CC BY
46
УДК 514.765
Д. С. Воронов, О.П. Гладунова
Сигнатура оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой
D.S. Voronov, О. P. Gladunova
The Signature of the One Dimensional Curvature Operator on Three Dimensional Lie Groups with Left-Invariant Riemannian Metric
В статье дается полная классификация возможных сигнатур оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой.
Ключевые слова: алгебры и группы Ли, левоинвариантные римановы метрики, одномерная кривизна.
При исследовании римановых многообразий важную роль играет тензор одномерной кривизны Ац. Он представляет собой целую часть от деления риманова тензора кривизны на метрический тензор относительно произведения Кулкарни-Номидзу [1] и определяется формулой
Ац = “2 (/-1)) ’ (1)
где Ец - тензор Риччи; Е - скалярная кривизна метрики ¿в2; дц - метрический тензор.
В частности, для конформно-плоской метрики риманову кривизну двумерной площадки £ Л £2 можно представить в виде
К{Ь Л Ь) = (А£1, £1) + (А £2, Ь)-
Следовательно, изучение свойств оператора одномерной кривизны представляет интерес в понимании геометрического и топологического строения однородного риманова многообразия. Естественно попытаться отыскать общие свойства оператора одномерной кривизны. Один из вариантов - изучить возможные сигнатуры оператора одномерной кривизны однородного риманова многообразия.
В данной работе обобщены и уточнены результаты, полученные в [2], классифицированы возможные сигнатуры оператора одномер-
Complete classification of possible signatures of the one dimensional curvature operator on three dimensional Lie groups with left-invariant Riemannian metric is given in this paper.
Key words: Lie algebras and Lie groups, left-invariant Riemannian metrics, one dimensional curvature.
ной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой.
Напомним, что метрической алгеброй Ли называется пара (д,ф), где 0 - вещественная алгебра Ли, а Q - некоторое скалярное произведение на 0. Произвольная левоинвариантная риманова метрика р на группе Ли О определяет скалярное произведение ^ ^гебре Ли 0 О
ведение ^ на 0 индуцирует левоинвариантную рО 0
О
получить в терминах метрической алгебры Ли (0, Q) формулы для вычисления основных характеристик кривизны риманова многообразия [11-
Проблема определения возможных сигнатур оператора одномерной кривизны левоинвариантных римановых метрик на заданной группе Ли является локальной, поэтому естественно переформулировать ее в терминах метрических алгебр Ли. Именно, определить возможные значения сигнатур оператора одномерной кривизны для всевозможных скалярных произведений на заданной алгебре Ли.
Под сигнатурой симметрического оператора В, действующего на п-мерном евклидовом пространстве, будем понимать упорядоченный на-
*Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (№08-01-98001, №10-01-90000-Бел_а), Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых ученых и ведущих научных школ РФ (№НШ-5682.2008.1), а также ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0457).
бор (8§п(^)^п(^), . . . , в§п(тп)), где Т1 < Т2 < Для упрощения изложения занумеруем все воз... < тп - собственные значения оператора В. можные сигнатуры для трехмерного случая так, и в§п(х) означает знак (вещественного) числа х. как это указано в таблице 1.
Таблица 1
Возможные сигнатуры оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли
№ 1 2 3 4 5
Сигнатура — , —, — — — ,о) —,+) (—,0,0) І—Л+)
№ 6 7 8 9 10
Сигнатура ( — ,+,+) (0,0,0) (о,о,+) (0,+,+) (+,+,+)
Унимодулярный случай
О
па Ли, 0 - алгебра Ли группы О, (•, 0 _ скаляр-00
ортонормированный базис ех, ез с коммута-
ционными соотношениями
[еЬ Ы = ^Зе3, [еЪ ез] = ^2е2,
[е2, е3] = \хе1} (2)
где 0 < А1 < А2 < Аз.
Кроме того, существует ровно шесть неизоморфных трехмерных алгебр Ли и соответствующих им типов унимодулярных трехмерных групп Ли. Все они приведены в таблице 2 (см. подробнее в [3]).
Таблица 2
Трехмерные унимодулярные группы Ли и соответствующие им алгебры Ли
Случай Знаки (Аъ ^ Аз) Группа Ли Алгебра Ли
(а) (+,+,+) £^(2) или £0(3) ви(2) - компактная, простая
(Ь) (+,+, —) БЦ2, М) или 0(1, 2) в/(2, М) - некомпактная, простая
(с) (+,+,0) Е(2) е(2) - разрешимая
№ (+, —,о) тл) е(1,1) - разрешимая
(е) (+,0,0) Н - группа Гейзенберга Н - нильпотентная
V) (0,0,0) М 0 М 0 м М3 - коммутативная
Из (1) следует, что квадратичная форма А в базисе (2) имеет диагональный вид, и ее главные значения равны:
^ = о (^Аі — З— ЗА| + 6А2А3
О
— 2АіАз — 2^ А),
к2 = ^ (—3А + 5^ — 3А + 6ААз
— 2А1А2 — 2^^), кз = д (—3А — 3^| + 5А| + 6аа2
— 2АіАз — 2А А).
