CC BY
17ФОРМИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА ГМВ-ПОДОБНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ ДВОЙСТВЕННОГО БАЗИСА
С.С. Владимиров1* , О.С. Когновицкий1, В.Г. Стародубцев2 3
^анкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, 193232, Российская Федерация 2Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского, Санкт-Петербург, 197198, Российская Федерация
3Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация 'Адрес для переписки: vladimirov.opds@gmail.com
Информация о статье
УДК 519.725
Статья поступила в редакцию 28.10.2019
Ссылка для цитирования: Владимиров С.С., Когновицкий О.С., Стародубцев В.Г. Формирование и обработка ГМВ-подобных последовательностей на основе двойственного базиса // Труды учебных заведений связи. 2019. Т. 5. № 4. С. 16-27. 001:10.31854/1813-324Х-2019-5-4-16-27
Аннотация: Представлены алгоритмы обработки и определения с использованием двойственного базиса начальных состояний регистров сдвига, формирующих последовательности, подобные последовательностям Гордона - Миллса - Велча (ГМВ), которые характеризуются большим их количеством и более высокой структурной скрытностью, чем широко используемые М-последовательности. Показано, что предложенные алгоритмы, в отличие от известных, позволяют определять произвольные начальные состояния регистров сдвига и производить кодирование полезной информации, что расширяет возможности применения ГМВ-подобных последовательностей для решения различных задач при передаче цифровой информации в системах связи в условиях радиоэлектронного противодействия.
Ключевые слова: последовательности Гордона - Миллса - Велча, эквивалентная линейная сложность, конечные поля, примитивные и неприводимые многочлены, функция след, децимация, двойственный базис, регистр сдвига с линейной обратной связью.
В современных помехозащищенных системах передачи цифровой информации в условиях радиоэлектронного противодействия применяются широкополосные сигналы с прямым расширением спектра, формируемые на основе псевдослучайных последовательностей (ПСП), таких как М-последова-тельности (МП), последовательности Голда, большое и малое семейства последовательностей Ка-сами [1-3]. Среди множества псевдослучайных последовательностей в настоящее время повышенное внимание уделяется и последовательностям Гордона - Миллса - Велча (ГМВ), обладающим хорошими корреляционными свойствами, не уступающими М-последовательностям, но обеспечивающими более высокую структурную скрытность, которая характеризуется эквивалентной линейной сложностью (ЭЛС) [4-6].
Исследованиям свойств и алгоритмам генерации ГМВ-последовательностей посвящено большое количество работ как в нашей стране, так и за рубежом. Можно назвать работы С.В. Голомба [4-5], Д.С. Но [6-7], Е.И. Кренгеля, К.А. Мешковского [8-9]
и ряда других авторов. Данные труды были направлены, главным образом, на поиск ГМВ-последова-тельностей с определенными свойствами, анализ алгоритмов формирования и оценки их корреляционных свойств.
Формирование двоичных ГМВ-последователь-ностей выполняется над конечными полями с двойным расширением GF[(2n)k] = СР(2т) (т = п • к). Период последовательностей является составным числом, т. е. N = 2пк - 1.
Символы С ГМВ-последовательности с периодом N = 2пк - 1 определяются выражением [5-6, 10]:
^ = ТП1 [(тпк,п(£ 1)) ],
1 < г < 2п - 1, (г, 2п - 1) = 1,
где е е СР[(2п)к] - примитивный элемент поля; 7Пкп(•) - след элемента, принадлежащего полю СР[(2п)к], в расширенном поле СР(2п); 7и(0 - след элемента поля СР(2п) в простом поле СР(2); г - нату-
ральное число, взаимно простое с порядком мультипликативной группы поля СР(2"), равным 2" - 1. В дальнейшем нижний индекс при обозначении функции следа Г(-) может не использоваться, если он понятен из контекста.
При значении параметра г = 1 в (1) данное выражение определяет МП в канонической форме.
Структурная скрытность ПСП определяется эквивалентной линейной сложностью, которая для двоичных ГМВ-последовательностей определяется выражением [6-7]:
_ п. ^М, (2)
где д(г) - количество единиц в двоичном представлении числа г в (1).
С физической точки зрения ЭЛС Ъ характеризует количество последовательных символов произвольной рекуррентной ПСП, достаточное для определения вида характеристического многочлена, формирующего данную ПСП. При этом для решения поставленной задачи, в соответствии с алгоритмом Берлекэмпа - Месси, требуется минимальное число последовательных символов ПСП, равное удвоенной степени характеристического многочлена.
Количество различных ГМВ-последовательнос-тей, без учета базисной М-последовательности, определяется как произведение числа примитивных полиномов в подполе СР(2") на число примитивных полиномов в поле GF[(2n)k] [11]:
М™В _ ( п ш ,
где у (а) - функция Эйлера, равная числу чисел, взаимно простых с числом а, в ряду от 1 до (а - 1).
М- и ГМВ-последовательности с периодом N обладают одинаковой двухуровневой периодической автокорреляционной функцией для произвольного сдвига т [4, 6, 11, 12]:
N при т _ кМ, к _ 0,1,2, ... Ф кЫ.
ед_( ?при т:
_1 при т
(3)
этом базисная М-последовательность представляется как матрица размерности ] х I] = [7 х 9], ее столбцами являются М-последовательности с периодом ] = 7, получившие название характеристических последовательностей. Так как в подполе GF(23) существует всего два примитивных многочлена и, соответственно, две различные М-последовательно-сти, то для периода N = 63 для каждой из шести М-последовательности можно сформировать только по одной ГМВ-последовательности.
Другим способом является формирование ГМВ-последовательности на основе регистров сдвига [14, 17]. Процедура формирования ГМВ-последова-тельности с периодом N = 63 на основе двух регистров сдвига очень похожа на процедуру формирования последовательностей Голда с аналогичным периодом. Однако здесь можно отметить принципиальное отличие.
Последовательности Голда с периодом N= 63 формируются с помощью двух регистров сдвига, каждый из которых строится на основе примитивного полинома. При этом данные последовательности образуются как поэлементные суммы двух М-последовательностей, составляющих предпочтительную пару. Начальные состояния регистров могут выбираться произвольным образом.
Периодическая корреляционная функция является четырехуровневой и принимает следующие значения:
Д(т) _ {
N при т _ kN, (_17, _1, +15) при т Ф kN.
