СХОДИМОСТЬ ЧИСЛЕННОГО ДИАГРАММНОГО МЕТОДА НЕЛИНЕЙНОГО РАСЧЁТА СТЕРЖНЕВЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

DOI: 10.34031/2071-7318-2022-7-7-31-43 1*Радайкин О.В., 12Сабитов Л.С., 3Клюев С.В., 4Хассун М.С., 5Аракчеев Т.П., 1Дарвиш А.

'Казанский государственный энергетический университет 2Казанский (Приволжский) федеральный университет 3Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова 4Казанский государственный архитектурно-строительный университет 5ООО «ГК «ЭПЦ-Гарант», Республика Татарстан *E-mail: olegxxii@mail.ru

СХОДИМОСТЬ ЧИСЛЕННОГО ДИАГРАММНОГО МЕТОДА НЕЛИНЕЙНОГО РАСЧЁТА СТЕРЖНЕВЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Аннотация. Ранее мы достаточно подробно рассмотрели малоизученный в теории диаграммного метода расчёта железобетонных стержневых элементов вопрос о точности (погрешности). Тесно с ним связано понятие сходимости численной реализации рассматриваемого метода, которое до сих пор оставалось нераскрытым. В статье представлено теоретическое обоснование критерия сходимости численного диаграммного метода расчёта прочности железобетонных изгибаемых элементов. Полученный критерий по форме совпадает с Чебышевой нормой. Из него вытекают критерий остановки итерационного процесса вычислений и оценка погрешности численного диаграммного метода. На примере железобетонного элемента с прямоугольным сечением и двойным армированием исследован вопрос сходимости итерационного расчёта прочности при варьировании класса бетона и процента армирования. Установлено, что для всех рассмотренных вариантов конструирования итерационный процесс вычислений сходится после 6-й итерации при начальном приближении кривизны %0 = 0 и после 4-й итерации - при %0 = 105, при этом относительная погрешность расчёта составляет д<1 %. Установлено также, что с увеличением процента армирования сходимость расчёта улучшается: при количестве итераций равном 4 погрешность при варианте конструирования В60, ц=0,5 % составляет 10,3 %, а при В35, f1=3,0 % - 0,98 %.

Ключевые слова: армированный бетон, нелинейная деформационная модель, диаграммный метод, численный метод, сходимость.

Введение. Ранее мы достаточно подробно рассмотрели малоизученный в численной реализации диаграммного метода расчёта железобетонных стержневых элементов вопрос о его точности (погрешности) [1]. Тесно с этим вопросом связано такое понятие, как сходимость. К сожалению, не нашлось ни одной работы как в отечественной литературе, так и зарубежной, посвящённой теории сходимости

рассматриваемого метода. Цель данной публикация - в определённой мере восполнить этот пробел.

Сходимость определяют как приближение (стремление) результата численного метода к истинному (аналитическому) решению задачи. Процесс последовательных приближений считается законченным, если его результаты соответствуют некоторому критерию сходимости.

В статье [2] отмечается, что установить сходимость и оценить быстроту сходимости итерационного процесса не представляется возможным из-за немонотонности итерационного расчета диаграммным методом. Скорость сходимости итераций зависит от уровня нагружения. На начальных этапах итерационный процесс в пределах шага нагружения сходится в среднем за 10-

15 итераций, по мере приближения к предельному состоянию скорость сходимости замедляется. На точность результата большое влияние оказывает формулировка условия прекращения итерационного процесса указанием величины минимального изменения итерационно уточняемых переменных и предельного числа итераций.

В монографии [3] расчёт статически неопределимых железобетонных конструкций с учётом физической нелинейности предложено вести методом последовательного уточнения жесткостей. Отмечается, что начальное приближение решения не влияет на сходимость итерационного метода, поэтому для формулирования критерия сходимости рекуррентная зависимость для нахождения искомого параметра (усилия в сечении стержня с учётом перераспределения) принята в виде простейшей цепной дроби вида

1

. Согласно теореме А.Я. Хинчина

-о 1

а1 +--

а2 +...

для сходимости цепной дроби необходимо и до-

да

статочно, чтобы ряд ^ ак был расходящимся.

к=1

Сформулировать условие сходимости процесса

последовательного уточнения жесткостеи удаётся лишь при рассмотрении простейших систем. Попытки сформулировать это условие для более сложных систем привели к усложнению и критериев сходимости, и аппарата, необходимого для их анализа [4].

В МКЭ, например, в [5] для итерационного уточнения на каждом шаге нагружения напряжениями используется метод переменных параметров упругости (модифицированный алгоритм Ньютона-Рафсона, в котором касательные мо-

дули заменяются на секущие). В качестве критерия сходимости применяется эвклидова норма вектора деформаций.

В Методическом пособии [6] нелинейные задачи железобетона решаются в самом общем виде в объёмной постановке методами упругих решений, переменных параметров, начальных напряжений и др. Интерес касаемо темы статьи представляет небольшой параграф этого пособия 11.7, в котором приведены общие соображения о критерии сходимости метода упругих решений. Критерий записывается через перемещения в трёх возможных вариантах:

1 N

II = - У

1,1 NУ

Ar

<s - октаэдрическая норма,

11X12 =

1 N

- У

Ntr

^ Ar V

r

V эт /

x = max

Ar

< s - Евклидова норма, < s - Чебышева норма,

(1)

r

r

где ||х||123 - норма невязки; s - константа (10-

2<s<10-6); 1<i<N - номер компоненты решения; Art - разность компонент вычисления перемещений между текущей и предыдущей итерациями;

max \rt\

гэт =<; 1 N - эталонная величина перемеще-

— / \Г\ NtT1 11

ний.

