CC BY
34
Б.С. Кирьяков
ПРОСТЕЙШИЕ РЕШЕТЧАТЫЕ ОБЪЕКТЫ: СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА, СВЯЗЬ С КВАНТОВЫМИ СТАТИСТИКАМИ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Оценку знаний учащихся, как правило, проводят по итогам серии испытаний. Для дисциплин естественно-математического цикла в роли подобных испытаний обычно выступают задачи, которые могут оцениваться отдельно. Отдельно оцениваются, например, задачи на олимпиадах школьников и задачи, используемые при тестировании учащихся. В последнем случае задачи называют тестовыми заданиями. Способы оценки задач могут быть разными. Тестовые задания чаще всего оцениваются по однобалльной шкале (х; = 0, 1), а олимпиадные задачи - по многобалльной (х; = 0, 1, 2, ..., т).
Задачи, входящие в состав контрольных заданий, могут быть творческими, репродуктивными, отличаться уровнем своей сложности, протяженностью и степенью алгоритмизации решений. Включение в состав заданий тех или иных задач в значительной степени определяет характер итогового распределения учащихся Л(х) по набираемым баллам х:
Л (X) = Л (X + Х2 + Х3 +... + х1 +... + хп), (1)
где п - число задач в контрольном задании, ; = 1, 2, 3, ., п - номер задачи, Х1 = 0, 1, 2, 3, ., т - балльные оценки за задачу с номером ;, х = XI + х2 + х3 + ... + Х1 + ... + хп= 0, 1,
2, ., тп - суммарный балл.
Вид итогового распределения Л(х) (1) интересен тем, что может служить характеристикой педагогического подхода, использованного при оценке знаний учащихся [3].
О щадящем подходе к оценке знаний можно, например, говорить при распределении Л(х) монотонно возрастающего вида. При этом монотонно падающее распределение Л(х) будет служить свидетельством заведомо жесткого подхода к оценке знаний, а колоколообразный характер распределения Л(х) - свидетельством нормативно-ориентированного подхода. Что касается критериально-ориентированного подхода к оценке знаний учащихся, то он реализуется наилучшим образом, если распределение Л(х) является многомодальным, при котором ансамбль испытуемых учащихся достаточно естественным образом распадается по итогам серии испытаний на составные части.
Поскольку контрольные мероприятия могут преследовать разные цели, то они должны основываться на разных педагогических подходах к оценке знаний учащихся. Это говорит
о необходимости проектирования контрольных заданий в соответствии с теми целями, которые преследует тот или иной педагогический подход к оценке знаний.
Проблема проектирования контрольного задания, состоящего из п задач, в своей основной части сводится к выяснению того, каким образом вид итогового распределенияЛ(х) (1) зависит от успехов школьников в решении каждой задачи, характеризуемой распределением Л(х;), и от взаимосвязи оценок х;. Существо этой проблемы иллюстрирует рисунок 1. На рисунке 1а изображена гистограмма некоторого распределения Л(х) для 100 учащихся по баллам х, набранным за решение двух задач. Балльная стоимость каждой задачи т = 3, поэтому стоимость всего задания равняется 6 баллам. На рисунке 1б приведено координатное представление одного из возможных способов реализации рассматриваемого распределенияЛх).
Координатное представление итогов (рис. 1б) интересно тем, что возможные способы решения задач определяются целочисленными координатами хь х2 точек квадрата со стороной т = 3. Числа внутри каждого из кружков, отображающих возможные способы решения задач, характеризуют «заселенность» данного результата - число учащихся, балльные оценки которых равны координатам соответствующей точки. При этом распределения учащихся Л (Х1) (рис. 1в) и Л (х2) (рис. 1г) по баллам за первую и вторую задачи определя-
ются «заселенностью» и распределением точек квадрата по плоскостям, перпендикулярным осям 0x1 и 0х2, а распределение учащихся /(х) по суммарному баллу х = XI + х2 (рис. 1а) - «заселенностью» и распределением точек квадрата по плоскостям, перпендикулярным его диагонали. В координатном представлении данная диагональ играет роль оси суммарного балла 0х, если ее длину нормировать на 6 (в нашем случае пт = 6).
а) итоговое распределение /(х)
Х2
б) координатное представление распределения /х)
0
в) распределение /(х1)
г) распределение /х2)
0,6 л
0,4 -0,2 -0
/ (х 1)
И
0,6 л
0,4 -0,2 -0
/ (х 2)
х 2
0
1
2
3
0
1
2
3
х
Рис. 1. Пример координатного представления итогов оценки знаний учащихся
Приведенный на рисунке 1б случай реализации рассматриваемого распределения / (х) не является единственным. Если участников испытуемого ансамбля считать тождественными и неразличимыми объектами, то по рисунку 1б нетрудно понять, что общее число возможных способов реализации распределения /(х), заданного гистограммой на рисунке 1а, будет определяться выражением:
(10 + 2 - » .(20 + 3-1)! .(30 + 4-1)/ (15 + 3-1)! .(12 + 2 - ')•' = 24 511 014 528 (2)
(2 -1)' -10/ (3 -1)' . 20/ (4 -1)' . 30/ (3 -1)' -15/ (2 -1/) -12/ ’
в котором первый сомножитель равен числу размещений десяти тождественных неразличимых объектов по двум состояниям, второй - числу размещений двадцати подобных объектов по трем состояниям, третий - числу размещений тридцати подобных объектов по четырем состояниям, четвертый - числу размещений пятнадцати подобных объектов
по трем состояниям и пятый - числу размещений двенадцати подобных объектов по двум состояниям.
Множественный характер возможных способов реализации распределения / (х) означает только одно: при проектировании итогов серии испытаний необходимо ориентироваться на самые элементарные случаи, которые должны отличаться простейшей пространственной конфигурацией точек, отображающих возможные способы решения задач, и закономерным характером их «заселенности».
а)
б)
ІМ!
*1
Г 4
I л 3 - 2
*2
4 3 2 1
0
1
в)
г)
Рис. 2 Решетчатые объекты с простейшей пространственной конфигурацией точек, отображающих возможные способы решения серии из трех задач
... , *, ..., *п обладает пространственная структура в виде решетчатого и-мерного куба (и = 1, 2, 3, .) с ребром т = 1, 2, 3, ... . В качестве примера на рисунках 2а и 2б изображены трехмерные кубы (и = 3) с ребром т = 1 и т = 4.
Интерес могут представлять также и-мерные решетчатые пирамиды (и = 1, 2, 3, ...) с ребром т = 1, 2, 3, ... . Их структура образована точками, целочисленные координаты которых *і, *2, *3, ... , *■, ., *п удовлетворяют соотношению
т > х1 > х2 > х3 > ... > х{ > ... > хп > 0, (3)
где * = 0, 1, 2, 3, ., т.
Трехмерные (и = 3) примеры решетчатых пирамид с ребром т = 1 и т = 4 изображены на рисунках 2в и 2г.
Интерес к решетчатым объектам, представленным на рисунке 2, продиктован не только простейшей конфигурацией точек, образующих их структуру. В работе [1] отмечается, что обращение к ним дает возможность вести проектирование испытаний, опираясь на квантовые статистики. Использование квантовых статистик для этой цели определяется прежде всего дискретным характером параметров, описывающих итоги испытания школьников (балльные оценки, число испытаний, число учащихся...). Что касается выбора статистики, то это зависит от способа описания итогов. В данной ситуации важно выделять два момента:
1) соответствие элементов педагогической системы оценки основным объектам квантовых статистик - «тождественной неразличимой частице» и «квантовому состоянию»;
2) наличие в используемой системе оценки каких-то ограничений, которые можно интерпретировать как запреты на заполнение квантовых состояний.
