CC BY
58
Б.С. Кирьяков
СЕМЕЙСТВО АРИФМЕТИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ: СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЕ
Исследовано семейство арифметических треугольников, определяющее размещение тождественных неразличимых частиц по квантовым состояниям при запрете на нахождение в одном состоянии двух, трех, четырех и более частиц. Предложен геометрический аналог этого семейства. Рассмотрены некоторые свойства выделенных арифметических треугольников и их возможное применение. Возможности предлагаемого метода продемонстрированы на примере спектральных характеристик контрольных работ, используемых при оценке результатов обучения.
арифметические треугольники, геометрический аналог, свойства, применение, результаты обучения, контрольные задания, спектральные характеристики.
Арифметический треугольник (табл. 1а), является, как известно удобным способом представления биномиальных коэффициентов. Данный треугольник обладает рядом характерных свойств, например:
- каждый элемент этого треугольника равен сумме двух других элементов, расположенных левее и выше рассматриваемого;
- число элементов в диагонали с номером п = 0, 1, 2, ... равно п + 1;
2п
.
Первое из выделенных свойств позволяет построить арифметический треугольник любого размера. По таблице 1а также видно, что, следуя стрелке, арифметический треугольник нетрудно привести к другому виду (табл. 1б), расположив элементы, принадлежащие диагоналям, вертикально в виде соответствующих столбцов. Поскольку элементы арифметических треугольников в таблицах 1а и 1б одни и те же, то треугольник в таблице 1б сохраняет все свойства треугольника из таблицы 1а, но с учетом нового расположения элементов:
1) каждый элемент треугольника в таблице 1б равен сумме двух других, стоящих в предыдущем столбце левее и выше рассматриваемого;
2) число элементов в столбце с номером п = 0, 1, 2, ... равно п + 1;
3) сумма элементов в столбце с номером п равна 2п;
Таблица 1
Классический арифметический треугольник при разных способах построения
а)
б)
Номер диагонали п Номер
Номер столбца п
Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. М. : ГИФМЛ, 1961. 480 с.
0 1 2 3 4 5 6 7
и и и и и и и и
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 1 6 7,
1 3 6 10 15 ] 21,''
1 4 10 20 35. ''
1 5 15 35 '
1 6 21 , ''
1 7 -1 ”
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 3 4 5 6 7
2 1 3 6 10 15 21
3 1 4 10 20 35
4 1 5 15 35
5 1 6 21
6 1 7
7 1
К этому можно добавить, что, поскольку элементы ахп в столбце с номером п являются биномиальными коэффициентами, то их значения
п!
(1)
= сх=■
х! (п - х)!
где х = 0, 1, 2, ..., п - номер строки в таблице 1б.
Очевидно, что свойство, выделенное в пункте 1, позволяет найти элементы каждого последующего столбца по известным значениям элементов предыдущего. Данное обстоятельство означает, что арифметический треугольник в таблице 1б можно построить, руководствуясь пунктом 1, без предварительного построения исходного (табл. 1а).
Треугольник в таблице 1б интересен тем, что ему можно поставить в соответствие простой геометрический объект. Для этой цели удобно рассмотреть возможные итоги тестирования учащихся с помощью теста, состоящего из п заданий стоимостью один балл, в координатном и диаграммном представлениях. Для перехода к координатному представлению этих итогов достаточно отложить балльные оценки (0, 1) за задания с номером i = 1, 2, 3, ..., п вдоль осей 0хь 0х2, 0х3, . ,.,0х;, ..., 0хп в некотором ортонормированном базисе. В этом представлении возможные комбинации оценок хь х2, х3, ..., х;, ..., хп отображаются координатами вершин п-мерного решетчатого куба с ребром т = 1, а их распределение по суммарному баллу х = х! + х2 + х3 + ... + х; + ... + хп - распределением вершин куба вдоль главной диагонали. Для превращения диагонали куба в ось суммарного балла 0х ее длину необходимо нормировать на пт = п.
Что касается диаграммного представления, то в этом случае в качестве квантовых состояний целесообразно рассматривать тестовые задания, а в качестве тождественных и неразличимых частиц - баллы. При таком подходе диаграммы, описывающие случаи успешного решения х однобалльных заданий, будут соответствовать пакету диаграмм, определяющих в статистике Ферми -Дирака возможные способы размещения х тождественных неразличимых частиц по п состояниям. При этом однобалльная стоимостью заданий обеспечивает характерный запрет на размещение в одном состоянии двух и более частиц, в силу которого в квантовом состоянии, отображающем отдельное задание, может находиться или один балл (задание решено), или ни одного (задание не решено).
Частица
Балл
X = Хі + х2 + х3
1, 0, 1
Рис. 1. Итоги тестирования учащихся набравших два балла за тест из трех заданий стоимостью один балл, в диаграммном и координатном представлениях
Особенности рассмотренных представлений иллюстрирует рисунок 1 из нашей работы «Простейшие решетчатые объекты: статистические свойства, связь с квантовыми статистиками, проектирование контрольных заданий» 2. На рисунке 1а изображены три диаграммы, представляющие возможные случаи размещения двух частиц, подчиняющихся статистике Ферми - Дирака, по трем состояниям. При другом прочтении рисунка 1а можно рассматривать как диаграммное представление трех возможных случаев решения теста из трех однобалльных заданий, когда школьник набирает два балла из трех.
В координатном представлении (рис. 1б) случаи, когда школьник за тест из трех однобалльных заданий набирает два балла, определяются координатами трех вершин 3-мерного (п = 3) решетчатого куба с ребром т = 1. На рисунке 1б эти вершины (выделены темным цветом) принадлежат плоскости, которая нормальна к оси 0х и пересекает ее в точке с координатой х = 2.
Сопоставляя эти два представления, нетрудно понять, что и в общем случае, когда п Ф 3, выражение для статистического веса
п!
G = Схп =-----------, (2)
х! (п - х)!