Если процесс сходится по одной норме, то он сходится и по любой другой норме. Выбор нормы определяет скорость сходимости. При прочих равных условиях наибольшую скорость сходимости дает Евклидова норма, наименьшую - Чебышева норма.

Использовать вышеприведённые критерии для численного диаграммного метода также возможно, если вместо перемещений r, использовать напряжения а,, деформации s,, предельный момент Mult, момент трещинообразования Mcrc, жёсткость Д и др. Но более удобно, на наш взгляд, для железобетонных элементов, испытывающих изгиб (продольный либо поперечный), критерий сходимости строить через кривизну х-Поскольку кривизна - это интегральный параметр, описывающий деформированное состояние сечения в целом, то на её основе может быть получен критерий сходимости по Чебышеву:

XI =

AX Xk Xk-i

X Xk

<s

(2)

где xk, хк_ - кривизна оси стержня в расчетном сечении соответственно на текущей и предшествующей итерациях расчета.

Ниже будет приведен строгий математический вывод этой формулы.

Из своего опыта построения алгоритмов расчета НДС всевозможных железобетонных элементов численным диаграммным методом [7] сходимость для него может быть рассмотрена в двух формах:

- как сходимость итерационного процесса вычислений (внешний цикл алгоритма), когда для получения результата выполняют последовательные итерации, получая последовательность значений некоего управляющего параметра (обычно кривизны продольной оси железобетонного стержня, реже - относительных продольных деформаций в характерной точке сечения): говорят, что эта последовательность сходится к точному (аналитическому) решению, если при неограниченном возрастании числа итераций решение стремится к действительному и в пределе (при устремлении числа итераций к бесконечности) равно ему;

- как сходимость дискретизации нелинейной деформационной модели нормального сечения при выполнении процедуры численного интегрирования (внутренний цикл алгоритма) нормаль-

и и j-^sec

ных напряжений, о, секущих модулей, E , жесткости по всем компонентам расчетного сечения: под сходимостью в таком случае следует подразумевать стремление значений решения дискретной модели к соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении

к нулю параметра дискретизации (размера малых областей, Ahy■Ab, на которые разбивается сечение).

В статье [8] сходимость численного интегрирования методом Рунге-Кутта определяется

условием \я (лм)| < 1, где Я - функция линейной устойчивости (например, полином 4-го порядка), Ah - шаг разбивки, X - параметр, определяющий связь между функцией и её производной. В монографии [9] рекомендуется для увеличения скорости сходимости использовать формулу Симпсона (правило одной трети). Вопросам сходимости численных методов посвящены также и другие актуальные зарубежные работы [10-15].

Методика. Исследуем последовательно вначале сходимость итерационного процесса вычислений внешнего цикла алгоритма численного диаграммного метода, а затем перейдём ко внутреннему циклу и вопросу дискретизации расчётной модели.

В работе [7] для стержневых элементов, в которых помимо прочих деформаций возникает изгиб, в самом общем виде постановка задачи для решения её численным диаграммным методом состоит в том, чтобы решить уравнение вида:

Х = ё (х), (3)

с корнем t в интервале [а;6]. Здесь х - кривизна оси стержня. При этом в качестве границ интервала, как показывает опыт расчётов, можно принять значения а=-0,1, 6=0,1 практически для любых железобетонных элементов. Функция ё предполагается непрерывной на этом интервале.

Отметим, что при центральном растяжении либо сжатии х=0. В таком случае в качестве управляющего параметра итерационного алгоритма можно принять осевую жёсткость сечения Du=VbEtAb+vsEsAs.

Вообще говоря, при решении задач, связанных с изгибом железобетонных элементов, в качестве управляющего параметра итерационного алгоритма численного диаграммного метода, вместо кривизны х, могут быть использованы и другие, связанные с ней параметры: предельный момент - Mult (либо момент трещинообразования - Mcrc), относительные деформации в характерных точках сечения - s,, , s , s, ,

Dt\y=0 5ly=a bly=y0

s'l ,, sA ,, изгибная жёсткость сечения D33,

^ ly=h-a b ly=h

координата нейтральной линииyo и др. При этом, как показали собственные результаты расчётов, закономерности по сходимости алгоритма (приближения управляющего параметра к точному (аналитическому) своему значению) будут качественно идентичными. Причём

Из =

ЛХ Mt ЛУо

X Mult Уо

=... и т.д.

Результаты. Решим уравнение (3) численным методом простой итерации. Так, если известен какой-либо член последовательности Xk, например, хое [a;b], то Xk+i можно взять g(xk) . Здесь k=0,1,2 _ m - соответственно номер текущей итерации и общее количество итераций. Тогда рекуррентная формула метода имеет вид:

Xk+i = g (Xk ) . (4)

Если существует конечный предел lim xk = z и функция g непрерывна в точке z,

k ^да

переходом к пределу в равенстве (4) получим z = g (z) , то есть число z является корнем

уравнения (1). Если z е [a;b], то в силу единственности корня на отрезке [a;b] z совпадает с t.

Вычисления по формуле (4) проиллюстрированы на рис. 1.

Рис. 1. К численному методу простой итерации для отыскания кривизны

Построим графики функций из левой и правой частей уравнения (3), то есть линии у=х и

У=ё(х). Они должны пересекаться в точке с абсциссой t. Взяв некоторое число хо, вычислим

g(Xo) и получим на кривой у=к(х) точку Ао. Линия проекции этой точки на ось Оу пересечёт прямую у=Х в точке В1. Проекция В1 на ось Ох даёт Х1. Из равенства треугольников АОВ1Х1 и АОВ^(х0) геометрически Х1=к(Хс). Проекция Х1 на кривую У=к(х) даёт точку А1. Линия проекции этой точки на ось Оу пересечёт прямую у=х в точке В2. Проекция В2 на ось Ох даёт Х2. Из равенства треугольников АОВ2Х2 и AОВ2g(хl) геометрически Х2=g(Хl). Через какое-то количество итераций т величина Ъ = Хт настолько близко подойдёт к t, что её можно буде

считать ответом. Это количество шагов будет определять точность приближения Д2 >0 [1].

