Силлогистика Льюиса Кэрролла с отрицательными терминами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Логические исследования 2015. Т. 21. № 2. С. 134-144 УДК 162.2

Logical Investigations 2015, vol. 21, no 2, pp. 134-144

История логики

History of Logic

А.А. Ильин

Силлогистика Льюиса Кэрролла с отрицательными терминами

Ильин Алексей Алексеевич

Кафедра логики, философский факультет, МГУ им. М.В. Ломоносова. 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ломоносовский проспект, д. 27, корп. 4. E-mail: alexeevich@inbox.ru

Льюисом Кэрроллом была построена оригинальная силлогистическая теория, отличная от традиционной силлогистики. Причем, он строил свою систему изначально как негативную, т.е. содержащую в списке логических символов ее алфавита термин-ное отрицание. Это позволило Л. Кэрроллу не рассматривать частноотрицательные высказывания (SoP) как отдельный вид высказываний, так как они, по его представлению, эквивалентны частноутвердительным высказываниям с отрицательным предикатом (SiP'). В предлагаемой статье осуществлена реконструкция силлогистики Льюиса Кэрролла, доказана погружаемость построенной системы в исчисление предикатов посредством «кэрролловской» интерпретации категорических высказываний. Доказательство основано на полученном нами ранее результате погружаемости системы Негативной фундаметнальной силлогистики в систему Обобщенной позитивной силлогистики а также на факте погружаемости последней в исчисление предикатов.

Ключевые слова: силлогистика, негативные термины, категорические высказывания, аксиоматизация, погружающая функция

В работе предлагается аксиоматизация негативной силлогистики Л. Кэрролла (НКС), и на основе доказательства погружаемости предложенной системы в систему негативной фундаментальной силлогистики (НФС) [1], для которой погружаемость в исчисление предикатов доказана, показывается погружаемость построенной системы в исчисление предикатов.

Л. Кэрроллом была предложена интерпретация категорических высказываний, отличная от фундаментальной — лейбницевской. Высказывание типа i, по его мнению, есть «утверждение о том, что некоторые реально существующие предметы являются одновременно элементами

© Ильин А.А.

обоих терминов суждения. Отсюда следует, что и каждый термин такого суждения, взятый в отдельности, реален (непуст)» [2, с. 215]. Из высказывания типа е «нельзя вывести никакого заключения относительно реальности каждого из терминов в отдельности» [2, с. 216]. Высказывание типа а «содержит аналогичное суждение, начинающееся со слова "некоторые". Следовательно, его необходимо понимать как суждение, утверждающее реальность каждого из своих терминов в отдельности» [2, с. 216]. Высказывания типа о не рассматриваются Кэрроллом как особая форма. Он считает их эквивалентными высказываниям «Некоторый 5 есть не-Р», следовательно, предполагается непустота их субъекта. Таким образом, система Кэрролла изначально строится как негативная силлогистика (допускающая терминные отрицания).

Кэрролловское понимание смыслов категорических высказываний выражается в языке логики предикатов следующим образом:

БаР ^ Ух(Бх э Рх) & ЗхБх БгР ^ Зх(Бх & Рх) БеР ^ ЩБх э -Рх)

Силлогистическая теория, законами которой являются формулы, кэрролловские переводы которых доказуемы в исчислении предикатов, аксиоматизируется посредством системы НКС.

В язык НКС входят нелогические термины единственного типа — параметры для простых неотрицательных терминов. Для их обозначения используем символы Б, Р, ф, М, ... Кроме того, в язык силлогистики Кэрролла входят силлогистические константы а, г, е, пропозициональные связки &, У, э, =, знак терминного отрицания ' и скобки.