к _ 0,1,2, ...,
(4)
Известны различные способы формирования ГМВ-последовательностей. Для конечных полей с двойным расширением GF[(2n)k] при п = 2 известен алгоритм формирования ГМВ-последовательнос-тей с периодом N = 2пк - 1 [10, 13], основанный на матричном представлении базисной М-последова-тельности с аналогичным периодом. При использовании данного алгоритма для формирования каждой ГМВ-последовательности базисная М-последо-вательность представляется в виде квазиквадратной матрицы, в которой затем выполняется замена столбцов, являющихся различными циклическими сдвигами М-последовательности с более коротким периодом ] = 2" - 1, на соответствующие сдвиги другой М-последовательности с таким же периодом.
Например, ГМВ-последовательность с периодом N = 26 - 1 = 63 формируются над полем СР[(23)2]. При
ГМВ-последовательности с периодом N = 63 представляют собой сумму М-последовательностей и ПСП с периодом N1 = 21 и формируются на основе двух регистров сдвига с фиксированными начальными состояниями. При изменении начальных состояний регистров сдвига может быть увеличено число последовательностей, формируемых на основе данных многочленов-сомножителей [17]. Платой за это увеличение числа ПСП является изменение корреляционных свойств, т. е. периодическая корреляционная функция таких последовательностей для периода N = 63 становится пятиуровневой:
п(т) _ ( К пРи т: й(т)_ 1(_9, _1, +7,
N при т _ кЫ, к _ 0,1,2, ...,
+15) при т Ф kN.
(5)
Однако модуль максимального значения корреляционной функции, равный 15, меньше аналогичного значения для последовательностей Голда, равного 17.
Таким образом, последовательности, формируемые на основе многочленов, используемых для синтеза ГМВ-последовательностей, но характеризующиеся функцией корреляции вида (5), определяемой увеличением числа начальных состояний регистров сдвига, целесообразно называть ГМВ-подобными последовательностями.
Целью настоящей работы является анализ возможностей применения ГМВ-подобных последовательностей для решения задач, связанных с расширением спектра формируемых на их основе широкополосных сигналов, а также с повышением скрытности передаваемых данных, с одной стороны, и (или) с повышением достоверности передачи информации, с другой стороны.
Для решения этих связанных между собою задач в работе предлагается использовать двойственный базис [16, 17]. При этом для формирования ГМВ-последовательностей с периодом N = 63 используются алгоритмы, основанные на представлении двоичной базисной М-последовательности в виде матрицы размерности [] х Ь] = [7 х 9], где ] - число строк, а Ь - число столбцов матрицы ймп [10]. Формирование базисной М-последовательности осуществляется регистром сдвига, сумматоры в цепи обратной связи которого расставляются в соответствии с характеристическим многочленом фмп(х) = х6 + х + 1.
Обозначим в общем виде М-последовательность:
{5} = 5^ 52, 54, 55, 56,. .., 560, 561, 5^), (6)
где первый элемент будет равен функции след от некоторого элемента С расширенного поля СР(26), образованного многочленом фмп(х).
Тогда произвольный двоичный элемент 5/, / = 0, 1, 2, ..., 61, 62, последовательности {5} может быть представлен как след:
т-1
5, = Г(Се') = £ (Се')2', (7)
л=о
где е - примитивный элемент поля СР(26); т - степень многочлена фмп(х).
Таким образом, начальным элементом, формирующим М-последовательность {5}, является элемент поля С. Будем называть его в дальнейшем начальной фазой М-последовательности. Для формирования такой ненулевой последовательности может быть выбран произвольный ненулевой элемент поля.
Если выбрать С = 1, то будет сформирована каноническая М-последовательность вида:
{5}= [7X1), 7Хе), Пе2), Пе3), Пе4),
Г(е5)......Г(е61), Г(е62)].
Применительно к полю СР(26) произвольный элемент поля е', представленный ч ерез левый степенной базис, будет:
е' = а0 + а1е + а2е2 + а3е3 + а4е4 + а5е5.
При этом можно показать, что след элемента поля е' для заданного образующего многочлена фмп(х) будет равен Т(е') = 05 £ GF(2). Следовательно, каноническая М-последовательность {5кан} будет записана выражением (8).
Аналогично, при другой ненулевой начальной фазе С * 1 будет иметь место такая же по структуре последовательность, но с циклическим сдвигом фазы влево относительно канонической М-последова-тельности на число шагов, равное индексу (степени) / при элементе поля е в значении начальной фазы последовательности С = е''. Например, пусть С = е, тогда М-последовательность будет представлена выражением (9). Первым шагом при формировании ГМВ- или ГМВ-подобной последовательности на передающей стороне является составление матрицы Дмп из заданной М-последовательности.
Так как период МП N = 63 является составным, а именно: N = ] х Ь, где ] = 7, а Ь = 9, то матрица £мп синтезируется путем последовательной построчной записи символов сформированной М-последо-вательности по Ь двоичных символов в каждой из] строк. Следует отметить, что в общем виде сомножитель ] должен представлять собою порядок мультипликативной группы ненулевых элементов подполя СР(2") в составе расширенного поля СР(2т) и, следовательно, число п должно быть делителем числа т. В нашем примере число п = 3 является делителем числа т = 6 и поэтому ] = 2п - 1 = 7. Тогда матрица £мп, образованная из элементов МП {5}, будет иметь для N = 63 следующий вид, представленный выражением (10).
{5кан} [о {^кан} =
51 ^2 ^ 54 ^5 ^6 57 58 59 510 560 561
о о о о 1 о оо о 1 1 1
51 52 5з 54 55 56 57 58 59 510 560 561
о о о 1 о о оо 1 1 1 1
"5о 51 52 5з 54 55 56 57 58 -
59 510 5ц 512 513 514 515 516 517
518 519 520 521 522 523 524 ^25 ^26
^МП = 527 528 529 530 531 532 533 534 ^35
^36 537 538 539 540 541 542 543 544
^45 546 547 548 549 ^50 ^51 ^52 ^53
-554 555 556 557 558 559 560 561 562-
11562]
о г
(8) (9)
(10)
Если принять, что С = е, то элемент б/, / = 0, 1, 2, ..., 61, 62, матрицы (10) будет определяться как след от элемента поля Се = е/+1, т. е. б/ = Т(Се/) = Г(е/+1) = а5, где а5 - старший разряд в векторном представлении элемента поля е/+1. Тогда матрица (10) при С = е приобретает следующий вид:
^МП —
0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 1 0 1 0
0 1 1 1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 1 1 1 1 0-
(11)
Таким образом, как видно из (10), каждый /-ый столбец (/ = 0, 1, 2, ..., 8) матрицы £мп представляется в общем виде как выражение:
[51, 51 + 9> 51 + 18> 51+27> 51+36> 51+45> 51+54]-
(12)
Из записи (12) следует, что столбцы матрицы £мп представляют собой последовательности из 7 элементов базисной М-последовательности, отстоящие друг от друга на индекс децимации д = 9. Очевидно, что, добавив к ряду (12) следующий элемент с таким же индексом децимации, получим б/ + 54 + 9 = б/ + 63 = б/. Следовательно, каждый из столбцов матрицы £мп будет представлять собой определенную МП1, т. е. последовательность с периодом ] = 23 - 1 = 7, порождаемую некоторым неприводимым характеристическим многочленом Й1(х) степени п = 3. Как известно из теории полей Галуа, корнями многочлена Й1(х) в этом случае будут д-ые (д = 9 - индекс децимации) степени корней примитивного многочлена фмп(х), порождающего исходную базисную МП и поле СР(26). Пусть корнями многочлена фмп(х) будут первообразные р-сопряженные элементы поля е, е2, е4, е8, е16, е32. Тогда корнями многочлена Й1(х) будут их д-ые (д = 9) степени, а именно е9, е18, е36. Отсюда, зная корни многочлена Й1(х) и используя формулы Виета, найдем многочлен Й1(х), который будет равен:
Й1(х) = 1 + х2 + х3.