а) диаграммное представление
Частица
б) координатное представление
Квантовые
состояния
Балл
Тестовык
задания
Рис. 3. Итоги тестирования учащихся, набравших два балла за тест из трех заданий стоимостью в один баал в диаграммном и координатном представлениях
Для пояснения этого целесообразно обратиться к диаграммному представлению итогов. В качестве примера на рисунке 3а приведены три диаграммы, отображающие три возможных способа распределения двух частиц, подчиняющихся статистике Ферми - Дирака, по трем квантовым состояниям [1]. При другом прочтении рисунок 3а можно рассматривать как диаграммное представление трех способов решения теста из трех заданий стоимостью в один балл, когда школьник набирает два балла из трех возможных. Для этого достаточно отождествить квантовые состояния с «тестовыми заданиями», а в роли тождественных неразличимых частиц рассматривать «баллы». При таком рассмотрении запрет на возможность нахождения двух и более частиц в одном квантовом состоянии (характерный для статистики Ферми - Дирака) является простым следствием однобалльной оценки тестовых заданий, в соответствии с чем на уровне, отображающем тестовое задание, может находиться или один «балл», или ни одного.
Одновременное соответствие диаграмм на рисунке 3 а, с одной стороны, разным способам размещения частиц, подчиняющихся статистике Ферми - Дирака, а с другой -возможным способам решения тестовых заданий является свидетельством пригодности данной статистики для описания итогов тестирования учащихся при однобалльной стоимости тестовых заданий. В рамках этой статистики в роли тождественных неразличимых частиц необходимо рассматривать «баллы», а в качестве квантовых состояний -«тестовые задания». Что касается запрета на заполнение квантового состояния двумя
и более частицами, то его выполнение гарантируется однобалльной стоимостью тестовых заданий.
По отношению к проблеме проектирования итогов обращение к статистике Ферми -Дирака интересно тем, что в координатном представлении возможные балльные оценки школьников за тест из п заданий определяются координатами точек п-мерного решетчатого куба с ребром т = 1. Данный куб, как уже отмечалось, обладает простейшей пространственной конфигурацией своих точек. Для иллюстрации сказанного на рисунке 3б изображен трехмерный решетчатый куб, координаты точек которого х1, х2, х3 задают возможные балльные оценки за тест из трех однобалльных заданий. Три вершины куба на рисунке 3б выделены темным цветом. Их координаты соответствуют балльным оценкам для тех способов решения тестовых заданий, которые представлены на диаграммах рисунка 3а.
Рассмотрим теперь случай, когда в серии, состоящей из п задач, каждая задача оценивается не по однобалльной (х; = 0, 1), а по многобалльной (х; = 0, 1, 2, ..., т) шкале. В качестве примера на рисунке 4а изображены возможные итоги решения трех задач (п = 3), оцениваемых по трехбалльной шкале (т = 3), в диаграммном представлении [1]. Диаграмма на рисунке 4а отображает успехи некоторого школьника, набравшего в сумме семь баллов из девяти возможных. Задачи на ней изображены в виде светлых кружков, которые пронумерованы и располагаются на уровнях решения, соответствующих балльным оценкам (0, 1, 2, 3). Из диаграммы на рисунке 4а следует, что рассматриваемый школьник за задачу № 1 набрал три балла, за задачу № 2 - два балла, за задачу
№ 3 - два балла. Согласно этому итоги испытания школьника можно характеризовать комбинацией оценок
X!, х 2, Х3 = 3, 2, 2 (4)
с суммарным баллом
х = х1 + х2 + х3 = 7 . (5)
На рисунке 4б рассмотренные итоги решения задач представлены в несколько другой - нетрадиционной системе оценки, в которой различают не задачи, а последовательные этапы их решения (этапы пронумерованы). В этом случае итоги решения задач можно однозначно характеризовать комбинацией оценок
Уъ У2, У3 = 3 3 ^ (6)
где уі - число задач (не важно каких), в которых школьнику удалось преодолеть первый этап решения задач стоимостью в 1 балл, у2 - число задач (не важно каких), в которых школьнику удалось преодолеть второй этап решения задач стоимостью в 1 балл,
Уз - число задач (не важно каких), в которых школьнику удалось преодолеть третий этап решения задач стоимостью в 1 балл.
а) традиционная система оценки
б) нетрадиционная система оценки
в) координатное представление
3
о
&
№ 3
^ № 2
№ 1
Рис. 4. Возможный вариант решения трех задач,
Рис. 4. Возможный вариант решения трех задач, оцениваемых по трехбалльной шкале, в разных представлениях
комбинация оценок (6) имеет ту ж.е итоговую сумму, что и комбинация (4).
Уі + У2 + Уз = Х1 + х2 + Х3 = 7 . (7)
Другое отличительное свойство комбинации оценок (6) заключается в том, что в силу временной очередности этапов (первого, второго и третьего) и фиксированного числа задач (п = 3) оценки у1, у2, у3 связаны соотношением
3 > Уі > у2 > У3 > 0 . (8)
Соотношения (7) и (8) отражают характерные особенности нетрадиционной системы подведения итогов. Они строго выполняются при любом варианте решения серии задач, при любом числе задач п в серии и их балльной стоимости т:
У = Уі + У2 + У3 + - + Ут = Х1 + Х2 + Х3 + - + Хп = Х , (9)
П > Уі > У2 > У3 > - > Ут > 0. (1°)
Неравенство (10), в частности, утверждает, что в координатном представлении область возможных оценок (у1, у2, У3, ..., Ут) определяется целочисленными координатами точек, принадлежащих т-мерной решетчатой пирамиде с ребром, равным п. Рисунок 4в демонстрирует подобную пирамиду для случая, рассмотренного на рисунке 4б. Темным цветом на рисунке 4в выделена точка, координаты которой соответствуют диаграмме, представленной на рисунке 4б.
Переход от традиционной системы подведения итогов (х1, х2, х3, ..., хп) к нетрадиционной (у1, у2, У3, ., Ут) подчиняется очевидному алгоритму (табл. 1).
Таблица 1
Алгоритм перехода от традиционной балльной системы оценки к нетрадиционной для контрольного задания, состоящего из п задач стоимостью в т баллов
3
2
1
0
Традиционная система оценки Нетрадиционная система оценки
Х1, Х2, ., Хі, ., Хп, і = 1, 2, ..., п - номер задачи, хі = 0, 1, 2, ., т - балльные оценки за задачу с номером і У1, У2, ■■■, Уj, ■■■, Ут, У1 - число цифр в комбинации х1, х2, ., хг-, ., хп, которые больше 0; У2 - число цифр в комбинации х1, х2, ., хг-, ., хп, которые больше 1;
Ут - число цифр в комбинации х1, х2, ., хг-, ., хп, которые больше (т - 1).
I (*) = I (У). (11)
Переход к нетрадиционной системе оценки интересен и важен тем, что непосредственно указывает на вид статистики, пригодной для описания результатов испытания школьников в серии задач, оцениваемых по многобалльной шкале. Этой статистикой является статистика Бозе - Эйнштейна. Диаграмма на рисунке 4б является типичной диаграммой, иллюстрирующей ее особенности.
Из сказанного следует, что при многобалльной оценке задач для выхода на статистику Бозе - Эйнштейна достаточно перейти к нетрадиционной системе подведения итогов, в которой задаче отводится роль «тождественной неразличимой частицы», а оцениваемым уровням решения задач - роль «квантовых состояний». В рамках этой статистики число возможных способов решения серии, состоящей из п задач с одинаковой балльной стоимостью т, определяется статистическим весом:
я=к±М)]/. >+т )!, (12)
п! (г -1)/ п! т!
где г = т +1- число оцениваемых уровней решения задач.