характерное для статистики Ферми - Дирака, будет определять распределение вершин в п-мерном решетчатом кубе с ребром т = 1 вдоль его главной диагонали (оси 0х). Совпадение выражений (1) и (2) говорит о том, что столбцам арифметического треугольника в таблице 1б можно поставить в соответствие семейство п-мерных решетчатых кубов с ребром т = 1, в которых столбцы треугольника описывают распределение вершин вдоль диагонали (оси 0х). При этом столбец с номером п задает это распределение для куба с размерностью п. О возможности подобного описания свидетельствуют и другие свойства арифметического треугольника из таблицы 1б. Например, сумма элементов в столбце с номером п, равная 2п, соответствует числу вершин в п-мерном решетчатом кубе с ребром т = 1. В дополнение к этому общее число элементов в этом столбце, равное п + 1, опреде-
Кирьяков Б.С. Простейшие решетчатые объекты: статистические свойства, связь с квантовыми статистиками, проектирование контрольных заданий // Вестник РГУ имени С.А. Есенина. 2007. № 1/14. С. 3-26.
ляет число сечений, по которым можно распределить вершины я-мерного решетчатого куба с ребром т = 1, руководствуясь значениями х = хі + х2 + х3 + ... + хп = 0, 1, 2, ..., п.
Взаимное соответствие столбцов арифметического треугольника и решетчатых кубов с ребром т = 1 нетрудно проследить непосредственно, рассмотрев, например, столбец с номером п = 3. Из таблицы 1б и рисунка 1б видно, что элементы данного столбца (1, 3, 3, 1) действительно описывают распределение вершин в трехмерном (я = 3) кубе с ребром т = 1 вдоль диагонали (оси 0х).
Геометрические представления обеспечивают наглядную интерпретацию и свойству, выделенному в пункте 1. Согласно данному свойству каждый элемент треугольника в таблице 1б равен сумме двух других элементов, стоящих в предыдущем столбце левее и выше рассматриваемого. Это означает, что каждый столбец в таблице 1б можно построить с помощью предыдущего по схеме, представленной в таблицах 2а - 2в. Согласно, например, таблице 2а элементы столбца с номером п = 2 можно найти, сложив элементы столбца с номером п = 1 с элементами этого же столбца при сдвиге последнего на одну строку вниз. Таблица 2б при этом демонстрирует возможность нахождения элементов столбца с номером п = 3 с помощью столбца с номером п = 2, а таблица 2в - возможность нахождения элементов столбца с номером я = 7 по элементам столбца с номером я = 6.
Таблица 2
Возможная схема построения столбцов арифметического треугольника а) б) в)
х Е
0 1 1 1 1 1
1 2
2 1
£ 2 2 4
х Е
0 1 1
1 6 1 7
2 15 6 21
3 20 15 35
4 15 20 35
5 6 15 21
6 1 6 7
7 1 1
£ 64 64 128
х Е
0 1 2 1 1 2 1 1
1 3
2 3
3 1
£ 4 4 8
Геометрическая интерпретация рассмотренной схемы построения столбцов представлена на рисунках 2а и 2б для квадрата (п = 2) и куба (п = 3). Согласно этим рисункам распределение точек вдоль диагонали (оси 0х) можно найти, проектируя и суммируя вершины решетчатого квадрата и решетчатого куба с ребром т = 1 на ось 0х. А поскольку сложение подчиняется сочетательному закону, то указанное суммирование можно проводить, предварительно группируя вершины по срезам.
С этой точки зрения таблица 2а демонстрирует возможность нахождения распределения вершин вдоль диагонали квадрата при группировке этих вершин по двум сторонам (рис. 2а), а таблица 2б - построение распределения вершин вдоль диагонали в кубе при их предварительной группировке
по двум граням (рис. 2б). В этом случае вершины сначала проектируют на диагонали нижней и верхней граней куба, и лишь затем - на его главную диагональ (ось 0х).
а) к таблице 2а
б) к таблице 2б
Хи х2
в) к таблице 3 а г) к таблице 3б
X = X! + Х2 + Х3
2 1
0
Рис. 2. Геометрическая интерпретация расчета распределения точек вдоль диагонали (вдоль оси 0х) в решетчатом квадрате и решетчатом кубе при т = 1(а, б) и т = 2 (в,г)
1
0
Значимость приведенной интерпретации заключается в том, что она дает основания для распространения рассмотренной схемы на решетчатые кубы с произвольной целочисленной длиной ребра т. Подобную возможность иллюстрируют рис. 2в и 2г на примере решетчатого квадрата и решетчатого куба с ребром т = 2. Видно, что порядок построения распределения точек вдоль диагонали будет тем же самым. Увеличится лишь число проектируемых на ось 0х срезов, определяемое значением т + 1 = 3.
В численном виде возможность расчета распределения точек вдоль диагонали демонстрируют таблицы 6 и 7 на примере решетчатого квадрата (п = 2) и решетчатого куба (п = 3) с ребром т = 2. По рис. 2в, 2г и таблицам 6, 7 также видно, что суммировать разные срезы при проектировании точек на ось 0х совсем не обязательно, поскольку срезы одинаковые и их проекции на ось 0х смещены относительно друг друга на А х = 1. По этой причине распределение точек вдоль диагонали при т = 2 можно найти с помощью числового треугольника, аналогичного треугольнику в таблице 2. Особенность такого треугольника заключается в том, что каждый элемент ахп
в столбце с номером п должен равняться сумме уже не двух (как в таблице 2), а трех элементов, стоящих в предыдущем столбце левее и выше ахп. Подобный треугольник приведен в таблице 3в. В нем, как нетрудно видеть, каждый элемент столбца равен сумме трех элементов, стоящих в предыдущем столбце левее и выше рассматриваемого. В этом нетрудно убедиться, например, по выделенным элементам а53 = 3 и а86 = 90. В соответствии со сказанным, данный треугольник определяет распределение точек вдоль диагонали в решетчатых кубах с размерностью п = 0, 1, 2, ... и ребром т = 2. При этом столбец с номером п = 2 задает это распределение для точек решетчатого квадрата (рис. 2в и табл. 3а), а столбец с номером п = 3 - для точек решетчатого куба (рис. 2г и табл. 3б).
