Традиционная силлогистика с отрицательными терминами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Традиционная силлогистика с отрицательными терминами

А. А. Ильин

abstract. We set out the following axiom schemes for traditional syllogistic with negative terms: (MaP & SaM) D SaP, SiP D PiS, SaS, SaP D SiP, SeP = -SiP, SoP = -SaP, SaP = SeP' , SiP = SiP' '. We prove that this system embeds into the predicate calculus by the interpretation of categorical propositions made by M. Bejanishwili and L. Mchedlishwili:

SaP — (3xSx & 3x-Sx & 3xPx & 3x-Px) DVx(Sx D Px), SiP — (3xSx & 3x-Sx & 3xPx & 3x-Px) D 3x(Sx & Px), SeP — (3xSx & 3x-Sx & 3xPx & 3x-Px) D Vx(Sx D Px), SoP — (3xSx & 3x-Sx & 3xPx & 3x-Px) D 3x(Sx & Px).

Ключевые слова: традиционная силлогистика, негативные термины, аксиоматизация, категорические высказывания

В работе предлагается аксиоматизация системы традиционной силлогистики, содержащей отрицательные термины. Традиционная силлогистика — это теория, описывающая отношения между ассерторическими высказываниями; данные высказывания содержат только общие термины, а среди самих общих терминов выделяют содержащие отрицание и неотрицательные.

В язык традиционной силлогистики (ТС) входят нелогические термины единственного типа — параметры для простых неотрицательных терминов. Для обозначения терминов такого рода используем символы S, P, Q, M,... Кроме того, в язык негативной силлогистики входят силлогистические константы a, i, e, o, пропозициональные связки У, —, D, =, знак терминного отрицания ' и скобки.

Любые параметры для неотрицательных общих терминов — S, P, Q, M,... — есть термы, а также если S — терм, то S' — тоже терм. Формулами являются выражения вида SaP, SiP, SeP, SoP, где S и Р — произвольные термы. Сложные формулы образуются из простых с помощью пропозициональных связок. (При

работе со схемами аксиом мы различаем обозначения для неотрицательных общих терминов — Б, Р^, М,..., и для тех же общих терминов с произвольным количеством отрицаний — В, Г, Q, М,... Тем самым Б, Р, Q, М,... есть соответственно неотрицательные общие термины Б, Р, Q, М,... с произвольным числом отрицаний.)

Я. Лукасевичем на базе классического исчисления высказываний была построена реконструкция чистого позитивного фрагмента традиционной силлогистики [4]. Им было показано, что аналоги всех законов чистой позитивной силлогистики являются теоремами построенной им системы, а все остальные силлогистические утверждения, кроме тавтологий логики высказываний, недоказуемы в системе.

Адекватная интерпретация силлогистических формул, детерминирующая класс законов традиционной позитивной силлогистики, была найдена в 1971 г. румынским логиком С. Виеру. Иной перевод силлогистических формул в исчисление предикатов был предложен В.А. Бочаровым [2].

Нами будет рассмотрена модификация погружающей операции позитивного фрагмента трдиционной силлогистики, предложенной М.Н. Бежанишвили и Л.И. Мчедлишвили [1], более наглядно, в отличие от переводов Виеру и Бочарова, проясняющая смысл категорических высказываний. В ее основе лежит стандартный лейбницевкий перевод категорических высказываний 1, обычным образом распространенный на сложные силлогистические формулы:

БаР ^ Ух(Бх э Рх)

Б1Р ^ Зх(Вх & Рх)

БеР ^ Ух(Бх э -Рх)

БоР ^ Зх(ях & -Рх).

Посредством преревода 1 определяется погружающая операция Т. Пусть .., 8га — все термины, содержащиеся в формуле В.

Тогда Т(В) = ((ВДх & Зх-^х) & ... & (Зх8гах& Зх-8гах))э 1(В).

Силлогистическая теория, законами которой являются формулы, Т-переводы которых доказуемы в исчислении предикатов, аксиоматизируется посредством системы ТС.

