CC BY
14ОБРАБОТКА ШИРОКОПОЛОСНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ГОРДОНА-МИЛЛСА-ВЕЛЧА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДВОЙСТВЕННОГО БАЗИСА НА ОСНОВЕ ДВУХ РЕГИСТРОВ
С.С. Владимиров1*, О.С. Когновицкий1
1Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, 193232, Российская Федерация *Адрес для переписки: vladimirov.opds@gmail.com
Информация о статье
УДК 621.396
Язык статьи - русский
Ссылка для цитирования: Владимиров С.С., Когновицкий О.С. Обработка широкополосных последовательностей Гордона-Миллса-Велча с использованием двойственного базиса на основе двух регистров // Труды учебных заведений связи. 2019. Т. 5. № 2. С. 49-58. DOI:10.31854/1813-324X-2019-5-2-49-58
Аннотация: Представлен алгоритм обработки и определения, с использованием двойственного базиса, начальных состояний регистров сдвига, формирующих широкополосные последовательности Гордона-Миллса-Велча (ГМВ), которые характеризуются большим их количеством и более высокой структурной скрытностью, чем широко используемые М-последовательности. Показано, что предложенный алгоритм, в отличие от известных, позволяет определять произвольные начальные состояния регистров сдвига, что расширяет возможности применения составных широкополосных последовательностей ГМВ для решения различных задач при передаче информации по каналам связи с шумами.
Ключевые слова: широкополосные последовательности, конечное поле, неприводимый и примитивный многочлен, регистр сдвига с линейной обратной связью, двойственный базис, функция след, децимация.
Введение
Среди семейства псевдослучайных (шумоподоб-ных) последовательностей, применяемых в системах связи, особое место занимают последовательности Гордона-Миллса-Велча (ГМВ), формируемые на основе регистров сдвига с обратной связью. ГМВ-последовательности обладают хорошими автокорреляционными свойствами, аналогичными корреляционным свойствам М-последовательнос-тей, что позволяет успешно их применять для расширения спектра в широкополосных системах, для циклового фазирования, скремблирования, кодового разделения каналов и т. п. Отличительной особенностью ГМВ-последовательностей является их более высокая структурная скрытность.
Исследованиям свойств ГМВ-последовательнос-тей, их синтезу и обработке посвящено значительное число работ отечественных и зарубежных авторов. К числу ранних работ отечественных авторов, посвященных исследованию ГМВ-последовательнос-тей, относятся работы Е.И. Кренгеля [1, 2] и В.Г. Стародубцева [3, 4]. В частности, в трудах Е.И. Кренгеля подробно рассматриваются вопросы генерации ГМВ-последовательностей и их корреляционные свой-
ства, а также применимость их в системах с кодовым разделением каналов. Научные труды В.Г. Стародубцева посвящены, главным образом, методам формирования ГМВ-последовательностей на основе регистров сдвига с линейной обратной связью, а также на основе матричного представления М-последова-тельностей составного периода над конечными полями с двойным расширением.
Очевидно, что ГМВ-последовательности, как псевдослучайные, могут найти применение в широкополосных системах связи не только для расширения спектра, но и как переносчики информации. При этом передаваемая информация может представляться определенными, например, начальными, состояниями ячеек регистра сдвига с обратной связью. Использование ГМВ-последовательнос-тей обеспечивает большую структурную скрытность передачи информации, поэтому они в большей степени применимы для шифрования информации, закодированной, например, фазой М-последовательности. В [4] рассмотрена задача передачи информации в виде начальных фаз регистров сдвига с линейной обратной связью равной длины, формирующих ГМВ-последовательности.
DOI:10.31854/1813-324X-2019-5-2-49-58
49
tuzs.sut.ru
Недостатком разработанного и представленного в работе [4] алгоритма является то, что начальные состояния обоих регистров выбираются одинаковыми. Из работы не ясно, насколько изменится и усложнится разработанный алгоритм, если начальные состояния ячеек регистров будут различными.
Кроме того, в указанной выше работе не рассматривается вопрос обработки и распознавания ГМВ-последовательностей на приеме. Наиболее часто применяемой является корреляционная обработка и распознавание ГМВ-последовательнос-тей на приеме, особенно в системах с кодовым разделением CDMA. Однако, во многих случаях, например, для повышения безопасности передачи информации, надежности циклового фазирования и др., увеличивают структурную скрытность и, с этой целью, увеличивают длительность ГМВ-по-следовательностей, что, в случае корреляционной обработки, естественно приведет к усложнению реализации из-за установки на приеме большого количества корреляторов или согласованных фильтров. Поэтому актуальной является задача разработки, отличных от корреляционных, методов обработки и распознавания таких последовательностей на приеме.
