Научная статья на тему 'Методы настройки систем элементов нейросетей как подход к решению задач анализа универсальных моделей узлов электронных схем'

Методы настройки систем элементов нейросетей как подход к решению задач анализа универсальных моделей узлов электронных схем Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
87
27
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
БУЛЕВЫ УРАВНЕНИЯ / ТЕОРИЯ МНОГОГРАННИКОВ / НЕЙРОСИСТЕМЫ / BOOLEAN EQUATIONS / POLYHEDRAL THEORY / NEUROSYSTEMS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Рыбников К. К.

Рыбников К.К. МЕТОД Ы НА СТРО ЙКИ СИСТЕМ ЭЛЕМЕН ТОВ НЕ ЙРО СЕТЕЙ КАК ПОД ХОД К РЕШЕНИ Ю ЗАДА Ч АНА ЛИЗА УНИ ВЕР САЛЬНЫХ МОДЕ ЛЕЙ УЗЛОВ ЭЛЕКТРОН ЫХ СХЕМ. Целью работы является анализ связей методов решения систем булевых уравнений, теории многогранников и прикладных задач, относящихся к изучению комплексов узлов электронных схем и нейросистем.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Рыбников К. К.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Ribnikov K.K. METHODS OF SETTING OF NEWRONETS SYSTEM AS AN APPROACH TO SOLUTION TO PROBLEMS OF ANALYSIS OF UNIVERSAL MODELS OF ELECTRIC SCHEMES. The goal of this article is the analysis of connections of methods for solving systems of Boolean equations, polyhedral theory and applied tasks related to study of complexes of knots of circuits and neurosystems.

Текст научной работы на тему «Методы настройки систем элементов нейросетей как подход к решению задач анализа универсальных моделей узлов электронных схем»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

МЕТОДЫ НАСТРОЙКИ СИСТЕМ ЭЛЕМЕНТОВ НЕЙРОСЕТЕЙ КАК ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ АНАЛИЗА УНИВЕРСАЛЬНЫХ

моделей узлов электронных СХЕМ

К.К. РЫБНИКОВ, проф. каф. высшей математики МГУЛ, канд. физ.-мат. наук

Решение системы булевых уравнений (1) представляет значительный практический интерес, так как является универсальной моделью электронных схем, состоящих из m технических узлов-преобразователей с n двойными входами и одним двойным выходом.

f(xv ху ..., xn) = ap (i = 1 2 ..., t). (1)

Одним из известных подходов к решению системы (1) является так называемый метод разделяющих плоскостей, основанный на идее погружения множества решений системы булевых уравнений в многогранник M(A, b) = {х | Ax < b, х > 0}, где A - матрица размера m х n,

Ax < b - система линейных неравенств a.x. + a,x, + ... + a х < b, (j = 1, 2, ..., m),

j1 1 j2 2 jn П jj V 5 5 5 /5

а условие x > 0 соответствует системе условий

x1 > 0, x2 > 0, ..., x > 0.

Способы построения многогранника M(A, b), для которого множество решений системы (1) представляет собой подмножество (или само множество) всех (0,1) - точек M(A, b), рассматривались в работах Г.В. Балакина, В.Г. Никонова, Б.А. Головкина (см., например, [1, 2]).

Подобный подход, ставший известным как метод разделяющих плоскостей [1], позволил при анализе множества решений системы (1) использовать результаты теории многогранников и аппарат математического программирования [3], малым числом вершин удалось получить оценки сложности решения систем (1) в виде P(n, t). [9].

В то же время в ряде случаев оказывается плодотворной и идея использования «обратного» подхода, то есть рассмотрения

kkrybnikov@mail.ru

возможности анализа систем линейных псевдобулевых неравенств с помощью рассмотрения булевых функций-резольвент.

Под псевдобулевым неравенством будем понимать неравенство

£ ajxj < aQ, xj е {0;1},(j = 1, 2, ..., n)s. (2)

j=1

Определение

Минимальным покрытием неравенства (2) называется множество C, C е {1, 2, ..., n}, такое, что

I I n

£ aJ > a0 -£ min(0; af), (3)

jeC j=1

и для любого множества C'(C' ^ C) свойство (3) не выполняется.

