Схемы функционирования формальных нейронов в нейрокомпьютерных сетях как модели анализа множества решений системы булевых уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ва решений в выпуклый многогранник // Науч. тр 8. Хеллер И., Томпкинс Ч. Обобщение одной тео-

/ Моск. гос. ун-т леса. - 1995. - Вып. 269. - С. 88- ремы Данцига. В сб. "Линейные неравенства и

91. смежные вопросы. - М.: ИЛ, 1959.

СХЕМЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ФОРМАЛЬНЫХ НЕЙРОНОВ В НЕЙРОКОМПЬЮТЕРНЫХ СЕТЯХ КАК МОДЕЛИ АНАЛИЗА МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ УРАВНЕНИЙ

К.К. РЫБНИКОВ, докторант МГУЛа, к. ф-м. н.

Формальным нейроном называется элементарный процессор, используемый в узлах нейронной сети, определяющий схему работы нейрокомпьютера. Математическую модель формального нейрона можно представить уравнением

где >>- выходной сигнал нейрона; /^) -функция выходного блока нейрона; а. - постоянный коэффициент - вес і -го входа; х.

- і-й входной сигнал; а0 - начальное состояние нейрона; і = 1,2,3,...,п - номер входа нейрона; п - число входов [1,2].

Иллюстрацией к определению формального нейрона может служить следующая структурная схема:

Функция выходного блока, получившая в литературе название функции активации, может, вообще говоря, иметь любой вид в зависимости от особенностей конкретной задачи. Наиболее известны линейные, ступенчатые, линейные с насыщением, многопороговые и сигмоидные функции. Одним из наиболее часто встречающихся типов

функций активации является простая пороговая, то есть функция /(#), имеющая следующий вид:

\Ь, если g<0;

[с если g>0,

/(#) =

где Ь и с - некоторые постоянные. Как правило, выбираются случаи Ъ-~ 1; с = 1 или Ь = 0; с — 1.

В этом случае, очевидно, анализ схемы функционирования формального нейрона сводится к анализу структуры множества решений системы линейных неравенств вида

g <0 или # > 0,

где каждое неравенство порождается набором входных сигналов.

Построенный таким образом полиэдр, то есть множество решений системы линейных неравенств, дает полное представление

о работе формального нейрона.

Полиэдральный подход к моделированию узлов электронных схем может быть использован также при анализе двоичного преобразователя, работа которого описывается уравнением

)= у, (1)

где у - входной двоичный сигнал преобразователя, а х. - г -й входной двоичный сигнал; ¡ = 1,2,...,« - номер канала входа, х. =0 или 1; / - булева функция.

Общий вид подобного преобразователя иллюстрируется следующей схемой:

Как известно [3], булево уравнение (1) можно представить в следующем виде:

К^Кгч...чКг=0, (2)

где К. ; 7 = 1,2,...,г - конъюнкция, то есть К.=х°' &х°г

1 'I '2 11(1) ’

х = Хц ; х = х ;

‘к 'к ‘к

тематические модели узлов преобразования в электронных схемах. Более того, эквивалентные модели подобного типа, очевидно, могут быть построены по одной системе линейных неравенств.

Само же сведение задач к определению векторов д: (х7 - (х^х^.-^х)), удовлетворяющих условиям

Сх<(1, (4)

х. =0 или 1; у = 1,2,..., п,

(5)

<?к е {ОД};

е {1, 2,...,«}; к- 1, 2,..., I (у).

Ясно, что уравнение (1) удовлетворяется тогда и только тогда, когда все конъюнкции, входящие в представление (2), принимают значение 0.

Нетрудно заметить, что условие

К.=0

)

эквивалентно условию

а х +.Хх.., </(/)-

'I 'I '/(;) чО) V / >•' / ’

[ 1, если СГ = 1; . .

где а>, = г п С = 1’2’-<10).

' I -1 если сг =0;

а I (у) - число переменных, входящих в конъюнкцию К1 с отрицанием.

