CC BY
36ШИРОКОПОЛОСНЫЕ СИГНАЛЫ ДАННЫХ С РАСШИРЕНИЕМ СПЕКТРА ПРЯМОЙ ТРОИЧНОЙ М-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА
С.С. Владимиров1, О.С. Когновицкий1*
^анкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, 193232, Российская Федерация *Адрес для переписки: kogn@yandex.ru
Информация о статье
УДК 621.391
Язык статьи - русский
Ссылка для цитирования: Владимиров С.С., Когновицкий О.С. Широкополосные сигналы данных с расширением спектра прямой троичной М-последовательностью и их характеристика // Труды учебных заведений связи. 2017. Т. 3. № 3. С. 28-36.
Аннотация: Широкополосные системы характеризуются высокой помехоустойчивостью передачи данных в каналах с белым гауссовым шумом при низком соотношении сигнал/шум. Актуальной задачей является выбор широкополосных сигналов и методов их обработки на приеме. В статье анализируется возможность использования в качестве расширяющей спектр троичной М-последовательности.
Ключевые слова: расширение спектра, троичная М-последовательность, вероятность ошибки.
Введение
Современный этап развития цифровых инфо-коммуникационных систем характеризуется интенсивными разработками и внедрением широкополосных систем, которые по многим показателям перспективнее традиционных. Прежде всего, они выигрывают по помехоустойчивости при низком соотношении сигнал/шум, что, в свою очередь обеспечивает повышенную скрытность передаваемой информации. Эти преимущества достигаются за счёт расширения спектра передаваемых сигналов.
Среди множества широкополосных систем значительную их долю составляют цифровые системы с расширением спектра прямой последовательностью (DSSS, от англ. Direct Sequence Spread Spectrum). В качестве расширяющих спектр последовательностей чаще всего выбирают двоичные шумоподобные последовательности максимального периода - М-последовательности [1-3].
В [4] проведен анализ характеристик широкополосных сигналов на базе двоичных М-последо-вательностей. Рассмотрены два возможных варианта построения широкополосной системы.
В первом один из исходных двоичных символов передаётся периодом «прямой» М-последователь-ности, а второй - периодом «обратной» (инверти-
рованной) М-последовательности. При этом коэффициент расширения спектра будет равен длине М-последовательности в числе 2т - 1 двоичных элементов, где т - степень порождающего многочлена. Таким образом, один бит информации от источника передаётся одним периодом двоичной М-последовательности.
Во втором варианте одним периодом М-после-довательности передаётся т бит информации, кодируемых начальной фазой или первыми т элементами двоичной М-последовательности. При этом скорость передачи информации, по сравнению с первым вариантом, увеличивается в т раз при том же коэффициенте расширения спектра, т. е. при одинаковой скорости передачи сигналов (чипов) расширяющей спектр М-последователь-ности. Показано, что такое повышение скорости передачи информации в т раз приводит к снижению помехоустойчивости по сравнению с первым вариантом.
В настоящей статье рассматривается возможность расширения спектра исходных двоичных сигналов с помощью троичных М-последователь-ностей, которые имеют многие свойства, аналогичные свойствам двоичных М-последователь-ностей. Остановимся на свойствах троичных М-последовательностей более подробно.
Свойства троичных М-последовательностей
Троичные М-последовательности строятся над простым полем вР(3) с множеством элементами {0, 1, 2} и порождаются примитивным характеристическим многочленом степени т:
Р(х) = р0хт — píxn где pi Е GF(3).
Р2Х"
Pm-í% Рт
Sk+м-, = Xsfc(mod р).
(1)
М = 33 - 1 = 26 при начальных элементах (S0, S1, S2) = (101), будет иметь вид как в таблице 1.
ТАБЛИЦА 1. Троичная М-последовательность {s} с (so, si, S2) = (101)
s0 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 ... s24 s25 1012112011100202... 00
101-111-1011100-10-1
0 0
По заданному многочлену Р(х) строится регистр сдвига из т троичных ячеек, который формирует М-последовательность с периодом М = 3т - 1:
М = $1, $2, . . . , $3т-3,
которой будет соответствовать рекуррентное уравнение:
$п>т = Р1$п—1 + Р2$п-2+. .. . +Рт-1$п-т+1 + Рт^п-т,
где ^ 6 вР(3).
Общими структурными свойствами троичных М-последовательностей являются следующие:
1) Период троичной М-последовательности равен М = 3т - 1, где т - степень характеристического многочлена Р(х).
