Сеточный метод построения областей работоспособности технических объектов на основе алгоритма симплексного поиска Текст научной статьи по специальности «Математика»

II университета

'ЖУРНАЛ водных / / коммуникации

вибрационных торовых мельницах в течение короткого времени (1-5 мин) для очистки поверхности частиц порошка от мелкодиспер-

сных пылевидных фракций. Последующее удаление пылевидной фракции осуществляется просевом через сито 100 мкм.

Список литературы

1. ОСТ 4Г 0.054.317-84. Пайка конструкционная в производстве радиоэлектронной аппаратуры. Типовые технологические процессы.

2. Кургузов Н. В. Совершенствование технологии пайки конструкций из алюминиевых сплавов // Обмен производственно-техническим опытом. — 1987. — Вып. 5.

3. Балашов В. М., Семенова Е. Г., Трефилов Н. А. Технология производства антенн и устройств СВЧ. — М.: Изд-во МПИ «Мир книги», 1992.

4. Сторчай Е. И. Флюсовая пайка алюминия. — М.: Металлургия, 1980.

УДК 656.61.052.02 А. В. Саушев,

канд. техн. наук, доц., СПГУВК

СЕТОЧНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМА СИМПЛЕКСНОГО ПОИСКА

NET METHOD OF CONSTRUCTION OF AREAS OF WORKING CAPACITY TECHNICAL OBJECTS ON THE BASIS OF ALGORITHM OF SIMPLEX SEARCH

Рассматривается дискретный метод определения границы области работоспособности для технических объектов различной физической природы. Метод предполагает поиск первой граничной точки и обход области работоспособности по контуру. В основу метода положен адаптивный алгоритм симплексного поиска, позволяющий существенно сократить затраты времени на поиск искомого массива граничных точек и обеспечивающий возможность решения задачи для многомерного случая.

The discrete method of definition of border of area of working capacity for technical objects of the various physical nature is considered. The method assumes search of the first boundary point and detour of area of working capacity in a contour. The adaptive algorithm of simplex search allowing essentially to reduce an expense of time for search of a requiredfile of boundary points and providing possibility of the decision of a problem for a multidimensional case is put in a method basis.

Ключевые слова: область работоспособности, граничные точки, симплекс, алгоритм, адаптация, параметр, технические объекты

Key words: working capacity area, boundary points, a simplex, algorithm, adaptation, parametre, technical objects

ЕОБХОДИМЫМ условием для решения широкого круга задач синтеза и диагностирования технических объектов является определение их областей

Н

работоспособности в виде множества граничных точек. Области работоспособности определяются в пространстве внутренних (первичных) параметров объектов, к которым

В литературе отмечается, что идея метода контурного обхода принадлежит Лоэ-бу, опубликовавшему свою работу в 1956 г. В настоящее время наиболее эффективным алгоритмом, реализующим сеточный метод поиска граничных точек области работоспособности, является алгоритм, разработанный автором статьи [1]. Вместе с тем расчеты и тестовые примеры показали, что при числе первичных параметров п > 3 более эффективным является предлагаемый алго-

ритм обхода границы области С по контуру, использующий процедуру симплексного поиска.

При реализации алгоритма граничные точки определяются вначале на плоскости у] (плоскости двух параметров Х1 и Х2 ), затем на плоскости у2 и т. д. Разработанный алгоритм обхода вдоль границы области С на примере двух первичных параметров Х1 и Х2 представлен в виде графа переходов на рис. 1, а и проиллюстрирован на рис. 1, б.

б

а

Рис. 1

— граф отображения вершин симплекса при обходе границы области работоспособности по контуру; б — иллюстрация симплексного метода обхода границы области работоспособности по контуру

ния (2) показал, что зависимость N = / (£, п) при Ь = Ь0 является существенно нелинейной, а функция Л0 = / (п) при заданных значениях g может быть аппроксимирована зависимостью Н\ = а1п1 Ч-^! при п = 3, 4, ..., 9 при и зависимостью ЪИ = агп1 +.у2 при п = 10, 11, ..., 100. Для построения функции N0 = / (п) воспользуемся ^-конъюнкцией функций N1 и N2 [2].