Отсюда ясно, что решение уравнения (1) может быть получено как решение соответствующей системы линейных неравенств, переменные в которой принимают значения 0 или 1. Это утверждение с помощью аналогичных рассуждений может быть распространено на задачу решения системы булевых уравнений

= У, 1 = 1,2,..., г. (3)

Сведение задачи решения системы булевых уравнений, описывающей работу двоичных преобразователей, и задачи анализа функциональной схемы формальных нейронов к определению целочисленных точек полиэдров говорит об общности этих двух задач, которые можно рассматривать как ма-

где С = |К1 ~ хп)-матрица, а

¿Г = - 5-мерный вектор, дает

возможность получить решения системы (3) с помощью методов бивалентного целочисленного программирования. Подобные методы получили название методов разделяющих плоскостей [4, 5, 6, 13. 14].

Несмотря на то, что такой подход позволяет сразу разработать новый класс универсальных методов решения систем булевых уравнений, вопрос о сложности их реализации до сих пор остается практически неизученным.

Такая ситуация возникла в связи с тем, что дискретное программирование сейчас не располагает какими-либо общими аналитическими оценками сложности методов бивалентного целочисленного программирования.

Разумеется, сложность рассматриваемых методов весьма высока, поскольку в общем виде задача (4)-(5) принадлежит к так называемым универсальным переборным задачам, для которых неизвестны какие-либо алгоритмы их решения, обладающие неэкспоненциальной (по 5 и п) сложностью.

Однако это не снижает актуальности задачи получения аналитических оценок сложности подобных методов, так как благодаря им можно выявлять системы булевых уравнений специального вида, входящие в область их эффективного применения.

В настоящей работе предлагается метод, для которого удается установить оценку его сложности.

Покрытие множества решений системы булевых уравнений многогранниками канонического типа

Методы бивалентного целочисленного программирования, как правило, наиболее удобно применять в том случае, когда поиск (ОД)-векторов, т. е. векторов, компоненты которых удовлетворяют условию (5), ведется не в полиэдре (4), а в множестве, определенном системой уравнений и неравенств вида

М(А,Ь) = {х | Ах = Ь, х > О},

где А - (тхп)-матрица, а Ь - т. -мерный вектор, заданные над полем действительных чисел, т. е. в многограннике канонического вида.

Предположим, что полиэдр М ’ (С,<1) = {х |Сх < Л} уже построен и множество его (ОД)-точек совпадает со множеством решений системы булевых уравнений С(х). В дальнейшем без ограничения общности рассуждений будем полагать, что М’(С,ё) - ограниченный полиэдр, так как мы всегда можем в систему неравенств, определяющих М*(С,й?), включить неравенства

п

= п ; х, >0, г = 1, 2.

/=!

Теорема 1. Пусть

рм4?,л.р!‘л....р!*;,у)). j = h2,...,qi

- вершины многогранника Р, в которых достигается решение задачи линейного программирования

Yd.Pl + кР,-

где Р = \Р = (сТ’еТ}рТ =еТ;

\е = (1Д..1) Рт> о

и /(М - множества всех номеров положительных компонент вершин

рм, 7 = 1,2,...,9,, то есть

1{кЛ=к i г }

1 СрЧ»’"» ‘

где р^] > 0; р™ > 0,..., > 0.

Тогда <7{(л:), где (х) - множество

решений х - (х1,х2,...,х1) системы (4) - (5),

удовлетворяющих условию ^ х = к, а

/-1

М(А(4),Ь(к)) - многогранник канонического вида; А(1) - (т, хп) - подматрица С, а Ь(к) -вектор, составленный из соответствующих компонент вектора с1:

м{А(1),Ь{к)) =

ti Чк

= lx = (xí,x2,...,x,ií^c¡jxj =d., ie [J/

Доказательство. Рассмотрим задачу линейного программирования следующего вида:

п

тах^х, (6)

/»I

где множество допустимых решений X определяется полиэдром

Cx<d, (7)

ы

Ясно, что GK(x) является подмножеством множества решений задачи (6)-(7).

Выпишем для задачи (6)-(7) двойственную задачу. Эта задача имеет вид

(8)

где множество допустимых решений Р определяется условиями:

{СТ,еТ)рТ =ет, рт > 0; (9)

p = (pl,p2,...,píU), e = (l,l,...,l) - вектор, все п компонент которого - единицы.