2) Каждый ненулевой элемент простого поля GF(3) в одном периоде М-последовательности встречается 3т-1 раз, а нулевой - (3т-1 - 1) раз.
3) Любая ^-элементная (0 < к < т) комбинация (5/, 5/+1,..., 5/+к-1), кроме нулевой, в одном замкнутом в кольцо периоде троичной М-последовательнос-ти встречается ровно 3т-к раз, а к-элементная серия нулей - (3т-к - 1) раз.
4)Недвоичные М-последовательности с характеристикой простого поля р > 3 состоят из (р - 1)
подпоследовательностей, каждая длительностью
рт-1
М1 = ^ . При этом подпоследовательности поэлементно будут пропорциональны с коэффициентом X, где X - первообразные элементы простого поля б^(р). Таким образом, для произвольного элемента 5к М-последовательности справедливо равенство:
Из свойства 4 следует, что троичная М-после-довательность с периодом М = 3т - 1 состоит из
двух подпоследовательностей длиной М1 =
1
- (3т — 1), каждая с коэффициентом пропорциональности X = 2, так как в простом поле вР(3) это единственный первообразный элемент. Тогда уравнение (1) для троичной М-последовательнос-ти примет вид:
= (т^3).
Так, например, троичная М-последовательность {5}, сформированная по примитивному многочлену Р(х) = х3 + 2х + 1, т = 3, и имеющая период
В представленной в качестве примера троичной М-последовательности (таблица 1) первые 13 элементов являются первой подпоследовательностью, а вторые 13 элементов, начиная с 13-го, -второй. Одноименные порядковые элементы обеих подпоследовательностей имеют коэффициент пропорциональности X = 2. Другими словами, произвольные пары элементов троичной М-последо-вательности, отстоящие друг от друга на 13 шагов (длину подпоследовательности), будут всегда пропорциональны с коэффициентом 2. Элементы первого ряда цифр в таблице 1 соответствуют элементам простого поля вР(3) - {0,1,2} и удовлетворяют рекуррентному уравнению:
$П>3 = ^п-2 + 2Бп-3 (mod3).
Второй ряд элементов эквивалентен первому ряду с заменой 2 на «-1», что дает определенные преимущества при передаче биполярных сигналов по цифровому каналу. Действительно, в плезио-хронных цифровых системах при синтезировании линейных кодов ставится задача отсутствия постоянной составляющей в спектре линейных сигналов в связи с наличием в цифровом тракте регенераторов. Аналогичное требование может быть предъявлено и к цифровым широкополосным системам с расширением спектра с целью обеспечения скрытной передачи информации по каналам с гауссовым шумом при низком соотношении сигнал/шум. В этом случае троичную М-последова-тельность при передаче по цифровому каналу следует преобразовать в биполярную с заменой 2 на «-1». В соответствии с приведенным выше свойством 2 в одном периоде троичной М-последова-тельности оба ненулевых элемента имеют одинаковые вероятности, что и определяет отсутствие постоянной составляющей. Поэтому при дальнейшем анализе троичных М-последовательностей с амплитудно-импульсной манипуляцией мы будем ориентироваться на биполярные сигналы, соответствующие троичным символам 0, +1 и -1.
Корреляционные характеристики троичных М-последовательностей
Ненормированная автокорреляционная функция (АКФ) периодической троичной М-последова-тельности Я(к) при сдвиге к = пМ, где п - целое, имеет максимум, равный периоду М-последова-тельности, т. е. Я(к = пМ) = (3т - 1). При к Ф пМ и к
целом значение ненормированной АКФ периодической троичной М-последовательности будет постоянным и равным R(k Ф пИ) = -(Зт-1 + 1). Тогда, для рассматриваемого выше примера с т = 3, будем иметь R(k = пИ) = (Зт- 1) = 26, а R(k Ф пИ) = = -(Зт-1 + 1) = -10.
Доказательство для к Ф пИ, где п - целое, довольно простое и приведем его для т = 3.
