Силлогистика как логика антиобъемов терминов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 162.2

В.И. МАРКИН

Силлогистика как логика антиобъемов терминов

Маркин Владимир Ильич

Кафедра логики, философский факультет, МГУ им. М.В. Ломоносова. Россия, 119991, Москва, ГСП-1, Ломоносовский проспект, д. 27, корп. 4. e-mail: vladimirmarkin@mail.ru

Для двух систем силлогистики (фундаментальной и традиционной) предлагаются нестандартные переводы в исчисление предикатов. Данные переводы позволяют трактовать эти силлогистические теории как логики антиобъемов субъектов и предикатов категорических высказываний. Согласно первому переводу, SaP означает, что антиобъем термина S включается в антиобъем термина P, SeP означает, что антиобъемы терминов S и P не содержат общих элементов, SiP означает, что пересечение антиобъемов S и P непусто, SoP означает, что антиобъем термина S не включается в антиобъем термина P. Второй перевод для любой силлогистической формулы A содержит дополнительную предпосылку о непустоте антиобъемов терминов, входящих в A. Доказано, что эти переводы погружают указанные силлогистики в классическое исчисление предикатов.

Ключевые слова: силлогистика, исчисление предикатов, погружающая операция, объемы и антиобъемы терминов

Обычно силлогистику трактуют как теорию правильных рассуждений, основанную на отношениях между объемами общих терминов, выступающих в роли субъектов и предикатов категорических высказываний. Силлогистические теории, как правило, строятся в языке, содержащем четыре силлогистические константы: a, i, e, o, каждая из которых фиксирует некоторое отношение между объемом субъекта и объемом предиката соответствующего высказывания. Так, в фундаментальной силлогистике константа a рассматривается в качестве знака отношения включения объема субъекта в объем предиката, константа i как знак отношения совместимости терминов высказывания по объему (непустоты пересечения объемов), константа e представляет отношение несовместимости, а o — отношение невключения. В других силлогистических теориях могут накладываться дополнительные ограничения на пустоту или непустоту объемов терминов. В частности, в традиционной силлогистике принимается исходная предпосылка о непустоте всех общих терминов, т.е. при решении вопроса, является ли некоторая формула

Логические исследования. 2015. 21(1):49—59 / Logical Investigations. 2015. 21(1):49—59

законом этой теории, исходят из предположения, что все термины, содержащиеся в ней, репрезентируют непустые множества.

Данная интерпретация категорических высказываний в фундаментальной силлогистике находит свое адекватное отражение в широко известном переводе * силлогистических формул в язык классического одноместного исчисления предикатов:

БаР* = Ух(Бх э Рх), БеР* = Ух(Бх э -Рх), БгР* = Зх(Бх Л Рх), БоР* = Зх(Бх Л-Рх), (-А)* = -А*, (ЛчБ )* = Л*ЧБ*,

где V есть бинарная пропозициональная связка.

Класс законов позитивного фрагмента фундаментальной силлогистики формализует аксиоматическая система ФС, которая дедуктивно эквивалентна исчислению, предложенному Дж. Шефердсоном [10, р. 144]. Схемами аксиом ФС являются:

Ф0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний, Ф1. (MaP Л SaM) э SaP, Ф5. SiP э SiS, Ф2. (MeP Л SaM) э SeP, Ф6. SoP э SiS, Ф3. SeP э PeS, Ф7. SiP = -SeP,

Ф4. SaS, Ф8. SoP = -SaP,

а единственным правилом вывода - modus ponens.

Доказано [5, с. 18-27], что перевод * погружает силлогистику ФС в классическое исчисление предикатов.

Позитивный фрагмент традиционной силлогистики формализуется известным аксиоматическим исчислением Я. Лукасевича [4]. Дедуктивно эквивалентная ему система получается за счет добавления к системе ФС новой схемы аксиом SaP э SiP (схемы аксиом Ф5 и Ф6 становятся при этом излишними).