Далее запишем условия сходимости итерационного процесса решения. Пусть корень t уравнения (3) отделён на отрезке [а;Ь] длины h. Если на отрезке [с;«] = [a-h;b+h] функция g дифференцируема и найдётся число 0<ч<1 такое что

к '(х)|< ч,

Х е [с;«],

(5)

при всех х е [с;«], то итерационная последовательность, предложенная формулой (4), сходится к корню t при любом выборе начального приближения х:>е \о,Ь\ (рис. 2).

Рис. 2. К вопросу сходимости решения

Геометрически условие (5) означает, что угол наклона касательной к кривой к в любой точке из интервала [с;«] должен быть меньше 450 ^45°=1), то есть меньше угла наклона прямой у=Х (а он равен ровно 450). В этом случае линии У=Х и У=к(х) будут иметь пересечение в искомой точке с абсциссой к.

При этом при всех £=1,2,... т числа Хке [с^] и верно неравенство (в теории численных методов оно принимается на основе доказательства соответствующей теоремы):

к -хА < _1|.

(8)

к -хк < чп.

(6)

Это неравенство играет две полезных для нас роли. Во-первых, из него видно, что чем меньше число ч, тем быстрее сходится последовательность приближений. Во-вторых, оно является основой для оценки погрешности итерационного метода, о чём чуть ниже.

Если известно, что значения к(х) находятся в интервале [а;Ь], то выполнение условия (5) достаточно потребовать лишь на [а;Ь], тогда необходимость отрезка [с^] отпадает.

Запишем ещё одно утверждение: если на отрезке [а;Ь] длины П функция к дифференцируема и

\к'(х)| > 1 при всех хе [а;Ь], (7)

то определяемая формулой (4) итерационная последовательность не сходится к корню к е [а;Ь] ни при каком хо фк из этого отрезка.

Геометрически условие (7) означает, что если угол наклона касательной к кривой к в каждой точке из интервала [а;Ь] получается больше 450, то есть больше угла наклона прямой у=Х (а он равен ровно 450), то тогда линии у=х и

у=к(Х) не будут иметь пересечения в рассматриваемом интервале.

Как уже было сказано выше, оценить погрешность итерационного метода можно из неравенства (6), согласно которому справедлива также следующая формула:

ч_ ч'

Обозначим Лх)=х-к(х). Функция Дх) дифференцируема, причём

АЬ)\ = |1-к'(х)\> 1 -Iк'(х)\> 1-ч (9

на [с;«]. Учитывая определение функции / и то, что У(0=0, имеем

\%к+1 -Хк| = |к (хк )-Хк\ =\-/ (Хк )| = | / (к)- / (Хк )| . Применив сначала теорему Лагранжа с некоторым числом «п между к и х,, а затем неравенство (1), получим:

|Хк+1 -Хк\ = \/'(«п)|-Хк\ >(1 -Ч)-Хк|. (10)

Модуль разности |Хк+1 - Хк| можно оценить и сверху. Поскольку

Х -Хк = к(Хк)-к(Хк-1), на основе теоремы Лагранжа с числом рп между Хк, Хк-1 и неравенства (10), получим

|Хк+1 -Хк| = Iк'(Рп)\\Хк -Хк-11 < ч|Хк -Хк-1 (11

Чтобы получить требуемую оценку (8), надо выделить |к - Хк| из неравенства (10) и учесть (11).

Таким образом, если задана точность приближённого корня А>0, то итерационный

процесс необходимо закончить при выполнении условия

Д =•

Ч

1 - ч

\Хы - Хк<[Д]

(12)

и взять / $ Хк .

Условие (12) и есть оценка погрешности численного метода простой итерации.

Число 0<ч<1 может быть принято произвольно, удобно взять Ч=0,5, тогда из (12) следует

Д=Хк-Хк-1 <[Д]. (13)

Мы получили строгое математическое обоснование для оценки точности (погрешности) численного диаграммного метода в случае изгиба или внецентренного сжатия. В относительных величинах условие (13) запишется:

Хк — Хк-1

жёсткости на примере бетонной части поперечного сечения С = С (у) (арматура

дискретизации согласно численному

диаграммному методу не подвергается, поэтому в исследовании сходимости с целью упрощения её жёсткость не учитываем). Для рассматриваемого

гЬ ( \2 (Уо — у

СЫ (у)= ъ|о Еъ (Уо— у) ^У

даь (еь,у,М,В, А...а....)

примера где

Еь =

деъ (у,М,В,А..)...) уо = уо (М,В, А...а}...)

% =

Хк

1оо% <[%]. (14)

При этом по смыслу это и есть критерий сходимости по Чебышеву - см. формулу (2).

Рассмотрим теперь кратко сходимость дискретизации нелинейной деформационной модели нормального сечения при выполнении процедуры численного интегрирования (внутренний цикл алгоритма) изгибной

ко = уо, м , в, а...). ..., - сложные нелинейные

функции многих переменных, получить аналитические формулы, для которых в принципе возможно и они будут довольно громоздкими, но в рамках данных исследований в этом нет необходимости. Тем не менее,

функция С^ (у) может быть аппроксимирована

полиномом нулевой, первой и четвёртой степени и соответственно для её вычисления используют формулы численного интегрирования прямоугольников (левых, правых и срединных), трапеций и Симпсона:

= ДфX Е1°° (уо — у1 )2 - левые прямоугольники, степень полинома тр=о;

i = о

п

= ДфX Е1°° (уо — у1 )2 - правые прямоугольники, тр=о;

i=1

СЬх = Д къ£ Е

=ДтЪ£[Еъ:; (уо — у,.)2 + ег;+1 (уо — у+1 )2] - трапеции тр=1;

,=о

п —1

ъ,, +— 2

уо

-у 1

, +— 2

- средние прямоугольники, тр=1;

(15)

п—1

С =

6 ,=о

Г л2

ЕЦ (уо — у, )2 + 4 + Е

ъ,,+—

уо

-у. 1

г+-

2 У

"Е^ (уо — у,+1 )2

- формула

Симпсона, тр=3.