(13)
Тогда столбцы матрицы ^мп будут представлять собой МП1 с характеристическим многочленом Й1(х), при этом каждой из девяти МП1 будет соответствовать определенная фаза в виде элемента Я', принадлежащего подполю Ср1(23), порожденному многочленом (13). Ненулевые элементы Я = Ьо + Ь1Я + Ь2Я2, / = 0, 1, 2, ..., 6, подполя Ср1(23) и их векторная запись показаны в таблице 1. В правой колонке представлена каноническая МП1 с начальным фазовым элементом поля, равным 1. Из таблицы 1 следует, что начальные фазовые элементы столбцов матрицы Дмп (11) будут иметь вид, приведенный в таблице 2. На этом заканчивается процедура построения матрицы Дмп (11).
Далее рассмотрим некоторые алгоритмы преобразования матрицы Дмп в матрицу £Гмв, отображаю-
щую ГМВ-последовательность. Для такого преобразования можно выбрать разные правила - от самых простых до самых сложных, к тому же алгоритмы, с целью большего сокрытия процесса передачи информации, могут быть итеративными, т. е. состоять из нескольких раундов. В самих алгоритмах могут быть заложены элементы секретности, которые должны быть известны только отправителю и получателю. В конечном счете, выбор алгоритма влияет на структуру и на процедуру обработки на приеме ГМВ- и ГМВ-подобных последовательностей.
В большинстве известных алгоритмов процесс формирования матрицы £Гмв заключается в замене столбцов матрицы £мп, т. е. МШ с характеристическим многочленом Й1(х) на МШ с многочленом Й2(х), двойственным по отношению к Й1(х):
Й2(х) = х3Й1(х-1) = 1 + х + х3.
(14)
Так как многочлен Й2(х) является двойственным по отношению к многочлену Й1(х), то его корнями будут элементы, обратные корням многочлена Й1(х), т. е. 0 = Я-1, 02 = Я-2 и 04 = Я-4. Все ненулевые элементы 0 = Со + с110 + сС202 подполя Ср2(23), образованного многочленом Й2(х), и соответствующие им функции след и вектора представлены в таблице 3. Как и в таблице 2, в колонке «След элемента 0'» находится каноническая МШ с периодом 7, порожденная многочленом Й2(х), а в правой колонке приведено соответствие между элементами обоих подполей Ср1(23) и Ср2(23), образованных многочленами Й1(х) и Й2(х), соответственно.
проведем анализ некоторых алгоритмов формирования матрицы £Гмв на основе матрицы £мп и обработки ГМВ- и ГМВ-подобных последовательностей на приемной стороне с использованием двойственного базиса по методике, изложенной в [16, 17]. Коэффициенты двойственного базиса для рассматриваемых в работе многочленов фмп(х), Й1(х) и Й2(х), представлены в таблице 4.
ТАБЛИЦА 1. Ненулевые элементы подполя Ср1(23)
Я' = Ьо + ЬЯ + ЬгЯ2 (Ьо, Ьг, Ь2) Т(Я') = Ьо+Ь1+Ь2, шоа 2
Я0 = 1 (100) 1 = Т(1)
Я (010) 1 = Т(Я)
Я2 (001) 1 = Т(Я2)
Я3 = 1 + Я2 (101) о = Т(Я3)
Я4 = 1 + Я + Я2 (111) 1 = Т(Я4)
Я5 = 1 + Я (110) о = Т(Я5)
Я6 = Я + Я2 (011) о = Т(Я6)
ТАБЛИЦА 2. Начальные фазовые элементы столбцов матрицы Рмп
Номер столбца/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Начальный фазовый элемент поля, Я1(/) = Я Я3 Я6 Я5 Я5 Я2 Я3 Я5 Я3 о
первая строка матрицы Рмп о о о о 1 о о о о
ТАБЛИЦА 3. Ненулевые элементы подполя Ср2(23).
0 = У + ¿10 + d202 (Уо, ¿1, ¿2) Т(0/) = ¿0 6 СР(2) 0/ У5 Я
00 = 1 (100) 1 = Т(1) 00 = Я0 = 1
0 (010) 0 = Т(0) 0 = я-1 = Я6
02 (001) 0 = Т(02) 02 = Я-2 = Я5
03 = 1 + 0 (110) 1 = Т(03) 03 = Я-3 = Я4
04 = 0 + 02 (011) 0 = Т(04) 04 = Я-4 = Я3
05 = 1 + 0 + 02 (111) 1 = Т(05) 05 = Я-5 = Я2
06 = 1 + 02 (101) 1 = Т(06) 06 = я-6 = Я
ТАБЛИЦА 4. Коэффициенты двойственного базиса многочленов фмп(х), йЦх) и Й2(х)
фмп(х) = 1 + X + X6 а1 = £62 а2 = £4 а3 = £3 04 = £2 а5 = £ а6 = 1
Й1(х) = 1 + X2 + X3 У1 = Я4 У2 = Я3 У3 = Я5
Иг(х) = 1 + X + X3 в1 = 1 в2 = 02 в3 = 0
Алгоритм № 1. Рассмотрим алгоритм, аналогичный описанному в [10]. Произвольно выберем МП1, например, (0011101), присвоим ей номер 1 и обозначим как V (1). Далее производим последовательные циклические сдвиги выбранной последовательности на один шаг вправо и увеличиваем номер последовательности на каждом сдвиге на единицу относительно предыдущего. В таблице 5 представлены все 7 ненулевых МП1 v(/) с номерами /, / = 1, 2, ..., 7, и соответствующими начальными фазовыми элементами Я' подполя СР1(23). Произвольно выберем в качестве МП2 с номером 1 последовательность и(1) = = (0010111), аналогично алгоритму 1, и, производя циклические сдвиги вправо на один шаг, получим все возможные ненулевые циклические сдвиги МП2, показанные в правой половине таблицы 5, с возрастающими порядковыми номерами. В правой колонке содержатся их начальные фазовые элементы 0' подполя СР2(23), соответствующие МП2.
