CC BY
43
Б.С. Кирьяков, В.С. Замятина, М.Н. Стротова
ШКАЛА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ К ОЦЕНКЕ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ
Важное место в процессе обучения занимает контроль знаний учащихся. Контрольные мероприятия, на которых проходит оценка знаний, могут преследовать разные цели. Эти цели легко прослеживаются, если обратиться к виду распределений учащихся f(x) по баллам х, которые они набирают в процессе решения контрольных заданий. Возможная классификация педагогических подходов к оценке знаний учащихся в соответствии с видом получаемых распределений f(x) представлена на рисунке 1, на котором в дополнение к известным [1; 2] в педагогической науке нор-мативно-ориентированому (рис. 1д) и критериально-ориентирован-ному (рис. 1е) подходам добавлены еще четыре возможных подхода: невыраженный (рис. 1а), щадящий (рис. 1б), жесткий (рис. 1в) и кооперирующий (рис. 1г).
При нормативно-ориентированном подходе распределение f(x) (рис. 1д) близко к нормальному. Это соответствует ситуации, когда оценку знаний проводят в режиме, который не искажает присущего ансамблю учащихся распределения. Контрольное задание, используемое для оценки знаний при таком подходе, должно создавать условия для самореализации каждого учащегося из испытуемого ансамбля в соответствии с уровнем его подготовки.
Критериально-ориентированный подход (рис. 1е и 1ж) ставит своей целью деление испытуемого ансамбля на составные части. При одном критерии (рис. 1е) данный ансамбль делится на два подансамбля, при двух (рис. 1ж) - на три. В соответствии с этим итоговое распределение f(x) при критериально-ориентированном подходе должно отличаться наличием четко выраженных минимумов. При одном критерии (рис. 1е) будет один минимум, при двух (рис. 1ж) - два и т.д. Для реализации критериально-ориентированного подхода необходимо контрольное задание с соответствующей дифференцирующей способностью, зависящей от числа используемых критериев.
Что касается щадящего педагогического подхода, то он рассчитан на высокую результативность успехов большинства испытуемых школьников. Данный подход характеризуется распределением f(x) монотонно возрастающего вида (рис. 1б). Для его реализации рекомендуется задание пониженной сложности с заведомой недооценкой уровня подготовки испытуемых.
Отличительная особенность жесткого педагогического подхода к оценке знаний заключается в монотонно падающем характере получаемого распределения Дх) (рис. 1в). При данном подходе важным является поиск среди испытуемых единоличного лидера. Жесткий подход можно реализовать с помощью контрольного задания повышенной сложности с заведомой переоценкой уровня подготовки основной части учащихся.
Кооперирующий подход, как видно из рисунка 1г, представляет собой оценку знаний, по итогам которой испытуемый ансамбль предстает в виде объединения учащихся с практически одинаковыми оценками. Его главное отличие от нормативно-ориентированного подхода заключается в малом разбросе итоговых оценок относительно среднего балла.
Отмечавшийся выше невыраженный подход (рис. 1а) характеризуется распределением учащихся Дх) с равным представительством в итогах испытания всех балльных оценок. Из рисунка 1 видно, что невыраженный подход занимает промежуточное положение между щадящим, жестким, нормативно-ориентированным и критериально-ориентированным подходами.
При обсуждении итоговых результатов важны также предельные случаи щадящего, жесткого, критериального и кооперирующего подходов. Гистограммы для этих идеализированных подходов изображены на рисунках 1з, 1и, 1к, 1л. В дополнение к ним на рисунке 1м приведена гистограмма для биномиального распределения Ь(х, т, р) [3, 4] прир = 0,5. Биномиальное распределение Ь(х, т, р) занимает в статистической теории принципиальное место. В рассматриваемом случае его удобно использовать в качестве граничного распределения, разделяющего нормативный и кооперирующий подходы к оценке знаний учащихся.
Используя выделенные подходы в качестве основных, можно ввести целую серию комбинированных способов оценки знаний учащихся и интерпретировать с педагогической точки зрения весьма широкий спектр получаемых распределений Дх). Нетрудно, например, определить норма-тивно-щадящий (рис. 1н), нормативно-жесткий (рис. 1о), критериальножесткий (рис. 1п) и другие случаи комбинированных подходов.
х
х
х
г) кооперирующий д) нормативный е) критериальный
х
х
ж) двухкритериальный з) предельно
Д (х ) I Д (х) шэдащй
х
и) предельно Д(х я жесткий
х
х
к) предельно критериальный
х
л) предельно кооперирующий Д (х )
м) Ь (х, т, р )
11
х
х
н) нормативно-д (х ) щадящий
о) нормативно-Д(х) жесткий
п) критериально-Д(х) жесткий
X
X
Рис. 1. Соотнесение педагогических подходов к оценке знаний учащихся с видом получаемых распределений Д(х)
Реализация каждого педагогического подхода к оценке знаний возможна лишь при использовании соответствующих контрольных заданий. Для предметов естественно-математического цикла основным элементом контрольных заданий являются задачи. По отношению к исследуемому ансамблю учащихся эти задачи могут носить в разной степени творческий или репродуктивный характер, отличаться уровнем сложности, протяженностью и степенью алгоритмизации своих решений. Включение в состав контрольного задания тех или иных задач в значительной степени определяет характер педагогического подхода к оценке знаний учащихся, а соответственно и вид получаемого распределения Дх).