Любые параметры для неотрицательных общих терминов — Б, Р, ф, М, ... — есть термы, а также если Б — неотрицательный общий термин, то Б' — терм. Формулами являются выражения вида БаР, БгР, БеР, БоР, где Б и Р — произвольные термы. Сложные формулы образуются из простых с помощью пропозициональных связок. (Таким образом, при работе со схемами аксиом мы различаем обозначения для неотрицательных общих терминов — Б, Р, Q, М, ... и для общих терминов, если и содержащих, то не более одного отрицания, — Б, Р, Q, М,... Тем самым Б, Р, Q, М, ... есть соотвественно неотрицательные общие термины Б, Р, Q, М, ..., содержащие не более одного терминного отрицания или не содержащие такового.)

Схемами аксиом НКС являются: К0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний.

К1. (MaP & SaM) D SaP К5. SeP = ^ SiP К2. SiP D PiS К6. SaP = (SeP' & SiS)

К3. SiP D SaS К7. SaP' = (SeP & SiS)

К4. SaP D SiP К8. SiS V S'iS'

R1. modus ponens.

При доказательстве погружаемости системы негативной силлогистики Л. Кэрролла (НКС) в систему негативной фундаментальной силлогистики (НФС) будем использовать критерий, предложенный В.А. Смирновым [5]:

Исчисление Si погружается в исчисление S2 посредством функции ф\ (из множества формул Si в множество формул S2), если и только если:

(1) для каждой формулы А языка S1 имеет место S1 Ь А ^ S2^1(A); существует функция Ф2 из множества формул S2 в множество формул S1, такая что

(2) для каждой формулы А языка S2 имеет место S2 Ь А ^ S1 Ь ^(А),

(3) для каждой формулы А языка S1 имеет место S1 Ь (А = ^2 (Ф1(А))).

Воспользуемся данным критерием применительно к случаю, когда S1 есть система НКС, а S2 — система НФС.

Язык негативной фундаментальной силлогистики отличается от языка негативной силлогистики Л. Кэрролла тем, что в нем допустимы общие термины с произвольным количеством отрицаний — S, S', S'', S''',... (Опять же различаем обозначения для неотрицательных общих терминов — S,P,Q, M,..., и для общих терминов с произвольным количеством отрицаний — S, P, Q, M,...).

Постулатами исчисления НФС являются:

Ф0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний.

Ф1. (MaP & SaM) D SaP

Ф2. SiP D PiS

Ф3. SaS

Ф4. SiP D SiS

Ф5. SeP SiP

Ф6. SoP = ^ SaP Ф7. SaP = SeP' Ф8. SiP = SiP'' Ф9. SiS V S'iS' R1. modus ponens.

Определим перевод 01 из НКС в НФС:

01(БаР) = БаР & БгБ 01 (БгР) = БгР 0^БеР) = БеР 01 (-А) = -01 (А)

01(А* В) = 01(А) • 01 (В), где • — любая бинарная связка.

Индукцией по длине доказательства формулы А в системе НКС покажем, что часть (1) критерия Смирнова выполняется: VА(НКС Ь А ^ НФС Ь 01(А)).

К0. Переводы аксиом КО также являются аксиомами исчисления высказываний, поэтому они доказуемы в НФС.

01-переводы аксиом К2, К5, К8 системы НКС — суть аксиомы Ф2, Ф5, Ф8 системы НФС соответственно.

К1. (МаР & БаМ) э БаР 01((МаР & БаМ) э БаР) = (МаР & МгМ & БаМ & БгБ) э (БаР & БгБ)

1. (МаР & БаМ) э БаР Ф1

2. (МаР & БаМ & БгБ) э (БаР & БгБ) 1, ЛВ

3. (МаР & МгМ & БаМ & БгБ) э (БаР & БгБ) 2, ЛВ

К3. БгР э БаБ 01 (БгР э БаБ) = БгР э (БаБ & БгБ)