ТАБЛИЦА 5. Таблица соответствия МП1 и МП2 для формирования ГМВ-подобной последовательности
Номер сдвига / МП1 МП2.
v(i) Я' 0'
1 (0011101) Я5 (0010111) 0
2 (1001110) Я4 (1001011) 1
3 (0100111) Я3 (1100101) 06
4 (1010011) Я2 (1110010) 05
5 (1101001) Я (0111001) 04
6 (1110100) 1 (1011100) 03
7 (0111010) Я6 (0101110) 02
Сформулируем теперь правило построения матрицы Дгмв, которое будет состоять в замене столбцов матрицы Дмп, представляющих собой МП1 с определенными начальными фазовыми элементами Я', на МП2 с теми же порядковыми номерами. Для рассматриваемой в конкретном примере матрицы Дмп (11) и таблицы 5 правило замены можно записать в виде строки из номеров соответствующих фазовых сдвигов:
где цифра 0 соответствует столбцу, состоящему из одних нулей.
Согласно этому правилу первый столбец в матрице Дмп в виде МП1 с номером 3 заменяется на МП2 с таким же номером. Аналогичным образом происходит замена и других столбцов в матрице Дмп. Таким образом, вместо матрицы Дмп будет сформирована матрица Дгмв вида (16). ГМВ-последователь-ность, передаваемая в канал, будет состоять из последовательно считываемых строк матрицы Дгмв, начиная с левого элемента первой строки:
-1 0001101 0110011010 001110100
гГМВ —
(16)
На рисунке 1 приведены автокорреляционная функция (АКФ) ГМВ-подобной последовательности, сформированной по таблице 5, и ее взаимокорреляционная функция (ВКФ) с последовательностью, сформированной по другой аналогичной таблице. Для определения АКФ и ВКФ ГМВ-после-довательности приводятся к биполярному виду: «1» ^ «-1»; «0» ^ «1».
Обработка (декодирование) ГМВ-последователь-ности на приеме. Будем считать, что на приемной стороне стоит задача определить информацию, закодированную начальным фазовым элементом С6 СР(26) исходной МП, формируемой многочленом фмп(х). Для решения этой задачи в данном алгоритме получателю на приемной стороне сообщаются начальные фазовые элементы Я МП1 и 0 МП2 с номерами 1, что позволяет получателю сгенерировать последовательности МП1 и МП2 и соответствующие им номера. Это позволит по столбцам матрицы Дгмв, сформированной на приеме, определить правило замены столбцов (15). Рассмотрим теперь пошаговую процедуру декодирования.
Шаг 1. Как сказано выше, из принятой ГМВ-по-следовательности формируют матрицу Дгмв, которая, при отсутствии ошибок, будет иметь такой же вид, как и (16).
Шаг 2. По 3-элементным участкам МП2 каждого столбца матрицы Дгмв с помощью двойственного базиса многочлена h2(x) (таблица 4) находятся начальные фазовые элементы 0(/) для каждого /-го столбца в отдельности. В предположении, что ошибок нет, начальные фазовые элементы 0(/) могут быть определены по любому 3-элементному участку для каждого столбца, представляющего в общем виде 7-разрядную комбинацию (и0, и\, И2, wз, И4, И5, И6).
Так, для участка (и/, и/+1, и/+2), / = 0, 1, 2, ..., 6 замкнутой в кольцо МП2, начальный элемент 0(/) /-го столбца матрицы Дгмв будет определяться как:
I = (3, 7, 1, 1, 4, 3, 1, 3, 0),
(15)
90') = (Р^ + р2И^+1 + РэИ^+2).
(17)
пвкф(гмвп)
40
г)
Рис. 1. Корреляционные свойства ГМВ-подобных последовательностей (16): а) периодическая АКФ б) апериодическая АКФ;
в) периодическая ВКФ; г) апериодическая ВКФ
По выделенным участкам (и, и^и, и,+2) находим:
- для 1-го столбца (/ = 1) по участку (ио, иг, И2) = (1, 1, 0), 0(1) = 01 + 02 = 1 + 02 = 06;
- для 2-го столбца (/ = 2) по участку (иг, И2, из) = (1, 0, 1), 0(2) = 0-1(вг + вз) = 02;
- для 3-го столбца (/ = 3) по участку (и2, из, и4) = (1, 0, 1), 0(3) = 0-2(01 + вз) = 0.
Аналогично находим начальные фазовые элементы для всех 9 столбцов, которые образуют следующую строку начальных фазовых элементов столбцов матрицы йтмв:
(06, 02, 0, 0, 05, 06, 0), (18)
а по этим начальным фазовым элементам будет, в соответствии с таблицей 5, определено и само правило замены (15) - секретное ключевое слово I.
Легко проверить, что такие же начальные фазовые элементы будут получены благодаря мажори-
тарному принятию решения, если в столбцах возникнут однократные ошибки или парные ошибки в смежных позициях столбца. Например, 5-ый столбец содержит две ошибки в подчеркнутых позициях и2 и из, т. е. имеет вид:
(и0, м/1( и2, Из, и4, и5, и6) = (1,1,0,1,0,1,0).
Вычислим с использованием двойственного базиса начальные фазовые элементы по всем з-эле-ментным участкам замкнутого в кольцо 5-го столбца (/ = 5):
/ = 0; (и0, и1, м^) = (1,1, 0) 0(5) = в1 + в2 = 1 + 02 = 06;
/ = 1; (и1, И2, и3) = (1,0,1) 0(5) = 0-1(р1 + р3) = 0-1(1 + 0) = 02;
/ = 2; (и2, и3, и4) = (0,1,0) 0(5) = 0-2в2 = 0-202 = 1;
/ = з; (из, И4, и5) = (1,0,1) 0(5) = 0-3(в1 + в3) = 0-303 = 1;
/ = 4; (И4, и5, Иб) = (0,1, 0) 0(5) = 0-4в2 = 0-402 = 05;
/ = 5; (и5, Иб, Ио) = (1,0,1) 0(5) = 0-5(в1 + вз) = 0-5(1 + 0) = 05;
/ = 6; (и6, и0, и1) = (0,1,1) 0(5) = 0-6 (в2 + вз) = 0-6(02 + 0) = 05.