В СП 63.1333о применяется формула правых либо левых прямоугольников (не уточняется), как наиболее простая.

Получить аналитически критерий сходимости можно на основе остаточного члена той или иной квадратурной формулы (15) в виде

С ( у )— с; (у )

Е (С ):

С ( у )

<[%21 ] , (16)

[%21]=1...3%

где [с21] —1...3/0 заданная предельная

погрешность [1].

Изменяя шаг дискретизации Ли расчётной схемы, можно добиться выполнения условия

(16). При этом Е (Съх ) ^ о, когда Д

^ о.

Исследуем вопрос сходимости численного диаграммного метода на примере железобетонного изгибаемого элемента прямоугольного профиля, ъхй=2оох5оо мм, изготовленного из тяжёлого бетона класса по прочности ВЮ-Вбо - уаг. Для бетона используется усовершенствованная

криволинейная диаграмма Карпенко Н.И. [2], для арматуры - двухлинейная Прандтля по СП 63.1333о. Площадь сечения нижней растянутой арматуры - переменная (уаг), верхнее армирование - конструктивное (2012 А5ооС). При этом общий процент армирования сечения ц=(Ах+А'х)/(ъИ) меняется от о,5 до 3 %. Привязка арматуры к граням бетона: а$=а\=3о мм. Для

2

и

удобства анализа решение уравнения (1) представим в виде известной зависимости

M

Xk ='

ult,k

D

из неё получим Mutk = XkDk

предельный изгибающий момент, который способно воспринять рассматриваемое железобетонное сечение. Для определения Мицк воспользуемся ранее предложенным алгоритмом [2], но при этом будем вычислять его на каждой

итерации, количество которых примем m=1... 10 - var. Количество разбиений на элементарные площадки по высоте сечения примем «=20 -const. Начальное приближение кривизны и координаты уровня нулевой линии соответственно: х0 = 0 либо х0 = 10 ~5 , h

y0 = — = 0,25 м . Результаты вычисления Muit,k сведём в таблицы 1 и 2.

Таблица 1

Результаты вычисления Muu,k, кН*м при х0 = 0

№ Конструированы е Итерации

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 В10, ^=0,5% 0 80.722 51.095 41.854 40.559 40.594 40.751 40.708 40.753 40.764

2 В35, ^=0,5% 0 178.785 82.246 54.464 48.753 47.719 47.368 47.369 47.37 47.37

3 В60, ^=0,5% 0 247.317 98.665 59.417 50.78 49.507 49.399 49.382 49.379 49.379

4 В10, ^=1,75% 0 96.536 104.782 105.648 106.592 107.136 107.324 107.387 107.408 107.415

5 В35, ^=1,75% 0 202.189 171.924 164.691 165.212 165.723 165.86 165.894 165.903 165.905

6 В60, ^=1,75% 0 274.067 203.775 187.29 185.479 184.952 184.962 184.964 184.964 184.964

7 В10, ^=3,0% 0 105.915 128.031 128.436 128.811 128.885 128.998 129.042 129.059 129.065

8 В35, ^=3,0% 0 219.958 227.188 224.973 225.769 226.303 226.449 226.488 226.498 226.5

9 В60, ^=3,0% 0 295.71 272.963 264.561 263.699 263.729 263.739 263.741 263.741 263.741

Таблица 2

Результаты вычисления Muit,k, кН*м при х0 = 10"5

№ Конструирование Итерации

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 В10, ц=0,5% 182.656 43.489 40.874 40.497 40.714 40.789 40.722 40.756 40.765 40.768

2 В35, ц=0,5% 320.565 66.208 51.036 47.874 47.366 47.369 47.37 47.37 47.37 47.37

3 В60, ц=0,5% 365.497 83.148 55.728 50.5 49.483 49.395 49.381 49.379 49.379 49.379

4 В10, ц=1,75% 208.476 107.754 107.529 107.455 107.431 107.423 107.42 107.419 107.419 107.419

5 В35, ц=1,75% 347.837 165.594 164.813 165.609 165.83 165.887 165.901 165.904 165.905 165.905

6 В60, ц=1,75% 392.95 192.661 185.765 184.947 184.959 184.963 184.964 184.964 184.964 184.964

7 В10, ц=3,0% 230.016 134.103 130.423 129.502 129.222 129.125 129.09 129.077 129.072 129.07

8 В35, ц=3,0% 371.92 225.143 225.856 226.328 226.456 226.49 226.498 226.5 226.501 226.501

9 В60, ц=3,0% 417.493 266.654 264.253 263.712 263.735 263.74 263.741 263.741 263.741 263.741

Представим численные данные графически в системе координат «Мл,к/М&,2 - к» - для табл.

1, и « Миик1Мигкл - к» - для табл. 2, где Мы

ult,k,

M,

M„,

•-и/к,! , ^ииа - предельный момент соответственно на текущей к-й, 1-й и 2-й итерациях.