Пусть сравниваются две периодические троичные М-последовательности и {s'}, сдвинутые друг относительно друга на к Ф пИ шагов (элементов). Образуем ещё одну троичную М-последова-тельность {5"} путем умножения элементов последовательности {5'} на коэффициент пропорциональности X. Для нашего примера умножаем на 2, чему соответствует сдвиг периодической М-после-довательности {5'} на полпериода троичной М-по-следовательности, т. е. на 1/2(3т- 1) = 13 шагов. Наконец, сформируем четвертую троичную М-по-следовательность {5*} как линейную поэлементную сумму по mod3 двух других, а именно {5} и {5"}. Для упрощения обозначим в последовательностях элементы с /-ым индексом как: а/ для последовательности {5}, Ь/ - для последовательности {5'} и с/для последовательности {5*} = {5} + {5"} (mod3). В результате становится очевидным, что нули в последовательности {5*}, т. е. с/ = 0, будут только в тех позициях, в которых а/ и Ь/ совпадают. А в соответствии с приведенным выше свойством 2 троичных М-последовательностей в одном периоде последовательности {5*} будет (3т-1 - 1) нулей и 2-3т-1 ненулевых элементов. Следовательно, в двух сравниваемых троичных М-последователь-ностях {5} и {5'} будет (3т-1 - 1) совпадений и (2-3т-1) несовпадений. Таким образом, АКФ R(k Ф Ф пИ) = (Зт-1 - 1) - (2-3т-1) = -(Зт-1 + 1), т. е. равно R(k Ф пИ) = -10 для нашего примера с т = 3.
Таким образом, для троичных М-последователь-ностей доказано следствие:
«Автокорреляционная функция периодической троичной псевдослучайной последовательности максимальной длины с периодом М = Зт - 1 при величине сдвига к ФпМ будет постоянной и равной R(k Ф пИ) = -(3т-1 + 1)».
Это свойство троичных М-последовательностей может быть использовано для повышения надёжности выделении «своей» М-последовательности, сдвинутой по фазе от возможных других М-после-довательностей на величину к Ф пИ. Это объясняется довольно большим порогом различимости от положительного максимального выброса АКФ, равного М = 3т - 1 при совпадении фаз, до отрицательного значения R(k Ф пИ) = - (Зт-1 + 1). При этом размах между двумя этими значениями составит 4-3т-1.
Анализ помехоустойчивости широкополосной передачи с расширением спектра троичной М-последовательностью
Анализ помехоустойчивости системы с расширением спектра троичной М-последовательностью проведем применительно к каналу с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) и корреляционному приемнику. Оценим и сравним вероятности битовой ошибки Рь при передаче исходных двоичных сигналов без расширения спектра и сигналов с расширением спектра троичной М-последовательностью. При этом исходные двоичные сигналы могут быть импульсными униполярными и биполярными сигналами с длительностью такого сигнала Т. Обозначим сигналы Ай для двоичной "1" и Аф - для двоичного "0".
Для униполярных двоичных сигналов примем, что двоичной "1" соответствует прямоугольный импульс Ай = А, 0 < t < Т, а двоичному "0" соответствует «пассивный ноль», т. е. Ай = 0, 0 < t < Т.
Для биполярных исходных двоичных сигналов выберем антиподные сигналы Ай = А и А(£) = -А, 0 < t < Т. При передаче таких сигналов по каналу с АБГШ на выходе корреляционного приемника будет иметь место случайная величина 2 с нормальной плотностью распределения с математическим ожиданием а1 для А(£) и а2 для А(£). Решающее устройство сравнивает оценку сигнала 1 с порогом у и выносит решение в пользу сигнала А(£), если 2 > у, или сигнала А(£), если 2 < у. Минимизация вероятности битовой ошибки достигает-
аг+а.2
ся при оптимальном значении порога у = —-—.
Вероятности ошибочного решения при условии передачи сигнала 5^) по каналу с АБГШ будут оцениваться выражением:
г
= И1-Н
Г
= /
ехр[-
2 а2
-]йг = Ф(-
2а
2 N0
где а2 = — - двусторонняя спектральная плотность мощности АБГШ;Ф(х) ехр (— -гауссов интеграл ошибок [5].
Проведя определенные преобразования указанных выше интегралов, получим следующие выражения для оценки битовой вероятности ошибки для униполярных сигналов, Рь,у, и биполярных двоичных сигналов, Рь,б, которые также можно встретить во многих опубликованных работах, например [2, 3]:
00
1
—о
Рь,У = Ф(
Е
2К
U РЬ,Б = Ф (
2Е
Ж
где Е - пиковая энергия, которая для обоих вариантов исходных двоичных сигналов равна Е =
£з2(1)М = А2Т.
Часто вероятность битовой ошибки определяют как функцию от средней энергии, приходящейся на один бит информации, Еь. Для биполярных двоичных сигналов Еь = Е, поэтому выражение для вероятности битовой ошибки не изменится. Для униполярных сигналов средняя энергия на бит будет равна Еь = Е/2. Поэтому вероятность битовой ошибки для униполярных сигналов как функция от средней битовой энергии можно записать в виде:
Рь,У = Ф(
Е
2N0
= Ф\
Еь N0
Вероятность битовой ошибки для рассматриваемых биполярных двоичных сигналов будет равна:
d2 =R
2
(ai,a2)
— R
2
(a2,a3)
L
= i[
[ci(t) - C2(t)]2dt = E.