В данной работе рассматривается применение для обработки и распознавания ГМВ-последова-тельностей двойственного базиса [5], расширяющего возможности применения ГМВ-последова-тельностей для решения различных задач. В частности, в отличие от рассмотренных в цитируемых источниках алгоритмов, при использовании двойственного базиса допускаются произвольные начальные состояния обоих регистров сдвига с линейными обратными связями.
Формирование ГМВ-последовательностей на основе регистров сдвига
Рассмотрим алгоритм формирования ГМВ-после-довательностей на основе двух регистров сдвига. Во-первых, отметим, что псевдослучайные ГМВ-по-следовательности являются составными, наподобие последовательностей Голда или ЛРД-последо-вательностей [5]. При этом, в отличие от выше приведенных, основой ГМВ-последовательности является заданная исходная М-последовательность с периодом N = 2" - 1, из которой путем децимаций формируются две другие последовательности - одна с периодом N, а вторая с меньшим периодом N1, являющимся делителем N. Линейная сумма этих двух последовательностей и будет представлять собой формируемую ГМВ-последовательность с периодом N. Как показано в [4], эти две последовательности (рисунок 1) формируются с помощью двух "-элементных рекуррентных регистров сдвига с линейными обратными связями (РОС). Обе выходные последовательности поэлементно складываются по mod 2, образуя тем самым ГМВ-последовательности.
Для построения регистров сдвига с линейными обратными связями выбирают два неприводимых многочлена степени п - Й1(х) и Й2(х), корни которых являются р-сопряженными (р = 2) элементами расширенного поля GF(2n) c первообразным элементом поля е - корнем примитивного многочлена д(х), по которому построены расширенное поле GF(2n) и исходная М-последовательность. При этом степени корней многочлена д(х) представляют собой цик-локласс {1, 2, 4, 8, ..., 2п - 1}, а степени корней многочленов Й1(х) и Й2(х) - циклоклассы {^1, 2^1, 4^1, ..., 2п - 1о,1} и ^2, 2ц2, 4ц2, ..., 2п - ^2}, соответственно, где Ц1 и ^2 - индексы децимаций, выбранных для построения ГМВ-последовательности. Формируемая ГМВ-последовательность будет являться рекуррентной последовательностью с периодом N = 2п - 1, удовлетворяющей характеристическому многочлену И(х) = Й1(х) • Й2(х) степени 2п.
Начальный .1 рос " (х) I
элемент 1 и ' '—' "|(А) I ^ГМВ-последовательность
Начальный-Н РОС "2(х) |-*
элемент 2 1-1
Рис. 1. Схема генератора ГМВ-последовательностей
Итак, как было заявлено ранее, задачей декодера на приеме будем считать определение переносчиков информации ГМВ-последовательностей, а именно - определение начальных фаз обеих составляющих последовательностей, которые обозначим как М1 для многочлена Й1(х) и М2 для многочлена Й2(х).
Обработка ГМВ-последовательностей с использованием двойственного базиса
Решение поставленной выше задачи зависит от того, с какой системой связи мы имеем дело, - синхронной или асинхронной. Наибольшее распространение среди широкополосных систем связи получили синхронные системы, в которых в качестве расширяющих могут использоваться также и ГМВ-последовательности, обладающие, к тому же повышенной структурной скрытностью по сравнению с широко применяемыми обычными М-последовательностями. При этом, как было отмечено, начальные фазы составных последовательностей могут представлять собой передаваемую информацию, в том числе это может быть адресная или другая специальная информация, известная только отправителю и получателю.
Кроме того, применение двойственного базиса за счет мажоритарного принятия решения обеспечивает, при более простой реализации, достоверность, сравнимую с корреляционной обработкой. Наконец, применение двойственного базиса позволяет избежать еще одного недостатка алгоритма, описанного в [4], который заключается в том, что формирование составляющих последовательностей М1 и М2 привязано к канонической исходной М-последовательности, образованной примитивным многочленом д(х) степени п.