При этом

ЛГ0 = 0,5 [(9,5 - п )ЛГ2| + (я - 9,5) |М| -

-1(9,5-п)\Ы2\ -(и -9,5)1||]/|9,5 -п\.

Подставляя в последнее выражение значения N1 и N2, а также учитывая, что N1 > 0 и Ш> |Л^2| при п = 3, 4, ..., 9 после приведения

Nn =

подобных членов окончательно получим (9,5-и)(а2иЬ2 +с2)+(и-9,5)(а1лЬ1 +с1)-|(9,5-и)(а2иЪ2 + c2)-(«-9,5)(a1/ibl +q)|

2-|9,5-и |

функцией pwrfit(vx, vy, vG) в интегрированной среде Mathcad 2001 Pro и приведены в табл. 1. Здесь же представлены значения N0 для n = 2.

Таблица 1

Значения коэффициентов уравнения для расчета числа шагов поиска

Значения коэффициентов в последнем выражении получены в результате аппроксимации функции (2) при Ь = у[п по всем возможным значениям п = 2,100

Коэфф. N1 и N2 Значения коэффициентов п ри различных значениях погрешности 5

5 = 0,2 5 = 0,1 5 = 0,05 5 = 0,04 5 = 0,03 5 = 0,02 5 = 0,01

a 0,093 0,149 0,415 0,607 0,994 1,950 5,600

a2 0,318 0,689 1,664 2,207 3,161 5,175 11,604

bi 2,651 2,754 2,672 2,625 2,563 2,481 2,368

Ь 2 2,212 2,197 2,159 2,147 2,133 2,115 2,093

C1 8,657 13,525 25,549 32,386 44,682 71,606 161,970

C2 -6,068 -19,506 -34,985 -39,020 -42,426 -41,453 -9,671

N0 12 21 41 52 71 113 250

О

Рис. 2. К определению L

Для уточнения значения Ь на каждом шаге поиска будем использовать информацию о положении центра симплекса при его движении к границе области работоспособности. На рис. 2 ОА = 4п и ОВ = 1 соответственно главная диагональ и сторона гиперкуба Бх пространства Яп.

Рассмотрим треугольник OAB. Истинное значение L определяется длиной отрезка OC. При этом точка C в зависимости от траектории движения центра симплекса может перемещаться в пределах отрезка AB. Из рис. 2 следует, что

L = jcos (arccos( 1 /\fñ)- a J] = = |^cosa/V« + sin(arccos(l/Vw)sina)|j =

= ТяДсова + ^(w-l)(l-cos2a)J.

Получим формулу для вычисления cosa на любом шаге поиска, начиная с центра области DX. Пусть центр симплекса после k шагов поиска переместился относительно исходной точки на расстояние l и оказался в точке M — при движении по диагонали OA или в

точке N — при движении в произвольном направлении ОС. При этом

I = .[¿Х?(М) = \ОМ\ = |ОЛГ|

(3)

¿=1

Так как в гиперкубе Вх все стороны равны, то проекцию ОЕ вектора ОМ можно рассматривать как проекцию точки М на произвольную координатную ось 7. Из подобия треугольников ОАВ и OMN, а также учитывая, что ОВ = 1, следует, что

Принимая во внимание, что X (N1 = X полу-

чим

Откуда по тео-

/=1

реме косинусов

12+12-\АВ\

cosa =

Ш

(4)

= 1-

2 П

2 (хг-//^)2.

/=1

В формулах (3) и (4) X. — координаты

^ и+1 _

центра симплекса: X, =-V X , / = 1, п.

п + 3

Анализ показал, что для целей поиска при любой заданной погрешности 5 зависимость Ь = L(N) может быть принята линейной. Таким образом, Ь/Ь0 = N/N0. Откуда

у!п

{а0п2 +с0 ^{а^п

+ с,-

h , ají1 + с2

)

cosa +

^{п- l)(l-cos2a)

(5)

После определения координат точки Я принадлежащей области С, следует оценить степень приближения а/ этой точки к границе искомой области. С этой целью вычислим координаты центра последнего симплекса. Если этот центр принадлежит области работоспособности, то вычисляется модуль вектора , в противном случае вычисляется модуль вектора |ОыО^]. Полученное значение а/ сравнивается с заданной погрешностью 5. Если а/ < 5, то точка Я0 принимается за искомую точку и поиск завершается. В противном

случае используется любой одномерный метод поиска в направлении центра симплекса.