Для табличных численных данных на 1-й и 10-й (последней) итерациях построим аппроксимирующую функцию двух переменных в виде полинома 2-й степени (двумерную полиномиальную регрессию порядка пр=2):

F( х, у) = а + ах+ау+а3ху+а4х2 + а5у2 , где х = + = (0,5 0,5 0,5 1,75 1,75 1,75 3 3 3)Г у = в = (10 35 60 10 35 60 10 35 60)Г

, F(Х,у)= Мик,к либо F(х,у)=М*к/Мы (

F( х, у)= М*к/М*

,2 ). Для полиномиальной

поверхности порядка пр количество точек аппроксимации должно быть больше или равно

пр = 9 > (пр +1) (пр + 2)12 = 6 - условие

выполняется. Средствами ПК MahtCAD, применяя встроенную функцию regress/interp, построим следующие поверхности 2-го порядка, представленные на рис. 3.

Для дальнейшего изучения сходимости на рассматриваемом примере уравнение (5) запишем так:

Kl <q,

(17)

где ч, напомним - произвольное число, удовлетворяющее неравенству 0<ч<1. Примем Ч=0,5.

В выражении (17) производную слева представим численно через соответствующие

приращения функции М№1 —Мии,к и аргумента к+1-к=1, тогда:

Мч

—Мии, < о,5.

Результаты расчёта левой части (16) представим в таблицах ниже.

Результаты вычисления левой части (16) при хо = о

(18) формулы

Таблица 3

№ Конструирование Итерации

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1о

1 В1о, л=о,5% - 8о,722 29,627 9,241 1,295 о,о35 о,157 о,о43 о,о45 о,о11

2 В35, л=о,5% - 178,785 96,539 27,782 5,711 1,о34 о,351 о,оо1 о,оо1 о

3 В6о, л=о,5% - 247,317 148,652 39,248 8,637 1,273 о,Ю8 о,о17 о,оо3 о

4 В1о, л=1,75% - 96,536 8,246 о,866 о,944 о,544 о,188 о,о63 о,о21 о,оо7

5 В35, л=1,75% - 2о2,189 3о,265 7,233 о,521 о,511 о,137 о,о34 о,оо9 о,оо2

6 В6о, л=1,75% - 274,о67 7о,292 16,485 1,811 о,527 о,о1 о,оо2 о о

7 В1о, л=3,о% - Ю5,915 22,116 о,4о5 о,375 о,о74 о,113 о,о44 о,о17 о,оо6

8 В35, л=3,о% - 219,958 7,23 2,215 о,796 о,534 о,146 о,о39 о,о1 о,оо2

9 В6о, л=3,о% - 295,71 22,747 8,4о2 о,862 о,о3 о,о1 о,оо2 о о

Результаты вычисления левой части (16) при хо = 1о—

Таблица 4

№ Конструирование Итерации

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1о

1 В1о, л=о,5% - 139,167 2,615 о,377 о,217 о,о75 о,о67 о,о34 о,оо9 о,оо3

2 В35, л=о,5% - 254,357 15,172 3,162 о,5о8 о,оо3 о,оо1 о о о

3 В6о, л=о,5% - 282,349 27,42 5,228 1,о17 о,о88 о,о14 о,оо2 о о

4 В1о, л=1,75% - 1оо,722 о,225 о,о74 о,о24 о,оо8 о,оо3 о,оо1 о о

5 В35, л=1,75% - 182,243 о,781 о,796 о,221 о,о57 о,о14 о,оо3 о,оо1 о

6 В6о, л=1,75% - 2оо,289 6,896 о,818 о,о12 о,оо4 о,оо1 о о о

7 В1о, л=3,о% - 95,913 3,68 о,921 о,28 о,о97 о,о35 о,о13 о,оо5 о,оо2

8 В35, л=3,о% - 146,777 о,713 о,472 о,128 о,о34 о,оо8 о,оо2 о,оо1 о

9 В6о, л=3,о% - 15о,839 2,4о1 о,541 о,о23 о,оо5 о,оо1 о о о

б)

8' 7

5 4

ъ

1

2

\3

Рис. 2. Графики зависимости « Миц,к!Миг,2 - к» при Хо = о (а) и « Мш,к1МиИ,\ - к» при

и « М,к/ММу - к» при Хо = 1о— (б) для различных вариантов конструирования железобетонного сечения 1.. .9 (см. табл. 1, 2) а) б)

Рис. 2. Графики двумерной полиномиальной регрессии F (+,В) для случая Х0 = 0 (а, б) и Х0 = 10 5 (в, г): 1 - на 10-й (последней итерации), 2 - на 1-й итерации (а, б) либо 2-й итерации (в, г)

Таблица 4

Результаты вычисления левой части (16) при Х0 = 10- 5

№ Конструирование Итерации

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 В10, ^=0,5% - 139,167 2,615 0,377 0,217 0,075 0,067 0,034 0,009 0,003

2 В35, ^=0,5% - 254,357 15,172 3,162 0,508 0,003 0,001 0 0 0

3 В60, ^=0,5% - 282,349 27,42 5,228 1,017 0,088 0,014 0,002 0 0

4 В10, ц=1,75% - 100,722 0,225 0,074 0,024 0,008 0,003 0,001 0 0

5 В35, ц=1,75% - 182,243 0,781 0,796 0,221 0,057 0,014 0,003 0,001 0

6 В60, ц=1,75% - 200,289 6,896 0,818 0,012 0,004 0,001 0 0 0

7 В10, ^=3,0% - 95,913 3,68 0,921 0,28 0,097 0,035 0,013 0,005 0,002

8 В35, ^=3,0% - 146,777 0,713 0,472 0,128 0,034 0,008 0,002 0,001 0

9 В60, ^=3,0% - 150,839 2,401 0,541 0,023 0,005 0,001 0 0 0

В таблицах 3 и 4 цветом выделены значения производной, удовлетворяющие неравенству (16).