1. БаБ Ф3

2. БгР э БгБ Ф4

3. БгР э (БаБ & БгБ) 1, 2, ЛВ

К4. БаР э БгР 01 (БаР э БгР) = (БаР & БгБ) э БгР

1. (РаБ' & БаР) э БаБ' Ф1

2. (БаР & - БаБ') э - РаБ' 1, ЛВ

3. БаБ' = БеБ'' Ф7

4. РаБ' = РеБ'' Ф7

5. БеБ'' = - БгБ'' Ф5

6. РеБ'' = - РгБ'' Ф5

7. БгБ = БгБ'' Ф8

8. РгБ = РгБ'' Ф8

9. РгБ э БгР Ф2

10. (БаР & БгБ) э БгР 2-9, ЛВ

К6. SaP = (SeP' & SiS)

^(SaP = (SeP' & SiS)) = (SaP & SiS) = (SeP' & SiS)

1. SaP = SeP' Ф7

2. (SaP & SiS) = (SeP' & SiS) 1, ЛВ

К7. SaP' = (SeP & SiS) ■01 (SaP' = (SeP & SiS)) = (SaP' & SiS) = (SeP & SiS)

1. SaP' = SeP'' Ф7

2. SeP'' = - SiP'' Ф5

3. SiP = SiP'' Ф8

4. SeP = - SiP Ф5

5. SaP' = SeP 1-4, ЛВ

6. (SaP' & SiS) = (SeP & SiS) 5, ЛВ

Легко показать также справедливость следующего утверждения:

НФС h ^(А D В) и НФС h ^1(А) ^ НФС h ^1(В).

Действительно, ^1(А D В) = ^1(А) D ^1(В), а правило modus ponens имеется в НФС. Таким образом, часть (1) критерия Смирнова выполняется.

Для доказательства частей (2) и (3) указанного критерия необходимо сформулировать обратный перевод из системы НФС в систему НКС. Для этого нам потребуется первоначально задать функцию и, которая сопоставляет термам языка НФС термы языка НКС: u(S) = S, если число вхождений терминного отрицания в терм S четно или S не содержит отрицаний;

u(S) = S', если число вхождений терминного отрицания в терм S нечетно.

Тогда перевод 02 из языка НФС в язык НКС с учетом наличия функции и осуществляется следующим образом:

02 (SaP) = 02(u(S)au(P)) = SaP V -SiS ^(SiP) = ^(u(S)iu(P)) = SiP ^2 (SeP) = ^(u(S)eu(P)) = SeP ^(sop) = ^2(u(s')ou(p)) = -SaP & SiS 02 (-А) = -02 (А) 02 (А. В) = 02 (А) • 02 (В)

Покажем выполнение части (2) критерия Смирнова: УА(НФС h А ^ НКС h ф2(А)). При этом используем тот же метод доказательства, что и в части (1). Главное показать, что ^-переводы всех силлогистических аксиом системы НФС являются теоремами НКС.

Ф0. Переводы аксиом Ф0 также являются аксиомами исчисления высказываний, поэтому они доказуемы в НКС.

02-переводы аксиом Ф2, Ф5 системы НФС суть аксиомы К2, К5 системы НКС соответственно.

Ф1. (МаР & БаМ) э БаР 02(Ф1) = ((МаР V—МгМ) & (БаМ V—БгБ)) э (БаР V —БгБ)

1. (МаР & БаМ) э БаР К1

2. БаМ э БгМ К4

3. БгМ э МгБ К2

4. МгБ э МаМ КЗ

5. МаМ э МгМ К4

6. БаМ э МгМ 2, 3, 4, 5, ЛВ

7. ((МаР V—МгМ) & БаМ) э БаР 1, 6, ЛВ

8. ((МаР V—МгМ) & (БаМ V—БгБ) & БгБ) э БаР 7, ЛВ

9. ((МаР V—МгМ) & (БаМ V— БгБ)) э (БаР V —БгБ) 8, ЛВ

ФЗ. БаБ 02(Ф3) = БаБ V —БгБ

1. БгБ э БаБ КЗ

2. БаБ V—БгБ 1, ЛВ

Ф4. БгР э БгБ 02 (Ф4) = БгР э БгБ

1. БгР э БаБ КЗ

3. БаБ э БгБ К4

2. БгР э БгБ 1, ЛВ

Ф6. БоР = —БаР 02 (Ф6) = (—БаР & БгБ) = —(БаР V —БгБ)