Пусть х' = (х‘,х‘,...,х*)г - решение

задачи (6)-(7), а р = (/?,*,p[,...,p]J - решение задачи (8)-(9).

Из соотношений (7) следует, что

(p\Wx)<^dlP' + крм,

/-I

ГСЛ , , .

, а (р ,Wx ) - скалярное произве-

где W

е

\ У

дение векторов р и \Ух . Но в силу свойств скалярного произведения и соотношения (9) выполняются следующие равенства:

(р',У?х) = {Штр‘,х) = Xх* ’

¡.I

что дает возможность, воспользовавшись основным соотношением теоремы двойственности [7], для нашего случая

т 1

+Ф*..

/яI /=|

получить соотношение (р\ИУ) = {#,/?’), где § = (й?|,^2,...,^д)г.

Следовательно,

(р’,£ -1У*’) = 0.

Рассмотрим вектор /г = § - И0г‘. Из условий (7) следует, что /г > 0. Поэтому ус-

тах

(Ю)

где множество допустимых решении определяется полиэдром

Сх < d0), %х.<к.

(11)

ловие

(P',h) = '£p‘hl= О

/■I

выполняется тогда и только тогда, когда р’к = 0 для всех i = 1,2,..., (s + 1) .

Если р] > 0, í ф s +1, то

к - (g - Wx) = d, - YjC/. = 0.

/=|

Проводя эти рассуждения для произвольного набора вершин многогранника Р, в которых достигается решение задачи (8)-(9), приходим к утверждению теоремы.

На основе теоремы можно построить конечное множество многогранника канонического типа, объединение которых включает в себя G(x). Алгоритм построения этих многогранников состоит из подготовительного этапа и конечного числа итераций.

Для простоты описания алгоритма будем полагать при этом, что при подстановке любого (ОД)-вектора Р в левую часть

любого неравенства (4) она принимает целое значение.

Подготовительный этап заключается в построении полиэдра M"(C,d). Далее по-

и

лагаем ^x.-k-, d{,) = d и переходим к pea-

М

лизации итерационного процесса.

Опишем произвольную г'-ю итерацию алгоритма. Перед началом итерации мы располагаем в качестве исходной информации

(5Хп)-матрицей C = j|cJ и s -мерным вектором d{>).

Построим задачу линейного программирования

Далее построим задачу линейного программирования, двойственную по отношению к задаче (10)-(11):

т;пЕ(<’^+^0- <12)

У»!

Определим все угловые ТОЧКИ р[к'п)ь множества допустимых решений Р, в которых достигается решение задачи (12). Если значение целевой функции при этом не равно к, то итерационный процесс закончен. В противном случае выполняются следующие операции. Пусть ; = 1,2,...,к - множество всех индексов

(у,^,,...^ .,), таких, что

к . ,

Множество индексов у/ ; опреде-

№

ляет номера неравенств в полиэдре М'(С,^), которым решение задачи Х‘ удовлетворяет как строгим равенствам, т. е.

скх1 +с12х2+... + с1пХп=с1у\

I е и /м.

У«|

Определив все элементы множества

к . .

индексов и/, , построим полиэдр

Cx<d(м\ %х.<к,

где df*'] =

если I е

;=1

((¿^ -1) - в противном случае.

(В этом случае, когда у задачи (12) нет решения, т. е. она не допустима, можно сделать вывод о том, что у системы (3) нет (0,1) - решения).

В соответствии с теоремой 1 в результате итерационного процесса мы полу-

к . .

ЧИМ множество у/, номеров неравенств,

>1

выполняющихся в системе (4) как точные неравенства при подстановке в нее решений системы уравнений (3), обладающих единичными компонентами.

Переходим далее к (г + 1)-й итерации. Число итераций, вообще говоря, может быть различным. Однако оно, очевидно, не превосходит величины тах(й?,-й?.т|п+1'), где

- минимальное значение, которое может принимать левая часть I -го неравенства системы (4) на множестве п -мерных (ОД)-векторов.