Определение

Резольвентой неравенства (3) назовем булеву функцию f(x1, x2, ..., xn), такую, чтоf(x1, x2, ..., xn) = 0 тогда и только тогда, если (x x2, ..., xn) - решение неравенства (2).

Пусть L - множество всех минимальных покрытий (2). Тогда имеет место лемма Хаммера [9]:

Лемма

Дизъюнктивная форма

f (x^ x2,...., x„) = V П j

CeL jeC

является резольвентой неравенства (2), где а. > 0 и а, = 0 при а, < 0, примем xl. = x,, xj = x,.

Из леммы Хаммера и формулы включения-исключения следует теорема о числе решений псевдобулева неравенства (2). Теорема

Пусть L = {C1, C2, ..., Cs} - множество минимальных покрытий (2). Тогда это неравенство имеет N псевдобулевых решений

N = 2n -£ 2n-Cj| + £ 2n-Ci'UCjl

j=1

i, j=1 ^ j

- £ 2n-CiUc,Uc*| +

i, j,k=1 i=j=k

... + (-1)s 2

n-C Uc,

170

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Заметим, что для получения оценок числа N можно использовать небольшое число слагаемых b (4), взяв i = 1, 2 [3].

Базовыми элементами нейросети являются так называемые формальные нейроны, функциональные возможности которых определяются функцией активации

z=f(g)=f (t ах +

i=1

где z - выходной сигнал нейрона;

fg) - функция выходного блока нейрона; а. - постоянный коэффициент - вес i-го входа;

х. - i-й входной сигнал; а0 - начальное состояние нейрона; i = 1, 2, 3, ..., n - номер входа нейрона; n - число входов [5].

Одним из наиболее часто встречающихся типов функций активации являются простая пороговая, то есть функция fg), имеющая следующий вид

\Ъ, если g<d

f(g) = \

[с, если g>d

где b, c и d - некоторые постоянные.

Как правило, выбираются случаи b = -1, c = 1 или b = 0, c = 1. В этом случае анализ схемы функционирования формального нейрона сводится к анализу структуры множества решения линейных неравенств (полиэдра) вида

g < d или g > d, (5)

Другой задачей анализа структуры формального нейрона является задача о настройке нейрона, разделяющего по выходному сигналу два массива n-мерных векторов. В этом случае решается задача о выборе весовых коэффициентов а а ..., ап нейрона как точки полиэдра вида (5), порожденного наборами входных сигналов, определяющихся векторами исследуемых массивов векторов [6].

Полиэдральный подход к моделированию узлов электронных схем может быть использован также при анализе двоичного преобразователя, работа которого описывается уравнением

Axv ^ ..., xn) = и (6)

где и - выходной двоичный сигнал преобразователя, а х . - i-й входной двоичный сигнал;

i = 1, 2, ..., n - номер канала входа, х . = 0 или 1, аfixv х2, ..., xn) - булева функция.

Так, например, множество всех векторов вида (Xj, х2, ..., xn, и), удовлетворяющих соотношению (6), можно представить в виде множества (0; 1) - точек полиэдра, соответствующего системе неравенств вида

-Г < t аг1х1 + (0,5 - ni )У < ni - Г - 1

}=1

т 5

-m +1,5 < t У + (0,5 - m)u < 0,5

i==

(i = 1, 2, ..., m). (7)

где x y и принимают значения 0 или 1; а = 0 или ±1;

n. - число ненулевых коэффициентов а. в -м ограничении,

r - число отрицательных коэффициентов в -м ограничении,

По системе (7) можно однозначно определить булеву функцию

U = AxV X2, ..., х„) = = У1 V У2 V .... V Ут , (8)

где . * = х?( °& xjj }2 (i )&...& xjni (i) ni (9)

{}1, } 2 ,..., } ni } c {1,2, ...., n}; j < 72 < ...< j„P

причем = | *A’ если a,. =1 h

h если a,. = -1 h

Верно и обратное утверждение. По заданной в виде (4) булевой функции можно однозначно определить полиэдр (7).

Подобный полиэдральный подход может быть использован для решения задачи реализации узла преобразований (6) системой, состоящей из m формальных нейронов.

Набор весовых коэффициентов -го нейрона этой системы определяется вектором (а1(0, а2(),..., а^)), где а® = 0 или ± 1, (i = 1, 2, ..., m), (j = 1, 2, ..., n).