По большинству одинаковых оценок начальный фазовый элемент 5-го столбца при двух смежных ошибках, как видно из (18), будет определен правильно, т. е. 0(5) = 05.
Шаг 3. По цифрам полученного ключевого слова, имеющего вид (15), находим соответствующие этим цифрам (см. таблицу 5) начальные элементы Я(/) столбцов матрицы Дмп. Беря след от элементов
Л(/), получим первую строку матрицы в двоичном виде (см. таблицу 2).
Шаг 4. Наконец, используя двойственный базис многочлена фмп(х) (см. таблицу 4), по 6-элементным участкам найдем начальный элемент C£ GF(26), формирующий исходную МП и представляющий переданную закодированную информацию. Пусть, например, выделен безошибочный участок сформированной на приеме первой строки матрицы £Мп: (s2, s3, s4, s5, s6, s7) = (001000). Вычисленный по этому участку начальный фазовый элемент С М-после-довательности будет: C = е-2аз = е-2е3 = е.
Таким образом, начальный фазовый элемент C = е М-последовательности декодирован правильно, т. е. переданная информация в виде двоичной комбинации будет иметь вид (010000).
Эта информация может представлять собой определенный секрет для получателя. Например, это может быть начальная фаза скремблера, обеспечивающего рандомизацию передаваемых данных М-последовательностью с периодом N = 26 - 1, или некоторый идентификатор адреса получателя или отправителя и др.
Очевидно, что достоверность выделения начального фазового элемента С может быть увеличена путем восстановления на приеме всей матрицы £мп с последующим формированием базисной М-после-довательности и применения мажоритарного декодирования 6-элементных ее участков с использованием двойственного базиса. Для определения вероятностных характеристик рассмотренных методов декодирования ГМВ-подобных последовательностей было произведено имитационное моделирование по методу Монте-Карло с использованием системы математических вычислений GNU/Octave. Была построена классическая модель системы передачи данных. Для формирования потока ошибок была использована модель цифрового двоично-симметричного канала без памяти.
Декодирование передаваемых по модели системы передачи данных ГМВ-подобных последовательностей по мажоритарному методу на основе двойственного базиса допускает три возможных исхода:
- правильное декодирование, когда результат на выходе декодера совпадает с начальными элементами передаваемой последовательности;
- неправильное декодирование, которое возникает при несовпадении начальных элементов;
- отказ от декодирования, когда декодер не может однозначно определить результат декодирования, т. е. обнаруженная неисправляемая ошибка.
Соответствующие оценочные значения вероятностных характеристик обозначаются Рпд, Рид, Род.
Поскольку декодирование по рассмотренному алгоритму проводится в два этапа: вначале декодируются 7-элементные М-последовательности (столбцы матрицы Ргмв (16), а потом производится поиск начального фазового элемента исходной М-
последовательности длиной 63, то отказ от декодирования может произойти на каждом из этапов. При отказе от декодирования 7-элементной последовательности она помечается как стертая. Далее производится проверка возможности определения начального элемента С исходной 63-элементной М-последовательности. В том случае, если он не может быть рассчитан, фиксируется отказ от декодирования.
При более надежном мажоритарном декодировании исходной М-последовательности по 6-эле-ментным участкам отказом от декодирования в рассматриваемом алгоритме будет считаться отказ декодирования хотя бы одной 7-элементной М-по-следовательности.
Графики вероятностных характеристик рассмотренных алгоритмов приведены на рисунке 2. Рисунок 2 а содержит вероятностные характеристики простого алгоритма декодирования с определением начального элемента исходной М-последова-тельности по одному 6-элементному участку, а рисунок 2б - вероятностные характеристики усиленного алгоритма с мажоритарным декодированием замкнутой в кольцо исходной последовательности.
а)
10°
10-1 .
Ю-2
10"3 ■;
ю4
0.001 0.01 0.1 б)
Рис. 2. Вероятностные характеристики алгоритма декодирования ГМВ-подобных последовательностей
Как видно из представленных графиков, мажоритарное декодирование исходной М-последователь-ности позволяет значительно увеличить вероятность правильного определения начального фазового элемента и на два порядка уменьшить долю неправильно декодированных последовательностей.
Рассмотрим еще один вариант, который позволяет в несколько раз увеличить долю информации, содержащейся в ГМВ- или в ГМВ-подобных последовательностях длиной 63. При этом возможны два алгоритма - мультипликативный и аддитивный. Мультипликативный (пошаговый) алгоритм.
Передающая сторона.
Шаг 1а. Формируется матрица Дмп. Например, при той же начальной фазе С = е матрица Дмп будет иметь вид (11). Тогда столбцами этой матрицы будут МП1 с начальными элементами Я(/), представленными в таблице 2. Для передачи информации в этом алгоритме будут задействованы первые 8 (кроме 9-го нулевого) начальных элементов Я(/).
Шаг 2а. На следующем шаге алгоритма задается строка из 8 информационных элементов Яи(/), / = 0, 1, ..., 7, принадлежащих полю СР(23), порожденному примитивным многочленом Й1(х). Пусть эти инфор-мационные элементы будут:
(Я2, Я5, Я, 1, Я3, Я3, Я4, Я5). (19)
Шаг 3а. Далее эти элементы перемножаются по mod Й1(х) с соответствующими начальными элементами Я(/) первых 8 столбцов матрицы Дмп (см. таблицу 2). В результате перемножения в таблице 6 будет получена строка из 8 новых элементов Я(/) поля GF(23), образованного примитивным многочленом Й1(х) , и соответствующих им двоичных векторов (Ьо, Й1, Й2).
Шаг 4а. На следующем шаге находятся по таблице 3 соответствующие векторам (Ьо, Ь\, Ь2) элементы изоморфного поля СР(23) с порождающим многочленом Й2(х) (см. таблицу 6).
Шаг 5а. По полученным элементам 0у, как начальным фазовым элементам, формируются первые 8 столбцов матрицы Дгмв, которая в виде МП2-после-
довательностей, с учетом 9-го нулевого столбца, примет вид (20).