Схемами аксиом ТС являются:

T0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний

T1. (MaP & SaM)D SaP T5. SeP = -SiP

T2. SiP D PiS T6. SoP = -SaP

T3. SaS T7. SaP = SeP'

T4. SaP D SiP T8. SiP = SiP"

R1. modus ponens

Теорема о погружаемости системы ТС в исчисление предикатов посредством перевода Т будет доказываться на основе погружаемости данной системы в систему негативной фундаментальной силлогистики (НФС), для которой погружаемость в исчисление предикатов доказана [3].

При доказательстве погружаемости системы традиционной силлогистики в систему негативной фундаментальной силлогистики будем использовать критерий, предложенный В.А. Смирновым [7]:

Исчисление Si погружается в исчисление S2 посредством функции Ф1 (из множества формул S1 в множество формул S2), если и только если:

(1) для каждой формулы А языка Si имеет место Si Ь А ^

S2 Ь ^(А);

существует функция Ф2 из множества формул S2 в множество формул Si, такая что

(2) для каждой формулы А языка S2 имеет место S2 Ь А ^ Si Ь Ф2(А),

(3) для каждой формулы А языка Si имеет место Si Ь (А = ^!(А))).

Воспользуемся данным критерием применительно к случаю, когда 81 есть система ТС, а — система НФС. Постулатами исчисления НФС являются:

Ф0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний.

Ф1. (МаР & БаМ)Э БаР Ф6. БоР = —БаР

Ф2. Б1Р Э Р1Б Ф7. БаР = БеР'

Ф3. БаБ Ф8. Б1Р = Б1Р''

Ф4. Б1Р Э Б1Б Ф9. Б1Б V Б'1Б'

Ф5. БеР = — Б1Р И1. тойив роивив

Определим перевод ф1 из ТС в НФС:

Пусть имеется произвольное утверждение В языка ТС; 51,..., 5п — все простые неотрицательные термины, содержащиеся в утверждении В.

Тогда ^(В) = ((5^ & 51*51) & ...&(5п*5п & 5'пг5'п)) Э В. Например, если В есть 5аР Э 5о5', то ^1(5аР Э 5о5') = ((515 & 5' 15')&(Р 1Р & Р'1Р')) Э (5аР Э 5о5').

Индукцией по длине доказательства формулы А в системе ТС покажем, что часть (1) критерия Смирнова выполняется: V А(ТСЬ А ^ НФС ^1(А)).

^-перевод аксиом Т0, Т1, Т2, Т3, Т5, Т6, Т7, Т8 системы ТС суть формулы вида ((51151 & 51151) & ... & (5п15п & 5П15П)) Э А, где А — соответствующая аксиома НФС (для ТО — это Ф0, для Т1 — Ф1 и т.д.). Тогда схема доказательства для ^-переводов указанных аксиом системы ТС имеет вид:

1. А (соотв. аксиома

системы НФС)

2. ((51151 & 51151) & ... & (5п15п & 5п15п)) Э А 1, ЛВ

Т4. БаР Э Б1Р

^(БаРЭБ1Р) = ((Б1Б& Б'1Б')&(Р1Р&Р'1Р'))Э(БаР Э Б1Р)

1. (РаБ' & БаР)Э БаБ' Ф1

2. (БаР & —БаБ') Э -РаБ 1, ЛВ

3. БаБ = БеБ Ф7

4. РаБ' = РеБ'' Ф7

5. БеБ'' = —-Б1Б'' Ф5

6. РеБ'' = —Р1Б'' Ф5

7. 818 = 818"

8. Р18 = Р18''

9. Р18 э 81Р

Ф8 Ф8 Ф2

10. (8аР & 818) э 81Р

11. 818 э (8аР э 81Р)

2-9, ЛВ 10, ЛВ

12. ((818 & 8' 18') &(Р 1Р & Р'1Р')) э (8аР э 81Р) 11, ЛВ

В системе НФС справедлив закон 818 = 8'18' (введения/снятия двойного отрицания):

1. 818 = 818'' Ф8

2. 8''18 = 8''18'' Ф8

3. 8''18 э 818'' Ф2

4. 818'' э 8''18 Ф2

5. 818 = 8''18'' 1-4, ЛВ

Тогда произвольная формула Р1Р эквивалентна Р1Р, если Р содержит четное число отрицаний; если же число отрицаний в Р нечетно, то Р1Р эквивалентна Р'1Р'.