а)
Возможная схема построения столбцов арифметического треугольника
б) ____________________в)
Таблица 3
X Е
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2
2 3
3 2
4 1
□ 3 3 3 9
X Е
0 1 1
1 2 1 3
2 3 2 1 6
3 2 3 2 7
4 1 2 3 6
5 1 2 3
6 1 1
□ 9 9 9 27
к
X Номер столбца п
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 3 4 5 6 7
2 1 3 6 10 15 21 28
3 2 7 16 30 50 77
4 1 6 19 45 90 161
5 3 1 16 51 126 266
6 1 10 45 141 357
7 4 30 126 393
8 1 15 90 357
9 5 50 266
10 1 21 161
11 6 77
12 1 28
13 7
14 1
Очевидно, что треугольник, представленный в таблице 3в, не является единственным. Задавшись значениями т =1, 2, 3, ..., можно построить целое семейство арифметических треугольников, в которых каждый элемент равен сумме т + 1 элемента, стоящего в предыдущем столбце левее и выше рассматриваемого. К данному семейству будет относиться и треугольник классического вида, представленный в таблице 1б. Для него т = 1.
Выделенное семейство арифметических треугольников интересно тем, что описывает распределение точек вдоль диагонали в решетчатых кубах с произвольной размерностью п и произвольной целочисленной длиной
ребра т. Свойства этих треугольников соответствуют свойствам решетчатых кубов:
I. Каждый элемент в арифметическом треугольнике из рассматриваемого семейства равен сумме т + 1 элемента, стоящего в предыдущем столбце левее и выше рассматриваемого.
II. Число элементов в столбце с номером п равно тп + 1.
III. Сумма элементов в столбце с номером п равна (т + 1)п.
IV. При заданных значениях т и п элементы столбца описывают распределение точек вдоль диагонали (оси 0х) в соответствующем решетчатом кубе, причем статистические характеристики этого распределения (среднее значение х , выборочная дисперсия а х2, коэффициенты асимметрии а и эксцесса I) однозначно определяются размерностью куба п и целочисленной длиной его ребра т 3:
х = 0,5 тп , (3)
2 тп
с х =----------(т + 2),
12
а = 0,
(4)
(5)
і = --
5 п
т + 2 т
----+-----
V т т + 2 у
(6)
V. Задавая распределение точек в численном виде, столбцы арифметических треугольников могут описываться аналитическими выражениями:
а) при т = 1 эти распределения, записанные в нормированном виде, соответствуют биномиальному распределению Ь(х, п, р) при р = 0,5:
f (X) = Ь(х,п,р) = схпрх(1 - р)п—х = ~с»;
(7)
б) с ростом значения п распределения, задаваемые столбцами арифметических треугольников, приближаются к нормальному распределению:
f (х) =
1
( X— X )
2стХ
л/2п<
(8)
параметры которого X и сх2 определяются выражениями (3) и (4).
VI. При заданном значении т столбцы арифметического треугольника с номерами пі = k и п2 = п - k определяют в решетчатом кубе с ребром т и раз-
3
е
3 Кирьяков Б.С. Простейшие решетчатые объекты: статистические свойства, связь с квантовыми статистиками, проектирование контрольных заданий.
мерностью n = n1 + n2 свойства сечений, для которых координаты точек хь х2, х3, ..., xk, ..., xn удовлетворяют условиям:
f m > x; > 0,
\ , (9)
[ Xj + Х2 + Х3 + ... + Xk = x = const,
где к < n, a i = 1, 2, 3, ..., n.
Число точек A GX' в сечении с заданным значением x' равно произведению элемента к-го столбца ахк и суммы элементов в столбце с номером n - к:
AGX, = ахк (m +1)^ . (10)
В дополнение к этому, столбец с номером n - к определяет распределение точек рассматриваемого сечения вдоль главной диагонали n-мерного решетчатого куба с ребром m при сдвиге, зависящем от х'. Положение этого распределения на главной диагонали (на оси 0x) для отдельных сечений, соответствующих значениям х' = 0, 1, 2, ..., mk, характеризуется величиной
х = х ' + 0,5m(n - к). (11)
Справедливость отмеченных свойств нетрудно проследить на примере арифметического треугольника, приведенного в таблице 4. Видно, что этот треугольник построен в строгом соответствии со свойством, выделенном в пункте I при m = 4. Каждый элемент этого треугольника равен сумме пяти элементов, расположенных в предыдущем столбце левее и выше рассматриваемого. Свойство II также строго выполняется. Оно является следствием свойства, отмеченного в пункте I, согласно которому число элементов в каждом последующем столбце будет на m элементов больше, чем в предыдущем, что и отражено в свойстве II.
Свойство III также следует из пункта I, который предопределяет возможность построения каждого столбца при суммировании элементов предыдущего m + 1 раз со сдвигом на одну строку (табл. 2а - 2в, 3а, 3б). А поскольку результаты сложения не зависят от порядка слагаемых и их сочетания, то сумма элементов каждого последующего столбца будет больше суммы элементов предыдущего в m + 1 раз, что и выражается в свойстве III.
Таблица 4
Арифметический треугольник и его свойства при m = 4
X Номер столбца n
0 1 2 3 4 5 ... n
0 1 1 1 1 1 •••
1 2 3 4 5 •••
2 3 6 10 15 •••
3 4 10 20 35 •••
4 1 5 15 35 70 •••
5 4 18 52 121 •••
6 3 19 68 185 •••
7 2 18 80 255 •••
8 1 15 85 320 •••
9 10 80 365 •••
10 6 68 381 •••
11 3 52 365 •••
12 1 35 320 •••
13 20 255 •••
14 10 185 •••
15 4 121 •••
16 1 70 •••
17 35 •••
18 15 •••
19 5 •••
20 1 •••
тп 2 ахп 1 5 25 125 625 3125 (т + 1)п
х=0
х 0 2 4 6 8 10 0,5тп
о х 0 5 3 10 3 5 20 3 25 3 тп „ (т + 2) 12
а 0 0 0 0 0 0 0
1 9 2 3 1 1 3 Г т + 2 + т ^
7 3 7 3 4 5п ^ т т + 2)
По таблице 4 нетрудно убедиться в том, что для каждого распределения, представленного соответствующим столбцом, статистические характеристики, выделенные в пункте IV, описываются выражениями (3) - (6). При этом справедливость выражения (5) обеспечивается симметрией этих распределений, обусловленной самим порядком построения столбцов. Пункт I, определяющий этот порядок, гарантирует симметрию каждого последующего столбца при симметрии предыдущего, что в наглядном виде демонстрируют выделенные элементы а4 4 = 35 и а12 4 = 35. А поскольку числовой треугольник начинается с ряда, образованного одним числом, равным 1, то распределение элементов во всех последующих столбцах будет симметричным, что и определяет значение а = 0. При этом выполнение выражения для х (3) объясняется тем, что в дополнение к отмеченной симметрии используется нумерация строк, начинающаяся с х = 0 и заканчивающаяся согласно свойству II значением х = пт.