Свой вклад в характер получаемых распределений Дх) вносит и педагогическая шкала оценки задач. Если задачи оцениваются по многобалльной шкале 0, 1, 2, ..., т, то это предполагает выделение в решении каждой из них т оцениваемых этапов стоимостью один балл. Например, школьная система оценки 2, 3, 4, 5 (или 0, 1, 2, 3) является трехбалльной, поскольку выделяет в задаче четыре уровня («2», «3», «4», «5»), а соответственно и три оцениваемых этапа решения стоимостью один балл
( 2 первый этап ^ з з второй этап ^ 4 4 третий этап ^ 5)
Влияние системы оценки на реализацию того или иного педагогического подхода является весьма существенным хотя бы потому, что ее выбор определяет способ обсуждения получаемых результатов, его соотнесение с соответствующей статистикой. В работе [5], например, показано, что итоги тестирования учащихся целесообразнее обсуждать в рамках статистики Ферми - Дирака, а результаты олимпиад - в рамках статистики Бозе - Эйнштейна. При этом отмечается, что главная причина подобного различия заключается в балльной стоимости олимпиадных задач и тестовых заданий. На олимпиадах задачи оцениваются по многобалльной шкале, а тестовые задания - по однобалльной.
Определить условия, обеспечивающие реализацию того или иного педагогического подхода к оценке знаний учащихся, удобно с помощью соответствующей шкалы, которую можно назвать шкалой педагогических подходов. При ее построении ведущая роль также принадлежит балльной шкале оценок. Балльная стоимость задачи т определяет не только число оцениваемых этапов ее решения, но и размерность шкалы педагогических подходов. В самом общем случае, когда значения распределения Дх) = Д0, Д, Д2, ., Д, ., Дт (1 = 0, 1, 2, ., т) регламентированы лишь ограничениями
о < Д < 1, (1)
эта размерность должна равняться т в виду наличия одного уравнения связи значений Д. Это уравнение определяется нормированностью распределения Дх):
Отсюда следует, что в самом общем случае распределение Д(х) характеризуется т независимыми параметрами. По этой причине шкала педагогических подходов для задач, оцениваемых по т-балльной шкале, должна быть т-мерной.
Простейшей шкалой оценки задач является однобалльная. При ее использовании балльные оценки пробегают значения х = 0, 1. В соответствии с этим функция распределения может принимать два значения Дх) =Д0, Д1. Ориентируясь на рисунке 1, нетрудно понять, что в этих условиях можно реализовать лишь три педагогических подхода к оценке знаний учащихся: щадящий (Д < Д), жесткий (Д > Д) и невыраженный (Д0 = Д). Другие случаи (из представленных на рис. 1а - 1ж) просто невозможны.
В соответствии со сказанным шкала педагогических подходов для задач, оцениваемых по однобалльной шкале, будет одномерной. В этой ситуации все определяется вероятностью решения задачи р, поскольку Дх) = Д0, Д = (1-р), р. Выбрав вероятность р в качестве независимой переменной для шкалы педагогических подходов, получаем: невыраженный подход реализуется при р = 0,5, щадящий - при р > 0,5, жесткий - при р < 0,5. При этом на предельно щадящий подход к оценке знаний можно выйти с помощью абсолютно очевидной задачи (р = 1), а на предельно жесткий - с помощью абсолютно недоступной (р = 0).
При двухбалльной (т = 2) оценке задачи х = 0, 1, 2, поэтому распределение Дх) принимает три значения Д0, Д, Д2, что расширяет число возможных подходов к оценке знаний учащихся. Двухбалльная оценка задач в отличие от однобалльной разрешает реализацию практически всех педагогических подходов, представленных на рисунке 1. Невыраженный педагогический подход, например, реализуется при Д = Д = Д, щадящий -при Д < Д < Д, жесткий - при Д > Д > Д, нормативный и кооперирующий -при Д < Д и Д < Д, критериальный - при Д > Д и Д < Д. К числу исключений можно отнести лишь двухкритериальный подход (рис. 1ж). Его можно реализовать лишь при т > 4.
В соответствии с соотношением (2) шкала педагогических подходов для задач, оцениваемых по двухбалльной шкале, будет двумерной. Для ее построения целесообразно обратиться к геометрическим соображениям (рис. 2а) и учесть тот факт, что условие нормировки (2) в координатахД -Д -Д задает плоскость, отсекающую на осях 0/0, 0Д, 0Д единичные отрезки. Каждая точка этой плоскости с координатами Д0, Д и Д является отображением соответствующего распределения Дх) = Д0, Д, Д. При этом ограничения (1) указывают на то, что все возможные виды распределений Дх) отображаются точками, лежащими в пределах треугольника СВТС.
а) взаимосвязь значенийД0, Д, Д2
б) шкала педагогических подходов к оценке знаний
1 4
Рис. 2. Взаимное расположение разных педагогических подходов к оценке знаний учащихся в координатах Д - Д - Д при двухбалльной оценке задач:
а) точка Н — невыраженный; б) область ВНКВ — щадящий; в) область СНЕС — жесткий; г) область НГУШ — нормативный; д) область УГКТЕХУ — кооперирующий; е) область CQBHC — критериальный; ж) точка В - предельно щадящий; з) точка С - предельно жесткий ; и) точка Q — предельно критериальный; к) точка Т — предельно кооперирующий; л) отрезок QH — критериальный (сбалансированный); м) отрезок HV — нормативный (сбалансированный); н) отрезок ТУ — кооперирующий (сбалансированный); о) кривая СХУГВ — линия биномиального распределения Ь(х, т,р) при т = 2
Из рисунка 2а видно, что невыраженному педагогическому подходу (Д0 = Д = Д) соответствует точка Н, предельно жесткому подходу (Д = Д = = 0, Д = 1) - точка С, предельно щадящему подходу (Д0 = Д = 0, Д = 1) -точка В, предельно кооперирующему подходу (Д0 = Д = 0, Д = 1) - точка Т, предельно критериальному подходу (Д = 0, Д = Д = 0,5) - точка 0. При этом границы разных подходов определяются линиями пересечения плоскости треугольника СВТС с плоскостями, которые задаются равенствами Д0 = Д1 и Д = Д. На рисунке 2а они соответствуют отрезкам ВЕ и СК. Эти отрезки выделяют области жесткого (СНЕС), щадящего (ВНКВ) и критериального (С0ВНС) подходов, а также совместную область (НКТЕН) для нормативного (ШУШ) и кооперирующего (УГКТЕГУ) подходов.