Рис. 1. Созвездие сигналов АИМ-3
Следовательно, расстояние между соседними сигнальными точками будет одинаковым и равным й = ^Ё. В устройстве принятия решения случайная величина 2 с выхода коррелятора сравнивается с оптимальными порогами у1 и у2, которые расположены на расстоянии й/2 от нулевой точки. Тогда вероятности ошибок в канале с АБГШ при условии передачи сигналов С1(£) и С3(£) будут одинаковыми и определяться выражением:
Y1
Рош(сг) = Рош(сз)
-I
P(z/c1)dz —
РЬ,Б=Ф\
V \
2Еь_ N0
Yi =
ai+a2
(2)
Перейдем теперь к анализу помехоустойчивости канальных сигналов, расширенных по спектру троичной М-последовательностью с периодом М = 3m - 1. При этом, в качестве исходных двоичных сигналов выберем биполярные, как обеспечивающие большую помехоустойчивость, чем униполярные. Расширение спектра происходит благодаря тому, что каждый двоичный сигнал длительностью Т будет передаваться одним периодом троичной М-последовательности. При этом троичные сигналы (чипы) будут иметь длительность т
т — —, т. е. произойдет расширение полосы частот в М раз.
Рассмотрим два варианта троичных сигналов -АИМ-3 и ФМ-3, и оценим их помехоустойчивость.
Троичные сигналы АИМ-3
Запишем троичные символы простого поля GF(3) как 0, 1 и 2 = -1 (mod 3) и выберем соответствующие им сигналы: C1(t) = A для "1", C2(t) = A -для "0" и C3(t) = (-A) - для "2", 0 < t < т. Следовательно, соответствующие энергии этих сигналов будут равны: £i = E3 = E = А2т, E2 = 0. Созвездие этих троичных сигналов представлено на рисунке 1, где сигнальные точки а1, 02 и 03 являются отображением троичных сигналов C1(t), C2(t) и C3(t) соответственно. При одинаковых энергиях C1(t) и C3(t) квадрат расстояния между сигнальными точками (01, 02) и (02, 03) в евклидовом пространстве равняется:
—I
eXp Г 2 V J = Ф V 2^")
V2no
Аналогично находим, что вероятность ошибочного приема сигнала С2Й будет определяться выражением:
ж
Рош(С2) = 2 | Р(г/С2)йг =
11
ж
= I ^—¡(^ГН*^
ал +а2
У1=-к+Г2
Таким образом, считая троичные сигналы равновероятными, средняя вероятность ошибочного приема троичного сигнала (чипа), как функция от пиковой энергии Е, будет равна:
р
_ Ь^(а1-а2\ _
чипа АИМ-3 — 3 ф ( 2<Г ) =
4 /v^ 4 -ф1 —) — -ф\
3 \2а 3
Е
2N0
(3)
В некоторых работах усредненную вероятность ошибочного приема чипа выражают через среднюю энергию троичного сигнала Еср, которая для рассматриваемого варианта АИМ-3 будет равна:
1 2 ЕСр—-(Е1+Е2+Ез)—-Е.
3
3
Отсюда
Е — 2 ^ср.
и
ж
2
1
— Ж
Подставив это выражение в (3), получим:
Рчипа АИМ—3 = 3 Ф (
3Е,
ср
4МП
(4)
Для сравнения различных вариантов троичных сигналов, в нашем случае АИМ-3 и ФМ-3, полученные выражения для вероятностей чиповой ошибки (3) и (4) выразить через отношение битовой энергии Еь исходного двоичного биполярного сигнала к спектральной плотности мощности шума, т. е. через Еъ/№.
Так как пиковая энергия троичного АИМ-3 сигнала равна:
е = А2т = А21 = еЛ
м м
а средняя энергия троичного сигнала АИМ-3:
_ 2 Еср =~2>Е,
то выражение для вероятности ошибочного приема чипа для АИМ-3 может быть записано как:
_ 4
Рчипа АИМ—3 = 3 Ф (
2М\И0)
(5)
В итоге мы приходим к несимметричному дискретному троичному каналу, модель которого представлена на рисунке 2, где вероятность р согласно [6] определяется выражением (3), (4) или (5). В такой модели принято допущение, что вероятности перехода с1 в с3 и наоборот пренебрежимо малы и поэтому на рисунке 2 они отсутствуют. Вместе с тем, на точности расчётов вероятностей ошибок сигналов С1 и С3 это не сказывается, так как вероятности переходов из с1 в с3 и наоборот учтены в вероятностях ошибочных переходов из с1 в с2
и из С3 в С1.