Применив алгоритм для всех случаев к = 1,2-1) - в двух случаях, когда к = 0, к = п возможное решение определяется однозначно и может быть сразу опробовано путем подстановки его в систему (4) - мы получим V < п -1 смешанных систем из равенств и неравенств. В этом случае, если будут определены все (ОД)-векторы, удовлетворяющие хотя бы одной из таких смешанных систем, то тем будут определены и все решения системы (3). При этом мы каждый раз можем, разумеется, находить все (ОД)-решения системы уравнений, а потом подставлять их в общую систему неравенств, проверяя, не будут ли они решениями системы (3).

Заметим, что число итераций, вообще говоря, может быть сокращено, поскольку, по существу, на каждой г-й итерации мы решаем параметрическую задачу линейного программирования (12) [8]:

т1пЕк<0+як+^,. (13)

7=1

полагая Я = 1 - г. Следуя Гассу, мы можем определить такие критические интервалы Я'< Я < Я', ¿ = 1,2,...,д, при выборе параметра Я внутри которых мы будем получать одни и те же решения задачи. Таким образом, мы можем рассчитывать на меньшее число итераций в алгоритме.

Выделив из всех смешанных систем подсистемы, состоящие из условий-равенств, мы получим набор многогранников канонического типа, объединение которых содержит все решения системы (3).

Процедура определения вершин представляет собой последовательное применение какого-либо алгоритма линейного программирования. На основе этого можно дать простую качественную оценку сложности реализации предполагаемого алгоритма Т0(С,й).

Теорема 2. Пусть на каждой итерации в процессе реализации алгоритма сведения системы неравенств (4) к набору смешанных систем из равенств и неравенств определяется не более д вершин многогранника, задача (12) с помощью метода линейного программирования, обладающего сложностью Ь(с,й). Тогда выполняется соотношение

Т0(С,с?)< (п-\)8Ь(с,с1)тах.((1. +1). (14)

Замечание. В том случае, если для определения вершин применяется симплекс-метод или его модификация, в силу экспоненциальной трудоемкости оценку ь(с,й) непосредственно дать представляется невозможным, хотя в соответствии с [9] экспериментальная оценка Ь(с, (1) близка к п2т.

В случае, если для определения вершин используется один из получивших известность в последнее время алгоритмов, можно воспользоваться известными оценками. При использовании известного алгоритма Л.Г. Хачияна [10] для величины Т0{С,й),

выраженной в элементарных операциях, справедливо соотношение

Т0 (С, г/ ) < к (п -1)5 (пр + 1)л'4 (л1 + лг)1п где к - некоторая константа, а

р = тах{|св|,|сГ|,п}, / = 1,2,...,*; ./ = 1,2,...,в.

Таким образом, в этом случае Т0(С,с1) -полином от п, 5,8, р.

Ясно, что оценка сложности алгоритма определения всех вершин многогранника М(А,Ь) ( в элементарных операциях) определяется размерами симплекс-таблицы и числом вершин к многогранника.

Можно показать, что оценка трудоемкости Т(А,Ь) этого этапа будет иметь вид

/г(/г + п2 +п-1)гшп(/г,и2), (15)

где к - число вершин многогранника

М (Доопределив же все вершины каждого из многогранников, можно определить все его (0,1) -точки.

Алгоритм построения всех (0,1)-точек многогранников покрытия для множества решений

Рассмотрим многогранник канонического вида М(А,Ь).

Пусть его вершины

у0,/',..., У0

уже определены.

Непосредственно из теоремы о представлении точек выпуклого многогранника следует, что для того, чтобы определить все (од) -точки м(а,ь), достаточно определить все такие (ОД)-векторы х = (х^х,,...,*), для которых система уравнений

«1у1')+а2у<!2)+-+а„у1") = •*,;

а1У{'] +а2у{{) + ... + а,У^ = *,;

У,2)+ ■•■ + «,=

а, +а, + ... + а(, = 1, где а, >0, а2 >0,... , а >0, (17)

а /) = (У),...,У')),..,У4) = (У'',,..,У'')); (18)

¿ = 1,2.к, г = 1, 2,...,п;

разрешима.

Предлагается простой алгоритм определения таких векторов по следующей схеме последовательного перебора всех возможных и-мерных (ОД)-векторов.