Установлены следующие закономерности:

1 - для всех рассмотренных вариантов конструирования итерационный процесс вычислений сходится после 6-й итерации при %0 = 0 и после 4-й итерации при = 10 5 , при этом относительная погрешность расчёта составляет менее 5<1 %;

2 - с увеличением класса бетона по

прочности отношения Ми/а/Мийд и

2 падают, исключение составляют сильно армированные элементы при = 10 5 ,

для них Мл/М,1 - растёт; соответственно в

первом случае увеличение прочности бетона, а во втором - её уменьшение, приводит к необходимости увеличения числа итераций для обеспечения сходимости с заданной точностью;

3 - с увеличением процента армирования сходимость расчёта улучшается; например, при количестве итераций равном 4, погрешность при варианте конструирования В60, ц=0,5 % составляет 10,3 %, а при В35, ц=3,0 % - 0,98 %;

4 - для слабо- и среднеармированных элементов приближение к решению задачи (к

корню уравнения Х=g{%) ) происходит слева, следовательно, тангенс угла карательной здесь

g {%)■

отрицательный, а функция g (х) является убывающей, для сильно армированных элементов наоборот: приближение к решению задачи происходит справа, следовательно, тангенс угла карательной здесь положительный,

а функция Х=g{z) является возрастающей; и

при каких-то комбинациях значений параметров В и ц может быть достигнут минимум функции

в этом случае уже на 2-й итерации будет

обеспечена нулевая погрешность расчёта;

5 - для улучшения сходимости в инженерных расчётах рекомендовано принимать начальное значение кривизны = 10"5 , а количество итераций - не менее 6, что обеспечит не превышение относительной погрешности расчёта 5<1 %.

Теперь перейдём к вопросу о влиянии числа разбиений п расчётного сечения железобетонного элемента на сходимость дискретизации нелинейной деформационной модели. На том же примере, рассмотренном выше, для характерных вариантов конструирования № 3 и 7 вычислим на 10-й

итерации значение предельного момента Мйдо

при числе разбиений равном т=2,5, 10, 15 и 20. Полученные результаты сведём в нижеследующие таблицу и график.

Таблица 5

Результаты вычисления Мищо, кН*м в зависимости от числа разбиений сечения п

№ Конструирование Число разбиений сечения, п

2 5 10 15 20

3 В60, ^=0,5% 40.863 47.737 49.569 49.451 49.379

7 В10, ^=3,0% 122.093 129.101 129.203 129.124 129.065

1

/

/ 2

У

1/ /

Рис. 3. График зависимостиМии,ы, кН>м от числа разбиений сечения п: 1 - для варианта конструирования №3, 2 - для варианта №7

Таким образом, сходимость дискретизации расчётной модели зависит от конструирования сечения: итерационные вычисления при высоком проценте армирования и низкой прочности бетона сходятся быстрее, чем при низком проценте армирования и высокой прочности бетона. При этом во всех случаях число разбиений «>10 обеспечивает сходимость с приемлемой погрешностью менее 0,1 %.

Выводы.

1. Представлено теоретическое обоснование критерия сходимости численного диаграммного метода расчёта прочности железобетонных стержневых изгибаемых элементов. Полученный критерий подобен Чебышевой норме.

2. На примере элемента с прямоугольным железобетонным сечением и двойным армированием исследован вопрос сходимости итерационного расчёта прочности. Установлено, что для всех рассмотренных вариантов конструирования итерационный процесс вычислений сходится после 6-й итерации при начальном приближении кривизны %0 = 0 и после 4-й итерации при %0 = 10 "5 , при этом относительная погрешность расчёта составляет менее 5<1 %.

3. Для улучшения сходимости в инженерных расчётах рекомендовано принимать начальное значение кривизны %0 = 10 "5 , а количество итераций - не менее 6, что обеспечит не превышение относительной погрешности расчёта S<1 %.

4. Сходимость дискретизации расчётной модели зависит от конструирования сечения: итерационные вычисления при высоком проценте армирования и низкой прочности бетона сходятся быстрее, чем при низком проценте армирования и высокой прочности бетона. При этом во всех случаях число разбиений «>10 обеспечивает сходимость с приемлемой погрешностью менее 0,1 %.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Радайкин О.В., Сабитов Л.С., Клюев С.В., Ахтямова Л.Ш., Аракчеев Т.П., Дарвиш А. Точность численного диаграммного метода расчёта стержневых железобетонных элементов // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2022. № 6. С. 25-34. DOI: 10.34031/2071-7318-2022-7-6-25-34

2. Коваленко Г.В., Меньщикова Н.С. Учет физической нелинейности железобетона при оценке изменения изгибной жесткости конструкций со смешанным армированием // Системы, методы, технологии. 2010. №1. С. 6367.

3. Дыховичный А.А. Статически неопределимые железобетонные конструкции. Киев: Бущвельник, 1978. 104 с.

4. Сливкер В.И. Расчёт конструкций с нелинейными связями. В сб. «Исследования по теории сооружения». Вып. XVI. М.: Стройиздат, 1968.

5. Клованич С.Ф., Безушко Д.И. Метод конечных элементов в нелинейных расчетах пространственных железобетонных конструкций. Одесса: Издательство ОНМУ, 2009. 89 с.

6. Карпенко Н.И., Травуш В.И., Карпенко С.Н., Корсун В.И., Петров АН., Ерышев В.А., Ярин Л.И., Чепизубов И.Г., Моисеенко Г.А., Степанов М.В., Семенова Н.Г. Методическое пособие автоматизированные методы расчета массивных железобетонных конструкций при объемном напряженном состоянии. М.: ФАУ ФЦС, 2019. 137 с.

7. Карпенко Н.И., Соколов Б.С., Радайкин О.В. Проектирование бетонных, железобетонных, каменных и армокаменных элементов и конструкций с применением диаграммных методов расчёта: монография. М.: Изд-во АСВ, 2019. 194 с.