14. ((515 & 5'1Б')&(Р 1Р & Р'1Р')) э(8аР э 81Р) 12, 13, ЛВ

Покажем справедливость следующего утверждения: НФС Ь фг(А э В) и НФС Ь фг(А) ^ НФС Ь фг(В). Пусть имеем: НФС Ь фг(А э В) и НФС Ь фг(А).

фг(А)=А° э А, где А° есть конъюнкция вида ((5г15г&5115') & ... & (5 к 1Sk & 1Б'к)), а ..., >вк — все простые неотрицательные термины, содержащиеся в формуле А.

фг(В)=В° э В, где В° есть конъюнкция вида ((Рг1Рг&Р' 1Р') & ... & (Рт1Рт & Р'т 1Рт)), а Рг,..., Рт — все простые неотрицательные термины, содержащиеся в формуле В. Ясно, что фг(А э В) = (А°&В°) э (А э В).

Множества {5г,..., >вк} и {Рг,..., Рт} всех простых неотрицательных терминов формул А и В непусты по определению формулы НФС.

13. 818 8''18''

Теорема НФС

Таким образом, из того, что НФС Ь(А° & B°) Э (А Э В) и НФС Ь А° Э А, необходимо получить НФС Ь B° Э В.

1. (А° & B°) э (А э В) Теорема НФС (допущение)

2. А° э А Теорема НФС (допущение)

3. (А° & B°) э В 1, 2, ЛВ

Рассмотрим множество всех простых неотрицательных терминов Si,..., Sk, содержащихся в формуле А.

Пусть множество {Mi,..., Mi} есть множество всех тех простых неотрицательных терминов формулы А, которые не содержатся в формуле В. И пусть множество {Qi,... ,Qj} есть множество всех тех простых неотрицательных терминов формулы А, которые содержатся в формуле В. Ясно, что {M1,..., Mi} П {Pi,...,Pm} = 0, {Mi,...,Mi} и {Qi,...,Qj} = {Si,...,Sk}, {Qi,...,Qj }U{Pi,...,Pm} = {Pi,...,Pm}.

Тогда А° есть (А1 &А°), где А° есть конъюнкция вида ((MiiMi & MiiMi) & ... & (MiiMi & M'M')), а А2 есть конъюнкция вида вида ((QiiQi & QiiQi) & ... & (QjiQj & QjiQj)). Следовательно,

4. (А° & А° & B°) э В 3, в силу определения А°, А° и А°

5. (А2 & B°) = В° ЛВ, в силу определения А2 и B°

6. (А1 & B°) э В 5, ЛВ

Итак, НФС Ь ((MiiMi & MiiMi) & ... &(MiiMi & M' iM' )& B°) э В, причем ни B°, ни В не содержат простых неотрицательных терминов Mi, . . . , M .

Индукцией по построению вывода не составляет труда доказать производность правила подстановки в системе НФС. Для этого показывается, что подстановка в схему аксиом есть аксиома, а также что результат применения правила modus ponens к теоремам также есть теорема.

Выберем произвольный простой неотрицательный термин Pe, входящий в формулу В, и осуществим г-раз подстановку данного термина вместо простых неотрицательных терминов Mi , . . . , M .

В результате данной подстановки получаем:

НФС Ь ((PeiPe & P£iPe') & ... & (PeiPe & P^P'e)) & B°) Э В).

