CC BY
23
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СТРУКТУРНЫХ свойств МНОГОГРАННИКОВ ПОГРУЖЕНИЯ В МЕТОДЕ РАЗДЕЛЯЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ БУЛЕВЫХ УРАВНЕНИЙ
В Г. ДОМРАЧЕВ, профессор МГУЛа, д. т. н.,
К.К. РЫБНИКОВ, докторант МГУ Ла, к. ф.-м. н., А.С. ХОХЛУШИН, аспирант МГУЛа
^адача решения систем булевых уравнений
Дхиг......х„)яаь (Ы1,2,...,т), (1)
где Дх1,х2,...,х„) - булевы функции, а Х1,Х2,...,Х„, а!,а2,...,ат принимают значения О или 1, представляет значительный практический интерес, так как является универсальной моделью анализа комплекса, состоящего из т цифровых преобразователей с п двоичными входами и одним двоичным выходом.
Один из приемов решения систем булевых уравнений основан на их сведении к равносильным псевдобулевым системам линейных неравенств [1,2]:
Ах<Ь, (2)
где А={ау} - (г х п) - матрица, х =(х},хг, ..., хп), ЬТ=(Ь1,Ь2, ...А).
Разумеется, сложность реализации метода разделяющих плоскостей весьма высока, поскольку в общем виде задача определения (0,1)-точек полиэдра (2) принадлежит к так называемым универсальным переборным задачам, для которых не известны какие-либо алгоритмы их решения, обладающие неэкспоненциальной (по ? и п) сложностью. В то же время в ряде частных случаев возникает возможность эффективного применения алгоритмических схем метода. Так, в работах [2, 3] рассмотрены случаи, когда полиэдр (2) является целочисленным многогранником
М(А,Ь) = {х\Ах<Ь,х>0). (3)
Многогранник М(А,Ъ) называется многогранником погружения системы (1).
Целочисленность многогранника М(А,Ь) позволяет решение задачи (1) свести к определению всех его вершин.
Для числа А вершин многогранника М(А,Ь) при условии его невырожденности справедливы следующие оценки:
*(п -1) + 2 й А <
2 С' . при п - нечетном ; С' + С’п_2 при п - четном.
(4)
Эти оценки были получены в 1975 году Бартельсом (см. напр. [4]), который также доказал, что эти оценки достижимы, то есть можно указать такие пары матриц и векторов А и Ь, при которых число Л равно нижней или верхней оценке.
Так как алгоритмическая процедура определения вершины многогранника М(А,Ь) равносильна одной итерации симплекс-метода решения задачи линейного программирования с областью допустимых решений М(А,Ъ) и, следовательно, полиномиальна по сложности относительно размеров задачи, то в силу оценки (4) существуют случаи, когда метод разделяющих плоскостей реализуется со сложностью, определяемой полиномом от г и п. Конкретные полиномиальные оценки такого типа приведены в работах [2 и 3].
Таким образом, на практике может возникнуть возможность эффективно использовать структурные свойства многогранников погружения при реальном применении метода разделяющих плоскостей. Приведем ряд примеров.
1. Сведение задачи решения булевых уравнений одного типа к решению задачи стандартизации
Рассмотрим задачу решения булевого уравнения следующего вида:
Лу(П *.0» у<*> *.(«) Г1п)\\/
л| »л2 ин»ли НН)Л, »Л2 »...*АЗД ; V
V *(-С *;■', <’ О = о, (5)
где
/(л-;"....С)=*!" V... V &^л)
с)
...с)=<’ &х12>
Решениями этого уравнения являются все векторы л = (*Г\ ..,0> удовлетворяющие условиям
&...&<’= о, 1 = 1,и; (6)
х)" &,..&х)"' = 0, ; = Гот. (7)
Заменяя каждое равенство (6) равносильным псевдобулевым неравенством
+ *1° <от-1 (8)
и введя переменные:
Ы
можно свести задачу решения уравнения (5) к решению набора задач линейного программирования, известных как задачи стандартизации [4]:
т
(9)
ГП1П
зЯМ(ЛЫ
ЬУ!'
где А - абсолютно унимодулярная матрица вида
00...0 00...0 И...1
оо...оч
00...0
00...0 00...0 ... 11...1
11...1 11...1 ... 11...1 ^ /
размера (л +1) х пт, а ЬТ = (от - 1,от -1 от - 1,сг)
Таким образом, несмотря на то, что число вершин целочисленного многогранного множества достаточно велико, решения уравнения (5) можно найти среди оптимальных решений задач линейного программирования (9) при переборе значений параметра а: а = п-1,п,...
Предлагаемая процедура построения решений уравнения (5), или их части, может быть модифицирована путем замены в системе ограничений задачи (9) последнего неравенства системой псевдобулевых неравенств равносильных соотношениям (7), структура которых аналогична (8).