1 1 0 1 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 0
1 0 1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 0 1 1 0
0 1 0 0 0 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 0 1 0
ТАБЛИЦА 6. Замена элементов К на 0Y
Номер столбца 1 2 3 4 5 6 7 8
Начальные фазовые элементы поля, Л^ Л5 Л4 Л6 Л5 Л5 Л6 Л2 Л
Векторная запись элементов Л^ 110 111 011 110 110 011 001 010
Соответствующие элементы 6Y mod h2(x) 63 65 64 63 63 64 62 6
Приемная сторона.
Декодирование ГМВ- или ГМВ-подобных последовательностей и извлечение из них информации на приеме осуществляется в обратном порядке по следующим шагам.
Шаг 1б. Используя коэффициенты двойственного базиса, соответствующего многочлену Й2(х) (см. таблицу 4), для каждого замкнутого в кольцо столбца (кроме 9-го) принятой матрицы Дгмв по смежным 3-элементным участкам находятся по мажоритарному принципу начальные фазовые элементы 0у. Пусть первый столбец принятой матрицы Дгмв с ошибкой в подчеркнутом элементе wз будет следующий:
(и0, м/1( и2, и3и4, и7) = (1,0,1,_0,1,0,0).
Проведя обработку двойственным базисом 3-элементных участков wi+l, Wi+2) выделенного и замкнутого в кольцо первого сто лбца принятой матрицы Дгмв, получим следующие результаты:
= 0; Оо w1 W2) = (1,0,1); 0Y = Pi + вз = 1 + 0 = 03;
= 1; (Wi W2 W3) = (0,1,0); 0Y = 0-1(p2) = 0-1 -02 = 0;
= 2; (W2 W3 W4) = (1,0,1); 0Y = 0-2 (P1 + P3) = 0-203 = 0;
= 3; fe w4 W5) = (0,1,0); 0Y = 0-3 (p2) = 0-302 = 0-1 = 06
= 4; О4, w5 wO = (1,0,0); 0Y = 0-4в1 = 0-4 = 03;
= 5; Os w6 W0) = (0,0,1); 0Y = 0-5(в3) = 0-50 = 0-4 = 03;
=6; Об W0 Wi) = (0,1,0); 0Y = 0-6(в2) = 0-602 = 0-4 = 03
Несмотря на наличие однократной ошибки в первом столбце принятой матрицы Дгмв, в результате обработки двойственным базисом по мажоритарному принципу был правильно выделен в качестве начальной фазы элемент 03. Таким образом, в предположении, что в каждом столбце матрицы Дгмв не было ошибок или было не более одной ошибки или одной двукратной ошибки в паре смежных элементов, декодер правильно выделит начальные фазы 0у всех восьми ненулевых столбцов матрицы
Дгмв и соответствующие им вектора (с/о, /1, с/2), представ ленные в таблице 6.
Шаг 2б. Далее, в соответствии с полученными на предыдущем шаге двоичными векторами, будут определены 8 элементов Я (см. таблицу 6).
Шаг 3б. Декодер по известному только отправителю и получателю начальному фазовому элементу С 6 СР(26), аналогично кодеру, формирует начальные фазовые элементы Я матрицы Дмп, а именно:
(Я3, Я6, Я5, Я5, Я2, Я3, Я5, Я3). (21)
Шаг 4б. На следующем шаге производится деление по mod ht(x) выделенных из матрицы F™b элементов X(/), показанных в таблице 6, на соответствующие элементы X(/), являющиеся начальными фазовыми элементами /-ых столбцов матрицы Рмп (21). В результате будут получены элементы (19), которые и будут являться информационными. Записав эти информационные элементы соответствующими двоичными векторами (см. таблицу 1), выделенная информация будет иметь вид:
{001 110 010 100 101 101 111 110}.
Значит, в принятой ГМВ- или в ГМВ-подобной последовательности длиной 63 двоичных элемента содержится 24 информационных бита, что соответствует относительной скорости передачи данных 0,38. Если же 9-ый нулевой столбец матрицы (15) не передавать (с его восстановлением на приеме), то скорость передачи данных по каналу возрастет до 0,42.
Оценим ожидаемую достоверность передачи данных с помощью ГМВ- или ГМВ-подобной последовательности по двоичному симметричному каналу с битовой вероятностью ошибки p0 = 10-2. Так как в рассматриваемом примере информация содержится в 8 столбцах ГМВ-матрицы (20), то вероятность гарантированного правильного декодирования информации будет определяться вероятностью того, что в каждом из 8 столбцов будет только одна ошибка, или две ошибки в смежных элементах, или ошибки будут отсутствовать. В этом случае вычисленная вероятность Q правильного выделения одного столбца с учетом 7 смежных парных ошибок в столбце будет равна:
Q = (1 - Ро)7 + С1ро(1 - Ро)6 + 7pg(l - Ро)5 = 0,99856.
Исходя из этого, вероятность правильного декодирования с использованием двойственного базиса всех 8 столбцов ГМВ-матрицы и, следовательно, всех 24 информационных бита, будет равна:
QB = (0,99856)8 = 0,9885.
Тогда вероятность ошибочного декодирования хотя бы одного элемента X' будет равна:
РНПД = 1 - 0,9885 = 1,14 • 10-2.
Повысить достоверность дополнительно можно благодаря применению децимаций [16] при обработке МП2. Вероятностные характеристики при использовании мультипликативного алгоритма приведены на рисунке 3. Первый случай (рисунок 3а) относится к независимому декодированию отдельного информационного элемента X'. Во втором случае (рисунок 3б) приведены вероятностные характеристики декодирования всей 24-разрядной информационной последовательности. Из графиков видно, что использование децимаций позволяет значительно уменьшить вероятность неправильного декодирования ценой небольшого уменьшения доли правильно декодированных комбинаций.
Аддитивный алгоритм
При аддитивном алгоритме ожидается более простая реализация, т. к. использовано двоичное сложение векторов вместо умножения элементов поля.
Передающая сторона (кодирование).
Шаг 1в. Первый шаг аддитивного алгоритма не отличается от мультипликативного, т. е., при той же начальной фазе C = е формируется матрица Рмп, имеющая вид (11).
Шаг 2в. На следующем шаге алгоритма задается строка из девяти информационных элементов Xu(j), j = 0, 1, ..., 8, принадлежащих полю GF(23), порожденному примитивным многочленом ht(x). Пусть первые восемь информационных элементов будут такими же, как и в мультипликативном алгоритме (19), к которым добавлен девятый элемент, например, X6.