Каждый новый вариант при переборе, т. е. некий (ОД)-вектор, будем строить последовательно покомпонентно, сопровождая рассмотрение каждой компоненты следующим процессом проверки варианта по приводимому ниже естественному критерию отсева.

Допустим, мы хотим рассмотреть конкретный вариант

X = X = (*1,Х2,...,Х,),

где XI, ¿ = 1,2,...,п - некоторые фиксированные, соответствующие рассматриваемому варианту, значения 0 или 1. Процесс проверки варианта состоит не более чем из п шагов.

Произвольный г -й шаг, ге {1,2,...,я} выглядит следующим образом.

Исходная информация после (г-1) шагов определяется (г-1) зафиксированными компонентами варианта

XI 5 X 2 9 } X г-1

и набором множества индексов столбцов системы (16) «7 = 1,2,...,^,,

> г -1, таких, что среди коэффициентов а ,а а есть хотя бы один строго положительный.

Пусть в нашем варианте (*1,х2,...,х,) х,=0. Тогда мы формируем новые множества Iм:

г

IЫ=IM\J', Ч = 12,...,3Г, 5,=5Г_„

где = {/} - множество подмножеств таких индексов q = l,2,...,sr_í , ДЛЯ КОТОрыХ

У;)> о.

Столбцы с номерами ; е мы затем

просто вычеркиваем из системы (16). Если при этом хотя бы одно из /,("\ д = 1,2,...,5Г

оказывается пустым, то все (Т" +1) вариантов, соответствующих фиксации

X, = XI , х2 = Хг, ... , ХГ = Хг,

должны быть изъяты из рассмотрения, как заведомо не удовлетворяющие системы (16). Если же в нашем варианте х,,х,,...,х,: х, = 1,

то формируем новый набор множеств:

/ы = /«, 9 = 1,2,...,^,;

Г' = ] , 5 < Г .

Г г7 г

Если г = п, то процесс закончен. Далее можно проверить: является ли полученный (0,1)-вектор точкой выпуклого многогранника м(А,Ь). Это можно сделать путем

подстановки полученного вектора в исходную систему. Очевидно, для числа элементарных операций Т(м(А,Ь)), необходимых для определения всех (ОД)-векторов, справедлива оценка

Т{м{А,Ь))<2"к{к + \). (19)

Общая оценка трудоемкости метода и ее частные случаи

Пусть система покрытия множества решений исходной системы СОСТОИТ ИЗ (од)-точек V многогранников Лг(А.,&и)), ; = 1,...,у.

Тогда, реализуя все этапы алгоритма для всех многогранников, мы получим последовательно все решения системы, отбраковывая все (ОД)-точки, не удовлетворяющие системе (4).

Оценки (14), (15) и (19) в совокупности позволяют дать общую оценку сложности метода в целом (в элементарных операциях):

Г(ЛГ(С,(!))< (п -1 )&(«,,$')тах(^, - йГ1" +1)+

+ ^Гй.(/г +п2 +п-1)тт(н,,п2)+2''н'кп(п + 1)^,

(20)

где к. - число вершин многогранника

му(а.,й0)).

Оценка (20), безусловно, является весьма грубой. Однако при этом следует учесть возможность появления некоторых условий.

Во-первых, если система М 1{агЬ[1)\

] = 1,..., V , состоит из целочисленных или ква-зицелочисленных многогранников, то последний этап алгоритма, которому соответствует оценка трудоемкости (19), реализовывать нет необходимости.

Во-вторых, особый интерес представляет случай, когда многогранники системы покрытия имеют малое число вершин.

Согласно результатам Бартельса [11] двусторонние достижимые оценки для числа вершин к невырожденных многогранников М(А,Ь) таковы;

п-т + 1<к<с'" .+с" (21)

*14-/» 1 Г л+ш + 11 4 /

Многогранники с малым числом вершин в настоящее время изучены слабо. В монографии [12] описан один такой класс многогранников. Приведем условия, которым должен удовлетворять многогранник М(А,Ь) для того, чтобы принадлежать этому классу.

Пусть В - допустимый базис многогранника М{А,Ь); Jв и /н - соответственно множества индексов базисных и внебазис-ных переменных.