2. Пример анализа одного цифрового преобразователя на основе рассмотрения соответствующего многогранника погружения
Рассмотрим процесс обработки цифровой информации преобразователем с восемью двоичными входами и одним двоичным выходом, определяемый булевой функцией
Кх{,х2 X,) = /(хр, х,4, X;6) X
Xg(.x1,xs)vf(x;2,x?,x?)■ ,
где
=
/(х,у,г) =
, если х2 = 1;
, если хг = 0;
х7, если х, = О; х7. если х, = 1;
1, если л; + у + г ^ 1;
О - в противоположном случае.
При анализе всевозможных значений х,,х, получаем многогранник погружения с минимальным числом вершин. Заметим, что при этом мы приходим к реализации рассматриваемого преобразователя с помощью построения формального нейрона [2].
3. Решение обратных задач. Построение систем булевых уравнений по заданному многограннику
Предположим, что система (1) приведена к однородному виду а, = 0,0' = 1,..., от) .
Применяя метод фундаментальных произведений (см. напр. [5]) и используя воз-можность построения дизъюнктивных
нормальных форм функций /,(*,.*2...........-О»
систему булевых уравнений (1) можно представить в следующем виде:
К[ V К' V... V К[. = 0; I = 1,2,..., т , (10)
где К\ (I = 1,2,..., от; ] = 1,2.Я,) - конъюнк-
ции, то есть
К]=Х°' &Х"3 &...&Х;
х,;=х(1;
е {1,2,..., и} к = 1,2,.... гы.
Ясно, что система уравнений удовлетворяется тогда и только тогда, когда все конъюнкции в соотношениях (2) принимают значение 0.
Условие К] = 0 эквивалентно условию
аЛ+~ + аЧ,]\;
где а, = ■
1, если сг, = 1,
-1, если а =0;
7 II 7
_ Г = 1,2,ги);
п.]- число переменных, входящих в конъюнкцию к) с отрицанием.
Таким образом, задав многогранник М(А,Ь), удовлетворяющий условиям целочисленное™, мы можем построить систему булевых уравнений, для которой М(А,Ь) является многогранником погружения. Для построения целочисленного многогранника можно воспользоваться как общей теоремой Гофмана и Краскала, выбрав А как целочисленную абсолютно унимодулярную матрицу и Ь как произвольный целочисленный вектор, так и достаточные условия целочисленности многогранника М(А,Ь) с матрицей условий, у которой элементы а и 6 {-1,0,1}, сформулированные Хеллером и Томпкинсом (см. напр. [4]).
Литература
1. Никонов В.Г., Рыбников К.К. Применение полиэдральных методов в прикладных математических задачах, сводящихся к анализу и решению систем линейных неравенств // Вестник МГУ Леса. Лесной вестник. - 2003. - № 1(26). - С. 81 - 85.
2. Рыбников К.К. Схемы функционирования формальных нейронов в нейрокомпьютерных сетях как модели анализа множества решений системы булевых уравнений // Вестник МГУЛеса. Лесной вестник. - 2003. - № 1(26). - С. 85 - 93.
3. Рыбников К.К. Оценки сложности некоторых схем метода разделяющих плоскостей при решении систем булевых уравнений // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.9, Вып.
2.-2002.-С. 442-443.
4. Ковалев М.М. Дискретная оптимизация. -Минск: БГУ, 1977, -192 с.
5. Рыбников К.К., Хохлушин А.С. О взаимосвязях различных алгоритмических схем методов погружения множества решений системы булевых уравнений в действительную область // Вестник МГУЛеса. Лесной вестник. - 2002, - № 5(25). -С. 189-194.
О ПРИМЕНЕНИИ АППАРАТА ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ В ЗАДАЧАХ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
О.М. ПОЛЕЩУК, к. ф.-м. н., доцент каф. высшей математики
Главным направлением деятельности любого вуза является система управления процессом обучения. Этот процесс настолько многомерен и информационно емок, что некоторые его параметры не только трудноизмеримы, но и трудноформализуемы. Сложность количественного оценивания процессов обучения и управления связана с особенностью измерения в образовательной сфере. Эта особенность состоит в учете свойств или суждений лиц, измеряющих качественные показатели и принимающих на основе этого субъективного измерения решения. При оценивании качественных признаков эксперты достаточно часто используют слова естественного языка. Например, отличные знания,
высокая работоспособность, хорошие взаимоотношения в коллективе и т. д. Эти слова являются источником нечеткости в информации, полученной от эксперта. Информация, в которой заложена неопределенность в виде нечеткости, получила название нечеткой экспертной информации.
Использование слов естественного языка, в которых заложен опыт эксперта, его индивидуальное восприятие объекта или ситуации, является причиной трудноформали-зуемости этой информации в рамках традиционных математических формализмов. Следствием этого является проблематичность применения традиционных методов, основанных на классической теории множеств, теории из-