В диаграммном представлении статистический вес Я равен числу диаграмм, которые можно построить, размещая п неразличимых тождественных частиц по г состояниям в отсутствии каких-то запретов. В координатном представлении статистический вес Я (12) равен числу точек с целочисленными координатами в т-мерной решетчатой пирамиде с ребром п. Число этих точек согласно выражению (12) не меняется при взаимной замене т и п, что является отражением отмеченной особенности нетрадиционной системы оценки, переход к которой не изменяет итогового распределения (11).
Возможен и другой выход на статистику Бозе - Эйнштейна, когда в качестве тождественных неразличимых частиц рассматриваются «баллы», а в качестве квантовых состояний - «задачи», оцениваемые по одной и той же балльной шкале. Данный выход непосредственно реализуется в рамках традиционной системы подведения итогов, если балльные оценки участников удовлетворяют соотношению:
т > Х1 > Х2 > Х3 > ... > хп > 0 . (13)
Добиться этого можно за счет комплектации контрольного задания задачами нарастающего уровня сложности. В этом случае итоги испытания также будут соответствовать статистике Бозе - Эйнштейна. В координатном представлении они будут отображаться точками с целочисленными координатами, принадлежащими п-мерной пирамиде с ребром т. Число этих точек (статистический вес) также определяется выражением (12), которое не меняется при взаимной замене т и п.
В отличие от жестко регламентированного соотношения (10), ограничение (13) можно реализовать на практике не всегда, что будет соответствовать приближенному выходу на статистику Бозе - Эйнштейна. Степень данного приближения зависит от того, насколько строго условие (13) выполняется для всех участников испытаний.
Если условие (13) нарушается и бальные оценки участников за решение разных задач никак не связаны друг с другом, то они будут удовлетворять лишь ограничению
т > xi > 0. (14)
Ограничение (14) означает, что в координатном представлении возможные способы решения такого контрольного задания, состоящего из п задач стоимостью в т баллов, будут отображаться точками решетчатого п-мерного куба с ребром т (рис. 2б). Сами балльные оценки учащихся при этом будут определяться целочисленными координатами точек этого куба.
Выход на представление, при котором возможные способы решения п задач стоимостью в т баллов отображаются точками решетчатого куба, можно осуществить, если в качестве тождественных неразличимых частиц рассматривать «баллы», а в качестве квантовых состояний - «задачи».
Решетчатый п-мерный куб интересен тем, что является хорошим дискретным аналогом нормального распределения. Теорема Ляпунова утверждает: «.. .если значения независимых случайных величин будут малы в сравнении с их суммой, то при неограниченном возрастании числа этих величин распределение их суммы становится приближенно нормальным» [5]. По отношению к решетчатому п-мерному кубу это означает, что распределение его точек / (х) по плоскостям, перпендикулярным главной диагонали, будет тем ближе к нормальному, чем больше п. При конечном п и заданном т распределение/(х) определяется числом размещений х тождественных неразличимых частиц (х = 0, 1, 3, ..., пт) по п состояниям при запрете на размещение в одном состоянии (т + 1) и более частиц.
Иллюстрацией сказанного может служить распределение / (х) (рис. 5) для точек решетчатого десятимерного куба (п = 10) с ребром т = 6 по плоскостям, перпендикулярным его главной диагонали. Роль огибающей гистограммы на рисунке 5 выполняет кривая нормального распределения с дисперсией ст2 = 40, равной дисперсии распределения / (х). Из рисунка 5 видно, что уже при п = 10 распределение возможных комбинаций оценок х1, х2, х3, ..., Х10 по значениям суммарного балла х = XI + х2 + х3 + ... + Х10 достаточно близко к нормальному. Распределение / (х) на рисунке 5 отличается от нормального по четвертому моменту. Для нормального распределения коэффициент эксцесса I =
0, а для распределения / (х) этот коэффициент I = - 0,125.
Рис. 5. Распределение точек в десятимерном решетчатом кубе с ребром m = 6 по плоскостям, перпендикулярным его главной диагонали
Рассмотренные примеры говорят о том, что ориентация на простейшие решетчатые объекты, отображающие возможные способы решения задач в координатном представлении, дает возможность вести проектирование контрольных заданий в рамках соответствующих статистик. Обращение к квантовым статистикам интересно тем, что сопряжено с обязательным выбором «тождественной неразличимой частицы». Если «неразличимость» частиц необходимо учитывать при подсчете числа способов реализации итогового распределения, то такое свойство, как «тождественность», служит основанием для суммирования результатов оценки знаний учащихся, поскольку именно в силу указанной тождественности мы и получаем право складывать успехи школьников, характеризуя их, например, числом задач (не важно каких), в которых он сумел приступить к решению, или числом задач (не важно каких), решение которых он завершил. Отмеченная
особенность говорит о том, что соотнесение педагогической системы оценки с соответствующей статистикой обосновывает количественный характер используемой шкалы оценок. При этом четко определяется, на языке каких показателей системы оценки мы вправе устанавливать количественные связи и соотношения.
Следует отметить, что выбор статистики при описании итогов испытания учащихся можно варьировать. Это может повлечь за собой смену объекта, соотносимого с «тождественной неразличимой частицей», а соответственно и смену параметров педагогической системы оценки, на языке которых устанавливаются количественные связи. Используя, например, алгоритм, приведенный в таблице 1, можно перейти от описания итогов, когда в роли тождественной неразличимой частицы выступает «балл», к описанию итогов, когда в качестве тождественной неразличимой частицы рассматривается «задача». Смена статистики может приводить не только к новой информации, но и к смене решетчатого объекта, используемого для проектирования итоговых результатов.
Для проектирования и интерпретации итогов испытания учащихся в рамках той или иной статистики необходимо знать статистические свойства соответствующего решетчатого объекта, определяющего возможные способы решения серии задач. К числу интересующих нас свойств следует отнести общее число точек в решетчатом объекте, характер их распределения по плоскостям, перпендикулярным ребрам и диагоналям и-мерного куба, в который вписан решетчатый объект. Интерес представляют не только сами распределения, но и их статистические характеристики - моменты, корреляционные и другие связи.
В качестве примера на рисунке 6 представлена трехмерная решетчатая пирамида с ребром т = 4. Выявив на рисунке размещение ее точек по плоскостям, перпендикулярным ребрам и диагоналям куба, мы получим в свое распоряжение распределения / (Х1), /(Х2), /(Хз), /(Х1 + Х2), / X + Хз), / (Х2 + Хз), / X - Х2), /(XI - Хз), / X - Хз), / (х) = / (х1 + Х2 + Хз). Знание этих функций и корреляционной связи координат х1, х2, хз означает решение проблемы сложения распределений для случая, который соответствует заданию, состоящему из трех задач нарастающей сложности стоимостью т = 4 при равномерной «заселенности» различных способов решения задач.
Рис. 6. Проблема проектирования серии трех разноуровневых испытаний, оцениваемых по четырехбалльной шкале, в координатном представлении
Статистические свойства решетчатых объектов (рис. 2а-2б), соответствующих квантовым статистикам, приведены в таблицах 2-5. Специально в статистической теории они не изучались, хотя даже в справочной литературе [4] нетрудно найти целый ряд соотношений, применимых непосредственно к этим объектам.
Общее число точек в кубе Я = 2п . (2.1)
Распределение точек /х) по плоскостям, перпендикулярным ребрам куба / (хі) = ±. (2.2)
Характеристики распределений Лх):
Положение, рассеяние, косость, крутость 1 2 1 X = -, (2.3) стХг- = 4, (2.4) ах = 0, (2.5) 1 х = -1. (2.6)
Начальные моменты х1 = х2 = хз = ... = х1 = — , (2 7) где 1 = 1, 2, 3, ...