Рассмотрим на примере алгоритм обработки ГМВ-последовательностей, основанный на применении двойственного базиса, при условии, что формирование ГМВ-последовательностей происходит с помощью двух регистров сдвига по модулю многочленов h1(x) и h2(x) соответственно [6], включенных по схеме Галуа.
Проведем анализ алгоритмов формирования и обработки с использованием двойственного базиса ГМВ-последовательностей с периодом N = 26 - 1 над полем GF(26) на основе двух регистров сдвига с обратными связями. При этом исходные данные выберем те же, что и в работе [4], а именно, исходной М-последовательности {s} соответствует характеристический примитивный многочлен ф(х) = 1 + x + + x6, корнями которого будут сопряженные первообразные элементы поля е, е2, е4, е8, е16, е32. Составная двоичная ГМВ-последовательность {t} представляет собой поэлементную сумму по mod 2 двух других последовательностей {и} и {v}, которым соответствуют неприводимые характеристические многочлены h1(x) и h2(x). Условимся, что последовательность {и} формируется из исходной М-после-довательности {s} путем децимаций с индексом q1 = 5, а последовательность {v} - с индексом децимации q2 = 3. Тогда корнями многочлена h1(x) будут пятые степени корней многочлена <(x) [7], т. е. -{(е)5, (е2)5, (е4)5, (е8)5, (е")5, (е32)5} = {е5, ем, е20, е40, е17, е34}. Соответственно, корнями многочлена h2(x) будут третьи степени корней исходного многочлена <(x), т. е. - {е3, е6, е12, е24, е48, е33}. При этом из теории полей Галуа следует, что порядок корней много-
членов h1(x) и h2(x) будет для h1(x):
63
= 63 и
для h2(x):
НОД(63,5)
= 21. Отсюда последовательность
НОД(63,3)
{и} будет иметь максимальный период М1, равный N1 = 63, а последовательность {V} будет состоять их трех периодов последовательности М2 длиной N2 = 21, формируемой многочленом Й2(х).
Зная корни многочленов Ы(х) и Й2(х) по формулам Виета найдем и сами многочлены:
fti(x) = 1 + х + х2 + х5 + х6, ft2(x) = 1 + X + X2 + X4 + X6.
(1)
Так как последовательности {и} и {v} формируются из исходной М-последовательности {s} = (s0, S1, S2, S3, S4,••• si,........S61, S62) путем децимаций с индексами q1 = 5 и q2 = 3, то элементы последовательностей {и} и {v} будут определяться как ut =
= 5q1i = 55i (mod 63) и как = 5q2i = 53i (mod 21), соответственно, где 0 < i < 62.
Из многочленов (1) следует, что элементы последовательностей {и} и {v} удовлетворяют рекуррентным уравнениям, соответственно:
"¿>6 = "¿-1 + "¿-4 + "¿-5 + "¿-6, (mod 2), ^¿>6 = ^i-1 + ^i-4 + ^i-5 + ^i-6, (mod 2).
Если произвольный элемент поля е' записать через левый степенной базис как е = с0 + с1е + с2е2 + + с3е3 + с4е4 + с5е5, то, при заданном образующем многочлене ф(х), функция след от этого элемента будет равна Т(е') = с5 = S'. Каноническая М-последователь-ность {s} представляется как ф = {Т(1), Т(е), Т(е2), Т(е3), ..., Т(е61), Т(е62)}. Двоичная и сформированные из нее последовательности {и}, {V} и составная ГМВ-последовательность {ф показаны в таблице 1.
Составной ГМВ-последовательности й будет соответствовать характеристический многочлен:
й(х) = ^(х) • й2(х) = р0х12 + рхх1Х + +р2х10 +
+р3х9 + р4х8 + р5х7 + р6х6 + р7х5 + р8х4 + + р9х3 + р10х2 + р11х + р12 = X12 + X11 + X10 +
+Х9 + Х7 + X2 + 1.
(3)
Следовательно, ГМВ-последовательность {t} будет удовлетворять рекуррентному уравнению:
^i>12 = + ^¿-2 + ^¿-3 + ^¿-5 + ^¿-10 +
+ tj-12, (mod 2).
(4)
Именно это свойство ГМВ-последовательности и позволяет применить для ее обработки двойственный базис. В соответствии с методикой, изложенной в [5], найдены коэффициенты двойственного базиса а, относительно многочлена h1(x) и р, относительно многочлена h2(x) (таблица 2), выраженные через элементы е' поля GF(26), построенного по исходному примитивному многочлену <(x).