Справедливость выражения (4) определяется известным статистическим
где Гу - коэффициент линейной корреляции между значениями xi и Xj.
Для п-мерного решетчатого куба с целочисленной длиной ребра т распределение точек вдоль осей 0xi соответствует равномерному распределению
А поскольку координаты точек решетчатого куба корреляционно независимы (rij = 0), то в этих условиях выражение (4) будет очевидным следствием соотношений (12) и (14).
Что касается коэффициента эксцесса I, то выражение (6) найдено при коррекции выражения для коэффициента эксцесса I [2], характеризующего распределение точек в решетчатых пирамидах. Свидетельством его точности является тот факт, что при самых разных значениях n и m выражение (6) задает крутость распределений для соответствующих столбцов буквальным образом.
Справедливость пункта Уа не может вызывать сомнений, поскольку выражение (10) является очевидным следствием соотношения (1) и свойства III, определяющего сумму элементов в столбце. Об этом свидетельствует и тот факт, что при m = 1 выражения (3) - (6) задают известные характеристики биномиального распределения 4 при p = 0,5.
В свою очередь справедливость пункта Уб обусловлена теоремой А.М. Ляпунова, согласно которой распределение суммы случайных чисел должно носить нормальный характер, когда величина отдельных слагаемых много меньше этой суммы 5. Поскольку для решетчатых кубов координаты точек корреляционно независимы, то к условиям этой теоремы можно приблизиться, увеличивая размерность куба n до бесконечности. По этой причине при больших значениях n распределение точек вдоль главной диагонали решетчатого куба должно подчиняться нормальному закону, что и утверждает выражение (8). Об этом свидетельствует и коэффициент эксцесса
тождеством, устанавливающим взаимосвязь дисперсии о х2 для распределения /(хг+ х2+ х3+ ... + xi + ... Xj + ... + хп) с дисперсиями а х. отдельных распределений
f(x\),/Ы,/Хз), •••,/х), ...,f(Xj), ...,f (Xn) [1]:
n
n
i=1 i, j=1, j>i
(12)
(13)
дисперсия которого
(14)
4 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М. Наука, 1977. 832 с.
5 Митропольский А.К. Техника статистических вычислений.
I. Из выражения (6) следует, что при п ^ да значение I ^ 0, что соответствует нормальному распределению.
а) отклонения от распределения (8) при n = 5, 10, 20, 40, 80 и m = 6
б)
куб 10 х 6
' норм. распр.
0,08
0,04
Рис. 3. Сравнение распределения точек вдоль диагонали в решетчатом кубе с нормальным распределением (8) при разной размерности куба п
Соответствие распределений, определяемых столбцами арифметического треугольника, нормальному закону нетрудно проверить. Результаты такой проверки приведены на рисунках 3а и 3б для многомерных решетчатых кубов с ребром т = 6. На рисунке 3 а представлены графики, отображающие отклонение от нормального закона (8) для столбцов числового треугольника при т = 6 и п = 5, 10, 20, 40, 80. В качестве количественной меры этого отклонения на рисунке 3 а использована величина є, определяемая выражением:
1
8 =
(m +1)
n axn
- f(x)
норм.
f(x)
max.
норм.
100 %,
(15)
в которомf(x)HopM. соответствует нормальному распределению (8), а f(x)тОрХм~
его максимальному значению.
Из рисунка 3а видно, что в соответствии с теоремой А.М. Ляпунова распределение точек вдоль диагонали решетчатого куба (или в столбцах числового треугольника) с ростом размерности n действительно достаточно быстро приближается к нормальному. Уже для случая n = 10, выделенного на рисунке 3а, отклонения от нормального закона находятся в основном на уровне десятых долей процента. Из 61 точки на рисунке 3а лишь для пяти точек значения 8 (15) выходят за пределы 1 процента. В непосредственном виде это совпадение иллюстрирует рисунок 3б, на котором гистограмма отображает распределение для столбца числового треугольника при n = 10 и m = 6, а гладкая кривая - нормальное распределение (8). Видно, что в масштабах рисунка 3б различие сравнивае-
0
мых распределений визуально не регистрируется. Это наглядно свидетельствует о том, что при больших значениях п (порядка 10 и выше) нормальное распределение достаточно хорошо описывает распределение точек вдоль диагонали решетчатого куба, которое задается соответствующим столбцом одного из арифметических треугольников.
Что касается свойства VI, то оно отражает тот факт, что распределение точек вдоль главной диагонали п-мерного решетчатого куба можно построить, зная распределение его точек вдоль любого вектора
I =1^ , (16)
i = 1
где k < п, а еI - произвольные единичные орты п-мерного базиса, сонаправлен-ные с ребрами п-мерного решетчатого куба.
Подобную возможность иллюстрирует рисунок 4 на примере решетчатого куба с ребром т = 2. Распределение точек вдоль диагонали этого куба (оси 0х) можно построить при группировке точек по плоскостям, нормальным к диагонали одной из его граней. В качестве такой грани на рисунке 4 выбрана грань, совпадающая с плоскостью х10х3. Ее диагональ задана осью 0х' (х' = х1 + х3 = 0, 1, 2, 3, 4). Для нее вектор I = е1 + е3.
+ х3
2 1 0
Рис. 4. Группировка точек решетчатого куба (т = 2, п = 3) по плоскостям, нормальным к диагонали одной из граней В численном виде построение соответствующего распределения представлено в таблице 5. По таблице 5 видно, что в соответствии с рисунком 4 искомое распределение можно построить по двум столбцам таблицы 8 с номерами п = k = 2 и п2 = п - k = 1. При этом число точек в срезах, соответствующих значениям х' = 0, 1, 2, 3, 4, определяется произведением ахк(т + 1)п- , а их распределение вдоль диагонали куба (оси 0х) - столбцом с номером п - k = 1.