Рис. 2. Модель троичного несимметричного дискретного канала для сигналов АИМ-3
Троичные сигналы ФМ-3
Пусть символам 0, 1 и 2 простого поля 6^(3) соответствуют троичные сигналы:
• для 0 - С1Й = А cos(wot);
• для 1 - С2Й = А cos(wot + Дф);
• для 2 - С3Й = А cos(wot + 2Дф);
где Аф=2п = 120°.
Как и в случае АИМ-3 будем считать, что длительность сигнала ФМ-3 будет равна т = Т/И, где М - период троичной М-последовательности. Тогда, после определенных преобразований можно доказать, что энергия всех трех сигналов будет одинаковой и равной:
Е = Е1 = /
А2т с2( 0 =
(6)
Проанализируем помехоустойчивость троичных сигналов ФМ-3 по модели сигнальной конструкции (рисунок 3), на которой сигнальные точки а1, а2 и а3 отображают троичные сигналы С1(€), С2(£) и С3Й соответственно.
Рис. 3. Модель сигнальной конструкции для ФМ-3
В соответствии с теоремой косинусов квадрат расстояния в евклидовом пространстве между сигнальными точками а1 и а2 равен:
п
О2 = 2Е(1 - ^Аф) = 4Еsm2-.
Следовательно, О = 2^Еs\nп =
Ошибка в приеме сигнала С1(£) произойдет, если проекция помехи на прямую, соединяющую соседние сигнальные точки, будет больше половины евклидового расстояния й. Вероятность такой ситуации при гауссовой помехе с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2 будет равна:
о
_ 2 о / „2
Рчипа ФМ—3 = '
/ехр[-2а
= 2Ф(
^2па
2Е п
То™3] = 2Ф[
йг =
(7)
N
3Е
Учитывая (6), запишем энергию сигнала ФМ-3 через битовую энергию исходного двоичного сигнала как:
_ А2Т _ Еь = 2М = 2М
0
2
Тогда выражение (7) примет вид:
Рчипа ФМ—3 = 2Ф(
3 Е
4мт
(Е)
(8)
Сигнальной конструкции для ФМ-3 соответствует модель дискретного троичного симметричного канала, граф которого представлен на рисунке 4 [7].
Рис. 4. Граф троичного симметричного дискретного канала для сигналов ФМ-3
Расчётные зависимости вероятности битовой ошибки для исходного биполярного двоичного сигнала (2) и вероятностей ошибочного приема троичных сигналов (чипов) для АИМ-3 и ФМ-3, формулы (5) и (8), от отношения Еъ/М представлены на рисунке 5.
Рис. 5. Расчётные зависимости вероятности битовой ошибки для исходного биполярного двоичного сигнала и вероятностей ошибочного приема троичных чипов для АИМ-3 и ФМ-3 от отношения Бь/Мо
Варианты применения троичных М-последовательностей для расширения спектра и оценка битовой вероятности ошибки исходного сигнала
Рассмотрим первый, наиболее простой, вариант, когда один исходный двоичный сигнал, передается периодом одной троичной М-последова-тельности {5} с периодом М = 3т - 1, а другой двоичный сигнал - таким же периодом другой, сдвинутой по фазе, М-последовательности {г}. При этом последовательность {г} будет удовлетворять тому же характеристическому многочлену Р(х) и, следовательно, тому же рекуррентному уравнению. При этих условиях, в соответствии со свойствами троичных М-последовательностей, рассто-
яние Хэмминга между последовательностями будет равно (2 ■ 3т—1). Следовательно, при обработке таких двух последовательностей по принципу максимального правдоподобия могут быть исправлены троичные ошибки, кратностью до Ь1 = У(2 ■ 3т—1 — 1)/2\ включительно, где «|_ _1» - целая часть дроби. Тогда в троичном дискретном канале без памяти (рисунки 2 и 4) с вероятностью ошибки чипа рч вероятность перепутывания (ошибочного распознавания) относительно друг друга двух М-последовательностей из-за ошибок в троичном канале, а следовательно и битовая вероятность ошибки исходного двоичного сигнала
(1)
Р& , будет определяться выражением:
Р(1) = 1
Рч)
м—
(9)
Подставляя в (9) выражения для вероятностей чиповой ошибки троичных сигналов АИМ-3 - (5) и ФМ-3 - (8), получим общие выражения для битовой вероятности ошибки исходного двоичного
(1)
(1)
биполярного сигнала^;А'им_3 и для первого
варианта применения троичных М-последователь-ностей для расширения спектра.