Рассмотрим теперь нахождение начальных состояний ячеек регистров сдвига, формирующих последовательности {и} и {v}, в процессе обработки на приемной стороне ГМВ-последовательности {t}.
Начальным элементам составных последовательностей {и} и {v} будут соответствовать элементы поля, представленные в степенной либо в векторной форме. Так, для последовательности {и} начальный элемент регистра сдвига, соответствующего многочлену h1(x), будет иметь следующий общий вид:
С(^) = а0 + а1^+ а2^2 + а3^3 + а4^4 + а5^5 =
= (а0,а1, а2,а3,а4, а5), [mod 2,ft1(^)]; или выраженный через е: (5)
С(е) = с0 + с1е + с2е2 + с3е3 + с4е4 + с5е5 =
= (с0 , с1, с2, с3, с4, С5), [mod 2, ф(£)]. Аналогично для последовательности {v}:
D(y) = ¿о + ^Y + ^Y2 + ¿3У3 + ¿4У4 + ¿5У5 = = (¿0,^1,^2,^3,^4,^5), [mod 2>2(Y)]; или выраженный через е: (6)
D(e) = d0 + d1e + d2e2 + d3e3 + d4e4 + d5e5 = = (d0,d1, d2,d3,d4,d5), [mod 2,ф(е)].
(2)
63
ТАБЛИЦА 1. Формирование составной ГМВ-последовательности
м S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 S19 S20
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
{и} q1=5 и0 и1 и2 и3 и4 и5 и6 и7 и8 и9 и10 и11 и12 и13 и14 и15 и16 и17 и18 и19 и20
0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
{v} q2=3 v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 У15 v16 v17 v18 v19 v20
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
{t} t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14 t15 t16 t17 t18 t19 t20
0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0
{s} S21 S22 S23 S24 S25 S26 S27 S28 S29 S30 S31 S32 S33 S34 S35 S36 S37 S38 S39 S40 S41
1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0
{и} и21 и22 и23 и24 и25 и26 и27 и28 и29 и30 и31 и32 и33 и34 и35 и36 и37 и38 и39 и40 и41
1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0
{v} v21 v22 v23 v24 v25 v26 v27 v28 v29 v30 v31 v32 v33 У34 У35 v36 У37 У38 У39 У40 v41
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
{t} t21 t22 t23 t24 t25 t26 t27 t28 t29 t30 t31 t32 t33 t34 t35 t36 t37 t38 t39 t40 t41
1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
M S42 S43 S44 S45 S46 S47 S48 S49 S50 S51 S52 S53 S54 S55 S56 S57 S58 S59 S60 S61 S62
1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
{и} и42 и43 и44 и45 и46 и47 и48 и49 и50 и51 и52 и53 и54 и55 и56 и57 и58 и59 и60 и61 и62
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1
M v42 v43 У44 v45 v46 v47 v48 v49 v50 v51 v52 У53 У54 У55 У56 У57 v58 У59 v60 v61 v62
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
{t} t42 t43 t44 t45 t46 t47 t48 t49 t50 t51 t52 t53 t54 t55 t56 t57 t58 t59 t60 t61 t62
1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
ТАБЛИЦА 2. Коэффициенты двойственного базиса
a,(s) a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 an a12
E43 E38 E31 E26 E21 E16 E11 E50 E45 E9 E47 E48
P(0 P1 P2 p3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12
E16 E13 E11 E8 E5 E2 E62 E55 E52 E32 E51 E19
Более простая реализация будет в случае выражения начальных элементов через один элемент поля е - корень исходного многочлена ф(х), а не через различные элементы ц и у - корни многочленов Ы(х) и Й2(х), где ц = е5 и у = £3.
Как показано в [5], начальные элементы последовательностей {и} и {у} могут быть определены по любому безошибочному 12-элементному участку принятой ГМВ-последовательности {£}. Предположим, что выделен 12-элементный участок канонической ГМВ-последовательности (см. таблицу 1) с начальным порядковым номером / = 51, т. е.:
tsi 0
ts2 ts3 1 0
t54 t55 0 0
t56 1
t57 0
t58 0
t59 0
t60 0
t61 0
t62 0
Тогда, в соответствии с [5], найдем:
С(г) = (г5)-1 £ ajti+j-1 = (е5)-51(а2 + а6) =
7 = 1
— о-^с-38 I 016\ _
г-3(г38 + £16) = i, mod ф(е);
8
ОД = (£3Г^РЛ+7-1 = (г3)-51(в2 + Рб) =
(7)
7 = 1
= е-27(е13 + г2) = 1, mod ф(е).