Центральные моменты Ц 2 = 1, (28) Ц з = 0, (2.9) ц 4 = 1, (2.10) 4 о 0 при нечетном 1 Ц1 =| 1 ,, (2.11) ™ при четном 1 2 -1 где 1 = 1, 2, 3, ...
Взаимосвязь/х) и xi /X) = /х) , (2.12) ^{х, X: }= 0 (2.13) \\г -{ 1 при 1 - ] ’ (2.14) 1 II Х'ХЛ [0 при 1 Ф }.
Распределение точек / (х) по плоскостям, перпендикулярным главной диагонали куба ( 1 ^ 1 /(х)= Ь хи,- = —cn, (215) V 2 У 2 где Ь х, п,— - биномиальное распределение при р = 1. V 2 У 2
Характеристики распределения _/(х):
Положение, рассеяние, косость, крутость, мода — п 2 п х = -, (2.16) а X = -4, (2.17) а х = 0, (2.18) і х =- -, (2.19) п п ^т = — (при четном п) (2.20)
Начальные моменты 1 п п / а х1 = —, (2.21) х2 =-(п +1), (2.22) ~3 п2 / \ „ ~~4 п4 + 6п3 + 3п2 - 2п х3 =— (п + 3), (2.23) х4 = . (2.24) 8 16
Центральные моменты п Ц 2 = -, (2.25) Ц = 0, (2.26) ц 4 = п (3п - 2). (2.27) 16
Общее число точек в кубе Л = (т + 1)п . (3.1)
Распределение точек f (х) по плоскостям, перпендикулярным ребрам куба / (\ (12) т + 1
Характеристики распределений f (х):
Положение, рассеяние, косость, крутость т х = —, (3.3) 0 х = т (т + 2), (3.4) 2 х‘ 12 ' ах = 0, (3.5) г 6 ( 2 ^ (3.6) х 1 5 ^ т (т + 2 ) J
Начальные моменты х = т , (3.7) = т(2т + 1), (3.8) 1 2 1 6 у ’ х3 = т— (т + 1) , (3 9) х4 = (бт 3 + 9т 2 + т — 1), (3.10) 1 4 V ) 1 30 V / х!=£**/ т ч, (311) *=1 (*+1)-(т - *)' где 1 = 1, 2, 3, ..., т ; % - численные коэффициенты (табл. 6).
Центральные моменты ц 2 = ^ (т + 2 ), (312) ^3 = 0, (313) Р 2 12 V У т (т + 2)(4т 2 + 8т — 3) (3 14) Ц4 = 240
Взаимосвязь Лх) и х Л (х) = Л (X) , (3.15) cov {хг-, х ■ }= 0, (3.16) ||г 11-1 1 при ‘ - ^, (3.17) II Х'ХЛ 10 при 1 Ф ].
Распределение точек Лх) по плоскостям, перпендикулярным главной диагонали куба 1 ^ f(х) = 7 ^ К- 'К • Cnx~\n_d_t{m+1), (3.18) (m +1) t=o где к - целая часть отношения x/(m +1).
Характеристики распределения / (х):
Положение, рассеяние, косость, крутость, мода * = тп , (3.19) а* = ™ {т + 2), (3.20) аХ = 0, (3.21) 6 f 2 тп і * = 1Н , (3.22) Ет = (при четном mn). (3.23) Х 5n ^ т (т + 2) J 2
Начальные моменты 7 = тП, (3.24) Х2 = тП{3тп + т + 2), (3.25) 7 = (тп)2 т + {т + 2)], (3.26) Х4 = (тп)4 + (тп)3(т + 2) + тп(т + 2) Гт(т + 2)(5п _ 2)_ 4]. (3.27) 16 8 240
Центральные моменты тп / \ ц 2 =—{т + 2), (3.28) ц3 = 0, (3.29) Ц4 = 240 ) ^т{т + 2){5п 2) 4] . (3 30)
Общее число точек в пирамиде
R = п + 1
(4.1)
Распределение точек Л (х) по плоскостям, перпендикулярным ребрам п-мерного куба, из которого вырезана пирамида
/ (х )=
С
• С1,
п +1
(4.2)
где хі = 0, 1; / (0) = qi = —Ц-; / (1) = рі = 1 - 1
п +1
п + 1
Характеристики распределений /хі):
Положение, рассеяние, косость, крутость, мода
хі = Рі =
(4.3)
оі = Рі • Чі -
(4.4)
Чі - Рі
і і =
1 - 6РіЧі РЧ
(4.6)
(4 т ) ,■ =
і ^РіЧі
0 при рі < q¡,
1 при Рі > q¡.
(4.5)
(4.7)
Начальные
моменты
хі = Рі
(І = 1, 2, 3, ...).
(4.8)
Центральные
моменты
ц 2 = РЧ, (4.9) Мз = Р^- Р), (4.10) М4 = ^[1 + 3(ч - р)2].
(4.11)
/(х) ^/(Х/), (4.12)
1 > х1 > х2 > ... > хі > ... > х/ > ... > хп > 0,
cov
іхі,х/}=
ЧіР/ при ] > і,
Взаимосвязь /(хі) и хі
і п +1 - у _
Г х1х; _ « V У п +1 - і \
1
Я±Е±
Рі Я у
при у > ¡, при у = ¡.
(4.13)
(4.14)
(4.15)
Распределение точек Л(х) по плоскостям, перпендикулярным главной диагонали куба, из которого вырезана пирамида
/ (х) =
1
п + 1
(4.16)
где х = 0, 1, 2, ..., п.
Характеристики распределения /х):
Положение,
рассеяние,
косость,
крутость
х = -, (4.17) 2
а х = 0, (4.19)
о х = 12 (п + 2),
1
6 (і 1
-----11 +--------
5 V п п + 2
(4.18)
(4.20)
х1 = п, 2 '
(4.21)
х2 = п (2п +1),
Начальные
моменты
х3 = — (п + 1), (4.23) х4 = п(6п3 + 9п2 + п - 1),
4 4 ' -?п ' >
30
аа • п!
*=1(* + 1) •(п — *)!
где I = 1, 2, 3, ., п; аа - численные коэффициенты (табл. 6).
(4.22)
(4.24)
(4.25)
Центральные
моменты
М 2
п (п + 2) 12
(4.26)
Мз =
п(п + 2) 2
М 4 =-------------(Зп + 6п - 4)
4 240
(4.27)
(4.28)
і
х
Общее число точек в пирамиде
R = ст
(5.1)
Распределение точек Л (х;) по плоскостям, перпендикулярным ребрам п-мерного куба, из которого вырезана пирамида
/ (хі ) =
^Н-1 —1
Схі+(п-і) * С(т - хі )+(і—1) Ст
(5.2)
где хі = 0, 1, ..., т.
Характеристики распределений /х):
Положение,
рассеяние,
косость,
крутость,
мода
хі = рт , (5.З)
о2 =[і + г(т - 1)]тРіЧі,
1 + г(2т - 1) Чі - Рі
' (1 + гУ1 + г(т - 1) ^тРіЧі
К (Чі - Р)2 + £
4[1 + г(т - 1)]2
тР іЧі
(1т )і
п -1
/ л Р1 — Г (1 + Р1) т
(п — 1) = т —— ------- (при целом ----------------- ) ,
1 - Зг
п -1
где Р. = 1.