В.А. Смирнов [7] предложил иную аксиоматизацию силлогистики Лукасевича. Построенное им исчисление С4 содержит следующие силлогистические схемы аксиом:

А1. (MaP Л SaM) э SaP, А2. (MeP Л SaM) э SeP, А3. SeP э PeS, А4. SaPD SiP,

А5. SiP э SaS, А6. SiS,

А7. SiP = -SeP, А8. SoP = -.SaP.

Силлогистика С4 погружается в классическое одноместное исчисление предикатов посредством перевода В, предложенного М.Н. Бежани-швили и Л.И. Мчедлишвили [1]:

где Б1,...,Бп - все силлогистические термины в составе формулы А. Перевод В как раз и выражает принимаемую в традиционной силлогистике предпосылку о непустоте общих терминов.

Известно, что для некоторых систем позитивной силлогистики существуют неэквивалентные друг другу адекватные переводы в классическое одноместное исчисление предикатов. Однако все рассматриваемые обычно переводы категорических высказываний БаР, БеР, БгР и БоР являются стандартными в следующем смысле: они представляют собой булевы комбинации формул языка логики предикатов, причем одной из обязательных составляющих для перевода БаР является формула Ух(Бх э Рх), для перевода БеР - формула Ух(Бх э —Рх), для перевода БгР - формула Зх(Бх Л Рх), для перевода БоР - формула Зх(Бх Л —Рх). Другими составляющими этих переводов могут быть формулы типов хБх и Зх—Бх, соответствующие утверждениям о непустоте и о неуниверсальности терминов.

Далее мы предложим нестандартные (в указанном смысле) переводы, погружающие в исчисление предикатов позитивные фрагменты фундаментальной и традиционной силлогистик.

Для системы фундаментальной силлогистики ФС адекватным является следующий нестандартный перевод ®:

Согласно данному переводу, константа а рассматривается как знак отношения включения объема предиката в объем субъекта, константа о - как знак отсутствия объемного включения предиката в субъект, константа е - как знак универсальности объединения объемов субъекта и предиката, константа г - как знак неуниверсальности такого объединения.

Вместе с тем, этот перевод позволяет интерпретировать силлогистические константы не только как знаки отношений между объемами субъекта и предиката, но и как знаки определенных отношений между их антиобъемами.

В(А) = (ЗхБ1х Л ... Л ЗхБпх) э А*,

БаР® = Ух(Рх э Бх), БгР® = Зх(—Бх Л—Рх), (—А)® = —А®,

БеР® = Ух(Бх V Рх), БоР ® = Зх(Рх Л—Бх), (АчБ)® = А®ЧБ ®.

Поскольку формула Vx(Px D Sx) эквивалентна в классической логике предикатов формуле Vx(—Sx D —Px), ^-перевод SaP утверждает, что антиобъем субъекта включается в антиобъем предиката. Формула Vx(Sx V Px) эквивалентна формуле Vx(—Sx D ——Px), а следовательно, SeP в соответствии с переводом ® трактуется как утверждение о несовместимости антиобъемов S и P (всё, что входит в антиобъем S, не входит в антиобъем P). ^-перевод SiP содержит информацию о совместимости антиобъемов S и P (непустоте пересечения антиобъемов субъекта и предиката), а перевод SoP эквивалентен формуле 3x(—Sx Л ——Px), то есть константа o понимается здесь как знак отсутствия включения антиобъема S в антиобъем P.

Таким образом, перевод ® задает стандартную трактовку силлогистических констант a, i, e, o, но не применительно к объемам субъектов и предикатов соответствующих категорических высказываний, а применительно к их антиобъемам!

Для обоснования тезиса о том, что фундаментальная силлогистика может рассматриваться как логика антиобъемов субъектов и предикатов высказываний (в указанном выше смысле), необходимо доказать, что перевод ® погружает систему ФС в классическое исчисление предикатов.