1. (—БаР & БгБ) = (—БаР & БгБ) закон ЛВ

2. (—БаР & БгБ) = — (БаР V —БгБ) 1, ЛВ

Ф7. БаР = БеР'

Если число вхождений терминного отрицания в терм Р четно или Р не содержит отрицаний, то

02(Ф7) = 02((и(Б)аи(Р) V — и(Б)ги(Б)) = и(Б)еи(Р')) = (БаР V —БгБ) = БеР'

1. БаР = (БеР' & БгБ) К6

2. (БаР V -БгБ) = ((БеР' & БгБ) V-БгБ) 1, ЛВ

3. (БаР V -БгБ) = (БеР' V-БгБ) 2, ЛВ

4. -БеР' = -БеР' закон ЛВ

5. БеР' = -БгР' К5

6. БгР' э БаБ К3

7. БаБ э БгБ К4

8. -БеР' =(-БеР' & БгБ) 4-7, ЛВ

9. (БеР' V -БгБ) = БеР' 8, ЛВ

10. (БаР V -БгБ) = БеР' 3, 9, ЛВ

Если число вхождений терминного отрицания в терм Р нечетно, то ^2(Ф7) = (БаР' У-БгБ) = БеР

1. БаР' = (БеР & БгБ) К7

2. (БаР' V -БгБ) = ((БеР & БгБ) V -БгБ) 1, ЛВ

3. (БаР' V -БгБ) = (БеР V-БгБ) 2, ЛВ

4. -БеР = -БеР закон ЛВ

5. БеР = -БгР К5

6. БгР э БаБ КЗ

7. БаБ э БгБ К4

8. -БеР = (-БеР & БгБ) 4-7, ЛВ

9. (БеР V -БгБ) = БеР 8, ЛВ

10. (БаР' V -БгБ) = БеР 3, 9, ЛВ

Ф8. БеР = БеР''

^2(Ф8) = ^(и(Б)еи(Р) = и(Б)еи(Р'') 1. БеР БеР закон ЛВ

БеР БеР

Ф9. БгБ V Б'гБ'

Если число вхождений терминного отрицания в терм Б четно или Б не содержит отрицаний, то ф2(Ф9) есть аксиома К8.

Если число вхождений терминного отрицания в терм Б нечетно, то ^2(Ф9) = ^(и(Б)ги(Б) Vv(Б')гv(Б')) = Б'гБ' V БгБ. И в силу коммутативности дизъюнкции имеем К8.

Доказательство части (2) критерия Смирнова завершено.

Часть (3) указанного критерия — УА(НКС Ь (А = ф2(ф1(А)))) — доказывается индукцией по числу вхождений логических связок в формулу А.

1. А есть БаР

Тогда ^2(^1 (БаР)) = ^(БаР & БгБ) = (БаР V-БгБ) & БгБ.

Необходимо показать, что БаР = ((БаР V—БгБ) & БгБ)

1. БаР э БгР

2. БгР э БаБ

3. БаБ э БгБ

4. БаР э БгБ

5. БаР = БаР

6. БаР = (БаР & БгБ

7.

V (—БгБ & БгБ) & БгБ)

К4 КЗ К4

1, 2, 3, ЛВ закон ЛВ 4, 5, ЛВ

6, ЛВ

7, ЛВ

БаР = ((БаР & БгБ) 8. БаР = ((БаР V —БгБ)

Следовательно, БаР = 02(0^БаР)).

2. А есть БгР. Тогда 02(01 (БгР)) = БгР.

1. БгР = БгР закон ЛВ

Имеем, БгР = 02(01(БгР)).

3. А есть БеР.

Тогда 02(01 (БеР)) = 02(БеР) = БеР. 1. БеР = БеР закон ЛВ

Следовательно, БеР = 02(01(БеР)).