Можно показать, что также выполняются равенства: С(^) = 1 (mod fti(K)); D(y) = 1 (mod fa(y)).
Таким образом, мы убеждаемся, что начальным элементам последовательностей {и} и {v} канонической ГМВ-последовательности {t} действительно соответствуют единичные элементы регистров сдвига, а передаваемая информация в векторном представлении будет: (С, D) = [(100000)(100000)].
Покажем, что алгоритм распознавания начальных состояний регистров остается таким же и при произвольных начальных элементах C(|)(mod hi(x)) и D(y) (mod h2(x)) этих регистров.
Пусть начальные элементы регистров, формирующих последовательности {и} и {v}, будут равны, соответственно: С(|) = |55 = 1 + |3 ^ [а] = (ао, ai, й2, аз, й4, а5) = (100100) (mod hi(|)) и D(y) = 1 + y + Y 2 ^ ^ [b] = (¿0, bi, Ьг, Ьз, Ы, b5) = (111000) (mod h2(Y)). Как видим, вектору [а] в десятичной системе счисления соответствует цифра 9 (младший разряд слева), а вектору [b] - цифра 7. Тогда первый элемент U0 последовательности {и}, выраженный функцией след, будет равен U0 = Д!55) = 1, (mod h1(|), а первый элемент V0 последовательности {v} будет равен V0 = T(1+ y + Y 2) = 0, (mod h2(Y). Сумма этих элемен-
тов по mod 2 порождает первый элемент последо- тельностей {и}, {v} и {t}, порождаемые указанными вательности {t} to = ио + vo = 1. В таблице 3 представ- выше начальными элементами С(ц) и D(y). лены первые 15-элементные участки последова-
ТАБЛИЦА 3. Первые 15 элементов последовательностей {u}, {v} и {t}
{и} Ы0 иг и2 и3 и4 и5 ив и7 и8 и9 и10 и11 и12 и13 и14
1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1
М v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14
0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
{t} t0 h t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14
1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0
Выделим первый 12-элементный участок ('' = 0):
¿0 ¿1 ¿2 tз ¿4 ¿5 ¿6 ¿7 ¿8 t9 ко ¿"11 100100001000
и обработаем его двойственным базисом:
тем умножения на матрицы Н и Р вида (9), переведены в С(ц) и О(у) и в векторной форме были записаны в ячейки соответствующих регистров:
12
С(е) = £ = («1 + «4 + «9) = (е43 + е26 + Я =
7 = 1
+е45) = 1 + е3 + е5 = е23, mod ф(е);
8
— Сс-16 о. с-8
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 11110 0 10 10 0 011000 [0 1 0 0 0 0]
р =
100000 101000 100010 010000 010100 010001
(9)
Л(е) = £ P7-ti+7--1 = (Р1 + в4 + Р9) = (е16 + е8 +
7 = 1
+ е52) = е + е3 = е19, mod ф(е).
Выделим теперь другой безошибочный 12-эле-ментный участок (на расстоянии i = 3 от начала):
t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14 10000100 0 1 1 0
и также обработаем его двойственным базисом:
С(е) = (е5)-3^
ijW+j-1 = е 15(a1 + a6 + aw + йц)
a,t,
7=1
= е48(е43 + е16 + е9 + е47) = 1 + е3 + е5 = е23,modф(е); Р = (111000) ^ 1 + y + Y2 = ^(y), mod
Блочная схема этого варианта представлена на рисунке 2. В этом первом варианте декодированная информация (при правильном декодировании) в виде элементов С(е) и О(е) будет после обработки ГМВ-последовательности непосредственно находиться в ячейках соответствующих регистров. Для обратного перевода (в случае необходимости) требуется умножить выделенные вектора (8) на матрицы (9), в результате чего получим:
[С(е)] - Я = (С0,С1,С2,С3,С4,С5) -Я = (100101) •
Я = (100100) ^ 1 + = С(^), mod й1(^);
[0(е)] -Р = (d0,d1,d2,d3,d4,d5) -Р = (010100) •
2
Я(е) = (е3)-3 £ = £-9(Р1 + вб + Р10 + Р11) =
7=1
= е_9(е16 + е2 + е32 + е51) = е + е3 = £19,modф(£).