Рассмотрим последовательность выполнения операций при использовании разработанного алгоритма.

Шаг 1. Вокруг исходной точки с координатами Х0 = 0 строится симплекс, координаты вершин которого определяются по формуле

где 7 — номер первичного параметра, г = 1,я; у — номер вершины симплекса, у = 1,(и + 1);

— элементы матрицы (1), которые определяются по формуле

= {О при г <у-1; -¿0Д/с?/2г(/ + 1)

при/>7-1; 2(/ + 1) при/ = 7-1;}.

Во всех вершинах исходного симплекса, а также в его центре вычисляется функция О. = G(X ) 7=0, (и + 1). Здесь у = 0 означает, что исследуется центральная точка симплекса.

Шаг 2. Если хотя бы одно значение О > 0, то переходят к выполнению шага 9.

Шаг 3. Из всех вершин, кроме вновь полученной вершины Ур (на первом шаге для всех вершин), выбирается вершина симплекса с наименьшим значением функции О(Х), т. е.

Шаг 4. Вычисляются координаты вершины V" нового симплекса по формуле

9 л+1 9-им _

(6)

п j=1

п

где X. есть 7-я координата вершины V; к = к + 1.

Шаг 5. Проверяется выполнение условия С(К5")>0 для точки с координатами X"¡. Если условие выполняется, то осуществляется переход к выполнению шага 9.

Шаг 6. Производится присвоение значений: Хп =Х»,и = *);С;. =С:,и = *).

Шаг 7. Вычисляются: координаты X* центра Ок нового симплекса по формуле (6); число шагов N — по формуле (5); функции цк и ц ; координаты вершин симплекса уменьшенного размера по формуле

(7)

Шаг 8. Осуществляется переход к выполнению шага 3.

Шаг 9. Вычисляются координаты Х1 центра Ок нового симплекса по формуле (7); принимается, что Q1 = Qk, и проверяется выполнение условия О (Ок ) > 0. Если условие выполняется, то принимается, что Q2 = Ок если не выполняется — то = Х\.

Шаг 10. Вычисляется а/ по формуле

А/ =

А

¿=1

(8)

и проверяется выполнение условия а/ < 5. Если условие выполняется, то процесс поиска заканчивается. При этом искомая точка Я0 будет иметь координаты

ВД) = ХД0') = 0,5[Х(. (0)-Хг. (02)], г = й.

Шаг 11. Проверяется выполнение условия О> 0. Если условие выполняется, то осуществляется присвоение Q1 =Q', Q2 = Q Если условие О(Q') > 0 не выполняется, то осуществляется присвоение Q1 =Q', Q2 = Qk. После чего в обоих случаях производится вычисление а/ по формуле (8) и реализуется выбранный алгоритм одномерного поиска.

В наиболее общей форме алгоритм удобно представить в виде логической блок-схемы (рис. 3). В качестве исходных данных вводятся: число варьируемых параметров п, начальные значения варьируемых параметров X и шаги их изменения й.. Матрица плани-

начг г Г

рования S(j, г) вычисляется на основании нормированной матрицы на симплексе размером (п + 1)хп:

мО, 0=

0 0 0 . . 0

т1 т2 т2 . • т2

т2 т1 т2 . ■ т2

т2 т2 т2 . т1

где:

т1 = (ЛДГ+Т + л-1)/(и-ч/2);

т2

Элементы матрицы S(j, г) вычисляют по выражению Ур =Хнач1 + где / — номер вершины многогранника (номер строки матрицы £(/, г), г = 1, 2...п — номер варьируемого параметра; т.. элемент/-й строки и г-го столбца матрицы М(/ г).