Что касается разграничения нормативного и кооперирующего подходов, то эту роль, как видно из рисунка 2а выполняет участок ГУ1 линии
ВГУХС, соответствующей биномиальному распределению Ь(х, т, р) при т = = 2. Ее нетрудно построить по точкам.
Отрезок ОТ, лежащий на пересечении плоскости Д = Д с плоскостью треугольника СВТС, отображает распределения Д(х) симметричного вида (сбалансированные). Распределения с положительной и отрицательной косостью располагаются в плоскости треугольника СВТС по разные стороны от данного отрезка. Выше отрезка ОН на рисунке 2а располагаются распределения Дх), отображающие критериально-щадящий подход, ниже отрезка ОН - распределения Дх), соответствующие критериальножесткому подходу (рис. 1п).
Отрезок НУ делит область нормативного подхода НГУТН на область НГУН для нормативно-щадящего (рис. 1н) и на область НУН для номативно-жесткого (рис. 1о) подходов. Аналогичным образом отрезок УТ делит область кооперирующего подхода УКТЕХУ на две подобласти: для кооперирующе-жесткого (УТЕХУ) и кооперирующе-щадящего (УКТУ) подходов.
В соответствии с отмеченными особенностями треугольника СВТС его можно использовать в качестве основы при построении двумерной шкалы педагогических подходов для задач, оцениваемых по двухбалльной шкале. Чтобы выделить ее независимые координаты, можно, например, сменить начало отсчета и повернуть оси координат так, чтобы две оси лежали в плоскости треугольника СВТС. Именно это и сделано на рисунке 2б, где треугольник СВТС изображен в двумерной системе координат Д' - 0 - Д. По соображениям симметрии начало отсчета в этой системе выбрано в точке Н, а ось 0 Д направлена вдоль отрезка НО.
На рисунке 2б отображено не только взаимное положение разных педагогических подходов. Между координатами точек треугольника СВТ и видом итоговых распределений Дх) = Д, Д, Д существует взаимно однозначная связь, определяемая линейными преобразованиями координат:
Д' (-зд - д + д2 +1) ,
(3)
Интересно отметить, что на этом рисунке биномиальное распределение Ь(х, 2, р) соответствует квадратичной параболе
А 12 ^/о ) 2Тб' (5)
Треугольник СВТС как возможная форма шкалы педагогических подходов интересен тем, что положение задач на такой шкале интерпретируется через состав испытуемого ансамбля, поскольку при т = 2 любое распределение /х) всегда можно представить в виде суммы трех распределений:
/(х) = с0 ■ Ъ(х, 2, о)+ с1 ■ h^x, 2, 1, 2)+ с2 ■ Ъ(х, 2, 1), (6)
где с0 = /0, с1 = / и с2 = /2 - относительные доли учащихся в ансамбле, для которых оценка знаний в процессе решения задачи проходила в режимах предельно жесткого, предельно кооперирующего и предельно щадящего подходов; Ъ(х, 2, 0), Ъ(х, 2, 1), к(х, 2, 1, 2) - биномиальные Ъ(х, т, р) и ги-пергеометрическое к(х, т, j, k) [4] распределения, описывающие предельно жесткий, предельно щадящий и предельно кооперирующий подходы к оценке знаний'
Подобное истолкование не характеризует задачу как способ формирования соответствующего педагогического подхода к оценке знаний учащихся. Необходима другая интерпретация, учитывающая особенности самой задачи. Сделать это можно, приняв во внимание алгоритм решения задачи и способ регистрации успехов учащихся. Указанную возможность иллюстрируют рисунки 3-6.
На рисунке 3 изображена гистограмма некоторого распределения /х) для ста учащихся по баллам, набранным за задачу, оцениваемую по двухбалльной шкале (х = 0, 1, 2). На рисунках 4а и 5а приведено координатное представление двух способов реализации этого распределения при выделении в решении задачи двух оцениваемых заданий стоимостью один балл (хк, хс = 0, 1). Одно из заданий условно названо «красным», другое - «синим».
х
0
1
2
Рис. 3. Пример возможного распределения/(х) для ста учащихся по набранным баллам х за задачу, оцениваемого по двухбалльной шкале
Возможные способы решения задачи на рисунках 4а и 5а определяются координатами хк, хс вершин квадрата с ребром, равным единице. Числа, стоящие внутри каждого из кружков в вершинах квадрата, характеризуют «заселенность» данного результата - число учащихся, балльные оценки которых равны координатам соответствующей вершины.
а) координатное представление р аспределения /(х)
б) шкала педагогических подходов к оценке знаний вр, г - представлении
хс,
синее задание
Критериальный Невыраженный
1-*
В
Рис. 4. Реализация распределения/(х) с помощью задачи с произвольным ходом решения
а) координатное представление распределения /(х)
б) шкала педагогических подходов к оценке знаний в р1, р2 - представлении
х„
синее задание
Р2
1
0,5
Крите риальны й
Нев ыраженны й
Рис. 5. Реализация распределения/(х) с помощью задачи с регламентированным ходом решения
г
х = хк + Хс
0
х = хк + хс
В рассматриваемом случае координатное представление интересно тем, что распределения учащихся /(хк) и /(хс) по баллам за «красное» и «синее» задания определяются заселенностью и распределением вершин квадрата по плоскостям, перпендикулярным осям 0хк и 0хс, а распределение учащихся /(х) по суммарному баллу х = хк + хс - заселенностью и распределением вершин квадрата по плоскостям, перпендикулярным его диагонали. Данная диагональ играет роль оси суммарного балла 0х, если ее длину нормировать на 2.