Таким образом, определение сигнатуры оператора одномерной кривизны трехмерной уни-модулярной алгебры Ли с левоинвариантной ри-мановой метрикой сводится к нахождению всевозможных знаков главных значений к2,
в зависимости от знаков структурных констант
(АЪ ^ Аз)-
Сформулируем основной результат в случае трехмерных унимодулярных алгебр Ли с лево-(3) инвариантной римановой метрикой.
Теорема 1. Пусть О - унимодулярная трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, 0 - алгебра Ли группы О, в -произвольная сигнатура из таблицы 1. Тогда
в реализуется в качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны, для некоторого скалярно-0
чае, если в таблице 3 на пересечении строки,
0
ответствующего сигнатуре в, находится знак 11 _1_ 11
Таблица 3
Возможные сигнатуры оператора одномерной кривизны левоинвариантных римановых метрик
на трехмерных унимодулярных группах Ли
№ сигнатуры
Алгебра Ли 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
зи(2) — — + — + + — + + +
аГ , со — — + — + + — — — —
е(2) — — + — — — + — — —
е(1,1) — — + — + + — — — —
Н — — + — — — — — — —
Г3 — — — — — — + — — —
Далее мы рассмотрим последовательно все трехмерные унимодулярные алгебры Ли, чем и докажем теорему 1.
Алгебра *и(2).
Предложение 1. В качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны, на алгебре вм(2) реализуются только сигнатуры (—, — , +), -, , -, , , , , , , ,
т.е. сигнатуры 3, 5, б, 8, 9 и 10 таблицы 1.
Доказательство. В таблице 4 приведены значения параметров А1, А2, А3, при которых реализуются сигнатуры, указанные в формулировке предложения.
Таблица 4
Наборы структурных констант алгебры Ли ви(2) и соответствующие им сигнатуры оператора одномерной кривизны левоинвариантных римановых метрик
№ сигнатура А1 а2 Аз
3 — , —,+) 1 і 5 3
5 (—,о,+) 7 4 5 1
6 (—,+,+) 1 1 2 5
8 (0,0,+) 1 1 4 3
9 (0,+,+) 4 5 1 1
10 (+,+,+) і 1 1
Докажем, что остальные сигнатуры нереализуемы. Для этого рассмотрим
к3 = д(5А| — 3А| — 3А%+ 6А1А2 - 2А1Аз — 2А2Аз)
= 8 — 4 А + 4АхА'2 — 4 А + 4Аз + А1 + А% + А
+2^А — 2^^ — 2Х2Аз) = д(—4А1 + 4А А2 —4а2 + 4А| + (А1 + А — Аз)2) >0.
Поскольку кз > 0, то сигнатуры 1, 2, 4 и 7 из таблицы 1 нереализуемы.
,
Предложение 2. В качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны, на алгебре в/(2, Я) реализуются только сигнатуры —, —, —, , —, ,
5 и 6 таблицы 1.
Доказательство. В [2] показано, что при заданных ограничениях на структурные константы (0 < А < А2, Аз < 0) алгебры Ли в/(2, Я) выполняются следующие неравенства:
1) кх < 0, к3 > 0, если А = А > 0,
2) кх < 0, к3 > 0, если 0 < А < А < Ах +|,
3) кг < 0, к2 > 0, если 0 < А < Аг +1^| < А2.
Таким образом, сигнатуры 1, 2, 4, 7-10 из
таблицы 1 нереализуемы. В таблице 5 приведены значения параметров А, А2, Аз, при которых реализуются сигнатуры, указанные в формулировке предложения.
Таблица 5
Наборы структурных констант алгебры Ли
в/(2, Я) и соответствующие им сигнатуры оператора одномерной кривизны левоинвариантных римановых метрик
№ сигнатура Аі А2 А3
3 —, —,+) 1 1 —1
5 (~о,+) 19+4^31 15 4 5 —1
6 (—,+,+) 1 3 1 —1
Алгебра е(2).
Предложение 3. В качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны, на алгебре е(2) реализуются только сигнатуры (—, —,+),
,,
Доказательство. Рассмотрим, чему в данном случае равны главные кривизны оператора одномерной кривизны. Подставим Л3 = 0 в (3), и после упрощения получим
*і = ^(5Лі + ЗЛ2)(Лі — Л2),
k2 = —ЗЛ+бЛ^Л — Л2), (4)
*3 = “ Л — Л2)2.
о
Очевидно, что возможны только два случая, при которых сигнатуры оператора одномерной кривизны будут различны: 1) 0 < Л = Л2 и 2) О < Л < Л2. В первом случае получаем сигна-, , —, —,
Алгебра е(1, 1).
Предложение 4. В качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны, на але,
—, —, —, , —, ,
5 и 6 таблицы 1.
