СХОДИМОСТЬ ФОРМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО МЕТОДУ ФУРЬЕ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПРОСТЕЙШЕГО НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems Series, VSP, Utrecht, 2002, 250 p.

УДК 517.95, 517.984

В. В. Корнев, А. П. Хромов

СХОДИМОСТЬ ФОРМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО МЕТОДУ ФУРЬЕ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПРОСТЕЙШЕГО НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим простейшую смешанную задачу:

= + f É Q = [0,1] X [0,T], T > 0; (1)

п(0, г) = п(1, г) = и(х, 0) = и[(х, 0) = 0, (2)

при минимальном требовании

/(Ж, г) е Ь(Я).

Теорема. Ряд формального решения задачи (1) - (2) по методу Фу-

1 Г

(x,t) = 2^> — an(r) sinnnxsinnn(t — т) dr (3)

nn J

ръе

ТО 1

u(x,t) = 2 У — , ^n ^ nn n=1 0

сходится в любой точке (x,t) G Q и для его суммы справедлива формула

t X+t —Т

u(x,t) = 1У dr j Ф(п,т) dn, (4)

0 x-t+т

1

где ап(т) = f f (£,r) sinnn^d^, Ф(п,т) - 2-периодическая no n на всей 0

оси, нечетная на [-1,1] и Ф(п, т) = f (n, т) при n G [0,1].

Доказательство. (Это доказательство дополняет доказательство, приведенное в [1]).

Зафиксируем произвольную точку (x,t) G Q. Как показано в [1], соотношение (3) можно записать в виде

u(x,t)= lim / 'N(т) dr, (5)

N-^oo /

где

N

(т) = У^ ап(т) ( —— j (cosnn(x + t — т) — cosnn(x — t + т)), (6) ' V nn /

n=1 4 x

причем почти при всех т £ [0, t] Ф(^,т) £ L[0,1] и существует предел

x+t—т

lim (т)= 1ф(П,т) (7)

J 2

x—t+т

Обоснуем, что в (5) можно перейти к пределу под знаком интеграла (тогда на основании (7) теорема будет доказана). Рассмотрим ряд

У^ап(т) (--) cos nnn = Vcos nnn Í if Ф(в,т) ds I cos nn£d£ =

^ 1 1

= YiJ (*>(í,т) - о»)coSnní■ со.+ ) - о») dí,

n=1-1 -1 n 1

где Фо(£, т) = Ц Ф(з, т) ds со = Ц Фо(£, т) d£. о -1

Следовательно, этот ряд есть ряд Фурье функции Ф1(п,т) =

= Фо(£,т) -со по 2-пернодпческой сncTeMejcos nnn, sin ппп}^=о. Если записать его частичные суммы с помощью ядра Дирихле Dn (u) = и учесть (6), то получим

2 sin u

t

п п

'N(т) = 1 ф^U + Ь,т) Dn(u) du-- Ф^U + ®,т) Dn(u) du, (8)

П J \n / П J \n

пп

где b = x + t — т, a = x — t + r

Запишем Фх(п,т) в виде суммы двух монотонных (по rj) функций

Фх(п,т) = Ф+(п, т) + Ф—(п,т),

п п

где Ф+(п,т) = Ф+(в,т ) (в - с0, Ф-(п,т) = Ф_(в,т) (в,

о о

Ф+, Ф_ - соответственно неотрицательная и неположительная части

функции Ф(в,т). (Эти рассуждения надо проводить отдельно для вещественной и мнимой части функции /(х,г)). Оценим первый интеграл в (8) (второй аналогично).

Ф1 (и + Ь,т^ (и) (и

<

Ф+ (п + Ь, т) (и) (и

+

+

Ф_ + Ь,т^ (и) (и

(9)

Применяя вторую теорему о среднем ([2, с. 19]) к первому интегралу в правой части (9), имеем

Ф+ (~ + Ь, т) (и) (и

< |Ф+ (-1 + Ь,т )|

е

(и) (и

+

+ |Ф_ (1 + Ь,т)|

(и) (и

Как известно, (см. [2, с. 108, 114],,

„ , ч Б1П пи Бп(и) =-+ 0(1) и

и

в

Бт пи

и

(и

< 2п

при любых а, в, п. Кроме того,

Ф+ (±1 + Ь,т )| =

±1+х+г_г

Ф+(в, т) (в _ с0

< с1 /(в,т)1 dв,

где с1 не зависит от х,г и т.

Аналогично оценивается второй интеграл в правой части (9). В силу этих оценок из формулы (8) следует, что

п

п

п

п

п

1

1Фм(т)| < с| |/(*,т)| ¿5, (10)

0

где с не зависит от N и т.

Правая часть (10) является суммируемой на [0, *] функцией от т. Поэтому из (5) с учетом (7) по теореме Лебега о предельном переходе получаем формулу (4).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Корпев В. В., Хромов А. П. Об одной смешанной задаче для неоднородного волнового уравнения // Математика, Механика : еб, науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2016. Вып. 18. С. 27-30.

2. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М. : Физматлит, 1961,

УДК 517.984

O.A. Королева

АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЖОРДАНА - ДИРИХЛЕ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ЯДРОМ, ИМЕЮЩИМ СКАЧКИ НА СТОРОНАХ КВАДРАТА, ВПИСАННОГО В ЕДИНИЧНЫЙ КВАДРАТ

Рассмотрим интегральный оператор:

У = А/ = у А (ж,*) /(*) (1)

0

Обозначим:

А1(ж, *) = А(ж,*), если {0 < * < 1/2 - ж, 0 < ж < 1/2}, А2(ж,*) = а(ж,*), если {1/2 + ж < * < 1, 0 < ж < 1/2}, А3(ж,*) = А(ж,£), если {0 < * < -1/2 + ж, 1/2 < ж < 1}, А4(ж, *) = А(ж,£), если {э/2 - ж < * < 1, 1/2 < ж < 1}, А5(ж, *) = а(ж,*), если {1/2 - ж < * < 1/2 + ж, 0 < ж < 1/2} и {-1/2 + ж < * < 3/2 - ж, 1/2 < ж < 1} .

Будем предполагать, что дХкШ А«(ж,£), (г = 1,..., 5) непрерывны в своих областях, (к + I < 2, причем, если к + I = 2, то к = I = 1).

Аг(ж,£), (г = 1,..., 5) непрерывно дифференцируемы в своих областях, причем

А5(ж, ! - ж + 0) - А1(ж, ! - ж - 0) = а,

1