Таким образом, после обработки и одного, и другого безошибочных участков получены одинаковые начальные элементы в векторном представлении:
С(е) = (с0,с1,с2,с3,с4,с5) = (100101), [mod2,ф(£)];
d(e) = (d0,d1,d2,d3,d4,d5) = (010100),[mod2^(£)].
(8)
Это подтверждает возможность применения мажоритарного (по большинству) принятия решения с целью повышения достоверности декодирования информации, содержащейся в начальных элементах (векторах) регистров сдвига, соответствующих составным последовательностям {и} и {V}.
Возможны два варианта кодирования информации ГМВ-последовательностей. Первый из вариантов состоит в том, что передаваемая информация представляется начальными элементами С(е) и О(е), которые на передающей стороне были, пу-
Таким образом, после умножения на указанные матрицы мы получили те начальные элементы С(ц) и О(у), которые и были установлены на передающей стороне в ячейки регистров в качестве начальных.
Во втором варианте передаваемая информация представляется начальными элементами С(ц) и О(у), которые на передающей стороне в векторном виде будут непосредственно записаны в ячейки соответствующих регистров. В этом варианте полученные в результате декодирования (при правильном декодировании) элементы С(е) и О(е) могут быть в векторной форме переведены (в случае необходимости) в начальные элементы С(ц) и О(у) по тому же алгоритму, что и в первом варианте, т. е. путем умножения векторов [с] и [¿] на соответствующие матрицы перевода Н и Р (9).
Выбор того или другого варианта дает возможность еще в большей степени повысить структурную скрытность передачи информации.
С(е) = еА
[с0, С1( ... , С„_!]
х Н
К, а1, . , ап_1]
mod ^(Е)
[¿0, ^1, .'■, ¿п_1] х р
— е7
[Ьо, Ьъ ..., Ь„_1]
РОС-1 вд
->- РОС-2 Л2(Х)
{«I
ГМВ Канал связи
и; {(11
(V)
О (у) = у;' mod (у) а)
б)
Рис. 2. Передающая (а) и приемная (б) части системы формирования и обработки ГМВ-последовательностей
Во втором варианте передаваемая информация представляется начальными элементами С(ц) и О(у), которые на передающей стороне в векторном виде будут непосредственно записаны в ячейки соответствующих регистров. В этом варианте полученные в результате декодирования (при правильном декодировании) элементы С(е) и 0(е) могут быть в векторной форме переведены (в случае необходимости) в начальные элементы С(ц) и О(у) по тому же алгоритму, что и в первом варианте, т. е. путем умножения векторов [с] и на соответствующие матрицы перевода Н и Р (9).
Выбор того или другого варианта дает возможность еще в большей степени повысить структурную скрытность передачи информации.
Для определения весового спектра рассмотренной ранее ГМВ-последовательности с периодом N = 63 над полем СР(26) был произведен полный перебор всех возможных начальных фаз, имеющих значения от 0 до 63 (в десятичном виде), и определены веса полученных ГМВ-последовательнос-тей. Весовой спектр рассмотренной ГМВ-последо-вательности приведен в таблице 4.
ТАБЛИЦА 4. Весовой спектр ГМВ-последовательностей с периодом N = 63 над полем СР(26)
Количество ГМВ-последовательностей 0 24 28 32 36
Вес 1 588 504 1827 1176
Корреляционные свойства ГМВ-последовательности
На примере рассмотренной последовательности ГМВ-последовательность с периодом N = 63 над полем СР(26) оценим корреляционные свойства последовательностей разных весов. При расчете автокорреляционной функции (АКФ) и взаимокорреляционной (ВКФ) функции последовательности ГМВ-последовательности преобразуются от униполярного вида [1, 0] к биполярному [-1, 1].
Для оценки корреляционных свойств были выбраны по две ГМВ-последовательности каждого веса. На графиках (рисунки 3, 4, 5 и 6) начальные элементы каждой из ГМВ-последовательности обозначены в десятичном виде, соответствующем двоичному (векторному) представлению их элементов ц' для С(ц) и у для О(у), соответственно. Так, ГМВ-по-следовательности б{35; 9} соответствует в{1 + ц + + 1 + у3}, а ГМВ-последовательности б{20; 23} соответствует + 1 + у + у2 + у4}.