п + 1
(5.8) Чі
п + 1
(5.9) г:
п + 2
К и L - некоторые выражения (5.11), (5.12), зависящие от г и т:
К = тз - (т - 1)<т+^ -^ - гУ + 2т[1 + г(т - 0]|т - 4(т - 1)^
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.10)
(5.11)
ь = 19т3-(т - А» - 2Хт - ЗХ1 - г) (,5 + 22г - 17г’ )+ (1 + г д! + 2г) ^ ’
- 6т[1 + г (т -1)]^4
1 + г(т-1)] 4 + 8гт—1 -7т
1+г
- 4(т -1)(1 - г)(т2 -
т - 5т +13 +18
т - 2 1 + г
(5.12)
Начальные
моменты
і
і!СІ
х1 = С\ •£ ай^~.
*=1 сп+*
где I = 1, 2, 3,., т; аа - численные коэффициенты (табл. 6).
(5.1З)
[1 + г (т - 1)]пЧіРі
М2
Центральные
моменты
1 + г (2т - 1)г і
Мз =-------- ----------[1 + г(т -1)]* тРіЧі (Чі - Рі)
1 + г
М 4 = ^ [к (Чі - Рі) 2+ 4
(5.14)
(5.15)
(5.16)
Взаимосвязь / (хі) и хі
/(хі) */(x^), т > х1 > х2 > ... > хі > . > х■ > . > хп > 0.
еоу^х, х/1= [1 + г(т - 1)]тЧіР/ при / > і,
і п + 1 - у у п + 1 - і
Яі Ру . .
—і---------------— при у > і ,
Рі Я у
при у _ і .
(5.17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
тіпі
З
і
т
1
Г
х.х
1
Распределение точек _Дх) по плоскостям, перпендикулярным главной диагонали куба, из которого вырезана пирамида Находится с помощью алгоритма при сложении строк числового треугольника по особым правилам [4; 5]
Характеристики распределения /(х):
Положение, рассеяние, косость, крутость X = ^ , (5.21) а2х = ^ {т + п +1), (5.22) а х = 0, (5.23) г х =-6 Г- + . (5.24) 5 ^ т п т + п +1)
Начальные моменты х1 = т- , (5.25) X3=- / \ 4 4 (тп) { ч 2 тп ( т + п +1Л х = 1 тп + , 4 1 3 J тПп [тп + (т + п +1)], 8 (тп)2 (т + п + 1)[5тп - 2(т + п)]-2тп (5.26) (5.27) . (5.28)
16 4 ’ 8 240
Центральные моменты тп ц2 = -— (т + п +1), (5.29) ц3 = 0, (5.30) ц4 = тп^т +п +1) |(т + п + 1)[5тп - 2(т + п)]+ 2тп}. (5.31)
Из таблиц 2-5 видно, что статистические свойства рассматриваемых решетчатых объектов определяются достаточно простыми алгебраическими выражениями. Некоторые из них хорошо известны. Например, выражения (2.15) и (5.1) являются следствиями известных соотношений комбинаторики, определяющих статистический вес в статистиках Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна. Выражения (3.2)-(3.10), (3.12)-(3.14), (4.16)-(4.24) описывают известные свойства равномерного распределения, а соотношения (2.16)-(2.27) - свойства биномиального распределения при р = 0,5.
Что касается и-мерных решетчатых пирамид, то в статистической теории их свойства не рассматривались. В таблице 5 приведены результаты, полученные нами в работе [2]. Эти результаты позволили в дополнение ко всему записать также обобщающие выражения (3.11) и (4.25) для начальных моментов равномерного распределения, поскольку при и = 1 и i = 1 выражение (5.2) описывает именно это распределение.
В статистической теории не изучалось и распределение точек в и-мерном кубе вдоль его главной диагонали при т >1. Соотношения, приведенные в таблице 3, получены нами специально для этой работы. Строгими из них являются выражения (3.19)-(3.21), (3.23)-(3.26), (3.28), (3.29). Соотношение (3.18) строго получено для двумерного случая и после проверки обобщено на и-мерный случай. Выражение (3.22) найдено при анализе таблиц с координатами точек, образующих решетчатые многомерные кубы. Что касается выражений (3.27) и (3.30), то они являются следствиями соотношения (3.22) и известных тождеств [4; 5], связывающих моменты разного порядка.
Простота пространственной конфигурации точек в решетчатом кубе и пирамиде проявляется в симметрии матриц (15)-(20), характеризующих распределение точек в этих объектах:
64 64 64 64 1 0 0 0
1 64 64 64 64 , (15) 0 1 0 0
М = 5 0 0 1 0
256 64 64 64 64 II II
64 64 64 64 0 0 0 1
1 0 0 0 1 4 10 20
0 1 0 0 1 4 9 12 10
0 0 1 0 (17) ІИІ = 35 10 12 9 4
0 0 0 1 20 10 4 1
(18)
4 3 2 1
4 3 6 4 2
25 2 4 6 3
1 2 3 4
(19)
'4 1 4 Л
£ Л
Л
Я
(20)
Матрицы (15)-(17) и (18)-(20) рассчитаны по данным таблиц 3 и 5. Матрицы (15) и (18) соответствуют матрицам рядов распределения точек по плоскостям, перпендикулярным ребрам четырехмерного (п = 4) куба и четырехмерной (п = 4) пирамиды при т = 3, матрицы (16) и (19) - матрицам моментов этих распределений, а матрицы (17) и (20) - корреляционным матрицам, характеризующим взаимосвязь координат точек в решетчатом кубе (17) и пирамиде (20). Хотя матрицы (15)-(20) носят частный характер, они наглядно иллюстрируют симметрию, присущую матрицам ||А.|| и ||г|| в общем случае. Для решетчатой пирамиды матрицы ||А.|| и ||г|| всегда будут симметричными относительно обеих диагоналей (« / »и « \ »), а для куба - диагональными, выражающимися через единичную матрицу.
Что касается матрицы рядов распределения точек в пирамиде || f \\, то она будет квадратной и симметричной относительно обеих диагоналей (см. (18)) лишь при т = п - 1. В этом случае элементы второй диагонали « / » соответствуют максимальным значениям f (х), а мода /-го распределения (%т) = п - i. В дополнение ко всему сумма элементов такой матрицы || f \\ равна 1 не только по строкам, но и по столбцам.
При т Ф п - 1 матрица || f \\ для пирамиды является прямоугольной. Она обладает только центральной симметрией. Согласно (5.7) ее вторая диагональ « / » определяет моду (^т)г-и максимум распределения f (х) при целочисленных значениях отношения т/(п - 1) .
Данные таблиц 2-5 определяют распределение точек по направлениям, совпадающим с ребрами и главной диагональю п-мерного куба, в который вписываются рассматриваемые решетчатые объекты (рис. 2). Для проектирования итогов серии испытаний (рис. 6) важно также знать распределение точек в решетчатых объектах вдоль других направлений п-мерного куба, задаваемых вектором:
: Є. + е,_ + Є + .. . + е.
(21)
где V < п,
е = е„, е„ е, ,
.1 ’ .2 $Ъ'
, е, - единичные векторы для системы координат, связан-
ной с ребрами п-мерного куба (рис. 6).
Г
1
Г
V
Значения коэффициентов а й в выражениях (3.11), (4.25), (5.11)
1 t
1 2 у3 4 5 6 7 8
1 1 0 0 0 0 0 0 0
2 1 1 0 0 0 0 0 0
3 1 \У 11 1 0 0 0 0 0
4 1 7 ¥ 1 0 0 0 0
5 1 15 25 10 1 0 0 0
6 1 31 90 65 15 1 0 0
7 1 63 301 350 140 21 0 0
8 1 127 966 1701 1050 266 28 1
Рекуррентная формула «/(л-ц = а ^ _ц/ + /ац (6.1) Ф = V + ОхП
Решетчатый куб интересен тем, что для него распределение точек вдоль любого направления, задаваемого вектором е (21), определяется тем же выражением (3.18), что и для главной диагонали, но при п = V, где V - число слагаемых в сумме (21)
1 ^
* (х) = 7--^ I (" 1)^ • с^_1)_*{т+1), (22)
(т +1) (=о
где к - целая часть отношения х/(т +1).