Приведенные на рисунках 4а и 5а способы реализации рассматриваемого распределения /х) не являются единственными. Если участников испытуемого ансамбля считать неразличимыми, то по рисункам 4а и 5а нетрудно понять, что общее число возможных способов реализации распределения /(х) равно 51. Оно определяется числом распределений 50 бо-зе-частиц по двум состояниям:
(2 + 50 - = 51 50! (2 -1)' '
Рисунки 4а и 5 а интересны тем, что соответствуют задачам с совершенно разным алгоритмом решения. Если рисунок 4а можно соотнести с задачей, отличающейся произвольным ходом решения, то рисунок 5а соответствует задаче, для которой алгоритм решения строго регламентирован. Ее можно решать лишь в направлении от «красного» задания к «синему». При этом успехи в решении «красного» задания служат для учащихся своеобразным допуском к решению «синего». Для случая, изображенного на рисунке 4а, подобной регламентации нет. Связь между оценками хк и хс носит мягкий (корреляционный) характер.
Различия рисунков 4а и 5 а предопределяют разный выбор независимых параметров при построении шкалы педагогических подходов. Что касается рисунка 4а, то он характеризуется выраженной тождественностью возможных путей решения задачи, которая проявляется в симметрии распределения участников по возможным способам решения. «Заселенности» решетчатой структуры на рисунке 4а соответствует ось симметрии второго порядка, совпадающая с диагональю 0х квадрата. При повороте квадрата на 180° относительно этой диагонали характер его заселенности не меняется. В этих условиях распределение /(х) для задачи, оцениваемой по двухбалльной шкале, будет однозначно характеризоваться трехпараметричным модулем с двумя независимыми параметрами р и г :
р = —, т
1
т -1
тР С1 - Р)
т = 2 ,
г =
где р - вероятность получения одного балла (за решение одного из заданий), г - коэффициент линейной корреляции между получаемыми баллами, X - средний балл за задачу, стХ - дисперсия балльных оценок.
Выражения для р и г в модуле (7) являются следствиями равной вероятности возможных путей решения задачи и статистических тождеств [3, 4]:
X = 2 хг , (8)
г = 1
2 т 2 т , ,
стх = 2сти +2 2 ГЦацПц . (9)
г=1 г, ] =1',] > г
У задач со строго регламентированной очередностью хода решения (рис. 5а) этапы не отличаются своей тождественностью, поэтому для них распределение Д(х) при двухбалльной оценке задач целесообразнее характеризовать с помощью модуля (10) с другими независимыми параметрами Р1 и Р2:
х(3 - х )-стХ 3 X - х 2 р,= к 2 = -2-,
Р2 = Х(3 2-Х 2 -1 = -^7 -1 , (10)
х(3 - х)-стX 3х - X
т = 2 ,
где р1 - вероятность получения первого балла за «красное» задание, р2 - вероятность получения второго балла за «синее» задание,
х2 - начальный момент второго порядка для распределенияД(х).
При т = 2 выражения для р1 и р2 в модуле (10) можно найти, исходя из определения начальных моментов (11) для распределенияД(х) = Д0,Д1, • ••, Д, ..., Дт и равенства (12), задающего вероятность р] решения задания с номером ] в задаче с регламентированной очередностью выполнения отдельных заданий:
2(х Цл = х1
г=о
т
2 Д
г=]
р] = -т— 2 Д г=]-1
(12)
где г = 0, 1, 2, ..., т; I = 0, 1, 2, ..., т; х/ = 0, 1, 2, ..., т; ] = 1, 2, 3, ..., т.
Статистические модули (7) и (10) пригодны для обсуждения итогов оценки знаний учащихся непосредственно по распределению Дх), поскольку
- т ( \ X = 2 X Д (х),
(13)
х = 0
т
°х = 2(х - х )2 Д (х).
(14)
Независимые параметры р, г и р1, р2, входящие в модули (7) и (10), взаимно и однозначно связаны друг с другом и с параметрами /0' и Д соотношениями:
' р = р[1 +(1- Г )(1- p)],
1 -(1 - Г XI - р)
р2
1 +(1 - Г X1 - р)
р = 2 р:(1 + р2 ) ,
г = 1 - 2
1 - р2
р1
р2 =
(1 + р2 )[2 - р1(1 + р2 )]
зУ2Д' -У6Д' + 4 6 , 3л/2Д ' + У6Д' + 2
3л/2Д,'-л/6Д ' + 4’
Д0 = ^2 (р1 + р\р2 - 1) ,
/1 = ^ (3р\р2 - 3р1 + 1) , 6
(15)
(16)
(17)
х = 0
і+У2/0
2 ’
, 2 л/6їі -1
1 +-------Ч—^
г = 1 + —
3
1-2
їо = Ї1 =
2 р -1
~Ж~,
1 - 6(1 - г Хр(1 - р)
л/6
(20)
Подобная взаимосвязь дает возможность построить шкалу педагогических подходов в координатах р - г (в р, г-представлении, рис. 4б) и в координатах рі - р2 (в рі, р2-представлении, рис. 5б). Между точками этих шкал и видом распределений /(х) также существует взаимно однозначная связь:
/о =(1 - рХ1 -(1 - г М
Д1 = 2(1 - г )(1 - р)р ,
/2 = р-(1 - Г X1 - р)р ,
(21)
р = 1 -(/0 - /2 Х
2 ’
г = 1-
2/1
1 -(/о - /2 )2
(22)
/0 = 1 - Pі,
/1 = А(1 - р2 Х ,
/2 = р1р2 ,
(23)
/1 + /2
р2
/0 + /1 + Л /2 /1 + /2'
(24)
В р , г-представлении (рис. 4б) область всех возможных распределений Дх), удовлетворяющих лишь соотношениям (1) и (2), определяется границами криволинейного пятиугольника АЗКОТА. Его нижние границы (кривые АКТ и БЕТ) характеризуются уравнениями:
В пределах пятиугольника АЗКОТА области реализации разных педагогических подходов симметричны относительно линии QHT. Данная линия соответствует распределениям Дх) симметричного вида и является отрезком прямой р = 0,5. Отрезком прямой г = 0 отображается и линия АТУГО, соответствующая биномиальному распределению Ь(х, 2, р). Что касается кривых СНК и ВНЕ, разделяющих педагогические подходы, то они описываются уравнениями:
г = 1 - 3-, (27)
3 р
'=1 - 31-75 (28)
В р1, р2-представлении (рис. 5б) область существования всех распределений Дх) ограничена квадратом ASCTA. В пределах этого квадрата области реализации разных подходов несимметричны друг другу. При этом линия симметричных распределений Дх) ^НУТ) и линия биномиального распределения Ь(х, 2, р) (АТУГС) описываются уравнениями:
Р2 = - -1, (29)
Р:
■ <30)
I1 + р2 5
Достаточно простыми уравнениями описываются и линии раздела ВНЕ и СНК:
р2 = 0,5, (31)
р2 = 2 - -1. (32)
р1
Обе шкалы, представленные на рисунках 4а и 5 а, дают непротиворечивый ответ на вопрос о соотнесении получаемого распределения Д(х) с тем или иным педагогическим подходом к оценке знаний. Их отличие заключается лишь в интерпретации причин, определяющих его реализацию. В соответствии с рисунком 4а анализ итогов в терминах г и р будет описывать реальную ситуацию для задач с произвольным ходом решения.