4. Пусть А — сложная формула. Согласно индуктивному допущению утверждение части (3) справедливо для всех собственных подформул А, т.е. имеем: НКС Ь (В = 02(01(В))), где В — произвольная собственная подформула формулы А.

Пусть А есть —В.

Теорема НКС (по инд. допущению)

1, ЛВ

по определению 01 и 02

2, 3

Остальные шаги индуктивного перехода доказываются в том же духе.

Таким образом, все три части критерия Смирнова выполняются. Следовательно, НКС погружается в НФС посредством 01. В работе [1] нами показана погружаемость системы НФС в систему обобщенной позитивной силлогистики (ОФС) посредством функции В свою очередь В.И. Маркиным доказана погружаемость системы ОФС в исчисление предикатов посредством перевода * [3]. Из данных утверждений получаем, что НКС погружается в исчисление предикатов посредством композиции функций 01, . Остается показать, что данная композиция равносильна «кэрролловскому» переводу силлогистических формул.

В = 02 (01 (В)) —В = —02(01(В)) -02(01(В)) есть 02(01(-В)) —В = 02(01(—В))

Напомним, что язык ОФС содержит новые силлогистические константы: и — аналог отношения исчерпываемости и д — аналог отношения неисчерпываемости. В результате появляются два новых типа формул: БиР — «Всякий объект есть 5 или Р» и БдР — «Некий объект не есть ни Б, ни Р».

Перевод * силлогистических формул ОФС в язык исчисления предикатов задан следующим образом: (БаР)* = Ух(Бх э Рх) (БеР)* = Ух(Бх э -Рх) (БиР)* = Ух(Бх V Рх) (-А)* = -(А)*

где • — любая бинарная связка.

Перевод из НФС в ОФС имеет следующий вид:

(БгР)* = Зх(Бх & Рх) (БоР)* = Зх(Бх & -Рх) (БдР)* = Зх(-Бх & -Рх) (А • В)* = (А)* • (В)*,

фг(БаР) = БаР

ф1(БаР') = БеР

ф1(Б'аР) = БиР

фг(Б 'аР' ) = РаБ

фг(БеР) = БеР

ф1(БеР') = БаР

фг(Б 'еР) = РаБ

фг(Б'еР') = БиР

фг(-А) = -01 (А)

где • — любая бинарная связка.

Фг(Б1Р) = БгР ф±(БгР') = БоР ф1(Б'гР) = РоБ ф1(Б'гР') = БдР фг(БоР) = БоР ф1(БоР') = БгР фг(Б'оР) = БдР Фг(Б'оР') = РоБ ф1(А • В) = ф1 (А) • ф1(В),

Покажем, что композиция функций 01, Ф1,* равносильна «кэррол-ловскому» переводу силлогистических формул:

(ф1(01(БаР )))* (ф1(01(БаР' )))*

(ф1(01(Б'аР )))*

(ф1(01(Б'аР' )))*

= (ф1 (БаР & БгБ))* = (БаР & БгБ)* = = Ух(Бх э Рх) & Зх(Бх & Бх) = Ух(Бх э Рх) & ЗхБх = (ф1 (БаР' & БгБ))* =

= (БеР & БгБ)* = Ух(Бх э -Рх) & Зх(Бх & Бх) = = Ух(Бх э -Рх) & ЗхБх = (ф1 (Б'аР & Б'гБ'))* =

= (БиР & Б дБ )* = Ух(Бх V Рх) & Зх(-Бх & -Бх) = = Ух(-Бх э Рх) & Зх-Бх = (ф1 (Б'аР' & Б'гБ'))* = (РаБ & БдБ)* = = Ух(Рх э Бх) & Зх(-Бх & -Бх) = = Ух(-Бх э -Рх) & Зх-Бх

(ф1(01(БгР )))* (ф1(01(БгР' )))*

= (ф1 (БгР))* = (БгР)* = Зх(Бх & Рх) = (ф1 (БгР'))* = (БоР)* = Зх(Бх & -Рх)

