E. and Jenkins G. M.(1970). Time series analysis, forecasting and control. San Francisco, CA: Holden-Day.

6. Delgado M. and Robinson P.(1996). Optimal spectral bandwidth for long memory. Statistica Sinica: 6, 97, 112.

7. Doukhan P., Oppenheim G., Taqqu M. S.(2003) Theory and Applications of Long-Range Dependence. Birkhauser.

8. Granger C. W. J.(1980). Long memory relationships and the aggregation of dynamic models. Journal of Econometrics, 14: 261—279.

9. Granger C. W. J., Joyeux R.(1980). An introduction to long range time series models and fractional differencing. Journal of Time Series Analysis: 1, 15—30.

10. Henry M.(2001). Robust automatic bandwidth for long memory. Journal of Time Series Analysis, 22: 293—316.

11. Hosking J.(1981). Fractional Differencing, Biometrica. Pp. 16—76.

12. Mandelbrot B. B. and Van Ness John W.(1968). Fractional Brownian motions, fractional noises and applications SIAM Rev., 10: 422—437.

13. Peters Edgar E.(2003). Fractal Market Analysis. John Wiley&Sons, Inc.

14. Porter-Hudak Geweke (1983). The Estimation and Application of Long-Memory Time Series Models. Journal of Time Series Analysis: 4, 221—238.

15. Robinson, P.M.(2003). Time Series with Long Memory. Oxford University Press.

16. Shimotsu K.. and Phillips P. C. B. (2006) . Local Whittle estimation of fractional integration and some of its variants. Journal of Econometrics, 130: 209—233.