Он удобен и при анализе итогов тестирования. Тестовые задания, как правило, можно решать в любой последовательности, что и делают учащиеся, стремясь набрать как можно больше баллов за ограниченное время.
Что касается обсуждения итогов в терминах р1 и р2, то этот способ дает адекватную интерпретацию возможных причин реализации того или иного подхода к оценке знаний для задач, алгоритм решения которых строго регламентирован. В данной ситуации целесообразно также соотносить значения р1 и р2 с видом учебно-познавательной деятельности учащихся. Анализ итогов олимпиад, проведенный в работе [6], говорит
о возможности соотнесения этапов с высокими значениями р1 или р2 с репродуктивным видом деятельности учащихся, а этапов с низкими значениями р1 или р2 с продуктивным. Это позволяет дать весьма простую качественную трактовку условий реализации педагогических подходов к оценке знаний учащихся для задач со строго регламентированным ходом решения. В рамках этой трактовки получается (рис. 5б), что щадящий подход можно реализовать с помощью репродуктивнорепродуктивных, жесткий - продуктивно-продуктивных, кооперирующий подход - репро-дукивно-продуктивных, а критериальный - продуктивно-репродуктив-ных задач. При этом нормативно-ориентированный подход будет соответствовать примерному балансу р1 и р2 и его лучше интерпретировать в терминах г и р.
а) координатное представление б) шкала педагогических подходов
распределенияДх) к оценке знаний в я 1, ^-представлении
Я Л 1 ■
С
х2, второй этап (завершил решение) х = х1 + Х2
Рис. 6. Реализация распределенияД(х) при регистрации очередности получения балльных оценок
Выбор независимых параметров для шкалы педагогических подходов можно соотносить и со способом регистрации успехов учащихся. В качестве примера на рисунке 6а представлен случай реализации распределения Дх) (рис. 3) с учетом очередности набираемых баллов. При таком подведении итогов не принимается в расчет характер действий, предпринимаемых учащимися. В отличие от рисунков 4а и 5а способ оценки на рисунке 6а не учитывает, какое из заданий («красное» или «синее») выполняет школьник на каждом из этапов. По данным работы [5] способ подведения итогов на рисунке 6а удобнее обсуждать в рамках статистики Бозе - Эйнштейна, так как возможные способы решения задачи определяются координатами вершин треугольника, удовлетворяющими неравенству 1 > х1 > х2> 0. В этом случае в качестве тождественной неразличимой частицы можно рассматривать задание, а в роли квантовых состояний - уровни его решения.
Выбор независимых параметров при подобном способе описания итогов (рис. 6а) можно провести, опираясь на принципиальную различимость участников испытания. Положение об индивидуальной неповторимости личности каждого учащегося играет в педагогике определяющую роль, являясь основанием для индивидуального и дифференцированного подходов к обучению и воспитанию.
Принципиальная различимость N участников испытания предполагает существование для каждого ансамбля особой «базовой» задачи, по результатам решения которой участники становятся различимыми, выстраиваясь поодиночке в ряд в соответствии с набранными баллами. В рамках статистики Бозе - Эйнштейна в качестве «базовой» задачи может выступать задача из п оцениваемых этапов стоимостью в один балл, уровень сложности которых равномерно нарастает. Геометрическим аналогом итогов решения «базовой» задачи может служить решетчатая п-мерная пирамида с единичным ребром, вершины которой имеют координаты, удовлетворяющие неравенству 1 > х1 > х2 >...> х/ >...> х) >...> хп >
0. Если исключить из рассмотрения абсолютно очевидные и недоступные этапы, то при п = N - 1 итоги решения любой задачи нарастающего уровня сложности стоимостью т (т < п) являются своеобразным «срезом» этой пирамиды. Например, для двухбалльной задачи нарастающего уровня сложности все виды возможных распределений N учащихся по набранным баллам Дх) определяются распределением точек пирамиды по плоскостям, перпендикулярным диагоналям ее граней.
Свойства решетчатых п-мерных пирамид, характеризующих особенности статистики Бозе - Эйнштейна в координатном представлении, изучались в работе [6]. Для наглядности на рисунке 7 изображена трехмерная (п = 3) пирамида с ребром т1 = 4. По отношению к балльным итогам ре-
шения задач подобные пирамиды интересны как числом своих точек с целочисленными координатами, так и их распределением по плоскостям, перпендикулярным ребрам и диагоналям я-мерного куба, в который вписаны пирамиды. Согласно данным работы [6] число точек R в я-мер-ной пирамиде с ребром т1, их распределение Д(хІ) по плоскостям, перпендикулярным оси 0хІ (ребру я-мерного куба), определяются выражениями:
р _ Гя
Л “ я+т і
/іЯ-І — 1
х/ + я—І т і— хі +1—1
ся
где я = 1, 2, 3, ..