8. Boldo S., Faissole F., Chapoutot A. Roundoff Error Analysis of Explicit One-Step Numerical Integration Methods // 24th IEEE Symposium on Computer Arithmetic, Jul 2017, London, United Kingdom [Electronic resource]. System requirements: Adobe Acrobat Reader. URL: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01581794 (дата обращения 16.02.2022)

9. Hsu T.-R. Applied Engineering Analysis. Wiley & Sons, 2018. 528 p.

10.Nut G., Chiorean I., Blaga P. Convergence and Error of Some Numerical Methods for Solving a Convection-Diffusion Problem. Applied Mathematics. 2013. Vol. 4. No. 5A. Pp. 72-79.

11. Engquist B. Encyclopedia of Applied and Computational Mathematics. Springer, 2015. 312 p.

12.Klibanov M.V., Li J., Zhang W. A globally convergent numerical method for a 3D coefficient inverse problem for a wave-like equation. Mathematics, 2016. 31 p.

13. Amat S., Busquier S. Convergence and numerical analysis of a family of two-step steffensen's methods Computers // Mathematics with Applications. 2005. Vol. 49. No. 1. Pp. 13-22.

14. Chasnov J.R. Numerical Methods. The Hong Kong University of Science and Technology, 2021. 60 p.

15.Turuna D.A., Woldaregay M.M., Duressa G.F. Uniformly Convergent Numerical Method for Singularly Perturbed Convection-Diffusion

Problems. Kyungpook Mathematical Journal. 2020. No. 60. Pp. 629-645.

Информация об авторах

Радайкин Олег Валерьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры энергообеспечение предприятий, строительства зданий и сооружений. E-mail: olegxxii@mail.ru. Казанский государственный энергетический университет. Россия, 420066, г. Казань, ул. Красносельская, д. 51.

Сабитов Линар Салихзанович, кандидат технических наук, доцент кафедры энергообеспечение предприятий, строительства зданий и сооружений. E-mail: sabitov-kgasu@mail.ru. Казанский государственный энергетический университет. Россия, 420066, г. Казань, ул. Красносельская, д. 51. Казанский (Приволжский) федеральный университет. Россия, 420111, г. Казань, ул. Кремлёвская улица, д. 18.

Клюев Сергей Васильевич, кандидат технических наук, начальник УНИР. E-mail: Klyuyev@yandex.ru. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. Россия, 308012, Белгородская обл., г. Белгород, ул. Костюкова, д. 46.

Хассун Мажд Сухайль, аспирант кафедры железобетонные и каменные конструкции. E-mail: king123king278@gmail.com. Казанский государственный архитектурно-строительный университет. Россия, 420097, г.Казань, ул. Зелёная, 1.

Аракчеев Тимур Павлович, заместитель руководителя. E-mail: epc420107@mail.ru. ООО «ГК «ЭПЦ-Гарант». Россия, 420107, Республика Татарстан, г. Казань, Петербургская ул., д. 55, литера 3 офис 14.

Дарвиш Анас, аспирант кафедры энергообеспечение предприятий, строительства зданий и сооружений. E-mail: olegxxii@mail.ru. ФГБОУ ВО «Казанский государственный энергетический университет». Россия, 420066, г. Казань, ул. Красносельская, д. 51.

Поступила 04.03.2022 г.

© Радайкин О.В., Сабитов Л.С., Клюев С.В., Хассун М.С., Аракчеев Т.П., Дарвиш А., 2022

1*Radaykin O.V., 12Sabitov L.S., 3Klyuev S.V., 4Hassoun M.S., 5Arakcheev T.P., 1Darvish A.

'Kazan State Power Engineering University 2Kazan (Volga Region) Federal University 3Belgorod State Technological University named after V. G. Shukhov 4Kazan state University of architecture and construction 5LLC «GC «EPC-Garant» *E-mail: olegxxii@mail.ru

CONVERGENCE OF THE NUMERICAL DIAGRAM METHOD OF NONLINEAR CALCULATION OF CORE REINFORCED CONCRETE ELEMENTS

Abstract. Earlier, authors considered the under-examined question of accuracy (error) in the theory of the diagram method for calculating reinforced concrete core elements. The notion of convergence of the numerical implementation of the method under consideration is closely related to it, which has so _ far remained undisclosed. The article presents a theoretical justification of the convergence criterion of a numerical diagram method for calculating the strength of reinforced concrete bendable elements. The resulting criterion coincides in ^ form with the Chebyshev norm. It implies a criterion ^ for stopping the iterative calculation process and an estimate of the error of the numerical diagram method. Using the example of a reinforced concrete element with a rectangular cross section and double reinforcement, the issue of convergence of iterative strength calculation with varying concrete class and percentage of reinforcement is investigated. It is established that for all the considered design variants, the iterative calculation process converges after the 6th iteration at the initial curvature approximation = 0 and after the 4th iteration at x0 = 105, with a relative calculation error of S<1 %. In addition, it is found that with an increase in the percentage of reinforcement, the convergence of the calculation improves: with the number of iterations equal to 4, the error in the design variant B60, ц = 0.5 % is 10.3 %, and with B35, ц = 3.0 %-0.98 %.

Keywords: reinforced concrete, nonlinear deformation model, diagram method, deformation diagrams, numerical method, convergence.