(фх(МБ'гР)))* = (фх(БЧР))* = (РоБ)* = Зх(Рх & -Бх) =

= Зх(-Бх & Рх) (фх(фг(БЧР')))* = (фх(БЧР'))* = (БдР)* = Зх(-Бх & -Рх)

(фх(Ф\(БеР)))* = (фх(БеР))* = (БеР)* = Ух(Бх э -Рх) (фх(МБеР')))* = (фх(БеР'))* = (БаР)* = Ух(Бх э Рх) =

= Ух(Бх э --Рх) (фх(МБ'еР)))* = (фх(Б'еР))* = (РаБ)* = Ух(Рх э Бх) =

= Ух(-Бх э -Рх) (фх(МБ'еР')))* = (фх(Б'еР'))* = (БиР)* = Ух(Бх V Рх) = = Ух(-Бх э --Рх)

Итак, композиция функций ф\, фх,* равносильна «кэрролловско-му» переводу силлогистических формул.

Литература

[1] Ильин А.А Негативная фундаментальная силлогистика // Тр. научно-исслед. семинара логического центра Ин-та философии РАН. 2000. Вып. 15. С. 128-138.

[2] Кэрролл Л. Символическая логика // История с узелками. М.: Мир, 2001. С. 189-361.

[3] Маркин В.И. Обобщенная позитивная силлогистика // Логические исследования. Вып. 6. М.: РОССПЭН, 1999. С. 241-258.

[4] Маркин В.И. Силлогистические теории в современной логике. М.: МГУ, 1991. 96 с.

[5] Смирнов В.А. Логические методы анализа научного знания. М., 1987. 264 с.

A.A. Ilyin

Lewis Carroll's Syllogistic with Negative Terms

Ilyin Aleksey Alekseevich

Department of Logic, Faculty of Philosophy, Lomonosov Moscow State University. 27-4 Lomonosovsky prospekt, GSP-1, Moscow, 119991, Russian Federation. E-mail: alexeevich@inbox.ru

Lewis Carroll was an author of original syllogistic theory which is different from Traditional syllogistic. Carroll's system contains term negation, so it made him possible to eliminate o-type propositions (SoP) treating them as a kind of ¿-type propositions (SiP'). We set out the following axiom schemes for Carroll's syllogistic: (MaP & SaM) D SaP, SiP D PiS, SiP D SaS, SaP D SiP, SeP = -.SiP, SaP = (SeP' & SiS), SaP' = (SeP & SiS), SiS V S'iS'. We prove that this system embeds into the Predicate calculus by the following interpretation (equivalent to Carroll's understanding) of categorical propositions: SaP ^ (yx(Sx D Px) & 3xSx), SiP ^ 3x(Sx & Px), SeP ^Vx(Sx D-Px).

Keywords: syllogistic, negative terms, categorical propositions, embedding function

References

[1] Ilyin, A.A. "Negativnaya fundamentalnaya sillogistika" [Negative Fundamental Syllogistic], Logicheskie issledovanija [Logical Investigations], 2000, vol. 15, pp. 128-138/ (In Russian)

[2] Carroll, L. "Simvolicheskaya logika" [Symbolic Logic], Istoriya s uzelkami [A Tangled Tale]. Moscow: Mir, 2001, pp. 189-361. (In Russian)

[3] Markin, V.I. "Obobshennaya pozitivnaya sillogistika" [Generalized Pozitive Syllogistic], Logicheskie issledovanija, [Logical Investigations], 1999, vol. 6, pp. 241-258. (In Russian)

[4] Markin, V.I. Sillogisticheskie teorii v sovremennoy logike [Syllogistic Theories in Modern Logic]. Moscow: MSU, 1991. 96 pp. (In Russian)

[5] Smirnov, V.A. Logicheskie metodi analiza nauchnogo znaniya [Logical Methods of Analysis of Scientific Knowledge]. Moscow, 1987. 264 pp. (In Russian)