І = 1, 2, 3, ..., я; ті = 1, 2, 3, ...; х/ = 0, 1, 2,
4 > Х1 > Х2 > хз > 0
(33)
(34) .., т1.
Рис. 1. Распределение точек в решетчатой трехмерной пирамиде
При этом среднее значение х1, дисперсия а2х значений х/ и коэффициент линейной корреляции гх.х. (при] > I) характеризуются соотношениями:
хІ
:т1І !-
я +1
2 т1 +1 + я
Стх, = т1 1
я + 2
1 — -
я +1
І я +1 — j j я + 1 — І ’
(35)
(36)
(37)
Что касается распределения точек пирамиды по плоскостям, перпендикулярным диагоналям граней куба (рис. 7), то в дополнение к данным работы [6] можно найти, что это распределение описывается выражением
г
х.-х
, ч 1 ![(т 1~аНх~т 1И
^(х)= С ьо С]-1-1+{2Ш)' С, , + (2т 1-хН21+й) ' С У|х-(2/+^) , (38)
Сп+т 1 2 П 1 2
где 1,7 = 1, 2, ..., п (1 > I); х = х^ + х; = 0, 1, ..., 2т1; й = (0, если х четное;
’ ’ ’ ч-/ у’ I 1 >> ■> 1 11, если х нечетное.
При этом средний балл х и дисперсия а2х для распределения (38) равны:
(39)
х = тЛ 2 - 1 + 1
1 п + 1У
2 т> +1 + п
а = щ——I—
п + 2
\
, 1 --п+1V п+1
У
+1 [1 -1
\
п+1V п+1
+ 2^- [1 -- 1
У
\
п+1V п+1
у л
. (40)
По отношению к «базовой» задаче, обеспечивающей регистрацию индивидуальности каждого из N испытуемых школьников, интерес представляет пирамида с п = N - 1 и т1 = 1. При п = N - 1 и т1 = 1 выражения (33)-(40) определяют основные статистические свойства «базовой» задачи в достаточно простом виде:
- общее число возможных способов решения базовой задачи Я (41);
- вероятность решения т, средний балл х1 (42), дисперсию а2х. (43) для
этапа с номером I ;
- коэффициент линейной корреляции гц (44) между балльными оценками за этапы с номерами I и 1 (при 1 > I);
- распределение участников / (х/) (45) по итогам решения этапа с номером I ;
- средний балл х (46) и дисперсию ах (47) оценок для двухбалльной задачи, включающей этапы с номерами I и 1;
- распределение участников испытания / (х) (48) по итогам решения двухбалльной задачи, состоящей из этапов с номерами I и/
Я= N, (41)
Я = х =1 - N, (42)
^ = Я I (1 -Я; ) , (43)
Г, = ,р. ^ , (44)
Ч
' Я 1 -Я 1
X = (X;+Xj) = П1 +Яj , (46)
°X =(1 -^j K' +(1 -я j )i j + 2(1 -Л,- )я j, (47)
f(x)= f0.f1.f2 =(1 -"i) . -"j). "j , (48)
где Xi, Xj = 0, 1; x = Xi + Xj = 0, 1, 2; i, j = 1, 2, 3, N - 1; j > i.
Пирамида с m1 = 1, n = N - 1 определяет и распределение участников
испытаний по суммарному баллу X, набранному за все этапы с i = 1, 2,
3, ..., N - 1:
f (x) = N = C0nst’ (49)
где x = x1 + x2 + x3 + ...+ xn_ 1 = 0, 1, 2, ..., (N - 1).
Из выражения (49) видно, что при использовании «базовой» задачи регистрация индивидуальности N испытуемых учащихся действительно происходит за счет их «одиночного» распределения по N значениям суммарного балла x.
Анализируя соотношения (41)-(49), нетрудно понять, что для сопоставления экспериментального распределенияf(x) = f0, f1, f2 с распределением «базовой» задачи, обеспечивающей регистрацию индивидуальности всех испытуемых учащихся, достаточно двух независимых параметров. Их роль могут выполнять вероятности яi и щ. В соединении со значением m = 2 они образуют трехпараметричный модуль, пригодный для статистической обработки итогов оценки знаний в случае двухбалльной задачи. При записи этого модуля целесообразно перейти к другой нумерации этапов, поскольку при двухбалльной оценке задачи в ее решении выделяется только два этапа: первый, в ходе которого школьник приступает к решению задачи, и второй, в ходе которого школьник завершает решение:
_ x(3 - x)-аX _ 3x - x2 Л1 = "
2 2_
-2+.='= Л -2 -
Л2 = аX+x(x -1) - 1 = x2 - x , (50)
1.2
2 2 2 m = 2 ,
где я1 - вероятность получения первого балла,
Я2 - вероятность получения второго балла в ходе решения задачи.
Зная л1 и л2, нетрудно найти положение начального ^ = N(1- л1)) и конечного а = N(1- л2)) этапов двухбалльной задачи в той последовательности этапов нарастающего уровня сложности, которую образуют этапы «базовой» задачи. Например, для двухбалльной задачи, представленной на рисунке 3 распределением Д(х), число участников N = 100, л1 = = 0,8 и л2 = 0,3, поэтому ее этапы по своей сложности и корреляционной связи соответствуют в «базовой» задаче этапам с номерами i = 20 и ] = 70. При этом рисунок 6а можно рассматривать как проекцию вершин 99мерной пирамиды на грань х20 - 0 - х70 , а Дх) - как распределение этих вершин по плоскостям, перпендикулярным диагонали выделенной грани.