Что касается решетчатой пирамиды, то для нее ситуация сложнее, хотя искомое распределение можно найти с помощью того же алгоритма [2; 3], что и для направления, совпадающего с главной диагональю. При этом в аналитическом виде можно получить выражения для распределения точек в п-мерной пирамиде по плоскостям, перпендикулярным диагоналям граней куба (рис. 6):
/ (Xi + Xj ) =
1
2[(т-й)-|х-т |]
сп
м_1_
су - i -1 • с i-1 / ч • с П-у
у-г-1+(2/+й) . - (2т -х)-(21+й) ^
г-1+---------~-------- п-у+
х-(21+й) 2
*(X - ху):
СП
и
• с(у-г )-1. • СП-( н \ 1
Дх+(у-г )-1 (т-Дх)+[п-( у-г)] ’
(23)
(24)
где г,у = 1, 2, ..., п (у > г),
X = хг + X: = 0, 1,
2т,
0, если х четное,
1, если х нечетное,
Дх = хг
Соотношение (23) интересно тем, что дает возможность проследить на примере двух задач, каким образом вид итогового распределения / (х) зависит от успехов школьников в решении задач, характеризуемых распределениями (5.2), при заданной корреляционной взаимосвязи оценок (5.20). В свою очередь выражение (24) характеризует распределение учащихся по потерям балльных оценок, которые имеют место при переходе от простой задачи к более сложной.
Для интерпретации итогов испытания весьма важна связь соотношений, определяющих распределение точек в разных решетчатых объектах, которые отличаются как своим видом (куб или пирамида), так размерностью п и значением т. Интерес к подобной связи определяется тем, что для получения новой информации мы вправе менять статистику, приводя балльные оценки к новой шкале. В соответствии с этим возникает вопрос:
1
каким образом переход к новому способу оценки, сопровождающийся сменой статистики, сказывается на регистрируемых итогах испытания учащихся.
Если обратиться к решетчатой пирамиде, то из таблицы 5 видно, что соотношения
(5.1), (5.21-(5.31) инвариантны по отношению к замене п на т и наоборот, что является отражением упоминавшейся особенности, согласно которой распределение точек вдоль главной диагонали в п-мерной пирамиде с ребром т тождественно распределению точек вдоль главной диагонали в т-мерной пирамиде с ребром п. С педагогической точки зрения это означает, что переход от традиционной системы оценки к нетрадиционной (в соответствии с алгоритмом, приведенным в таблице 1) не меняет итогового распределения. Не будет при этом изменяться и разрешающая способность контрольного задания, поскольку число регистрируемых способов решения серии разноуровневых задач
(5.1) инвариантно по отношению к перестановке п и т. Единственная новая информация, которую мы при этом можем получить, заключается в том, что одно и то же итоговое распределение можно реализовать с помощью другого числа задач, при другой балльной стоимости задач и другой корреляционной связи балльных оценок, поскольку соотношения (5.2)-(5.20) не инвариантны относительно замены п на т и наоборот.
Анализируя особенности алгоритма применительно к решетчатому кубу, приведенные в таблице 1, можно прийти еще к одному выводу. Оказывается, что распределение (3.18), соответствующее распределению точек вдоль диагонали в п-мерном решетчатом кубе с ребром т, можно получить не только за счет сложения п одинаковых распределений / (х) вида (3.2) с корреляционно независимыми значениями Хі (3.17), но и при сложении т биномиальных распределений/(ук) = Ь(ук, п, рк) с корреляционно связанными значениямиук:
/ (х1 + -«2 + - + Хі + - + xj + - + хп )= / (У1 + У 2 + - + Ук + - + Уі + - + Ут ) ,
где хі = 0, 1, 2, ..., т,
/ (Х,. ) = -Ц, - ^ при ‘
т +1
ук = 0, 1, 2, ..., п,
(25)
1 при і = і, п ^ У1 ^ У2 - ^ Ук ^ ^ Уі ^ ^ Ут ^ 0.
/ (Ук) = Ь( Ук, n, Рк),
Рі (1-Рк)
при і > к, Рк(1 - Рі)
1 при і = к,
Рк =1
к
т +1
і
т +1
Используя геометрические свойства пирамиды и куба, можно выйти еще на один способ реализации одного и того же распределения / (х) с помощью самых разных распределений / (хк). Например, итоговое распределение/ (х), соответствующее п-мерной пирамиде, можно получить в результате сложения итоговых распределений, относящихся к пі-, п2-, п3-, ..., п(-мерным пирамидам, при
(26)
п = п + п2 + п + - + п + - + п, + - + п
*3
к
Ч '
хкхі
(27)
пк + т +1 п1 + т +1
где гц - коэффициент линейной корреляции между значениями Xи х1.
Геометрическое обоснование такого сложения при п = 3 представлено на рисунках 7а-7г и исходит из того факта, что трехмерный решетчатый куб можно составить из шести решетчатых трехмерных пирамид (рис. 7а-7в). Координаты точек в этих пирамидах удовлетворяют неравенствам х1 > х2 > х3, х1 > х3 > х2, х2 > х1 > х3, х2 > х3 > х1, х3 > х2 >
г
п
п
к
/ (х1 )= / (х2 )= / (Х3 )=—Ц-. (28)
т +1
При этом распределение точек по плоскостям, перпендикулярным главной диагонали «составного» куба (рис. 7в), будет таким же, как и в исходной пирамиде (рис. 7а). Пирамиды, из которых составлен куб на рисунке 5в, характеризуются одинаковым распределением точек по плоскостям, перпендикулярным его главной диагонали. Зеркальная симметрия, которая отличает некоторые из этих пирамид, никакой роли в данном случае не играет. Все отличие «составного» куба от однородного заключается в корреляционной взаимосвязи значений хi. Если для однородного решетчатого куба значения XI независимы (3.17), то для составного они корреляционно взаимосвязаны из-за увеличения «заселенности» точек на границах раздела пирамид при их соединении в куб. Согласно выражению (27) для составного куба с ребром m эта связь характеризуется матрицей
\Г Ы-при - ф у. (29)
Ц^х-хуЦ 1 т + 2 ^ '
[ 1 при I = у
Если обратиться к трехгранной призме, составленной из трех пирамид (рис. 7г), то с ее помощью нетрудно объяснить сложение распределений, определяемое соотношениями (26) и (27) для случая п = 3, п1 = 2, п2 = 1.
б)
в)
*1
Рис. 7. Геометрическая интерпретация сложения разных комплектов задач
Ситуация, представленная на рисунках 7а-7г, обобщается на «-мерный случай. Необходимо только учесть, что «-мерный куб можно образовать соединением «-мерных пирамид, число которых равно «!. Что касается справедливости соотношений (26) и (27), то сомнений они вызывать не могут, поскольку являются следствиями выражений (5.21), (5.22) и известных статистических тождеств:
х = (х1 + х2 + х3 +... + х() = х1 + х2 + х3 +... + х(, (30)
(
а2 =ст2 +а2 +а2 +... + а(2 + 2 ^а^1гы . (31)
k, I=1; I > к
Соотношения (26) и (27) определяют лишь незначительную часть возможных способов комплектации контрольного задания с одним и тем же итоговым распределением / (х). Итоговое распределение / (х), характерное для пирамиды с п = 3, можно, например, получить при сложении распределений / (х), соответствующих пирамидам с п = 4, п = 5, п = 6 и т.д. Возможность использования для этой цели распределений с п = 4 определяется, например, соотношением:
/ (хцз + Х2|з + Х3|3 )= / (хц4 + Х2|4 + Х3|4 )+ С- / (хц4 + Х2|4 + ^ ) +
'—-'4 '—-'4
+ У" (Х2|4 + Х3|4 + Х4|4 )+ Сз / (х1К + ХзК + ^4 ) ,
'■ Л '■ Л
44
где индексы 1|3, 2|3 и 3|3 соответствуют пирамиде с п = 3, а индексы 1|4, 2|4, 3|4 и 4|4 -пирамиде с п = 4.