Рассмотрим второй вариант, когда один исходный двоичный сигнал, передается периодом прямой троичной М-последовательности:
М = (5о,51,52,...,5зт—з,5зт—2),
а другой двоичный сигнал - периодом «инверсной» последовательности {г}, которая формируется путем добавления 1 по mod3 к каждому элементу прямой последовательности {5}. При этом последовательность {г} будет удовлетворять уже другому составному характеристическому многочлену б(х) = (х - 1)Р(х) и, следовательно, другому рекуррентному уравнению.
При этих условиях расстояние Хэмминга между прямой и «инверсной» последовательностями будет максимальным и равным периоду М-последо-вательности М = 3т-1. Следовательно, при обработке таких двух последовательностей по принципу максимального правдоподобия могут быть исправлены троичные ошибки, кратностью до Ь2 =
[(зт
2)/2\ включительно. Тогда в троичном
дискретном канале без памяти (рисунок 2) вероятность перепутывания (ошибочного распознавания) относительно друг друга двух последовательностей из-за ошибок в троичном канале и, следовательно, битовая вероятность ошибки исходного двоичного сигнала Р(2\ будет определяться выражением (9), но уже при более высокой кратности исправляемых троичных ошибок.
Подставляя в (9) выражения для вероятностей чиповой ошибки троичных сигналов АИМ-3 - (5) и ФМ-3 - (8), а также величину кратности исправляемых ошибок до t2 включительно, получим об-
1=0
щие выражения для битовой вероятности ошибки исходного двоичного биполярного сигнала
р(2) м р(2) гЬ,АИМ-3 и ^Ь,ФМ-3'
Оба рассмотренных варианта характеризуются тем, что один бит данных от источника передаётся одним периодом троичной М-последовательности
с периодом М. При этом скорость передачи данных
1
от источника будет равна Дд = —, тогда как скорость передачи чипов будет в М раз выше, т. е. коэффициент расширения спектра будет равен М.
Рассмотрим теперь ещё один, третий вариант применения расширяющей троичной М-последовательности с периодом М, который позволяет при том же коэффициенте расширения спектра М и при тех же вероятностях ошибочного прима чипов с АИМ-3 и ФМ-3 увеличить скорость передачи данных Rд. Это обеспечивается тем, что передаваемая информация от источника будет кодироваться начальной фазой троичной М-последовательности с периодом М = 3m - 1. При этом начальными фазами могут кодироваться двоичные комбинации от источника длиной в п двоичных символов. Наибольшее значение п определяется выражениемn = \\og2(3m~1 — 1)], где Ш -наибольшее целое, не превосходящее x.
В рассматриваемых в работе конкретных примерах выбрано m = 3, в этом случае значение п = 4. Следовательно, каждая троичная М-последова-тельность будет передавать 4 бита информации, что и приводит к повышению скорости передачи данных в 4 раза по сравнению с первыми двумя вариантами применения троичных М-последова-тельностей для расширения спектра. Так как множество М-последовательностей является эквидистантным с расстоянием Хэмминга (2 ■ 3т-1), то средняя вероятность битовой ошибки исходного
(3)
двоичного сигнала Р& том (9), как:
можно определить, с уче-
Р
(3)
Р
(1)
за счёт уменьшения канальной скорости передачи чипов в п раз. Для этого п двоичных исходных сигнала, длительностью Т каждый, передаются одним периодом троичной М-последовательности с определённой фазой, соответствующей п битам передаваемых данных. Таким образом, длительность троичного сигнала увеличивается в п раз и становится равным х = nT/M.
Тогда вероятности чиповых ошибок для сигналов АИМ-3 и ФМ-3, вместо выражений (5) и (8), принимают вид:
Р(4) =-Ф(
чипа АИМ-3 д
4
п /Еь\ 2М \Я0)
Р(4) =2Ф(
гчипа ФМ-3 2Ф(
3п /Еь\ 4М
Таким образом, третий вариант не только увеличивает скорость передачи данных, но и повышает, по сравнению с первым вариантом, достоверность передачи информации.