Модуль (50) дает возможность не только определить уровень сложности оцениваемых этапов в двухбалльной задаче, но и построить шкалу педагогических подходов к оценке знаний в л1, ^-представлении (рис. 6б). На этой шкале область возможных распределений Дх) определяется точками треугольника ВСТВ. Границы этого треугольника (отрезки ВС, СТ и ВТ) описываются прямыми:
Л2 = ^ (51)
Л1 = 1 , (52)
Л2 = 0 . (53)
Отрезок QT, соответствующий распределениям Дх) симметричного вида, определяется в л1, ^-представлении прямой:
Л2 = 1 -Л!. (54)
Что касается отрезков СНК и ВНЕ, разделяющих на рисунке 6б педагогические подходы, то они характеризуются уравнениями:
л2 = 2л1 -1, (55)
л2 = 0,5л1 . (56)
Более сложным выражением описывается линия ГУТ, которая разграничивает на рисунке 6б области нормативно-ориентированного и кооперирующего подходов. Она соответствует биномиальному распределению Ь(х, 2, р):
Л2 = (лА - Л1 - I)2 . (57)
Взаимосвязь точек шкалы на рисунке 6б с видом распределений Дх) =
=Д0, Д, Д2 характеризуется выражениями:
Д0 = 1 -ЛЪ ' Д1 = Л1 Л 2 , .А = Л 2,
Л1 = 1 - Д0 Л 2 = /2 .
(59)
Взаимно однозначное соответствие шкалы в л1, л2-представлении (рис. 6б) и шкал, представленных на рисунках 4б и 5б, определяется соотношениями:
Л1 = Р + (! - г X1 - Р)Р , Л 2 = Р-(1 - г )(1 - Р)Р ,
(60)
Р =
Л1 + Л2
2
г = 1-
2(л1 -Л 2 )
(л1 + Л2 )(2-Л1 Л 2 )
(61)
Л1 = Р1 , Л 2 = Р1Р2
(62)
Р1 = Л1 ■
Р2
Л,
(63)
Обеспечивая адекватное соотнесение исследуемого распределения /(х) = /0, /1, /2 с педагогическим подходом к оценке знаний учащихся, шкала педагогических подходов в л1, л2-представлении наиболее приемлема для задач с нерегламентированным ходом решения. Именно они создают условия, при которых учащиеся могут вести поиск верного решения, двигаясь в направлении от «простого» к «сложному» или от «известного» к «неизвестному». Причем делать это каждый из них может по-разному, сообразуясь с уровнем своей подготовки.
Интерпретацию итогов в л1, л2-представлении целесообразно использовать и при анализе итогов тестирования учащихся. Стремясь набрать наибольшее число баллов за ограниченное время, школьники, как правило, обращаются сначала к наиболее простым заданиям, оставляя более сложные на «потом».
Представленные на рисунках 2б, 4б, 5б и 6б шкалы обеспечивают возможность соотнесения получаемых распределений /(х) = /0, /1, /2 с характером педагогического подхода к оценке знаний на графиках, что не
Л
всегда удобно. Необходимы количественные критерии. Такие критерии можно ввести, осуществив линеаризацию кривых, разделяющих разные подходы к оценке знаний. Сделать это достаточно несложно ввиду простоты уравнений, описывающих разграничительные кривые. Шкала педагогических подходов с линейными границами изображена на рисунке 8. Ее координаты X и Y определяются уравнениями:
' X = 1 - х ,
. Y = х(2 -х) -1 . (64)
_ 3 [ х(2 - х )-стХ ]
Координаты X и Y связаны однозначно как с переменными р, г, так и с переменными р1, р2 и л1, я2. Характер подобных связей можно установить, руководствуясь соотношениями (7), (10), (50) и (64). Что касается взаимосвязи координат X и Y с видом распределения /(х) = /0, / / , то она определяется выражениями:
/о = 1 -
Ді =
2
1 - X 2
3(1 + У ) ’
1 - X 1-
2
6(1 + У )’
X
6(1 + У )’
Из рисунка 8 видно, что кооперирующий и нормативный подходы к оценке знаний могут быть реализованы при выполнении условий (66) и (67):
> 1 ,
(66)
Y <— ,
3
X
> 1 ,
(67)
0 > Y > — ,
3
При этом жесткий, щадящий и критериальный походы к оценке знаний реализуются соответственно при выполнении условий (68), (69) и (70):
< 1 ,
У_
X х > о
(68)
< 1 ,
г_
X х < о
> 1 ,
X
Y > 0
(69)
(70)
Шкала, изображенная на рисунке 8, удобна для введения количественных критериев (66)-(70), однако для графического представления результатов ее использование не совсем целесообразно, поскольку пятиугольник TDNSAT, определяющий область возможных распределений /(х), сверху ничем не ограничен. Именно по этой причине для демонстрации тех возможностей, которые предоставляет шкала педагогических подходов при анализе итогов оценки знаний учащихся, мы воспользовались на рисунке 9 р\, р2-представлением. Обращение к р\, р2-представлению объясняется тем, что получаемые результаты можно качественно интерпретировать с учетом учебно-познавательной деятельности учащихся. Другим доводом в пользу р\, р2 - представления послужил тот факт, что на рисунке 9 изображены итоги олимпиад школьников. Олим-пиадные задачи в наибольшей степени соответствуют задачам с регламентированным ходом решения.
а) Ръ Р 2 - представление
Критериальный
б) усредненное распределение
Рис. 9. Итоги рязанских городских олимпиад школьников по физике
На рисунке 9а точками отображены итоги решения 72 задач на двенадцати рязанских городских физических олимпиадах по 9-11 классам за 2000-2005 годы с общим числом участников, равным 1376 учащимся, и средней численностью ансамбля, равной 115 школьникам. На рисунке 9б изображено распределение учащихся f(x), усредненное по 72 задачам. Задачи на олимпиадах непосредственно оценивались по шестибалльной шкале (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6). Для построения графиков на рисунке 9а первичные баллы были пересчитаны к двухбалльной шкале оценок (0, 1, 2) по следующей схеме:
(0, 1) ^ 0; (2, 3, 4) ^ 1; (5, 6) ^ 2.