В силу того, что B° по определению содержит все термины, входящие в В, а Pe входит в В, имеем, что B° содержит конъюнкт вида (PeiPe & ВД).

Тогда ((Ре1Ре & Р' 1Р') & ... & (Ре1Ре & Р'е1Р'е)) & В°) эквивалентно В° (в силу ЛВ). Таким образом:

7. В° э В 6, из доказанного, ЛВ Следовательно, НФС Ь В° э В.

Итак, имеем: НФС Ь фг(А э В) и НФС Ь фг(А) ^ НФС Ь фг(В).

Таким образом, часть (1) критерия Смирнова выполняется. Для доказательства частей (2) и (3) указанного критерия необходимо сформулировать обратный перевод из системы НФС в систему ТС. Определим функцию ф из НФС в ТС следующим образом: ф2(А) = А ф2—А) = -ф2(А) ф2(А • В) = ф2(А) • ф2(В)

Покажем выполнение части (2) критерия Смирнова: VА(НФС Ь А ^ ТС Ь ф2 (А)).

Переводы аксиом Ф0 также являются аксиомами исчисления высказываний, поэтому они доказуемы в ТС.

ф2-переводы аксиом Ф1, Ф2, Ф3, Ф5, Ф6, Ф7, Ф8 системы НФС суть аксиомы Т1, Т2, Т3, Т5, Т6, Т7, Т8 системы ТС. Ф4. 81Р э 818 ф2(81Р э 818) = 81Р э 818

1. 2.

3.

4.

8а8

8а8 э 818 818

81Р э 818

Т3 Т4

1, 2, ЛВ 3, ЛВ

Ф9. 818 V 8'18'

ф2(818 V 8'18') = 818 V 8'18'

1. 8а8 Т3

2. 8а8 э 818 Т4

3. 818 1, 2, ЛВ

4. 818 V 8'18' 3, ЛВ

Легко показать также справедливость следующего утверждения:

ТС Ь ф2(А э В) и ТС Ь ф2(А) ^ ТС Ь ф2(В).

Действительно, ^2(А D В) = А D В, ^2(А) = A, ^2(В) = В, а правило modus ponens имеется в ТС. Доказательство части (2) критерия Смирнова завершено.

Докажем часть (3) указанного критерия — VA(TC h(A = ^2(^i(A)))). В связи с тем, что ^2(А) = А, нам необходимо доказать VА(ТС h (А = ^i(A))).

Пусть имеется произвольное утверждение B языка ТС; Si,..., Sn — все термины, содержащиеся в утверждении B. Тогда ^(В) = ((SiiSi & siisi) &... & (SniSn & snisn)) D B.

Покажем: В = ((SiiSi & SiiSi) & ... & (SniSn & SniSn)) D B.

1. SaS Т3

2. SaS D SiS Т4

3. SiS 1, 2, ЛВ

4. SiiSi,..., SniSn, SiiSi,..., SniSn — теоремы

системы ТС 3

5. (SiiSi & SiiSi) & ... & (SniSn & SniSn) 4, ЛВ

6. В = B ЛВ

7. В = & 51151) & ... & (5га15га & 5^)) э В 5, 6, ЛВ

Таким образом, все три части критерия Смирнова выполняются. Следовательно, ТС погружается в НФС посредством ф1. В работе [3] показана погружаемость системы НФС в систему обобщенной позитивной силлогистики (ОФС) посредством функции В свою очередь, доказана погружаемость системы ОФС в исчисление предикатов посредством перевода * [5]. Из данных утверждений получаем, что ТС погружается в исчисление предикатов посредством композиции функций ф1, *. Остается показать, что данная композиция равносильна переводу силлогистических формул, предложенному М.Н. Бежани-швили и Л.И. Мчедлишвили.

Напомним, что язык ОФС содержит новые силлогистические константы: и — аналог отношения исчерпываемости и д — аналог отношения неисчерпываемости. В результате появляются два новых типа формул: 5иР — «Всякий объект есть 5 или Р» и — «Некий объект не есть ни 5, ни Р».