Данное утверждение можно обосновать средствами исчисления предикатов, сличая переводы * и ® и используя правило подстановки вместо предикатных символов и правило эквивалентной замены. Мы же будем вести доказательство, оставаясь «внутри» силлогистики и опираясь на результаты, изложенные в малоизвестной работе И.И. Гани-янца и В.И. Маркина [3]. В ней были построены системы, исходными константами которых, наряду с a и o, являются не i и e, а новые, нестандартные константы «исчерпываемости» (u) и «неисчерпываемо-сти» (j) предметной области объемами субъекта и предиката. В языке этой силлогистики помимо SaP и SoP имеются две новых разновидности элементарных формул - SuP и SjP. SuP может быть прочитана так: «Всякий объект есть S или P», а SjP - как: «Некий объект не есть ни S, ни P». Высказывания подобных типов впервые были исследованы А. Де Морганом [9].

Первое исчисление силлогистического типа в языке с константами a, u, j, o - система ФУ - кроме классических тавтологий и правила modus ponens содержит аксиомы следующих типов:

У1. (MaP Л SaM) D SaP, У5. SjP D SjS, У2. (MaP Л SuM) D SuP, У6. SoP D PjP,

У3. БиР э РиБ, У7. Б]Р = -БиР,

У4. БаБ, У8. БоР = -БаР.

Исчисление ФУ так же, как и система фундаментальной силлогистики ФС, является подсистемой обобщенной фундаментальной силлогистики ОФС, которая построена и проанализирована в работе [6] и содержит в качестве исходных силлогистические константы а, г, е, о, и,

Для системы ФУ в [3] предложен следующий адекватный перевод ° в язык классического исчисления предикатов:

БаР° = Ух(Рх э Бх), БиР° = Ух(Бх V Рх), Б]Р° = Зх(-Бх Л -Рх), БоР° = Зх(Бх Л -Рх), (-А)° = -А°, (АчБ)° = А°ЧБ °.

Функция ° погружает систему ФУ в исчисление предикатов (подробное доказательство содержится в дипломной работе И.И. Ганиянца, оно аналогично доказательству погружаемости ФС в исчисление предикатов посредством перевода *, представленному в [5, с. 18-27]).

Силлогистики ФС и ФУ названы в [3] .зеркальными. Смысл этого отношения состоит в следующем. Если в любой теореме системы ФС заменить все подформулы вида БаР на РаБ, подформулы вида БоР на РоБ, подформулы вида БеР на БиР, а подформулы вида БгР на Б]Р, то полученная формула окажется доказуемой в ФУ. При обратной замене подформул в любой теореме системы ФУ мы получим формулу, доказуемую в ФС.

В более точных терминах, необходимо рассмотреть два перевода: перевод т\ из множества формул системы ФС в множество формул системы ФУ и перевод Т2 из множества формул системы ФУ в множество формул системы ФС:

тх(БаР) = РаБ, тг(БоР) = РоБ, п(БеР) = БиР, Т1(БгР) = Б3Р, п(-А) = -т\(А), п(АчБ) = т1(А)Чтг(Б),

т2(БаР) = РаБ, т2(БоР) = РоБ, т2(БиР) = БеР, т2(Б]Р) = БгР, т2(-А) = -т2 (А), т2(АЧБ )= т2 (А)Чт2(Б).

Несложно показать, что т1-перевод любой аксиомы ФС доказуем в ФУ, а также то, что если т1(А э Б) и т1 (А) являются теоремами ФУ,

то и Г1(Е) доказуема в ФУ. Следовательно, для любой формулы А языка ФС верно: если А доказуема в ФС, то г\(А) доказуема в ФУ.

Аналогичным образом демонстрируется справедливость следующего утверждения: для любой формулы А языка ФУ верно: если А доказуема в ФУ, то т2(А) доказуема в ФС.

Кроме того, индукцией по длине формулы А языка ФС можно доказать, что Т2(т1(А)) = А. А индукцией по длине формулы А языка ФУ можно доказать, что т1(т2А) = А. Поэтому формула А = т2(т1(А)) является теоремой ФС для любой А языка этой системы, а формула А = т1(т2(А)) является теоремой ФУ для любой А ее языка.