Таблица 5
Распределение точек вдоль главной диагонали в трехмерном решетчатом кубе при их группировке по сечениям,
нормальным к диагонали одной из граней при п = 3, т = 2, k = 2
х Значения х' = х1 + х3 = 0, 1, 2, ..., тк тк ахп = ^ ах' ках п-к х'=0
0 1 2 3 4
Значения их’ к при к = 2
1 2 3 2 1
0 1 1
1 1 1 3
2 1 1 1 6
3 1 1 1 7
4 1 1 1 6
5 1 1 3
6 1 1
По аналогичной схеме распределение точек вдоль диагонали можно построить для решетчатого куба с произвольной размерностью п и произвольной целочисленной длиной ребра т. Эту возможность демонстрирует таблица 6, в которой распределение точек вдоль диагонали 5-мерного решетчатого куба с ребром т = 4 воспроизведено по двум столбцам арифметического треугольника с номерами п1 = k = 3 и п2 = п - k = 2, взятым из таблицы 4. Сделать это можно и по другим столбцам этого треугольника, для которых п1 + п2 = п = 5.
Очевидно, что свойство, выделенное в пункте I, является частным случаем рассмотренного способа построения распределения точек вдоль диагонали решетчатого куба. В этом можно убедиться, задавшись значением k = 1, тогда п1 = k = 1, а п2 = п - k = п - 1. При этом таблицы 2а - 2в, иллюстрирующие свойство I, будут аналогичны таблицам 5 и 6, поскольку при k = 1 все ахк = 1.
В дополнение к этому при больших значениях k и п - k (порядка 10 и выше) особенности распределений, отражаемые свойствами VI, можно выразить в аналитическом виде. В этом случае согласно соотношению (8) размер соответствующей выборки точек, удовлетворяющих условиям (9), будет определяться выражением:
(х’ - X)
ДGX = (т +1) е 2^, , (17)
л/2па х
где (т + 1)п - общее число точек в п-мерном решетчатом кубе с ребром т,
х' = XI + х2 + х3 + ... + xk = 0, 1, 2, ..., mk, (18)
х' = 0,5mk , (19)
х = (т + 2). (20)
Построение распределения точек вдоль диагонали в пятимерном решетчатом кубе при их группировке по сечениям, нормальным к вектору I (16) при п = 5, т = 4, к = 3, п - к = 2
X Значения х' = XI + х2 + х3 = 0, 1, 2, ., тк тк ахп = X ах’ ках п—к х'=0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Значения ахк
1 3 6 10 15 18 19 18 15 10 6 3 1
Значения ах
0 1 1
1 2 1 5
2 3 2 1 15
3 4 3 2 1 35
4 5 4 3 2 1 70
5 4 5 4 3 2 1 121
6 3 4 5 4 3 2 1 185
7 2 3 4 5 4 3 2 1 255
8 1 2 3 4 5 4 3 2 1 320
9 1 2 3 4 5 4 3 2 1 365
10 1 2 3 4 5 4 3 2 1 381
11 1 2 3 4 5 4 3 2 1 365
12 1 2 3 4 5 4 3 2 1 320
13 1 2 3 4 5 4 3 2 255
14 1 2 3 4 5 4 3 185
15 1 2 3 4 5 4 121
16 1 2 3 4 5 70
17 1 2 3 4 35
18 1 2 3 15
19 1 2 5
20 1 1
Нормальным будет и распределение этих точек вдоль главной диагонали решетчатого куба (вдоль оси 0х):
( х— х )2
1 — 9^2
Ф(х) = -^— е 2СТх , (21)
у2па х
где х = х1 + х2 + х3 + ... + хк + ... + хп = 0, 1, 2, ..., тп, (22)
х = х' + 0,5т(п — к), (23)
2 т(п - k) ,
°* =---------------------------------------------12- + (24)
Это означает, что распределение точек вдоль диагонали решетчатого куба определяется суммой произведений двух нормальных распределений (17) и (21):
1 тк
f (х)=~,—^ ЁА6*’ ф( х) • (25)
(т + 1)п X=о
С другой стороны, при к и п - к порядка 10 и выше значение п заведомо больше 10, поэтому распределение точек вдоль диагонали решетчатого куба должно описываться еще и выражением (8). Это позволяет проверить свойства, выделенные в пункте VI, не только в численном, но и в аналитическом виде. Результаты такой проверки представлены на рисунке 5 для выражений (8) и (25) при т = 6, п = 25, к = 9 и п - к = 16. Эти значения удобны тем, что для них параметры выражений (8), (17) и (21) носят целочисленный характер.
о- (8) — - (25)
Рис. 5. Сравнение распределений f(x) (25) при m = 6, n = 25, k = 9, n - k = 16
Из рисунка 5 видно, что отличие распределений (8) и (25) весьма незначительно. Величина этого отличия s, вычисленная по отношению к максимальному значению распределения (25), находится на уровне десятитысячных долей процента. Подобное соответствие не должно вызывать удивления, поскольку в численном виде свойства распределений, отмеченные в пункте VI, выполняются буквально. Свидетельством этого могут служить таблицы 3 - 7, 10, 11.
Свойства арифметических треугольников, выделенные в пунктах I-VI, в соединении с их геометрической интерпретацией (на примере решетчатых кубов) могут оказаться полезными при решении ряда статистических задач. Простейшей задачей, решение которой определяется свойствами решетчатых кубов, является задача, связанная с оценкой результатов обучения. Обычно ее проводят по итогам серии испытаний учащихся, каждое из которых оценивается отдельно по одной и той же балльной шкале 0, 1, 2, ..., m. При тестировании успехи испытуемых чаще всего оценивают по так называемой «дихотомной» шкале 0, 1, то есть при m =1. На олимпиадах школьников практикуется оценка задач по
многобалльной шкале, когда т > 1 (чаще всего т = 10). Аналогичная ситуация имеет место и при подведении итогов контрольных работ, когда решение каждой из задач (в явном или не явном виде) оценивают по школьной шкале «2», «3», «4», «5» или 0, 1, 2, 3, то есть при т = 3. Очевидно, что во всех этих случаях возможные комбинации оценок для серии из п задач стоимостью т баллов будут определяться координатами точек соответствующего п-мерного решетчатого куба с ребром т.