Перевод * силлогистических формул ОФС в язык исчисления

предикатов задан следующим образом:

(5аР)* = Ух(5х Э Рх) (51Р)* = Зх(5х& Рх) (5еР)* = Ух(5х Э —Рх) (5оР)* = Зх(5х& —Рх) (5иР)* = Ух(5х V Рх) (5(\Р)* = Зх(—5х& —Рх) (—А)* = —(А)* (А • В)* = (А)**(В)*,

где • — любая бинарная связка.

Для определения перевода из НФС в ОФС на термах языка негативной фундаментальной силлогистики задается функция f:

f (Б)=0 е.т.е. число терминных отрицаний в терме Б четно

или Б не содержит терминных отрицаний; f (Б)=1 е.т.е. число терминных отрицаний в терме Б нечетно.

Полагается, что 5 и Р — это неотрицательные общие термины, входящие в состав Б и Р соответственно.

В связи с тем, что в НФС мы имеем дело со схемами формул и каждый параметр для терма в них представляет собой простой неотрицательный термин с произвольным количеством отрицаний, то для каждой из формул мы будем иметь количество переводов в язык ОФС, равное 2п, где п — число термов.

ЯаР, если /(Я)=0 и /(Р)=0 Я1Р, если /(Э)=0 и /(Р)=0

^(ЭаР) = ^' если ! @)=0 и f (Р) = 1 ^-¡т = ЯсР, если ! (Б)=0 и f (Р) = 1

5иР, если f (Э) = 1 и f (Р)=0 РсЯ, если f (Э) = 1 и f (Р)=0

РаЯ, если f (Э) = 1 и f (Р) = 1 SqP, если f (Э) = 1 и f (Р) = 1

ЯеР, если f (Э)=0 и f (Р)=0 ЯсР, если f (Э)=0 и f (Р)=0

^1(8еР) = ^аР> если f (Б)=0 и f (Р) = 1 .1(8ср) = Я1Р, если f (Б)=0 и f (Р) = 1

РаЯ, если f (Э) = 1 и f (Р)=0 ЯцР, если f (Э)=1 и f (Р)=0

5иР, если f (Э) = 1 и f (Р) = 1 РсЯ, если f (Э)=1 и f (Р) = 1

А) = —(А) (А • В) = ^(А) . ^1(В),

где • — любая бинарная связка.

Покажем, что композиция функций ф1, * равносильна модификации перевода силлогистических формул, предложенного М.Н. Бежанишвили и Л.И. Мчедлишвили.

Если f (Б) = 0, f (Р) = 0, то

(^1(^1 (БаР)))* = (^х(((515&5'15')&(Р1Р&Р'1Р')) э БаР))* =

= (((515 & 5'15') & (Р1Р & Р'1Р')) э 5аР)* = =(Зх(5х&5х) & Зх(-5X&-5х) & Зх(Рх & Рх) & Зх(-Рх & -Рх))э Ух(5х э Рх) = (Зх5х & Зх-5х& ЗхРх& Зх-Рх) эУх(5хэ Рх)

Если / (8) = 0, / (Р) = 1, то

(^х(ф1(8аР)))* = (фг(((5№& ^О & (Р1Р& Р'1Р')) э 8аР))* =

= (((515 & 5'15') & (Р1Р & Р'1Р')) э 5еР)* = =(Зх(5х&5х) & Зх(-5х&-5х) & Зх(Рх & Рх) & Зх(-Рх & -Рх))э Ух(5х э -Рх) = (Зх5х & Зх-5х & ЗхРх & Зх-Рх)э Ух(5х э -Рх)