Все сказанное выше, согласно известному критерию погружаемости одного исчисления в другое, предложенному В.А. Смирновым [8, с. 159], означает, что т1 погружает систему ФС в ФУ, а т2 погружает систему ФУ в ФС.

Теперь мы в состоянии доказать метатеорему о погружаемости фундаментальной силлогистики ФС в исчисление предикатов посредством нестандартного перевода ®:

Теорема 1. Функция ® погружает систему ФС в классическое одноместное исчисление предикатов.

Доказательство. Выше было отмечено, что перевод т1 погружает силлогистику ФС в ФУ, а перевод ° - систему ФУ в классическое исчисление предикатов. Отсюда следует, что ФС погружается в исчисление предикатов посредством композиции функций ° и т1. То есть для любой формулы А языка ФС верно: А доказуема в ФС, если и только если формула т1(А)® доказуема в исчислении предикатов.

Покажем далее, что т1(А)° = А® для любой формулы А языка ФС. Рассуждение ведем возвратной индукцией по числу пропозициональных связок в формуле А. Допустим, что для любой формулы Е с меньшим, чем у А, количеством связок верно: т1(Е)° = Е®. Осуществим разбор шести случаев в зависимости от вида формулы А.

(1) А есть БаР.

т1(БаР)° = РаБ° = Ух(Рх э Бх) = БаР®.

(2) А есть БгР.

п(БЧР)° = Б3Р° = Зх(-Бх Л -Рх) = БгР®.

(3) А есть БеР.

п(БеР)° = БиР° = Ух(Бх V Рх) = БеР®.

(4) А есть БоР.

п(БоР)° = РоБ° = Зх(Рх Л -Бх) = БоР®.

(5) A есть —B. Согласно определениям функций т\ и °, ri(—B)° = (—т\(Б))° = —(ri(B))°. Поскольку В содержит меньше связок, чем A, по индуктивному допущению имеем: ri(B)° = В®. Тогда —ri(B)° = —В®. А по определению функции ®, —B® = (—B)®. Таким образом, ri(—B)° = (—B)®.

(6) A есть BvC. Согласно определениям функций ri и °, ri(BvC)° = (ri(B)Vri(C))° = ri(B)°Vri(C)°. Поскольку B и C содержат меньше связок, чем A, по индуктивному допущению имеем: ri(B)° = B® и ri(C)° = C®. Тогда ri(B)°Vri(C)° = B®vC®. А по определению функции ®, B®VC® = (BVC)®. Таким образом, ri(BvC)° = (BvC)®.

Итак, произвольная формула A доказуема в системе ФС, если и только если ri(A)° доказуема в исчислении предикатов, и при этом ri(A)° = A®. Отсюда следует, что для любой формулы A языка ФС верно: A доказуема в ФС, если и только если формула A® доказуема в исчислении предикатов. Иными словами, ® есть перевод, погружающий ФС в классическое одноместное исчисление предикатов. □

Предложим теперь нестандартный перевод Л в исчисление предикатов для другой силлогистической теории - силлогистики Лукасевича (системы С4), которая формализует позитивный фрагмент традиционной силлогистики:

Л(A) = (3x—Six Л ... Л 3x—Snx) D A®,

где Si,..., Sn - все силлогистические термины в формуле A.

Перевод Л позволяет истолковывать систему С4 как логику антиобъемов субъектов и предикатов категорических высказываний в том же самом ключе, что и перевод ® применительно к силлогистике ФС. Действительно, Л определяется через ®, который интерпретирует силлогистические константы как знаки отношений между антиобъемами терминов категорических высказываний, а экзистенциальный префикс Л^) - формула 3x—Six Л... Л 3x—Snx - выражает предпосылку о непустоте антиобъемов всех терминов силлогистической формулы A.

Для доказательства адекватности перевода Л силлогистике Лукасе-вича рассмотрим другое исчисление силлогистического типа в языке с исходными константами a, u, j, o, сформулированное в работе [3]. Исчисление С4У наряду с классическими тавтологиями и правилом modus ponens содержит аксиомы следующих типов:

Л1. (MaP Л SaM) D SaP, Л5. SjP D SaS, Л2. (MaP Л SuM) D SuP, Л6. SjS,

Л3. БиР э РпБ, Л4. БаР э БэР,

Л7. БэР = -БиР, Л8. БоР = -БаР.