Вначале определим автокорреляционные свойства выбранных ГМВ-последовательности. Апериодическая автокорреляционная функция (АпАКФ) последовательности {^ вычисляется по формуле:
АпАКФДй) = ^
¿=0
где к - сдвиг относительно исходной последовательности {£}.
Периодическая автокорреляционная функция (ПАКФ) вычисляется для замкнутой в кольцо последовательности й по формуле:
ПАКФ
до —1
(Ш) = £ к
¿=0
(¿+fc)mod ДО.
Значения апериодической и периодической ВКФ рассчитываются по аналогичным формулам, в которых рассматривается смещение одной последовательности относительно другой. Графики этих функций для ГМВ-последовательностей различных весов приведены на рисунках 5 и 6. На графике ВКФ для ГМВ-последовательностей веса 24 (см. рисунок 6), можно видеть, что выбранные последовательности циклически смещены друг относительно друга на 9 разрядов. Таким образом, при использовании ГМВ-последовательностей для задач синхронизации необходимо правильно подбирать начальные элементы последовательностей, так как они, образуя циклическую группу, при асинхронном детектировании могут определяться некорректно.
Рис. 3. Значения АпАКФ ГМВ-последовательностей различных весов
Рис. 4. Значения ПАКФ ГМВ-последовательностей различных весов
DOI:10.31854/1813-324X-2019-5-2-49-58
tuzs.sut.ru
55
Рис. 5. Значения АпВКФ ГМВ-последовательностей различных весов
Рис. 6. Значения ПВКФ ГМВ-последовательностей различных весов
Вероятностные характеристики декодера ГМВ-последовательностей
Для оценки вероятностных характеристик синхронного декодера ГМВ-последовательностей с использованием двойственного базиса была написана модель системы передачи данных (СПД) для пакета математических вычислений GNU/Octave, схема которой представлена на рисунке 7. Моделирование производилось по методу Монте-Карло для двух моделей каналов: цифрового двоично-симметричного канала (ДСК) без памяти и канала с абсолютно-белым гауссовским шумом (АБГШ) совместно с двоичной фазовой манипуляцией (ФМн-2).
Генератор начальных фаз
Модулятор Модель Демодулятор
ФМн-2 канала АБГШ ФМн-2
.........i........
Генератор Декодер
ГМВ- Модель ГМВ-
последова- канала ДСК последова-
тельностеи тельностеи
Сравнение начальных
Рис. 7. Схема модели СПД для оценки вероятностных характеристик синхронного декодера ГМВ-последовательностей
При моделировании генератор начальных фаз случайным образом формирует начальные элементы С(ц) и D(y) и передает их в генератор ГМВ-по-следовательностей. Сформированная последовательность отправляется в канал передачи данных, откуда подается на вход декодера, реализующего
мажоритарный алгоритм декодирования с использованием двойственного базиса. Затем вычисленные элементы сравниваются с начальными и производится накопление статистики.
Всего в результате декодирования возможны три исхода: правильное декодирование, когда его результат совпадает с начальными элементами, неправильное декодирование в случае несовпадения хотя бы одного из начальных элементов, и отказ от декодирования (обнаруженная неуправляемая ошибка), возникающий при невозможности определить только одну пару начальных элементов. Соответствующие этим исходам оценочные значения вероятностей обозначаются Рид, Рнд и Род.
Графики вероятностных характеристик декодера ГМВ-последовательностей в линейном и логарифмическом масштабах для случая канала ДСК представлены на рисунках 8а, 8б, а для случая канала АБГШ - на рисунках 8в, 8г. Согласно полученным графикам вероятностных характеристик вероятность правильного приема кодовой комбинации на уровне 0,9999 достигается уже при нормированном соотношении сигнал/шум около 4 Дб. При отношении сигнал/шум, равном 0 Дб, вероятность правильного приема комбинации составляет уже 0,9. В канале ДСК эти точки соответствуют вероятностям битовой ошибки 0,015 и 0,08.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Et/" О
в) г)
Рис. 8. Вероятностные характеристики декодера ГМВ-последовательностей для канала ДСК (а, б) и АБГШ с ФМн-2 (в, г)
Заключение
В работе был рассмотрен метод мажоритарного декодирования последовательностей Гордона-Мил-лса-Велча и определены его вероятностные характеристики для каналов ДСК и АБГШ с манипуляцией
ФМн-2. Определено, что часть ГМВ-последователь-ностей образует циклические группы, что приводит к необходимости тщательно выбирать их начальные элементы, в чтобы избежать ложных срабатываний системах с асинхронным детектированием.