В каждой вершине многогранника,

обозначаемой как V. = \У.У.„...У 1, вычисляет/1 /2 /п

ся функционал У(У^ при/ = 1, 2...(п + 1) и к = 0. Индекс к соответствует номеру шага в направлении минимизации функционала. Из полученных значений выделяются наихудшее (максимальное) У(У^) и наилучшее (минимальное) У(Г/) значения функционала в вершинах к и g. Затем вычисляются координаты центра тяжести многогранника и отраженной вершины

'в+1

1 и+1

уМ =1 V _ у(к) п м

г = 1, 2...п и V™зу = У^Х + У(У((„% - V™),

где V > 1. В отраженной вершине вычисляется функционал Если выполняется усло-

вие У(У^+з) <У(У^, то производится операция растяжения, в результате которой определяются координаты (п + 4)-й вершины в соответствии с выражениями

Рис. 3. Алгоритм поиска первой граничной точки области работоспособности симплексным методом

^(и+4),| = ^(п+2),( + У(^+3),г _ ^(я+2),гХ 1 = 1, 2...n, где у > 1 — коэффициент растяжения, и вычисляется У(У^%). Затем исследуется неравенство УО^ )<У(У„(+1) и при его выполнении вершина У^ с наибольшим значением функционала заменяется вершиной У^+4. Если это условие не выполняется, то заменяется вершина У£к) на вершину Если точка Л0 не достигнута, то поиск продолжается на следующем (к + 1)-м шаге, начиная с блока 5 (рис. 2). Если условие У( У^)<У(У^) не выполняется, то выделяется вершина У^ с наибольшим после значением

функционала и анализируется усло-

(к) (к) вие У (У ) < У(V ). При выполнении этого

л+3 5

условия вершина У^ заменяется на вершину У^3 и продолжается движение к экстремуму,

в противном случае исследуется неравенство (к) (к) ТОТ У(У^ ). При выполнении этого неравенства вершина заменяется на У^3 и

(*) тт

вычисляется у (У ). Далее осуществляется и+3

сжатие вектора У£к) - У^к}, смысл которого состоит в определении координат новой вершины в соответствии с выражениями

= У^ + -К%), I = 1, 2...п.

Коэффициент сжатия выбирается в пределах 0 < в < 1. Определяется функционал УУ^. Если это условие не выполняется, то операция сжатия производится, минуя блок 19. Эффективность операции сжатия

характеризуется выполнением неравенства

(*) (к) ^ У(У )<У(У ). Если оно выполняется, то 4 п+з ' А '

вершина УЦ® с наибольшим значением функционала заменяется вершиной У^4 и поиск продолжается на (к + 1)-м шаге, начиная с блока 5. Если же это неравенство не выполняется, то симплекс деформируется путем уменьшения в 2 раза всех векторов У ^ где у = 1, 2..., (п + 1), с отсчетом от У^' в соответствии с формулой

у(к) = у(к) + од^*) _у = 1, 2...п + 1.

В вершинах нового многогранника определяются значения функционала, и поиск экстремума продолжается с блока 5. Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не будут найдены координаты первой точки Л принадлежащей области работоспособности. Если этого сделать не удалось, что означает отсутствие области работоспособности, то критерием окончания поиска является выполнение следующего неравенства:

Г . \°>5

<е,

_1_|][У(УМ-У(У%)]2

где е — произвольное малое число, обычно 1 • 10-6; У(У^+2) — функционал в центре тяжести многогранника на последней итерации

Рассмотренный метод был успешно апробирован для построения областей работоспособности и решения задач управления состоянием электротехнических систем. Исследования тестовых примеров показали, что для двух первичных параметров затраты времени на поиск граничных точек по сравнению с известными методами снижаются в несколько раз. При этом эффективность метода резко увеличивается с ростом размерности пространства параметров.

Список литературы

1. Саушев А. В. Методы управления состоянием электротехнических систем. — СПб., 2004.

2. Саушев А. В. Аналитическое описание областей работоспособности электротехнических систем // Журнал университета водных коммуникаций. — СПб.: СПГУВК, 2009. — Вып. 4. — С. 34-41.

3. Дамбраускас А. П. Симплексный поиск. — М.: Энергия, 1979.