Рис. 6. Координатное представление возможных итогов решения контрольной работы из трех задач стоимостью три балла
В качестве примера на рисунке 6а изображен трехмерный (п = 3) решетчатый куб с ребром т = 3. Координаты его точек отображают все возможные комбинации оценок х1, х2, х3 за контрольную работу из трех задач, каждая из которых оценивается по школьной шкале «2», «3», «4», «5» или 0, 1, 2, 3, что удобнее для координатного представления. Распределение возможных комбинаций оценок по суммарному баллу х = Хі + х2 + х3 определяется на рисунке 6а распределением точек куба вдоль его диагонали, длина которой нормирована на пт = 9. В численном виде это распределение описывается столбцом с номером п = 3 из арифметического треугольника, построенного при т = 3 (табл. 7).
Таблица 7
Арифметический треугольник при т = 3
х Номер столбца п
0 1 2 3 ...
0 1 1 1 1 ... 12 3. 13 6. 1 4 10 ...
1
2
3
4 3 12 ...
5 2 12 ...
6 1 10 ...
7 6 ...
8 3 ...
9 1 ...
Из таблицы 7, например, следует, что суммарный балл х = 4 соответствует двенадцати комбинациям оценок х1, х2, х3, которые можно соотнести с двенадцатью точками решетчатого куба на рисунке 6а. Эти точки выделены на рисунке 6б темным цветом. Они принадлежат сечению куба в виде шестиугольника, плоскость которого нормальна к диагонали куба (оси 0х) и пересекает ее в точке с координатой х = 4. Этих точек действительно двенадцать, а их координаты удовлетворяют условию
х = х1 + х2 + х3 = 4. (26)
Если теперь рассмотреть возможные способы решения, удовлетворяющие условию (26), в диаграммном представлении, то они отобразятся пакетом из двенадцати диаграмм, представленных на рисунке 7, где в роли квантовых состояний выступают задачи, а в качестве тождественных неразличимых частиц -баллы. Как видим, при таком способе описания балльная стоимость задачи т = 3 определяет запрет на нахождение в квантовом состоянии четырех и более частиц. Это обстоятельство говорит о том, что треугольник в таблице 7 дает в численном виде решение одной из задач комбинаторики, связанной с подсчетом размещений х тождественных и неразличимых частиц по п состояниям при запрете на нахождение в одном состоянии четырех и более частиц.
Балл
а Г№ 3 У ^ -< № 2 $ , № 1 о о о о оо оо оо ООО |ПОО
ООО оо оо о ООО оо о оо о о
о ООО о оо ООО о оо О
хь х2, хз: I, 3, 0 2, 2, 0 3, 1, 0 0, 3, 1 1, 2, 1 2, 1, 1 3, 0, 1 0, 2, 2 1, 1, 2 2, 0, 2 0, 1, 3 1, 0, 3
Рис. 7. Диаграммное представление возможных итогов решения контрольной работы из трех задач стоимостью три балла, когда испытуемый набирает за их решение четыре балла Очевидно, что все семейство арифметических треугольников при значениях т = 1, 2, 3, ... будет в численном виде определять размещение х тождественных и неразличимых частиц по п состояниям при любой величине запрета, определяемого значением т + 1. Если столбцы треугольника в таблице 1б задают число размещений х тождественных и неразличимых частиц по п состояниям при запрете на нахождение в одном состоянии двух и более частиц, то столбцы треугольника в таблице 3в - при запрете на нахождение в одном состоянии трех и более частиц, а столбцы треугольника в таблице 4 - при запрете на нахождение в одном состоянии пяти и более частиц.
Сделанный вывод представляется достаточно важным, поскольку в комбинаторике подобная задача в аналитическом виде не решена. Решение известно лишь для двух случаев, соответствующих статистике Ферми - Дирака (m = 1) и статистике Бозе - Эйнштейна (при отсутствии запретов на размещение частиц в одном состоянии). С этой точки зрения свойство арифметических треугольников, определяемое выражением (8) определяет, что указанные статистики можно дополнить лишь классической статистикой. Аргументация, определяющая правомерность выражения (8), дает основания утверждать, что при таком подходе ограничение на число статистик определяется теоремой А.М. Ляпунова. Из этой теоремы в неявном виде следует, что никаких новых статистик при запрете на размещение в одном состоянии трех, четырех, пяти и более частиц не существует. Все эти случаи даже при весьма незначительном числе состояний n (порядка 10 и выше) могут быть соотнесены с классической статистикой, поскольку описываются нормальным распределением.
В дополнение к этому выделенное семейство арифметических треугольников позволяет достаточно просто построить дискретный аналог нормального распределения (8) с заданными значениями х (3) и ох2 (4). Необходимо лишь остановиться на достаточно большом значении n. При желании можно выбрать такие значениями n и m, при которых параметры нормального распределения будут носить целочисленный характер. На примере столбцов арифметического треугольника (при n ^ да) удобно проследить выполнение теоремы А.М. Ляпунова. Все это может оказаться полезным для использования в учебной практике.
Что касается практического применения, то в этом отношении следует отметить свойства, выделенные в пункте VI. Они интересны тем, что напрямую связаны с проблемой педагогической экстраполяции успехов учащихся. Экстраполяция успехов широко используется в педагогической практике. По итогам такой экстраполяции выставляются, например, экзаменационные оценки, когда итоги ответов учащихся на ограниченное число вопросов распространяются на всю учебную дисциплину, по которой проходит экзамен.
Экстраполяция успехов используется и при подведении итогов контрольных работ. В силу объективных причин, определяемых временными затратами, число задач k в контрольных работах ограничено. При этом число дидактических единиц n в разделе учебной программы, по которому проводится контрольная работа, может быть достаточно большим. В этих условиях k < n, поэтому при подведении итогов успехи, достигнутые учащимися в решении k задач, экстраполируются на n дидактических единиц того раздела учебной дисциплины, по которому проводится контрольная работа.
В количественном виде результаты подобной экстраполяции нетрудно описать для случая, когда каждая задача соотносится лишь с одной дидактической единицей и оценивается отдельно, при этом экстраполяция успехов определяется свойствами, выделенными в пункте VI. Эти свойства позволяют по итогам решения k задач стоимостью m баллов, оценить возможные успехи учащихся в серии из n задач (n > k) с той же балльной стоимостью m.
В аналитическом виде экстраполяция итогов решения k задач на серию из п задач определяется соотношением (21). Соотношение (21), характеризуя распределение возможных комбинаций оценок по суммарному баллу х, позволяет найти его наиболее вероятное значение х (23) для серии из п задач. При этом нетрудно найти диапазон возможных значений х при заданной надежности:
х = х ± Ка х, (27)
где К - численный коэффициент, зависящий от выбранной надежности и размера выборки А Gх’ (17), ст х - стандартное отклонение, определяемое значением выборочной дисперсии О х (24).