Шаг 3в. Далее, двоичные вектора информационных элементов Xuj), j = 0, 1, ..., 8, поэлементно складываются по mod 2 с двоичными векторами, соответствующими элементам Xj), являющимися начальными фазовыми элементами j-ых столбцов матрицы Fwn (21). В результате по полученным двоичным векторам определяются начальные фазовые элементы 0j) mod h2(x) ГМВ-матрицы, как показано в таблице 7.
Шаг 4в. По полученным на шаге 3в начальным фазовым элементам 0(/) формируются, через функцию след, столбцы ГМВ-матрицы:
1 1 1 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 0 0 1 1
ТАБЛИЦА 7. Определение начальных фазовых элементов
Xu(j) X2 X5 X 1 X3 X3 X4 X5 X6
001 110 010 100 101 101 111 110 011
X(j) X3 X6 X5 X5 X2 X3 X5 X3 0
101 011 110 110 001 101 110 101 000
ей 100 101 100 010 100 000 001 011 011
е0 = 1 е6 е0 = 1 е е0 = 1 е6 е0 = 1 е е0 = 1
Приемная сторона (декодирование).
Шаг 1д. По семи элементным замкнутым в кольцо двоичным последовательностям каждого столбца принятой ГМВ-матрицы (17), используя двойственный базис многочлена Й2(х), находим начальные фазовые элементы 0(/) всех девяти столбцов, которые, при отсутствии ошибок или при наличии однократных или смежных двукратных ошибок в столбцах, будут иметь вид, представленный в последней строке таблицы 7.
кпд
10°
10'
f-j-:-;-;.....i--
L_L_
0.001
0.01
0,1
Po Pt
ид
10°
10'1 Ю-2 Ю-3 Ю-4
С децимациями-------------- „ T - - -
>= Е = § Е!= = § i = =!= ii= | = 5 i iii = ij iii'a 5 - - = '
i У ' /: •:
"E E E E EJE \ ll^/flll E|E = ЩммЩ!!
. X.-----. ' . --« - -
0.001
Без,
0.01
Ро
Ю-2
10
10"
11 111 111! 1:1 SI ШН111111111:1 i 11 ll^ffll 11111:1111
-:-r-:-:-:-;-----X'---yt--\
■ ■ • • ■ > • '= • ';! 'y ' ■
1iilliil|i 1 i! Mil II = = I [}! П11III
0.001
0.01
Po
P 0
а) б)
Рис. 3. Вероятностные характеристики при использовании мультипликативного алгоритма: а) декодирование отдельного информационного элемента X' (3 двоичных разряда); б) общая 24-разрядная информационная последовательность
Шаг 2д. Полученные на шаге 1д начальные фазовые элементы 0(//) столбцов ГМВ-матрицы (17) в виде векторов складываются поэлементно по mod 2 с двоичными векторами, соответствующими элементам Я(/), являющимися начальными фазовыми элементами /-ых столбцов матрицы FMn (16), сформированной на приемной стороне из исходной М-последовательности по известному получателю начальному фазовому элементу C 6 GF(26). В результате будет получена информационная двоичная последовательность.
Сравнивая оба алгоритма, следует отметить, что скорость передачи данных у аддитивного алгоритма осталась такой же, как у мультипликативного при некотором снижении достоверности, которая, при той же вероятности ошибки в двоично-симметричного канале po = 10-2, составит без учета децимаций величину Q9 = (0,99856)9 = 0,987.
Выводы
В статье предложен новый вид псевдослучайных последовательностей - ГМВ-подобные последовательности. Они отличаются тем, что за счет изменения корреляционных характеристик, обеспечивают более высокую структурную скрытность по сравнению с классическими последовательностями ГМВ с двухуровневой периодической автокорреляционной функцией. Кроме того, за счет применения двойственного базиса при обработке таких последовательностей может быть существенно увеличено их количество и расширен диапазон скоростей передачи данных.
Применение ГМВ- и ГМВ-подобных последовательностей целесообразно как в существующих, так и в проектируемых широкополосных цифровых системах связи.
Список используемых источников
1. CDMA: прошлое, настоящее, будущее / под ред. Л.Е. Варакина и Ю.С. Шинакова. М.: МАС, 2003. 608 с.
2. Вишневский В.М., Ляхов А.И., Портной С.Л., Шахнович И.В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. М.: Техносфера, 2005. 592 с.
3. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Пер. с англ. М.: Вильямс, 2003. 1104 с.
4. Golomb S.W., Gong G. Signal Design for Good Correlation: For Wireless Communication, Criptography and Radar. Cambridge: Cambridge University Press, 2005. 438 p.
5. Golomb S.W. Two-valued sequences with perfect periodic autocorrelation // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 1992. Vol. 28. Iss. 2. PP. 383-386. D01:10.1109/7.144563
6. No J.S. Generalization of GMW Sequences and No Sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 1996. Vol. 42. Iss. 1. PP. 260-262.
7. Chung H., No J.S. Linear span of extended sequences and cascaded GMW sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 1999. Vol. 45. Iss. 6. PP. 2060-2065. D0I:10.1109/18.782136
8. Мешковский К.А., Кренгель Е.И. Генератор псевдослучайных последовательностей Гордона, Милза, Велча // Техника средств связи. Серия: Техника радиосвязи. 1979. № 3. С. 17-30.
9. Кренгель Е.И. О числе псевдослучайных последовательностей Гордона, Милза, Велча // Техника средств связи. Серия: Техника радиосвязи. 1979. № 3. С. 31-34.
10. Стародубцев В.Г. Алгоритм формирования последовательностей Гордона - Миллса - Велча // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2012. Т. 55. № 7. С. 5-9.
11. Tong L., Chen F., Hua J., Meng L., Zhou S. Correlation Analysis and Realization of Gordon-Mills-Welch Sequences in Advanced Design System // Information Technology Journal. 2011. Vol. 10. Iss. 4. PP. 908-913. D0I:10.3923/itj.2011.908.913
12. Стародубцев В.Г. Формирование пятеричных последовательностей Гордона - Миллса - Велча для систем передачи дискретной информации // Труды СПИИРАН. 2019. Т. 18. № 4. С. 912-948. D0I:10.15622/sp.2019.18.4.912-948
13. Юдачев С.С., Калмыков В.В. Ансамбли последовательностей GMW для систем с кодовым разделением каналов // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2012. №1. URL: http://elibrary.ru/item.asp?id=17650851 (дата обращения 13.09.2019).
14. Стародубцев В.Г. Формирование последовательностей Гордона-Миллса-Велча на основе регистров сдвига // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2015. Т. 58. № 6. С.451-457. D0I:10.17586/0021-3454-2015-58-6-451-457
15. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. Пер. с англ. / под ред. Р.Л. Добрушина и С.И. Самойленко. М.: Мир, 1976. 594 с.