Если / (8) = 1, / (Р) = 0, то

(^х(ф1(8аР)))* = (фг(((5№& ^О & (Р1Р& Р'1Р')) э 8аР))* =

= (((515 & 5'15') & (Р1Р & Р'1Р')) э 5иР)* = =(Зх(5х&5х) & Зх(-5х&-5х) & Зх(Рх & Рх) & Зх(-Рх & -Рх))э Vx(SxVPх)= (Зх5х & Зх-5х & ЗхРх & Зх-Рх) э Ух(-5х э Рх)

Если / (8) = 1, / (Р) = 1, то

(^х(ф1(8аР)))* = (фг(((5№& ^О & (Р1Р& Р'1Р')) э 8аР))* =

= (((515 & 5'15') & (Р1Р & Р'1Р')) э Ра5)* = =(Зх(5х&5х) & Зх(-5х&-5х) & Зх(Рх & Рх) & Зх(-Рх & -Рх))э Vx(Px э 5х) = (Зх5х & Зх-5х & ЗхРх & Зх-Рх)э Vx(-Sx э-Рх)

Если / (8) = 0, /(Р) = 0, то

(■01 (ф1 (81Р)))* = (фг(((5№&5'15')&(Р1Р&Р'1Р')) э 81Р))* =

= (((515 & 5'15') & (Р1Р & Р'1Р')) э 51Р)* = =(Зх(5х&5х) & Зх(-5х&-5х) & Зх(Рх & Рх) & Зх(-Рх & -Рх))э Зх(5х & Рх) = (Зх5х & Зх-5х & ЗхРх & Зх-Рх)э Зх(5х & Рх)

Если /(8) = 0, /(Р) = 1, то

(01 (ф1 (81Р)))* = (01(((515& 5'15')&(Р1Р& Р'1Р')) э 81Р))* =

= (((515 & 5'15') & (Р1Р & Р'1Р')) э 5оР)* = =(Зх(5х&5х) & Зх(-5х&-5х) & Зх(Рх & Рх) & Зх(-Рх & -Рх))э Зх(5х & -Рх) = (Зх5х & Зх-5х & ЗхРх & Зх-Рх) э Зх(5х &-Рх)

Если /(8) = 1, /(Р) = 0, то (01 (ф1 (81Р)))* = (01(((515& 5'15')&(Р1Р& Р'1Р')) э 81Р))* =

= (((SiS к S'iS') к (PiP к P'iP')) D PoS)* = =(Зx(SxkSx) к Зx(-Sx k-Sx) к Зx(Px к Px) к Зx(-Px k-Px))D Зx(P x к -Sx) = (ЗxS x к Зx-Sx к ЗxPx к Зx-P x) D Зx(-S x к P x)

Если f(S) = l, f(P) = l, то

(^l(^l(SiP)))* = (^l(((SiS к S'iS')k(PiP к P 'iP' )) D SiP))* =

= (((SiS к S'iS') к (PiP к P'iP')) D SqP)* = =(Зx(S xkS x) к Зx(-S x к -S x) к Зx(P x к P x) к Зx(-P x к -P x)) D Зx(-Sx k-Px) = ^xSx к Зx-Sx к ЗxPx к Зx-Px) D Зx(-Sx к -Px)

Если f(S) = G, f(P) = G, то

(^l(^l(SeP)))* = (^l(((SiS к S'iS') к (PiP к P'iP')) D SeP))* =

= (((SiS к S'iS')k(PiP к P'iP')) D SeP)* = =(Зx(S xkS x) к Зx(-S x к -S x) к Зx(P x к P x) к Зx(-P x к -P x)) D Vx(SxD -Px) = (ЗxSx к Зx-Sx к ЗxPx к Зx-Px) D Vx(Sx D -Px)

Если f(S) = G, f(P) = l, то

(^l(^l(SeP)))* = (^l(((SiS к S'iS') к (PiP к P'iP')) D SeP))* =

= (((SiS к S'iS')k(PiP к P'iP')) D SaP)* = =(Зx(S xkS x) к Зx(-S x к -S x) к Зx(P x к P x) к Зx(-P x к -P x)) D Vx(Sx D P x) = (ЗxSx к Зx-S x к ЗxP x к Зx-P x)D Vx(Sx D--P x)