Выражение (21) дает возможность сформулировать проблему введения спектральных характеристик контрольной работы. Постановка подобной проблемы вполне обоснована, поскольку по итогам контрольной работы воссоздается распределение ансамбля испытуемых по уровням подготовки, определяющее его спектральный состав. В соответствии с этим имеются достаточные основания рассматривать контрольную работу в качестве анализатора спектрального состава испытуемого ансамбля и говорить о ее спектральных характеристиках: разрешающей способности Л, дисперсии Б и рабочем диапазоне.
Необходимость введения разрешающей способности Л определяется, в частности, тем, что по итогам контрольной работы испытуемых делят на отдельные группы учащихся. Число этих групп может равняться двум (если итоги подводятся с использованием двух оценок - «зачтено» и «не зачтено») или четырем (если итоги подводятся по школьной шкале оценок - «2», «3», «4» и «5»). В этих условиях надо быть уверенным, что «инструментальные» возможности контрольной работы обеспечивают достоверность подобного деления. А оценить эту достоверность можно, зная спектральные характеристики контрольной работы и, в первую очередь, ее разрешающую способность Л.
0,16 -і
0,08
х' = 48
ггт х
0 25 50 75
Рис. 8. Проблема введения спектральных характеристик контрольной работы при к = 16, п = 25, т = 3 Проблема введения спектральных характеристик контрольной работы, по итогам которой успехи испытуемых в решении к задач экстраполируются на серию из п задач (п > к), иллюстрируется на рисунке 8, построенном для случая к = 16, п = 25 и т = 3. Графики функции ф (х) (21) на этом рисунке отображают распределение возможных комбинаций оценок по суммарному баллу х, когда успехи учащихся, характеризуемые первичными баллами х' = 0, х' = 1, х' = 2, ... х' = 48 за 16 задач стоимостью 3 балла, экстраполируются на серию из 25 задач с той же балльной стоимостью. В соответствии с выражением (27) наиболее ве-
роятное значение суммарного балла х для серии из п задач определяется при экстраполяции значением х (23), а неопределенность самой экстраполяции -полушириной распределений ф (х), характеризуемой значением К ст х.
Из рисунка 8 видно, что для контрольной работы разрешающую способность, дисперсию и рабочий диапазона можно ввести по аналогии с тем, как вводятся подобные характеристики в оптике 6. Для иллюстрации этого на рисунке 8 выделены четыре распределения, соответствующие значениям х' = 0, х' = 24, х' = 27 и х' = 48. Очевидно, что с точки зрения критериев, которыми руководствуются в оптике при оценке разрешения спектральных линий, выделенные распределения относятся к разным случаям. Согласно этим критериям уровни подготовки испытуемых, успехи которых характеризуются значениями х' = 0, х' = 24 и х' = 48, различаются, поскольку соответствующие им распределения ф (х) перекрываются лишь в области маловероятных значений х. В противовес этому, говорить об отличии уровня подготовки учащихся, балльные успехи которых характеризуются первичными баллами х' = 24 и х' = 27, весьма проблематично, поскольку соответствующие распределения ф (х) взаимно перекрываются в области вероятных значений х, относящихся к центральной части этих распределений.
Свойство, выделенное в пункте Уб, интересно тем, что позволяет ввести критерии разрешения, исходя из нормального вида распределения ф (х) (21). Эту возможность иллюстрирует рисунок 9, где представлено несколько случаев сложения двух распределений ф (х) (21) при разной дисперсии ст х2 (24). О начале их разрешения, как видно из рисунка, можно говорить при отличии х , равном 2 ст х, когда распределения ф (х) пересекаются в точках перегиба и суммарное распределение (гладкая кривая) имеет плоскую вершину. Это означает, что при различии х, большем 2ох, кривая суммарного распределения будет иметь минимум, глубина которого должна расти с уменьшением ширины распределений ф(х).
Рис. 9. Разрешение распределений ф (х) при различной полуширине, характеризуемой значением Кох = 0,5ах, ох, 1,5ох, 2ох, 3ох В подобной ситуации достаточно условиться о том, при каком виде суммарного распределения, отображаемого на рисунке 9 гладкой кривой, можно говорить о разрешении сравниваемых распределений ф(х). В оптике разрешение спектральных линий задают, опираясь на известный критерий Рэлея, который выделяет ситуацию, когда глубина минимума для итогового профиля составляет примерно 20 процентов от максимального значения 7. Этому достаточно хорошо удовлетворяет случай (рис. 9), когда различие х равно 3ох, а в качестве полу-
6 Ландсберг Г.С. Оптика. М. : Наука, 1976. 928 с.
7 Ландсберг Г.С. Оптика.
ширины распределений ф(х) рассматривается значение Ках = 1,5ах. Ориентируясь на эту полуширину и табулированный в справочной литературе 8 интеграл вероятностей, нетрудно найти, что для распределений ф(х) нормального вида критерий Рэлея устанавливает разрешение с учетом примерно 87 процентов возможных случаев, соответствующих наиболее вероятным значениям х.
Из рисунка 9 также видно, что при выборе критерия разрешения можно ориентироваться на различия х , равные 4ох и 6ох. Если принять во внимание известные свойства нормального распределения 9, согласно которым при полуширине, равной 2ох, учитывается 95,4 процента площади под интегральной кривой, то различие х, равное 4ох, соответствует надежности 0,954. При этом с надежностью
0,954 можно говорить не только о разрешении распределений ф(х) (21), но и о различии уровня подготовки соответствующих групп учащихся.
Аналогично этому при различии х , равном 6ох, выделяется случай, когда о разрешении распределений ф(х) (21), а соответственно и о различии уровня подготовки учащихся, можно судить с надежностью 0,997, при которой учитывается 99,7 процента наиболее вероятных комбинаций оценок.
С помощью рисунка 8 нетрудно обосновать введение других спектральных характеристик контрольной работы - дисперсии и рабочего диапазона. По аналогии с дисперсией оптических аппаратов, используемых для анализа спектрального состава излучения, дисперсия контрольной работы Б должна характеризовать на рисунке 8 частоту расположения распределений ф(х) на оси 0х. Что касается рабочего диапазона контрольной работы, то его пороговые значения на этом рисунке определяются положением на оси 0х крайних распределений ф(х), соответствующих значениям х' = 0 и х' = mk.