В дополнение к графическому представлению (рис. 9а) итоги решения задач были количественно обработаны по соотношениям (64), (66) - (70) для разнесения задач по соответствующим педагогическим подходам. Итоги этих расчетов вместе с качественной педагогической характеристикой задач в p1, р2-представлении приведены в таблице.
Таблица
Распределение олимпиадных задач по педагогическим подходам к оценке знаний на рязанских городских олимпиадах школьников по физике за 2000-2005 гг.
Педагогический подход к оценке знаний Число задач Педагогическая характеристика задач (р1, р2 - представление)
Кооперирующий 3 4 % Репродуктивно-продуктивная
Нормативный 2 3 % Репродуктивно-продуктивная
Щадящий 5 7 % Репродуктивно-репродуктивная
Жесткий 30 42 % Продуктивно-продуктивная
Критериальный 32 44 % Продуктивно-репродуктивная
Усредненная задача Продуктивно-продуктивная
Обращение к олимпиадам интересно тем, что их итоги удобны для статистической обработки. Задачи олимпиадных заданий традиционно оцениваются по одной и той же многобалльной шкале и достаточно легко интерпретируются с педагогической точки зрения. Их итоги можно прогнозировать, так как в задания для олимпиад обычно включают творческие задачи, которые формируют жесткий режим испытания школьников.
На олимпиадах также часто используют задачи продуктивно-репродуктивного характера со строго заданным алгоритмом решения, поскольку обращены к его началу своей творческой составляющей. При решении подобной задачи участник олимпиады в первую очередь должен проявить свои творческие способности. Ему необходимо предпринять нестандартные действия (перейти к другой системе отсчета, применить не совсем ординарный подход и т.д.), после чего решение задачи приобретает очевидный характер. По отношению к шкале педагогических подходов задачи продуктивно-репродуктивного характера интересны тем, что формируют заведомо критериальный подход к оценке знаний учащихся. По итогам решения этих задач ансамбль испытуемых школьников должен делиться на два подансамбля (рис. 1е). В первый подансамбль войдут учащиеся, которые не проявили необходимой сообразительности и не смогли добраться до репродуктивной составляющей задачи, носящей формальный характер. Второй подансамбль образуют участники, которые успешно справились с продуктивной составляющей и для них не составило большого труда справиться и с репродуктивной частью задачи.
Итоги олимпиад подтверждают высказанные предположения о возможном режиме испытания школьников на олимпиадах. Из рисунка 9а и таблицы следует, что основным элементом олимпиадных заданий действительно являлись творческие задачи, формирующие жесткий подход
к оценке знаний и способностей учащихся. Из таблицы следует, что для рассмотренных олимпиад творческие задачи составляют 42 процента от общего числа задач.
Результаты анализа говорят также о широком использовании на олимпиадах задач продуктивно-репродуктивного характера, формирующих критериальный подход к оценке знаний учащихся. Доля подобных задач, как следует из данных рисунка 9а и таблицы 1, составляет 44 процента. И это не случайно. Продуктивно-репродуктивные задачи относятся к числу задач с «неожиданно простым» решением. И именно им отдают предпочтение составители, поскольку задачи этого вида придают олимпиадным заданиям необходимую оригинальность и занимательность.
Результаты анализа дают также однозначный ответ о режиме испытания школьников, который практиковался на рязанских городских олимпиадах в 2000-2005 годы. Данный режим соответствует в целом весьма жесткому подходу к оценке знаний учащихся. Наглядным свидетельством этого служит усредненное распределение (рис. 9б). Из рисунка 9б отчетливо видно, что испытание учащихся проходило на олимпиадах с явной переоценкой уровня подготовки основной части испытуемых школьников. Из таблицы и рисунка 9а нетрудно установить причину реализации жесткого подхода к оценке знаний и способностей участников олимпиад. Она заключается в недостаточном представительстве на рязанских городских олимпиадах в 2000-2005 годах задач, формирующих кооперирующий, нормативный и щадящий подходы к оценке знаний учащихся.
Рассмотренный на рисунке 9 пример свидетельствует о том, что шкала педагогических подходов при использовании разных представлений (в зависимости от алгоритма решения задач) может обеспечивать весьма простую педагогическую интерпретацию итогов оценки знаний учащихся. Наше обращение к двухбалльной шкале оценок обусловлено прежде всего тем, что она соответствует наиболее простому случаю, который легко проиллюстрировать графически. Тем не менее, использованная в настоящей работе схема обобщается и на случай многобалльной оценки задач. В этой связи заслуживает внимания проблема построения трехмерной шкалы педагогических подходов, пригодной для интерпретации итогов решения задач при использовании школьной системы оценок. Ввиду ее широкого практического применения это представляется интересным и важным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Майоров, А.Н. Теория и практика создания тестов для системы образования. - М. : Народное образование. 2000. - 352 с.
2. Нейман, Ю.М. Введение в теорию моделирования и параметризации педагогических тестов / Ю.М. Нейман, В.А. Хлебников. - М. : Прометей, 2000. -168 с.
3. Митропольский, А.К. Техника статистических вычислений. - М. : ГИФМЛ, 1961. - 480 с.
4. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1977. - 832 с.
5. Кирьяков, Б.С. Статистическое моделирование контрольных мероприятий с многобалльной оценкой знаний учащихся // Известия РАО. - 2005. - № 2. -С. 75-83.
6. Кирьяков, Б.С. Педагогическая модель интеллектуального испытания школьников. - Рязань : Русское слово, 2002. - 208 с.