Во всех трёх приведенных выше вариантах длительность чипа была одинаковой, равной х = T/M, т.е. канальная скорость передачи троичных сигналов была равна Rкан = 1/х . В тоже время, третий вариант требовал повышения скорости работы источника в 4 раза по отношению к первым двум, что может быть не всегда возможно. Поэтому полезно рассмотреть ещё один, четвёртый, вариант, при котором скорость работы источника и скорость передачи данных остаются равными Rист = = Rдан = 1/^ но повышается помехоустойчивость широкополосной системы. Последнее достигается
Подставив эти выражения в формулу (9), сможем определить вероятности ошибочного распознавания троичной М-последовательности, фазой которой закодированы п = 4 бита информации. Поделив эти вероятности на п = 4, получим для этого варианта вероятности битовых ошибок
р(4) и р(4) ГЬ,АИМ-3 и ^Ь,ФМ-3.
Достоверность передачи данных может быть повышена, если расширение спектра проводить полупериодом троичной М-последовательности. Это будет достигаться благодаря ещё большему увеличению длительности чипа, что повышает его помехоустойчивость. Вероятности битовых ошибок рассчитываются по всем тем же формулам, что и при полном периоде М-последовательности.
Приведем сравнительную таблицу (таблица 2) рассмотренных вариантов расширения спектра двоичных биполярных сигналов длительностью Т троичной М-последовательностью с периодом M = 3m - 1 = 26, т. е. m = 3 и при отношении сигнал/шум на выходе источника Eb/No = 13 дБ.
ТАБЛИЦА 2. Сравнительные характеристики рассмотренных методов расширения спектра двоичных биполярных сигналов данных троичной М-последовательностью
ТС Кд Ук К Рч, d Рь в
1. Простая передача сигналов данных (без расширения спектра)
двоичный 9600 9600 1 5-10-11 1 (100 %)
2. Расширение спектра троичной М-последовательностью с периодом М = 33 - 1 = 26
Расширение спектра «прямой» и «инверсной» троичной М-последовательностью
АИМ-3 9600 249600 26 0,351; d = 12 8,540-2 0,04 (4 %)
ФМ-3 9600 249600 26 0,438; d = 12 3,28-Ю-1 0,04 (4 %)
ТС Кд Ук К Рч, d Рь С
Расширение спектра с увеличенной скоростью передачи данных в п = 4 раза при той же канальной скорости
АИМ-3 38400 249600 26 0,351; й = 8 1,48-Ю-1 0,153 (15 %)
ФМ-3 38400 249600 26 0,438; й = 8 2Д9-10-1 0,153 (15 %)
Расширение спектра с увеличенной длительностью чипа в п = 4 раза
АИМ-3 9600 62400 6,5 0,143; й = 8 1,94-10-3 0,153 (15 %)
ФМ-3 9600 62400 6,5 0,128; й = 8 9,23-10-4 0,153 (15 %)
3. Расширение спектра полупериодом длиной М1 = 13 троичной М-последовательности
Расширение спектра полупериодом «прямой» и «инверсной» троичной М-последовательности
АИМ-3 9600 124800 13 0,247; й = 6 0,023 0,077 (7,7 %)
ФМ-3 9600 124800 13 0,272; й = 6 0,038 0,077 (7,7 %)
Расширение спектра с увеличенной скоростью передачи данных в п = 3 раза при той же канальной скорости
АИМ-3 28800 124800 13 0,247; й = 4 0,066 0,23 (23 %)
ФМ-3 28800 124800 13 0,272; й = 4 0,088 0,23 (23 %)
Расширение спектра с увеличенной длительностью чипа в п = 3 раза
АИМ-3 9600 41600 4,3 0,08; й = 4 8Д3-10-4 0,23 (23 %)
ФМ-3 9600 41600 4,3 0,058; й = 4 1,9-10-4 0,23 (23 %)
В таблице приняты следующие условные обозначения: ТС -тип сигнала в канале; Кд - скорость передачи данных (бит/с); У к - канальная скорость передачи сигналов (сигн./сек); К -коэффициент расширения спектра; Рч - вероятность ошибки в чипе; d - расстояние Хэмминга; Рь - вероятность битовой ошибки; С - коэффициент использования полосы частот.
На рисунке 6 приведены сравнительные графики зависимости битовой вероятности ошибки исходного двоичного сигнала от отношения сигнал-шум (£ь/№) для рассмотренных вариантов расширения спектра двоичных биполярных сигналов длительностью Т троичной М-последова-тельностью с полным периодом М = 26 (см. рисунок 6а) и полупериодом М1 = 13 (см. рисунок 6б).