Список используемых источников
1. Кренгель Е.И., Мешковский К.А. М-подобные последовательности над GF(2m) и их применение в широкополосных системах связи // Цифровая обработка сигналов. 2000. № 2. С. 14-19.
2. Кренгель Е.И., Мешковский К.А. Классификация двоичных последовательностей Гордона, Милза, Велча // Радиотехника. 2001. № 12. С. 13-15.
3. Стародубцев В.Г. Алгоритм формирования последовательностей Гордона-Миллса-Велча // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2012. Т. 55. № 7. С. 5-9.
4. Стародубцев В.Г. Формирование последовательностей Гордона-Миллса-Велча на основе регистров сдвига // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2015. Т. 53. № 6. С. 451-457.
5. Когновицкий О.С. Двойственный базис и его применение в телекоммуникациях. СПб.: Линк, 2009. 424 с.
6. Диксон Р.К. Широкополосные системы: Пер. с англ. / Под ред. В.И. Журавлева. М.: Связь, 1979. 304 с.
7. Сарвате Д.В., Персли М.Б. Взаимнокорреляционные свойства псевдослучайных и родственных последовательностей // Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1980. Т. 68. № 5. С. 59-90.
* * *
DUAL BASIS BASED PROCESSING OF WIDEBAND GORDON-MILLS-WELCH SEQUENCES BASED ON TWO LINEAR REGISTERS
S. Vladimirov1, O. Kognovitsky1
1The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. Petersburg, 193232, Russian Federation
Article info
Article in Russian
For citation: Vladimirov S., Kognovitsky O. Dual Basis Based Processing of Wideband Gordon-Mills-Welch Sequences Based on Two Linear Registers. Proceedings of Telecommunication Universities. 2019;5(2):49-58. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2019-5-2-49-58
Abstract: The paper presents a dual basis based algorithm for processing and determining the initial states of the shift registers that form the Gordon-Mills-Welch (GMW) wideband sequences, which are characterized by their greater number and higher structural secrecy than the widely used M sequences. It is shown that the proposed algorithm, in contrast to the known ones, allows one to determine arbitrary initial states of shift registers, which expands the possibilities of using composite wideband GMW sequences for solving various problems when transmitting information via communication channels with noise.
Keywords: wideband sequences, finite field, irreducible and primitive polynomial, linear feedback shift register, dual basis, trace function, decimation.
References
1. Krengel E.I., Meshkovskii K.A. M-podobnye posledovatelnosti nad GF 2m i ikh primenenie v shirokopo-losnykh siste-makh sviazi [M-Like Sequences Over GF (2m) and Their Application in Wideband Communication Systems]. Digital Signal Processing. 2000;2:14-19. (in Russ.)
2. Krengel E.I., Meshkovskii K.A. Klassifikatsiia dvoichnykh posledovatelnostei Gordona, Milza, Velcha [Classification of Binary Sequences of Gordon, Mills, Welch]. Radioengineering. 2001;12:13-15. (in Russ.)
3. Starodubtsev V.G. An Algorithm of Gordon-Mills-Welch Sequence Formation. Journal of Instrument Engineering. 2012; 55(7):5-9. (in Russ.)
4. Starodubtsev V.G. Generation of Gordon-Mills-Welch Sequences on the Base of Shift Registers. Journal of Instrument Engineering. 2015;53(6):451-457. (in Russ.)
5. Kognovitsky O.S. Dvoistvennyi bazis i ego primenenie v telekommunikatsiiakh [Dual Basis and Its Application in Telecommunications]. St. Petersburg: Link Publ.; 2009. 424 p. (in Russ.)
6. Dikson R.K. Shirokopolosnye sistemy [Broadband Systems]. Trans. with English. Ed. V.I. Zhuravlev. Moscow: Sviaz Publ., 1979. 304 р. (in Russ.)
7. Sarvate D.V., Persli M.B. Vzaimnokorreliatsionnye svoistva psevdosluchainykh i rodstvennykh posledova-telnostei [Mutually Correlated Properties of Pseudorandom and Related Sequences]. Trudy instituta inzhenerov po elektrotekhnike i radioelektronike. 1980;68(5):59-90. (in Russ.)