Если f(S) = l, f(P) = G, то

(^l(^l(SeP)))* = (^l(((SiS к S'iS') к (PiP к P'iP')) D SeP))* =

= (((SiS к S'iS')k(PiP к P'iP')) D PaS)* = =(Зx(S xkS x) к Зx(-S x к -S x) к Зx(P x к P x) к Зx(-P x к -P x)) D Vx(P x D S x) = (ЗxSx к Зx-S x к ЗxP x к Зx-P x)D Vx(-Sx D-Px)

Если f(S) = l, f(P) = l, то

(^l(^l(SeP)))* = (^l(((SiS к S'iS') к (PiP к P'iP')) D SeP))* =

= (((SiS к S'iS')k(PiP к P'iP')) D SuP)* = =(Зx(S xkS x) к Зx(-S x к -S x) к Зx(P x к P x) к Зx(-P x к -P x)) D Vx(SxVPx) = ^xSx к Зx-Sx к ЗxPx к Зx-Px) D Vx(-Sx D --Px)

Если f(S) = G, f(P) = G, то (^l(^l(SoP)))* = (^l(((SiS к S'iS')k(PiP к P 'iP' )) D SoP))* =

= (((SiS & S'iS') & (PiP & P'iP')) D SoP)* = =(3x(Sx&Sx) & 3x(-Sx & -Sx) & 3x(Px & Px) & 3x(-Px & -Px))D 3x(Sx & -Px) = (3xSx & 3x-Sx & 3xPx & 3x-Px) D 3x(Sx & -Px)

Если f (S) = 0, f (Р) = 1, то

(0x(0i(SoP)))* = (0x(((SiS & S'iS')&(PiP & P'iP')) D SoP))* =

= (((SiS & S'iS') & (PiP & P'iP')) D SiP)* = =(3x(Sx&Sx) & 3x(-Sx & -Sx) & 3x(Px & Px) & 3x(-Px & —Px))D 3x(Sx & Px) = (3xSx & 3x-Sx & 3xPx & 3x-Px) D 3x(Sx & --Px)

Если f (S) = 1, f (Р) = 0, то

(0x(0i(SoP)))* = (0x(((SiS & S'iS')&(PiP & P'iP')) D SoP))* =

= (((SiS & S'iS') & (PiP & P'iP')) D SqP)* = =(3x(Sx&Sx) & 3x(-Sx & -Sx) & 3x(Px & Px) & 3x(-Px & -Px))D 3x(-Sx & -Px)= (3xSx & 3x-Sx & 3xPx & 3x-Px)D 3x(-Sx & -Px)

Если f (S) = 1, f (Р) = 1, то

(0x(0i(SoP)))* = (0x(((SiS & S'iS')&(PiP & P'iP')) D SoP))* =

= (((SiS & S'iS') & (PiP & P'iP')) D PoS)* = =(3x(Sx&Sx) & 3x(-Sx & -Sx) & 3x(Px & Px) & 3x(-Px & -Px))D 3x(Px & -Sx) = (3xSx & 3x-Sx & 3xPx & 3x-Px)D 3x(-Sx & --Px)

Литература

[1] Бежанишвили М.Н., Мчедлишвили Л.И. Позитивная силлогистика и логика предикатов // Логика Аристотеля. Тбилиси, 1985.

[2] Бочаров В.А. Алгебраические реконструкции силлогистики // Логико-методологические исследования. М., 1980.

[3] Ильин А.А. Негативная фундаментальная силлогистика // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. Вып. 15. М., 2000.

[4] Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1983.

[5] Маркин В.И. Обобщенная позитивная силлогистика // Логические исследования. Вып. 6. М., РОССПЭН, 1999.

[6] Маркин В.И. Силлогистические теории в современной логике. М.: МГУ, 1991.

[7] Смирнов В.А. Логические методы анализа научного знания. М., 1987.