Определение. Симплекс-таблицу А,=М соответствующую базису В, будем называть К -регулярной , если

достигается ровно для к различных г при значениях 7 е /н.

Определение. Симплекс-таблицы Ад, и Ав. двух допустимых базисов В' и В" будем называть К -подобными, если они обе К -регулярные и 7°. = 7”..

Симплекс-таблицы всех допустимых базисов матрицы А I -подобные, если симплекс-таблица хотя бы одного допустимого базиса является I -регулярной [12].

Очевидно, если у матрицы А найдется хотя бы одна I -регулярная симлекс-таблица, то число многогранника М{А,Ь) равно п-т + 1.

Ясно, что в этом случае алгоритм построения всех вершин обладает полиномиальной по п, т сложностью.

Покажем, что система многогранников покрытия может быть такой, что предложенный метод решения системы булевых уравнений будет иметь полиномиальную сложность.

Теорема 3. Пусть система многогранников покрытия М^(а.,Ь0)); / = 1,2,...,у,

С(х)с 0М.(агЬО)) определена матрицами

А и векторами Ьи) следующего вида:

V» е 7.

^>0

Д(в) = В-% 16 Jв

лМл).

j = 1,2,..., v ; £ є {1,2,...,и}, где 5 , 7 = 1,2,..., v - невырожденные квадратные матрицы, удовлетворяющие условию В:Ъи)> 0, у = 1, 2,...,v , а Д., j = 1, 2,..., v , -

матрицы, у которых к. -я строка состоит целиком из единичных элементов, а все остальные строки состоят из неположительных элементов.

Тогда общая оценка трудоемкости в элементарных операциях T(M'(C,d)) имеет вид

Т(М *(C,d))<{п-1 )5L(n,s)max(ü?( -d* +

+ v(n - l^i(и2 + 2n -1)+ n~ (n + l)î.

Доказательство. Рассмотрим произвольный многогранник М(А,Ь) из системы покрытия

М(А,Ь)е{м,{а,Ь{!))}, 1 = 1,2.V .

Без ограничения общности рассуждений будем полагать, что симплекс-таблица Л, соответствующая базису В, имеет последнюю строку, состоящую из положительных элементов, а все остальные элементы неположительны.

Определим все вершины М (А,ь). По условию теоремы они имеют следующий вид:

у'1* = У,(,!-|ДЛ-"0);

/‘Myf1. у!'0-., уііо,о,...і).

Поскольку симплекс-таблица 1 регулярна, число вершин многогранника минимально:

h = n-m +1.

Воспользовавшись теперь алгоритмом построения (ОД)-точек, являющихся линейными выпуклыми комбинациями У0,...,У'0, нетрудно заметить, что структура угловых точек такова, что множество 70,1,

7 = 1,2.s,_, ; 5г.,<г-1, re{l,2,...,n} всегда

состоит из единственного элемента. Действительно, если некоторая вершина у{і), £є{і, 2входит в состав линейной вы-

(22)

пуклой комбинации, определяющей (ОД)-вектор с положительным коэффициентом, то этот (ОД)-вектор имеет (т + к- 1)-ю компоненту, равную 1. Отсюда следует, что первые (т-1) компонент (ОД)-вектора совпадают с соответствующими компонентами вершин У*1, а остальные компоненты равны нулю.

Таким образом, в нашем случае перебор ограничивается ( п - т +1 ) точкой. Каждый вариант требует п компонентных сравнений с рассматриваемым (ОД)-вектором. Отсюда сразу следует оценка (22).

Литература

1. Комарцова Л.Г., Максимов A.B. Нейрокомпьютеры. - М.: МГТУ, 2002. - 319 с.

2. Бсстенс Д.-Э., Ван ден Берг В.-M., Вуд Д.. Нейронные сети и финансовые рынки.

3. Рыбников К.К., Хохлушин A.C. О взаимосвязях различных алгоритмических схем методов погружения множества решений системы булевых уравнений в действительную область // Вестник Московского государственного университета-Лесной вестник. - 2002. - № 4 (25). - С. 189-194.