16. Когновицкий О.С. Двойственный базис и его применение в телекоммуникациях. СПб.: Линк, 2009. 424 с.
17. Владимиров С.С., Когновицкий О.С. Обработка широкополосных последовательностей Гордона-Миллса-Велча с использованием двойственного базиса на основе двух регистров // Труды учебных заведений связи. 2019. Т. 5. № 2. С. 49-58. D0I:10.31854/1813-324X-2019-5-2-49-58
18. Владимиров С.С., Когновицкий О.С. Малое множество последовательностей Касами и их декодирование на основе двойственного базиса // Труды учебных заведений связи. 2018. Т. 4. № 1. С. 22-31. D0I:10.31854/1813-324x-2018-1-22-31
* * *
FORMATION AND PROCESSING OF GMW-SIMILAR
SEQUENCES BASED ON THE DUAL BASIS IN DIGITAL INFORMATION TRANSFER SYSTEMS
S. Vladimirov1 В, O. Kognovitsky1, V. Starodubtsev2 3
JThe Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. Petersburg, 193232, Russian Federation 2Mozhaisky Military Space Academy, St. Petersburg, 197198, Russian Federation
3Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, St. Petersburg, 197101, Russian Federation
Article info
The article was received 28th October 2019
For citation: Vladimirov S., Kognovitsky O., Starodubtsev V. Formation and Processing of GMW-Similar Sequences Based on the Dual Basis in Digital Information Transfer Systems. Proceedings of Telecommunication Universities. 2019;5(4):16-27. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2019-5-4-16-27
Abstract: Algorithms for processing and determining, using a dual basis, the initial states of shift registers that form sequences similar to Gordon-Mills-Welch (GMW) sequences, which are characterized by their large number and higher structural secrecy comparing with the widely used M-sequences, are presented. It is shown that the proposed algorithms, unlike the known ones, make it possible to determine arbitrary initial states of shift registers and produce encoding of useful information, which expands the possibilities of using GMW-like sequences to solve various problems in the transmission of digital information in communication systems under electronic countermeasures.
Keywords: Gordon - Mills - Welch sequences, equivalent linear complexity, finite fields, primitive and irreducible polynomials, trace function, decimation, dual basis, shift register with linear feedback.
References
1. CDMA: proshloe, nastoyashchee, budushchee [CDMA: Past, Present, Future] / edited by L.E. Varakin and Y.S. Shinakov. Moscow: MAS Publ.; 2003. 608 p. (in Russ.)
2. Vishnevskiy V.M., Lyahov A.I., Portnoy S.L., Shahnovich I.V. Shirokopolosnye besprovodnye seti peredachi informatcii [Broadband Wireless Data Transmission Network]. Moscow: Tekhnosfera Publ.; 2005. 592 p. (in Russ.)
3. Sklar B. Digital Communications: Fundamentals and Applications. New York: Prentice Hall; 2001. 1079 p.
4. Golomb S.W., Gong G. Signal Design for Good Correlation: For Wireless Communication, Criptography and Radar. Cambridge: Cambridge University Press; 2005. 438 p.
5. Golomb S.W. Two-valued sequences with perfect periodic autocorrelation. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 1992;28(2):383-386. Available from: https://doi.org/10.1109/7.144563
6. No J.-S. Generalization of GMW Sequences and No Sequences. IEEE Transactions on Information Theory. 1996;42(1):260-262.
7. Chung H., No J.S. Linear span of extended sequences and cascaded GMW sequences. IEEE Transactions on Information Theory. 1999;45(6):2060-2065. Available from: https://doi.org/10.1109/18.782136
8. Meshkovsky K.A., Krengel E.I. Generator psevdosluchaynih posledovatelnostey Gordona, Millsa, Velcha [Generator of Pseudo-Random Sequences of Gordon, Mills, Welch]. Tekhnika sredstv svyazi. Seriya: Tekhnika radiosvyazi. 1979;3:17-30. (in Russ.)
9. Krengel E.I. O chisle psevdosluchaynih posledovatelnostey Gordona, Millsa, Velcha [On the Number of Pseudo-Random Sequences of Gordon, Mills, Welch]. Tekhnika sredstv svyazi. Seriya: Tekhnika radiosvyazi. 1979;3:31-34. (in Russ.)
10. Starodubtsev V.G. Algoritm formirovaniya posledovatelnostej Gordona-Millsa-Velcha [The Algorithm of Formation of Gordon-Mills-Welch Sequences]. Journal of Instrument Engineering. 2012:55(7):5-9 (in Russ.)
11. Tong L., Chen F., Hua J., Meng L., Zhou S. Correlation Analysis and Realization of Gordon-Mills-Welch Sequences in Advanced Design System. Information Technology Journal. 2011;10(4):908-913. Available from: https://doi.org/10.3923/itj. 2011. 908.913
12. Starodubtsev V. G. Formation of Quinary Gordon-Mills-Welch Sequences for Discrete Information Transmission Systems. SPIIRAS Proceedings. 2019;18(4):912-948(in Russ.)
13. Yudachev S.S., Kalmykov V.V. Ensemble GMW sequences for systems with code channel separation. Science and Education of Bauman MSTU. 2012;1. (in Russ.) Available from: http://elibrary.ru/item.asp?id=17650851 [Accessed 13th September 2019]
14. Starodubtsev V.G. Generation of Gordon-Mills-Welch sequences on the base of shift registers. Journal of Instrument Engineering. 2015;58(6):451-457 (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.17586/0021-3454-2015-58-6-451-457
15. Peterson W.W., Weldon E.J. Error-correcting codes. Cambridge, Massachusetts and London: The MIT PRESS; 1972.
16. Kognovitsky O.S. Dvoistvennyibazis i ego primenenie v telekommunikatsiiakh [Dual Basis and Its Application in Telecommunications]. St. Petersburg: Link Publ.; 2009. 424 p. (in Russ.)
17. Vladimirov S., Kognovitsky O. Dual Basis Based Processing of Wideband Gordon-Mills-Welch Sequences Based on Two Linear Registers. Proceedings of Telecommunication Universities. 2019;5(2):49-58. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10. 31854/1813-324X-2019-5-2-49-58
18. Vladimirov S., Kognovitsky O. The Small Set of Kasami Sequences and their Decoding Based on the Dual Basis. Proceedings of Telecommunication Universities. 2018;4(1):22-31. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10. 31854/1813-324X-2018-1-22-31