REFERENCES

1. Radaykin O.V., Sabitov L.S., Klyuev S.V., Ahtjamova L.Sh., Arakcheev T.P., Darvish A. Accuracy of the numerical diagram method for calculating bar reinforced concrete elements. Bulletin of BSTU named after V.G. Shukhov. 2022. No. 6. Pp. 25-34. DOI: 10.34031/2071-7318-20227-6-25-34

2. Kovalenko G.V., Menshchikova N.S. Taking into account the physical nonlinearity of reinforced concrete when assessing changes in the bending stiffness of structures with mixed reinforcement [Uchet fizicheskoj nelinejnosti zhelezobetona pri ocenke izmeneniya izgibnoj zhestkosti konstrukcij so smeshannym armirovaniem]. Systems, methods, technologies. 2010. 2010. No. 1. Pp. 63-67. (rus)

3. Dykhovichny A.A. Statically indeterminate reinforced concrete structures [Staticheski neopredelimye zhelezobetonnye konstrukcii]. Kiev: Budivelnik. 1978. 104 p. (rus)

4. Slivker V.I. Calculation of constructions with nonlinear connections. Studies on the theory of construction [Raschyot konstrukcij s nelinejnymi svyazyami]. Issue XVI. M.: Stroyizdat. 1968. (rus)

5. Klovanich S.F., Bezushko D.I. Finite element method in nonlinear calculations of spatial reinforced concrete structures [Metod konechnyh elementov v nelinejnyh raschetah prostranstvennyh zhelezobetonnyh konstrukcij]. Odessa: ONMU Publishing House. 2009. 89 p. (rus)

6. Karpenko N.I., Travush V.I., Karpenko S.N., Korsun V.I., Petrov A.N., Yeryshev V.A., Yarin L.I., Chepizubov I.G., Moiseenko G.A., Stepanov M.V., Semenova N.G. Methodical manual automated methods for calculating massive reinforced concrete structures under volumetric stress state [Metodicheskoe posobie avtomatizirovannye metody rascheta massivnyh zhelezobetonnyh konstrukcij pri ob"emnom napryazhennom sostoyanii]. Moscow: FAA FTS, 2019. 137 p. (rus)

7. Karpenko N.I., Sokolov B.S., Radaykin O.V. Design of concrete, reinforced concrete, stone and reinforced stone elements and structures with the use of diagram calculation methods: monograph [Proektirovanie betonnyh, zhelezobetonnyh, kamennyh i armokamennyh elementov i konstrukcij s primeneniem diagrammnyh metodov raschyota: monografiya]. Moscow: Publishing House of the ASV, 2019. 194 p. (rus)

8. Boldo S., Faissole F., Chapoutot A. Roundoff Error Analysis of Explicit One-Step Numerical Integration Methods // 24th IEEE Symposium on Computer Arithmetic, Jul 2017, London, United Kingdom [Electronic resource]. System requirements: Adobe Acrobat Reader. URL: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01581794 date of the application 16.02.2022)

9. Hsu T.-R. Applied Engineering Analysis. Wiley & Sons, 2018. 528 p.

10.Nut G., Chiorean I., Blaga P. Convergence and Error of Some Numerical Methods for Solving a Convection-Diffusion Problem. Applied Mathematics. 2013. Vol. 4. No. 5A. Pp. 72-79.

11. Engquist B. Encyclopedia of Applied and Computational Mathematics. Springer, 2015. 312 p.

12. Klibanov M.V., Li J., Zhang W. A globally convergent numerical method for a 3D coefficient inverse problem for a wave-like equation. Mathematics, 2016. 31 p.

13. Amat S., Busquier S. Convergence and numerical analysis of a family of two-step steffensen's methods Computers // Mathematics with Applications. 2005. Vol. 49. No. 1. Pp. 13-22.

14. Chasnov J.R. Numerical Methods. The Hong Kong University of Science and Technology, 2021. 60 p.

15. Turuna D.A., Woldaregay M.M., Duressa G.F. Uniformly Convergent Numerical Method for Singularly Perturbed Convection-Diffusion Problems. Kyungpook Mathematical Journal. 2020. No. 60. Pp. 629-645.

Information about the authors

Radaykin, Oleg V. PhD, Assistant Professor. E-mail: olegxxii@mail.ru. Kazan State Power Engineering University. Russia, 420066, Kazan, Krasnoselskaya str., 51.

Sabitov, Linar S. PhD, Assistant Professor. E-mail: sabitov-kgasu@mail.ru. Kazan State Power Engineering University. Russia, 420066, Kazan, Krasnoselskaya str., 51. Kazan (Volga Region) Federal University. Russia, 420111, Kazan, Kremlevskaya str., 18.

Klyuev, Sergey V. PhD, Head of the UNIR. E-mail: Klyuyev@yandex.ru. Belgorod State Technological University named after V.G. Shukhov, Russia, 308012, Belgorod, st. Kostyukova, 46.

Hassoun, Majd S. postgraduate student. E-mail: king123king278@gmail.com. Kazan state University of architecture and construction. Russia, 420097, Kazan, Zelenaja str., 1.

Arakcheev, Timur P. Deputy head. E-mail: epc420107@mail.ru. LLC "GC "EPC-Garant". Russia, 420107, Republic of Tatarstan, Kazan, Peterburgskaya str., 55, litera 3 office 14.

Darvish Anas. Postgraduate student. E-mail: olegxxii@mail.ru. Kazan State Power Engineering University. Russia, 420066, Kazan, Krasnoselskaya str., 51.

Received 04.03.2022 Для цитирования:

Радайкин О.В., Сабитов Л.С., Клюев С.В., Хассун М.С., Аракчеев Т.П., Дарвиш А. Сходимость численного диаграммного метода нелинейного расчёта стержневых железобетонных элементов // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2022. № 7. С. 31-43. DOI: 10.34031/2071-7318-2022-7-7-31-43

For citation:

Radaykin O.V., Sabitov L.S., Klyuev S.V., Hassoun M.S., Arakcheev T.P., Darvish A. Convergence of the numerical diagram method of nonlinear calculation of core reinforced concrete elements. Bulletin of BSTU named after V.G. Shukhov. 2022. No. 7. Pp. 31-43. DOI: 10.34031/2071-7318-2022-7-7-31-43