Исчисление С4У, как и С4, является подсистемой обобщенной традиционной силлогистики ОС4, содержащей в качестве исходных силлогистические константы а, г, е, о, и, Э [6].

Системы С4 и С4У являются зеркальными, то есть перевод т\ погружает систему С4 в С4У, а Т2 погружает систему С4У в С4. Кроме того, силлогистика С4У погружается в классическое одноместное исчисление предикатов посредством следующего перевода

где Б1,...,Бга - все силлогистические термины в составе формулы А. Доказательство осуществлено в дипломной работе И.И. Ганиянца, оно основано на методе, использованном в [2, с. 93-95] при доказательстве погружаемости системы С4 в исчисление предикатов посредством перевода в.

Эти результаты позволяют обосновать справедливость следующего метаутверждения:

Теорема 2. Функция Л погружает систему С4 в классическое одноместное исчисление предикатов.

Доказательство. Поскольку т1 погружает силлогистику С4 в С4У, а перевод 2 - систему С4У в классическое исчисление предикатов, постольку С4 погружается в исчисление предикатов посредством композиции функций 2 и ть То есть для любой формулы А стандартного силлогистического языка верно: А доказуема в С4, если и только если формула 2(т1(А)) доказуема в исчислении предикатов.

Согласно определению 2, 2(т1(А)) = (Зх-Б1х Л ... Л Зх >Бпх) т^1(А)°, где Б1,..., Бп - все силлогистические термины в составе формулы т1(А). При доказательстве предыдущей метатеоремы было показано, что т1 (А)® = А® для любой формулы А стандартного языка. Поэтому 2(т1(А)) = (Зх-Б^^х Л ... Л Зх-Бпх) э А®. Но, по определению перевода Л, Л(А) = (Зх-Б1х Л ... Л Зх-Бпх) э А®, где Б1, ...,Бп - все силлогистические термины в составе формулы А. Несложно убедиться в том, что множества силлогистических терминов в составе формул А и т1 (А) совпадают для любой формулы А. Поэтому 2(т1(А)) = Л(А), то есть Л представляет собой композицию переводов 2 и т1.

Из сказанного выше вытекает, что для любой формулы А стандартного силлогистического языка верно: А доказуема в С4, если и только

2(А) = (Зх-Б^ Л ... Л Зх Бпх) аА® ,

если формула Л(А) доказуема в исчислении предикатов. Таким образом, Л есть перевод, погружающий С4 в классическое одноместное исчисление предикатов. □

Итак, мы показали, что две широко известные системы позитивной силлогистики - фундаментальная и традиционная - могут быть истолкованы не только как «логики объемов», но и как «логики антиобъемов» субъектов и предикатов категорических высказываний. Подобное истолкование, опирающееся на нестандартные переводы силлогистических формул в язык классической логики предикатов, может быть осуществлено и для других систем позитивной силлогистики.

Литература

[1] Бежанишвили М.Н., Мчедлишвили Л.И. Позитивная силлогистика и логика предикатов // Логика Аристотеля. Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1985. С. 36-46.

[2] Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс-Традиция, 2010. 334 с.

[3] Ганиянц И.И., Маркин В.И. Силлогистики с константой исчерпываемости // Международная конференция «Развитие логики в России: итоги и перспективы». М.: Логос, 1997. С. 56-59.

[4] Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М.: Изд-во иностранной литературы, 1959. 312 с.

[5] Маркин В.И. Силлогистические теории в современной логике. М.: Издательство МГУ, 1991. 96 с.

[6] Маркин В.И. Обобщенная позитивная силлогистика // Логические исследования. 1999. Вып. 6. С. 241-258.

[7] Смирнов В.А. Адекватный перевод утверждений силлогистики в исчисление предикатов // Актуальные проблемы логики и методологии науки. Киев: Наукова думка, 1980.