Заключение
Как показано в статье, применение троичных М-последовательностей для расширения спектра имеет существенно больше возможностей по сравнению с двоичными М-последовательностями. Троичные биполярные М-последовательности могут иметь преимущественное применение в цифровых трактах плезиохронной и синхронной иерархий, так как такие цифровые сигналы могут обеспечить более узкую требуемую частотную полосу широкополосного сигнала. Кроме того, тро-
ичные М-последовательности, по сравнению с двоичными, имеют более высокую структурную скрытность с точки зрения безопасности передачи данных.
"" % \
" 4 \ \
ч \ \
ч \ \
-;■ 1 л \ \
г \ \
\ >• \\ -Ч> 4 . Ч >.\ \
10 -5 0 5 10 15 20 25 ЕьЖо, дБ
а)
-. ^
. . .... Р( 1 )ДИМ-3 \ Р(1)ФМ-З \ Р(2)дим-з--- \ р(2)фМ-3 " ' V'"' '\ \ Р(3)дим-з----
■ л л;.;; \\ рмиим-з — \ \\ р(4)ФМ-з-------
•г: ч Чу- ц XV .V г
•10 -5 0 5 10 15 20 25 Еь/Ы0, дБ б)
Рис. 6. Расчётные зависимости битовой вероятности ошибки исходного двоичного сигнала от отношения Еь/№> для рассмотренных вариантов расширения спектра двоичных биполярных сигналов
В дальнейшем будут проведены исследования других типов широкополосных последовательностей, применяемых для расширения спектра. К таким последовательностям относятся последовательности Голда [8] и ЛРД-последовательности, имеющие ряд преимуществ по сравнению с двоичными М-последовательностями. Их отличительная особенность состоит в том, что они относятся к классу составных рекуррентных последовательностей. Такие последовательности, с одной стороны, позволяют увеличить их количество и, с другой, увеличить коэффициент расширения спектра за счёт значительно больших возможных периодов последовательностей.
Кроме того, предполагается в дальнейшем провести сравнительный анализ различных методов обработки широкополосных последовательностей на приёмной стороне, обращая внимание, прежде всего, на сложность реализации и минимально достижимое время обработки таких последовательностей. Особенно интересно провести сравнение корреляционных методов, в том числе на основе согласованных цифровых фильтров, с методами обработки на основе двойственного базиса [9], позволяющего обеспечить существенные преимущества особенно для последовательностей с большим периодом.
Список используемых источников
1. Борисов В.И., Зинчук В.М., Лимарев А.Е., Шестопалов В.И. Помехозащищенность систем радиосвязи с расширением спектра прямой модуляцией псевдослучайной последовательностью. М.: РадиоСофт, 2011. 548 с.
2. Ипатов В.П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения. М.: Техносфера, 2007. 488 с.
3. Sklar B. Digital Communications: Fundamentals and Applications. New Jersey: Prentice Hall PTR, 2001.
4. Когновицкий О.С. Широкополосные сигналы данных с расширением спектра прямой последовательностью и их характеристика // Труды учебных заведений связи. 2016. T. 2. № 1. С. 82-89.
5. Деев В.В. Методы модуляции и кодирования в современных системах связи. СПб.: Наука 2007. 267 с.
6. Bitouze N., Graell i Amat A. Coding for a Non-Symmetric Ternary Channel // 2009 Information Theory and Applications Workshop / IEEE. San Diego. CA. USA: IEEE. 2009. Feb. PP. 113-118.
7. Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. М: Связь, 1979. 744 с.
8. Gold R. Optimal Binary Sequences for Spread Spectrum Multiplexing // IEEE Transactions on Information Theory. 1967. Vol. 13. Iss. 4. PP. 619-621.
9. Когновицкий О.С. Двойственный базис и его применение в телекоммуникациях. СПб.: Издательство «Линк», 2009. 424 с.
* * *
WIDEBAND DATA SIGNALS WITH DIRECT TERNARY MAXIMUM LENGTH SEQUENCE SPREAD SPECTRUM AND THEIR CHARACTERISTICS
S. Vladimirov1, O. Kognovitsky1
iThe Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunication, St. Petersburg, 193232, Russian Federation
Article info
Article in Russian
For citation: Vladimirov S., Kognovitsky O. Wideband Data Signals with Direct Ternary Maximum Length Sequence Spread Spectrum and their Characteristics / / Proceedings of Telecommunication Univercities. 2017. Vol 3. Iss. 3. PP. 28-36.
Abstract: Wideband transmission systems have high noise immunity in white Gaussian noise channel with low signal-noise level. So, the selection of wideband signals and methods of their processing during receiving is relevant objective. This paper reviews possibility of ternary maximum length sequence spread spectrum.
Keywords: spread spectrum, ternary maximum length sequence, error probability.