Аналогично записываются соотношения, определяющие выход на требуемое распределение f (х1|3 + х2|3 + х3|3) с использованием распределений f (х,), соответствующих пирамидам с п = 5, п = 6 и т.д. В педагогическом плане интерес к подобному представлению итогового распределения определяется тем, что оно изначально ориентируется на сложный состав ансамбля испытуемых, который может включать несколько подансамблей с различной реакцией школьников на разноуровневые задачи.
Проектирование испытаний с ориентацией на сложный состав ансамбля и его последующее деление на отдельные части по итогам испытаний представляет интерес для контрольных мероприятий с критериально-ориентированным подходом к оценке знаний учащихся. По отношению к ним весьма важным является взаимосвязь распределений f (х,) (5.2), соответствующих пирамидам с разной размерностью п и и (при п > п) [2]:
І + (П- п) 1 п - I
/ (Х|Я ) = Е Ск/ (хк\Я ), где Ск = Ск-1 • „Ся_к , (33)
к = i СЯ
I + (п - п )
= 1. (34)
к = I
Рассмотренные примеры в целом показывают, что обращение к квантовым статистикам и их свойствам (табл. 2-5) может оказаться весьма эффективным способом проектирования и педагогической интерпретации итогов испытания учащихся. К числу достоинств этого подхода можно отнести и то, что он удобен для математического описания получаемых результатов. В работе [2], например, указан способ
линеаризации соотношений /„(хг) (5.2), который в общем виде решает проблему обработки экспериментальных данных с помощью этих распределений. Проблему обработки экспериментальных данных помогает решить и разложение экспериментальных распределений F(x) в ряд по распределениям (5.2) с заданным значением
п [2]:
F (х)= £ Ск • /п (хк ) , (35)
к =1
в котором коэффициенты разложения ск можно найти по методу моментов из системы уравнений [25]:
Е Ск = 1 к •
с к = 1
, (36)
Е с • к [(п _ к)+ ( _ 1)],-п!-т! = Е /_ 14/_tА (т • х1 -1 _ х1 ^
ЕС к (п - к)(Я + ,>.(т - ,)( 1 А Г Х ^
где х1 1 , х1 - начальные моменты порядка (/ - 1) и I для распределения F(x), Аа - некоторые численные коэффициенты (табл. 7),
/ = 1, 2, 3, ..., т.
Значения коэффициентов Ай
г 1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 0 0 0 0 0 0 0
2 0 1 0 0 0 0 0 0
3 0 1 1 0 0 0 0 0
® 0 2 V 1 0 0 0 0
5 0 6 11 <6> 1 0 0 0
6 0 24 50 35 10 1 0 0
7 0 120 274 225 85 15 1 0
8 0 720 1764 1624 735 175 21 1
Рекуррентная формула Ам 1 = Аг1_!+ Аг, (г - 1) (7.1) ф = V + Пх(0 - 1)
По отношению к обработке экспериментальных распределений важное место принадлежит статистическим модулям, которые позволяют интерпретировать итоги испытания учащихся исходя из балльной стоимости задачи или теста, а также вида получаемого распределения:
Ах) = А,А,..., А, ..., Ат, (37)
где х = 0, 1, ..., I, ..., пт , Ао = А (0), А = А(1), ..., А = А (I), ..., Апт = А (пт).
По отношению к тесту, состоящему из п заданий стоимостью в т = 1, эти модули имеют вид
Pk = 1 А >
X =k
п,
(38)
Рк
IА
1=к
п
IА
х=к-1
(39)
Рк = Р
X
п — 1
ир(1 — р)
—1
(40)
где к = 1, 2, 3, ..., п, рк - вероятность получения к-го балла, г - коэффициент линейной корреляции между балльными оценками.
Модуль (38) интересен тем, что выделяет из множества возможных способов реализации заданного распределения А (х) случай, соответствующий серии заданий нарастающей сложности, поскольку рк + 1 < рк. Данный модуль исходит из принципиальной различимости участников испытаний. Различимость учащихся в педагогике можно отнести к числу базовых положений, поскольку именно она служит основанием для самой возможности индивидуального и дифференцированного подходов к обучению и воспитанию.
Принципиальная различимость N участников испытания предполагает существование для каждого ансамбля особого «базового» теста (или задачи), по результатам решения которого участники становятся различимыми, выстраиваясь поодиночке в ряд в соответствии с набранными баллами. В рамках статистики Бозе - Эйнштейна в качестве «базового» может выступать тест, который включает ^ - 1) однобалльное задание с равномерным нарастанием уровня сложности. В координатном представлении область итогов решения такого теста отображается решетчатой ^ - 1)-мерной пирамидой с единичным ребром, вершины которой имеют координаты, удовлетворяющие неравенству
1 > XI > х2 > ... > Х(дг_ 1) > 0. Если исключить из рассмотрения абсолютно очевидные
п
1
г =
п
п
и недоступные задания, то при п < N итоги любого теста нарастающей сложности являются своеобразным «срезом» этой пирамиды вдоль соответствующего направления, определяемого вектором вида (21). Характеристики этого направления нетрудно найти, исходя из данных таблицы 4, что и отражено в модуле (38).
В свою очередь модуль (39) определяет реализацию заданного распределения f (х) с помощью системы однобалльных заданий с регламентированной очередностью их решения, когда школьник допускается к решению задания с номером k только в том случае, если успешно решает задание с номером (к - 1). Область возможных способов решения такого теста так же, как и в случае (38), определяется точками п-мерной пирамиды. Его особенность заключается в том, что вероятность решения рк жестко привязана к номеру задания k. В отличие от этого модуль (38) описывает ситуацию, в которой школьнику предоставлено право решать задания в порядке возрастания сложности, сообразуясь с собственными представлениями о простых и сложных заданиях. В подобном случае взаимосвязь вероятности получения к-го (по счету) балла с номером задания отсутствует.
Что касается модуля (40), то он выделяет случай реализации распределения f (х) с помощью теста, состоящего из п заданий одного уровня сложности (с одинаковой вероятностью решения р) и одной и той же корреляционной связью оценок г. Область возможных способов решения такого теста в координатном представлении определяется точками п-мерного куба (табл. 3), «заселенность» которых по отношению к главной диагонали куба отличается осевой симметрией, обеспечивающей одинаковую величину значений р и г. Сам модуль (40) при этом является следствием указанной симметрии и известных тождеств (30) и (31).
Модуль (40) выявляет интересное свойство распределений вида (5.2). Исходя из соотношений (40) и данных таблицы 5, нетрудно понять, что распределение вида (5.2) по своим свойствам близко с биномиальному (41) и гипергеометрическому (42) распределениям:
ь^ т р)= сХтрх (1 - рУ~ х, (41)
Сх ст—х
тj, к )= к тп—у . (42)
Ск
Если биномиальное распределение (41) соответствует серии т случайных (г = 0) событий, характеризуемых вероятностью р, а гипергеометрическое распределение (42) -серии т взаимосвязанных событий, совершающихся с вероятностью р = у/к при отрицательной корреляционной связи г = - 1/(к -1), то распределение (5.2)
Сх ст—х
( • \ Сх-(п-г) ’ Ст— х +(г—1) /л?\
п(х, т, г, п)=----——---------—- (43)
Ст+п
будет соответствовать серии т взаимосвязанных событий, совершающихся с вероятностью
р = 1 —г— (44)
п + 1
при положительной корреляционной связи
г = -+■т, (45)
п + 2
где г = 1, 2, 3,..., п , п = 1, 2, 3, ... .