[8] Смирнов В.А. Логические методы анализа научного знания. М.: Эдиториал УРСС, 2002. 264 с.

[9] De Morgan A. Formal Logic or the Calculus of Inferense, Nesessary, and Probable. London: Taylor and Walton, 1847. 336 p.

[10] Shepherdson J.C. On the Interpretation of Aristotelian Syllogistic // Journal of Symbolic Logic. 1956. Vol. 21 (2). P. 137-147.

V.I. Markin

Syllogistic Theory as Logic of Anti-extensions of

Terms

Markin Vladimir Ilyich

Department of Logic, Faculty of Philosophy, Lomonosov Moscow State University. Lomonosovsky prospekt 27-4, GSP-1, Moscow, 119991, Russian Federation. e-mail: vladimirmarkin@mail.ru

For two syllogistics (fundamental and traditional) we define nonstandard translations into the predicate calculus. These translations make it possible to treat syllogistic theories as logics of anti-extensions of the subjects and the predicates of categorical statements. In compliance with the first translation, SaP means that anti-extension of S is included in anti-extension of P, SeP means that anti-extensions of S and P don't contain common elements, SiP means that the intersection of anti-extensions of S and P is nonempty, SoP means that anti-extension of S is not included in anti-extension of P. For arbitrary syllogistic formula A, the second translation includes additionally the precondition that anti-extensions of all the terms in A are nonempty. It is proved that these two syllogistics are embedded into the classical predicate calculus under the given translations.

Keywords: syllogistic, predicate calculus, embedding function, extensions and antiextensions of terms

References

[1] Bezhanishvili, M.N., Mchedlishvili, L.I. "Pozitivnaja sillogistika i logika predmetov" [Positive syllogistic and logic of objects], Logika Aristotelja [Aristotle's logic]. Tbilisi: Izdatel'stvo tbilisskogo universiteta, 1985. pp. 36-46. (In Russian)

[2] Bocharov, V.A., Markin, V.I. Sillogisticheskie teorii [Syllogistic theories]. M.: Progress-Tradicija, 2010. 336 p. (In Russian)

[3] Ganijanc, I.I., Markin, V.I. "Sillogistiki s konstantoj ischerpyvaemosti" [Syllogistic with the exhaustive constant], Mezhdunarodnaja konferencija "Razvitie logiki v Rossii: itogi i perspektivy". M.: Logos, 1997. pp. 56-59. (In Russian)

[4] Lukasevich, Ja. Aristotelevskaja sillogistika s tochki zrenija sovremennoj formal'noj logiki [Aristotelian syllogistic in terms of modern formal logic]. M.: Izdatel'stvo inostrannoj literatury, 1959. 312 p. (In Russian)

[5] Markin, V.I. Sillogisticheskie teorii v sovremennoi logike [Syllogistic theories in modern logic]. M.: Izdatel'stvo MGU, 1991. 96 p. (In Russian)

[6] Markin, V.I. "Obobshhennaja pozitivnaja sillogistika" [Generalized positive syllogistic], Logicheskie issledovanija [Logical Investigations]. M.: Nauka, 1999, vol. 6, pp. 241-258. (In Russian)

[7] Smirnov, V.A. "Adekvatnyj perevod utverzhdenij sillogistiki v ischislenie predikatov" [Adequate translation syllogistic statements in predicate calculus], Aktual'nye problemy logiki i metodologii nauki [Actual problems of logic and methodology of science]. Kiev: Naukova dumka, 1980. (In Russian)

[8] Smirnov, V.A. Logicheskie metody analiza nauchnogo znanija [Logical methods of analysis of scientific knowledge]. M.: Jeditorial URSS, 2002. 264 p. (In Russian)

[9] De Morgan, A. Formal Logic or the Calculus of Inferense, Nesessary, and Probable. London: Taylor and Walton, 1847. 336 p.

[10] Shepherdson, J.C. "On the Interpretation of Aristotelian Syllogistic", Journal of Symbolic Logic, 1956, vol. 21 (2), pp. 137-147.