Доказательство. Следуя работе [2], заменим в (4) Л на — Л | и получим
*1 = ^(5Л! — 3|Л21) (Л1 + Л |),
*2 = —1(ЗЛ — 5|Л|)(Л + ЛD,
h = — | (Л1 + Л |)2 •
Нетрудно заметить, что возможны только три случая различных сигнатур:
1) если 0 < Л < ||Л| или Л > ||Л2|j ТО
—, —,
2) если Л = ||Л | пи Л = ||Л |j то сигна-
—, ,
3) если ||Л21 < Л < ||Л|j то сигнатура
—, ,
Алгебра h.
Предложение 5. В качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны, на алгебре h реализуется только сиг натура (—, —,+), т.е. сигнатура 3 таблицы 1.
Доказательство. Главные кривизны оператора одномерной кривизны имеют вид
* = 8Л’ *2 = —8 = —8
Так как Л > 0, то сигнатура (—, —, +) является единственно возможной сигнатурой оператора одномерной кривизны.
Алгебра ІІ3.
Для абелевой алгебры Г все структурные ААА
нулевым является и оператор одномерной кривизны. Таким образом, мы получаем следующее очевидное
Предложение 6. В качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны, на алгебре Г реализуется только сигнатура (0,0,0), т.е. сигнатура 7 таблицы 1.
Итак, теорема 1 доказана. Неунимодулярный случай Пусть О - трехмерная неунимодулярная группа Ли, д - алгебра Ли группы О. (-, •) - скалярное произведение на д. Тогда в д существует [3] положительно ориентированный ортонор-мированный базис еі, е2, ез с коммутационными соотношениями
[еЬ е2] = ае1+ ве2, [еЬ ез] = 72е2 + 5 ^ [е2,е3]= 0,
где а + 5 ф 0 и а^ + ¡35 = 0.
Следуя [3], обозначим а = 1 + £, в = (1 + £)ц, 7 = —(1 — £)ц, 5 = 1 — где £ > 0, ц >0. Квадратичная форма А диагонализируема в этом базисе и ее главные значения равны
к _ 1 3£2 3 2 ¿2 к~ — 2 — 2£ — 2,
к2 = — ¡ — 2£ — 2ц2 £ + \?п2 + , (5)
кз = — ± + + +
Таким образом, определение сигнатуры оператора одномерной кривизны трехмерной не-унимодулярной алгебры Ли с левоинвариантной римановой метрикой сводится к нахождению всевозможных знаков ее главных значений кь к2, к в зависимости от знаков структурных констант (А, А2, Аз).
Сформулируем основной результат в случае трехмерных неунимодулярных алгебр Ли с левоинвариантной римановой метрикой.
О
ная трехмерная группа Ли с левоинвариантной
д
О
д
натуры ^, —, —), ^, —,0), ^, —,+), (—,0,+),
—, , цы 1.
Доказательство. В таблице 6 приведены значения параметров а, в, ^, 5, при которых реализуются сигнатуры, указанные в формулировке теоремы.
Таблица 6
Возможные сигнатуры оператора одномерной кривизны левоинвариантных римановых метрик
на трехмерных неунимодулярных группах Ли
J# сигнатуры сигнатура a в 7 6
і її 11 9 9
10 10 in in
2 (-,-,o) _1 _i_ Зл/2 1 ^ 2 _1 _i_ Зл/2 1 ^ 2 -3+^# о Зл/2 0 2
3 3 3 1 -1
5 (-,0,+) 3+^ 3+^ 1 + ^# і Зл/2 ЇГ
6 (—,+,+) 6 6 4 -4
Докажем теперь, что остальные сигнатуры не могут быть сигнатурами оператора одномерной кривизны. Заметим, что к < 0. Следовательно, сигнатуры 7-10 нереализуемы. Покажем, что сигнатура 4 также не может быть сигнатурой оператора одномерной кривизны трехмерной неунимодулярной алгебры Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Для этого решим уравнения &2 = 0 и к = 0 системы равенств (5) относительно £:
, „ ґ 2rf + 2 + \J 4n4 + 9n2 + 5
«2=0: £i = ---------------------------------:- >0,
n +1
+ 2 — v74n4 + Щ2 + 5 & =----------------m----------------
n +1
Очевидно, что сигнатура ( —, 0,0) может быть сигнатурой оператора одномерной кривизны в том и только том случае, если £ = £[. Имеем
£ —
2п2 + 2 + \/ 4^4 + Щ2 + 5 П + 1
2^2 + 2 — у7 4^4 + 9п2 + 5 + —--------2ТІ---------=4^0.
П2 + 1
Следовательно, сигнатура (—,0,0) нереализуема в качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны трехмерной неунимодулярной алгебры Ли с левоинвариантной римановой метрикой.
Теорема 2 доказана.
, 2п2 + 2 — у7V + V + 5 > п
и : «і =-----------------z?TT-,--------------
п +1
2ц2 + 2 — \J 4^4 + Щ2 + 5
п +1
< 0.
к
Библиографический список
1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: пер. с англ.: в 2 т. - М., 1990.
2. Rodionov E.D., Slavskii V.V. Curvature estima-
tions of left invariant Riemannian metrics on
three dimensional Lie groups // Differential Ge-
ometry and Application. Proceeding of the 7th International Conference. - Brno, 1999.
3. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Advances in mathematics. -1976. - V. 21.