4. Рыбников К.К., Никонов Н.В. Прикладные задачи, сводящиеся к анализу и решению систем линейных неравенств. Метод разделяющих плоскостей //Лесной вестник. - 2002. - № 2 (22). - С. 191-195.

5. Рыбников К.К. Оценки сложности некоторых схем метода разделяющих плоскостей при решении систем булевых уравнений // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. -Т.9, Вып. 2. - С. 442-443.

6. Рыбников К.К. Методы решения систем булевых уравнений, основанные на погружении множества решений в выпуклый многогранник // Науч. тр. / Моск. гос.ун-т. леса. - 1995. - Вып. 269 - С. 88-91.

7. Карманов В.Г. Математическое программирование. - М.: Наука, 1975. - 272 с.

8. Гасс С.И. Линейное программирование (методы и приложения). - М.: ГИФМЛ, 1961. - 304 с.

9. Карп P.M. Сводимость комбинаторных задач. //Кибернетический сборник (новая серия). - 1975. -№ 12-С. 24-38.

10. Хачиян Л.Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании И Журнал вычислительной математики и математической физики. -1980.-№ 1(20).-С. 51-68.

11. Bartels Н. A priori informationen zur Linearen Programmierung //Über Ecken und Hyperfläschen auf Polyhedem. - Berlin: Anton Hain. - 1975. - 310 p.

12. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники. Графы. Оптимизация. - М.: Наука, 1981. - 344 с.

13. Балакин Г.В., Никонов В.Г. Методы сведения булевых уравнений к системам пороговых соотношений И Обозрение прикладной и промыш-

ленной математики. Сер. "Дискретная математика". Т.1. - Вып. 3. - М., 1994. - С. 389-401.

14. Никонов В.Г. Пороговые представления булевых функций // Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер. "Дискретная математика". Т.1 - Вып. 3. - М., 1994. - С. 402-457.

СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ

О.Н. ЖУРАВЛЕВА, доцент МГПИим. М.Е. Евсевъева (Саранск), к. пед. н.,

Т.А. ЛАСКОВАЯ, ст. преподаватель МГТУ им. Н.Э. Баумана,

К.К. РЫБНИКОВ, докторант МГУЛа, к. ф-м. н.

Современные учебные программы высших учебных заведений предусматривают изучение элементов дискретной математики уже на младших курсах. Несмотря на то, что студенты к этому времени обладают недостаточно глубоким математическим аппаратом, процесс постепенного проникновения дискретной математики в учебные планы и рабочие программы развивается достаточно быстро. Объективные причины подобной перестройки в системе математического образования заключаются, прежде всего, в возросшем значении для подготовки специалиста основ информационных технологий, электроники, а также принципов математического моделирования реальных технических и социально-управленческих задач и процессов. При этом оказывается важным научить студента не только анализировать модели, но и доводить в алгоритмической форме решение задач, определяющих эти модели, до конечных результатов.

При непосредственном построении моделей часто оказывается трудным использовать методы классической непрерывной математики. Информация, которой оперирует исследователь, как правило, оказывается дискретной, так как современная информационная техника переработки информации базируется на дискретных представлениях.

Основной трудностью при построении курса дискретной математики является необходимость отказа от основополагаю-

щих понятий классической математики -предела и непрерывности при непосредственном анализе дискретных задач. Студенты в первый период обучения достаточно трудно преодолевают особенности дискретного математического аппарата. Причина этого, как представляется, лежит в возникшем разрыве преемственности математических курсов средней и высшей школ. Действительно, в школе в настоящее время изучается, в основном, классическая, т. е. непрерывная, математика, и, как показывают исследования психологов, способности обучаемых к усвоению знаний в различных отраслях математического знания представляют собой относительно самостоятельные образования [1].

Приведем пример. Ключевым моментом в школьном курсе, безусловно, является введение понятия «функция». В большинстве методических рекомендаций и школьных учебников [2], [3] с одновременным определением понятия функции приводятся способы ее задания: аналитический, графический, табличный и словесный. При этом о существовании дискретных функций не упоминается. Так, при определении функции как отображения, как правило, функциональный закон сопоставления образа и прообраза определяется как непрерывная функция. Табличный способ задания функции также иллюстрируется исключительно на примерах непрерывных функций, хотя в данной си-