О принадлежности Ь(х, т, р) (41), ^х, т, ], к) (42) и я(х, т, г, п) (43) к одному семейству распределений говорит и тот факт, что соотношения (5.3)—(5.16), описывающие свойства распределения (43), носят по отношению ко всем выделенным распределениям (41)—(43) универсальный характер. Чтобы соотношения (5.3)—(5.16) описывали, например, свойства биномиального распределения (41), достаточно задаться значением г = 0. Для описания свойств гипергеометрического распределения (42) необходимо задаться значениями р = у/к и г = - 1/(к -1).
Отсюда следует, что распределение (43) пригодно для количественного проектирования итогов теста, состоящего из п заданий одного уровня сложности (характеризуемых одинаковой вероятностью решения р), при фиксированной положительной и достаточно слабой корреляционной связи успехов учащихся г (0 < г < 1/3). При проектировании итогового распределения / (х) с помощью соотношения (43) необходимо только, чтобы задаваемые значения р и г обеспечивали целочисленный характер параметров, входящих в (43). Для теста из п однобалльных заданий, характеризуемых вероятностью решения р и одинаковой корреляционной связью балльных оценок г, итоговое распределение будет иметь вид
Сх /-1П — х
1—г ' С 1—г
х—(р-1) п—х+ (ц----------1)
/ (х )= ,к(x, п p, г )=---------г—п--------------------------------------------г-, (46)
Сп+ЬТ —1
г
где х = 0, 1, 2, ..., п, ц = 1-р.
Необходимо отметить, что целочисленный характер параметров в соотношении (46) можно обеспечить лишь при определенных значениях р и г. Эти значения нетрудно найти из соотношений (44) и (45) (табл. 8). Из таблицы 8, например, следует, что при коэффициенте линейной корреляции г = 1/3 выражение (46) определяет итоговое распределение / (х) для заданий, характеризуемых вероятностью р = 1/2. При г = 1/4 таких распределений будет уже два (для р = 1/3 и р = 2/3), при г = 1/5 - три (для р = 1/4, р = 2/4 и р = 3/4) и т.д.
Таблица 8
Значения р и г, обеспечивающие возможность проектирования итогового распределения теста / (х) с помощью выражения (46)
г р
1 1
3 2
1 1 2
4 3 3
1 1 2 3
5 4 4 4
1 1 2 3 4
6 5 5 5 5
В противовес этому модуль (38) пригоден для проектирования итогов тестирования в диаметрально противоположном случае, когда тест состоит из п однобалльных заданий не одинакового, а разного уровня сложности, причем школьник может решать задания в порядке возрастания их сложности, сообразуясь с собственными представлениями. Из выражений (38) имеем:
/0 = 1 — ръ /\ = р\ — P2,
\/2 = р2 — р3, (47)
/п—1 рп—1 рп ,
к/п = рп,
где А = f (0), А = f (1), ..., А = f (и) - искомые значения итогового распределения f (х) при х = 0, 1, 2, ...и.
Из соотношений (39) для теста с заданными вероятностями р1, р2, р3, ..., рк, ..., ри и регламентированной очередностью решения заданий, когда школьник допускается к решению задания с номером к только после успешного выполнения задания с номером к - 1, можно получить значения итогового распределения А = А (0), /1 = А (1), ..., А = А (к), ., А = А (и), которые определяются выражениями:
А =(1 - Рк+\)'Y\.Рi , (48)
i = 0
где р0 = 1, р„+1 = 0, к = 0, 1, 2, ..., и.
Модули (38), (40) позволяют последовательно выйти на модели Г. Раша
и А. Бирнбаума [6], используемые в тестологии. Для иллюстрации этого на рисунке
8 изображено семейство логистических кривых
Р = е1,7а(Р-0) + 1 , (49)
описывающих вероятность р решения тестового задания в зависимости от уровня его сложности р и уровня подготовленности школьника 0 при различных значениях дифференцирующей способности а задания.
а = «
-4 -2 0 2 4
Рис. 8. Семейство логистических кривых, описыв ающих вероятность решения р задания в двухпараметрической модели А. Бирнбаума
Сплошными линиями на рисунке 8 выделены предельные случаи кривой (49) для значений а = 0 и а = « . Случай а = 0, как нетрудно видеть, соответствует модулю (40), с помощью которого можно спроектировать тест, состоящий из заданий с одинаковой вероятностью решенияр (в данном случае прир = 0,5).
Что касается случая а = « , то его можно соотнести с модулем (38). При однобалльной стоимости заданий неравенство 1 > х\ > х2 > ... > хп > 0, лежащее в основе этого модуля, имеет вид 1 > ...> 1 > 1 > 0 > 0 > ... > 0, который соответствует логистической кривой (49) при а = ж> .
Соответствие модулей (38), (40) предельным случаям модели А. Бирнбаума делает в общем плане понятным, почему при использовании этих модулей весьма сложная процедура конструирования тестов имеет простые алгебраические решения. Эти решения является строгими, понятными с педагогической точки зрения и их всегда можно проиллюстрировать с помощью матрицы балльных оценок, отображающей планируемые итоги в табличном представлении.
Простота, строгость и наглядность делает процесс проектирования тестов с опорой на квантовые статистики весьма перспективным при обучении студентов, учителей и даже школьников основам конструирования тестов. Опираясь на модули (38), (39) и (40), нетрудно сформировать у обучаемых верные представления о влиянии разных факторов (уровня сложности заданий, корреляционной связи успехов испытуемых, регламента тестирования) на итоговые результаты оценки знаний учащихся. Опора на квантовые статистики позволяет выбрать из множества возможных способов реализации требуемого распределения А (х) простейшие случаи, доступные для педагогической интерпретации. Ориентируясь на соответствующие решетчатые объекты, определяющие область возможных способов решения заданий, можно каждый проектируемый тест сопроводить не только статистическими характеристиками заданий, но и проиллюстрировать его соответствующей матрицей балльных оценок.
Нетрудно, например, спроектировать тест, соответствующий нормативно-ориентированному подходу к оценке знаний. Для этого достаточно в модуле (38) воспользоваться значениями А из выражения (3.18), являющегося дискретным аналогом нормального распределения. Данные таблиц 3-5 пригодны для статистического проектирования критериально-ориентированных тестов и тестов, состоящих из отдельных модулей, а также для решения ряда других задач, занимающих принципиальное положение в учебных курсах по современным средствам оценивания знаний учащихся.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кирьяков, Б.С. Статистическое моделирование контрольных мероприятий с многобалльной оценкой знаний учащихся // Известия РАО. - 2005. - № 2. - С. 75-83.
2. Кирьяков, Б.С. Педагогическая модель интеллектуального испытания школьников. -Рязань : Русское слово, 2002. - 208 с.
3. Кирьяков, Б.С. Проблемы проектирования серии испытаний школьников: сложение распределений / Б.С. Кирьяков, М.Н. Строкова // Психолого-педагогический поиск. - 2006. -№ 1/4. - С. 83-93.
4. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1977. - 832 с.
5. Митропольский, А.К. Техника статистических вычислений. - М. : ГИФМЛ, 1961. - 480 с.
6. Нейман, Ю.М. Введение в теорию моделирования и параметризации педагогических тестов / Ю.М. Нейман, В.А. Хлебников. - М.: Прометей, 2000. - 168 с.