Функция активации, определяющая работу i-го нейрона, имеет вид

1, если X аУхУ > d,

j=i

У*=\ „ . .

0, если X аУхУ < d,

{ 7=1

где х (i) = (x1(i) , ..., хи®) - вектор входа i-го нейрона (х() = 0 или 1), а у. - его двоичный выход (y = 0 или 1).

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

171

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

В том случае, если d = n. - r. - 0,5, где n - число ненулевых весовых коэффициентов /-го нейрона, а r . - число отрицательных весовых коэффициентов, i-й нейрон реализует булеву функцию вида (9).

Далее, если вектор (у ..., ym) является входным вектором для формального нейрона с функцией активации:

т

1, если £ у >1

/= М

J т

0, если X У/ < 1

I м

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

то этот формальный нейрон реализует функцию (6).

В заключение отметим связь упомянутой выше задачи настройки формального нейрона с задачей определения чебышевско-го решения системы линейных неравенств.

Рассмотрим пороговую функцию активации z = f(x1, x2, ..., xn), имеющую вид:

z = <

П

1, если Y, aixi > b

i=1

0 в противном случае

где параметры функции b, a,, +, •, > - действительные числа и отношения, а неизвестные x = 0 или 1.

Задачей настройки формального нейрона, распознающего массивы X и Y, называется задача определения a1, а2, ..., an, b (или a1, a2, ..., an при заданном b) таких, что

n /-л

Z a}.xf < b, (/ = 1,2,...,*) (10)

j=i

и

Z>b, (k = 1,2,...,^), (11)

j=i

где

X = {(X1(0, ,Xn(0)},|X = и

Y = {(у®, y2(t),... y^)},\Y = *2.

Если система неравенств (10)-(11) совместна, то любое ее решение a = (a1, a2, ..., an) при заданном b определяет пороговую функцию. В противном случае приходится рассматривать возможность приближенного решения задачи, то есть построение функции z = ^(Xj, ..., xn), которая будет принимать нулевые значения не только для векторов массива X, но, возможно, и для некоторых векторов массива Y. Качество приближения зависит от числа таких векторов.

В этом случае предлагается рассмотреть задачу чебышевского приближения системы линейных неравенств, которая равносильна системе (10)-(11)

n

П = П(a) = Z ajx() -b < (*' = 1, 2, ..., tjl (12)

}=1

n (к)

Ш = Ш(a) = - Z a]yj) + b + zk < 0

(i = 1, 2, ..., *2), (13)

где г = (a1, a2, ..., an, z1, z2, ..., zt2) - неизвестный вектор, то есть задачу определения величины L, где

L = min max(max n (5), max шк (5)) =

a 1<i<ll 1<k<?2

= max(maxn(a*),maxшк (<5*)) . (14)

1<i<t1 1<k<?2

Система (12-13) совместна тогда и только тогда, когда L < 0. Если же L > 0, то система несовместна. Задача определения г называется задачей чебышевского решения системы (12-13) при ее совместности и задачей чебышевского приближения этой системы при ее несовместности. Эта задача может быть сведена к задаче линейного программирования [7].

Построенная таким образом пороговая функция z = f(x1, x ..., xn), для которой пороговое значение b, вообще говоря, может быть скорректировано величиной L, разумеется, не позволяет решить задачу распознавания массивов. Оценка качества пороговой функции z = f(x1, x2, ..., xn) в общем виде до сих пор не получена. В частных случаях возможно использование оценки (4).

Библиографический список

1. Балакин, Г.В. Методы сведения булевых уравнений к системам пороговых соотношений / Г.В. Балакин, В.Г. Никонов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1994. - Т 1. - Вып. 3. - С. 389-401.

2. Головкин, Б.А. О некоторых линейных ограничениях с булевыми переменными / Б.А. Головкин // Экономика и математические методы. - 1971. - Т. VII. - Вып. 4. - С. 25-31.

3. Рыбников, К.К. Оценки сложности некоторых схем метода разделяющих плоскостей при решении систем булевых уравнений / К.К. Рыбников // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. - Т.9. - Вып. 2. - С. 442-443.

4. Рыбников, К.К. О взаимосвязях различных алгоритмических схем методов погружения множества решений системы булевых уравнений в действительную область / К.К. Рыбников, А. С. Хохлуш-

172

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.