Отмеченная аналогия позволяет ввести спектральные характеристики контрольной работы достаточно очевидным образом:
= ( * ) У- ( х ) X ^ (28)
D = ^, йх' (29)
8х = 2 Ка *, (30)
8* ' = ®*, D (31)
Я = 1 + , 8х (32)
где К - численный коэффициент, определяемый выбранной надежностью.
Видно, что характеристики (28) - (32) соответствуют спектральным характеристикам педагогического теста, введенным в нашей работе «Дидактическая мо-
8 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.
9 Митропольский А.К. Техника статистических вычислений ; Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.
дель тестовой оценки результатов обучения» 10. Их смысл достаточно очевиден. По рисунку 8, например, нетрудно понять, что значения (х) х,=0 и (х) х=т задают соответственно нижний и верхний пороги суммарного балла при экстраполяции результатов решения k задач контрольной работы на серию из п задач (п > k). При этом значение Дх (28) соответствует ширине рабочего диапазона контрольной работы.
В свою очередь производная (29) определяет дисперсию контрольной работы Б, поскольку задает частоту расположения распределений ф(х) на оси 0х (рис. 8). Дисперсия Б (29) имеет простой педагогический смысл. Она показывает, на сколько возрастет экстраполируемое значение суммарного балла, если первичный балл х', полученный за решение k задач, увеличится на единицу.
Величина 8х (30) является мерой ширины распределений ф(х) на рисунках 8 и 9. Она также равна минимальному различию значений х , которое при выбранной надежности свидетельствует о принадлежности испытуемых к группам учащихся с различающимися уровнями подготовки. Например, при К = 1,5 (рис. 9) разрешение, определяемое выражением (30), соответствует критерию Рэлея, когда о различии уровня подготовки судят с учетом 87 процентов наиболее вероятных комбинаций оценок.
Если 8х (30) характеризует разрешение контрольной работы по шкале экстраполируемых значений суммарного балла, то величина 8х ' (31) задает это разрешение по шкале первичных баллов х'.
Величина М (32), как видно из рисунка 8, определяет максимальное число групп учащихся с различающимися уровнями подготовки, которое можно зарегистрировать по итогам контрольной работы. Эту величину удобно выбрать в качестве количественной меры ее разрешающей способности, поскольку значение легко соотносить с числом выделяемых групп учащихся в зависимости от итоговой системы оценки («зачтено», «не зачтено» или «2», «3», «4», «5»).
Совершенно очевидно, что установить взаимосвязь спектральных характеристик (28) - (32) с параметрами контрольной работы ф, т и п) совсем несложно. Достаточно обратиться к выражениям (23) и (24), определяющим положение х
и выборочную дисперсию а 2Х распределений ф(х) при различных значениях первичного балла х'. А поскольку явный вид выражений (23) и (24) отличается в дополнение ко всему еще и достаточной простотой, то проблема установления искомой взаимосвязи приобретает не только формальный, но и очевидный характер. Руководствуясь выражениями (23) и (24), (28) - (32), нетрудно найти
(х)х=0 = 0,5т(п - k), (х) х= mk = 0,5т(п + k ),
Дх = mk,
(33)
(34)
(35)
10 Кирьяков Б.С. Дидактическая модель тестовой оценки результатов обучения // Известия РАО. 2008. № 1/8. С. 69-84.
D = 1, (36)
k i________________
SX = —;= ^m(m + 2)(n - k), (37)
V з
к i________________
Sx ' = —¡= ym(m + 2)(n - k), (38)
V3
R = 1 + ^P^ * . (39)
Hm + 2 ^n-k
К этому необходимо добавить, что спектральные характеристики контрольной работы можно найти и в численном виде. Свидетельством этого являются рисунки 8 и 9, на которых, кроме гладких кривых, описываемых выражениями ф(х) (21), представлены еще и гистограммы, построенные с помощью соответствующих столбцов арифметических треугольников. При заданных значениях n и m построить требуемый треугольник, руководствуясь свойством I, не составляет особого труда. Достаточно обратиться к операционной базе Microsoft Excel и воспользоваться единственным оператором - оператором суммирования.
Все это в целом говорит о том, что свойства семейства арифметических треугольников позволяют не только сформулировать проблему введения спектральных характеристик контрольной работы, но и определяют конкретные пути ее разрешения. Важно здесь и то, что можно указать сферу применения такого подхода. В силу корреляционной независимости координат, определяющих положение точек в решетчатом кубе, получаемые выражения будут соответствовать ситуации, когда успехи испытуемых в решении отдельных задач не зависят друг от друга. В соответствии этим соотношения (33) - (39) требуют коррекции, определяемой корреляционной взаимосвязью балльных успехов.
Рассмотренные примеры возможного использования свойств арифметических треугольников не являются единственными. Эти свойства могут найти применение при решении самых разных задач педагогического характера, связанных с оценкой результатов обучения, с выбором параметров контрольных мероприятий (контрольных работ, тестов, олимпиадных заданий), с выявлением оптимальной шкалы педагогических измерений, с обоснованием критериальноориентированного подхода к оценке знаний и т.д. Достоинство этого метода заключается в том, что он очень прост и может использоваться как в аналитическом, так и в численном виде. Одна из очевидных сфер его применения - курс «Современные средства оценивания результатов обучения», введенный не так давно в учебные планы педагогических специальностей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Митропольский, А.К. Техника статистических вычислений [Текст] / А.К. Митропольский. - М. : ГИФМЛ, 1961. - 480 с.
2. Кирьяков, Б.С. Простейшие решетчатые объекты: статистические свойства, связь с квантовыми статистиками, проектирование контрольных заданий [Текст] / Б.С. Кирьяков // Вестник РГУ имени С.А. Есенина. - 2007. - № 1/14. - С. 3-26.
3. Корн, Г. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1977. - 832 с.
4. Ландсберг, Г.С. Оптика [Текст] / Г.С. Ландсберг. - М. : Наука, 1976. - 928 с.
5. Кирьяков, Б.С. Дидактическая модель тестовой оценки результатов обучения [Текст] / Б.С. Кирьяков // Известия РАО. - 2008. - № 1/8. - С 69-84.
