Аналитическое описание областей работоспособности электротехнических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

¡Выпуск 4

ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭКСПЛУАТАЦИЯ ФЛОТА

А. В. Саушев,

канд. техн. наук, доцент, СПГУВК

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОБЛАСТЕЙ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ THE ANALYTICAL DESCRIPTION OF AREAS OF WORKING CAPACITY OF ELECTROTECHNICAL SYSTEMS

Рассматривается метод аналитического описания областей работоспособности электротехнических систем. Метод основан на записи условий работоспособности системы в виде логических R-функций. При этом обеспечивается принципиальная возможность преобразования функций алгебры логики к аналитической форме записи и получения описания области работоспособности в виде одного алгебраического неравенства первого или второго порядка.

The method of the analytical description of areas of working capacity of electrotechnical systems is considered. The method is based on record of conditions of working capacity of system in the form of logic R-functions. Basic possibility of transformation of functions of algebra of logic to the analytical form of record and reception of the description of area of working capacity in the form of one algebraic inequality of the first or second order is thus provided.

Ключевые слова: область работоспособности, условия работоспособности, логические R-функции, параметры системы, электротехнические системы.

Key words: working capacity area, working capacity conditions, logic R-functions, system parameters, electrotechnical systems.

ПРОБЛЕМА обеспечения работоспособности технических систем различной физической природы давно привлекала к себе внимание специалистов. Эта проблема применительно к электротехническим системам (ЭТС) стала особенно актуальной после внедрения в практику полупроводниковых элементов и микросхем, позволивших существенно повысить их показатели назначения. Вместе с тем это привело к заметному усложнению ЭТС и, как следствие, к более частым отказам, среди которых возросла доля постепенных отказов. Параметрическая нестабильность ЭТС стала одной из главных причин снижения их уровня качества при эксплуатации. Стала очевидной необходимость обязательного учета параметрической надежности при разработке и изготовлении как элементов ЭТС, так и самих ЭТС.

Для решения задач структурного и параметрического синтеза ЭТС при их параметрической нестабильности, а также для решения задач анализа ЭТС, включая задачи тех-

нического диагностирования, необходимым условием является получение информации о границе области работоспособности системы [1]. Прежде чем рассматривать эту задачу, дадим определение ЭТС и выделим основные, характеризующие ее поведение параметры.

С функциональной и морфологической точек зрения под ЭТС будем понимать упорядоченную совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих электротехнических устройств (ЭТУ), образующих единое функциональное целое, предназначенное для решения определенной задачи. При этом согласно ГОСТ 18311-80 под ЭТУ понимается устройство, предназначенное для производства, преобразования, распределения, передачи и использования электрической энергии или для ограничения возможности ее передачи.

Любое ЭТУ с системных позиций также состоит из совокупности связанных между собой элементов. Отдельные элементы — это части или компоненты ЭТУ, предназначенные для выполнения определенных функций

и не подлежащие дальнейшему разбиению на части. К таким элементам можно отнести резисторы, конденсаторы, индуктивности, транзисторы, микросхемы и т. п. Такими элементами могут быть усилители, преобразователи, фильтры, корректирующие устройства, которые в свою очередь являются элементами ЭТС.

Состояние ЭТС в любой фиксированный момент времени характеризуется некоторым набором или вектором параметров. К их числу относятся:

— входные параметры u = (и1, и2, ..., ик, ..., ие ), характеризующие задающие воздействия ^1) и наблюдаемые на входах системы;

— параметры внешних условий v = (у у2, ..., ур, ..., уг), характеризующие возмущающие воздействия v(t);

— внутренние параметры X = (Х1, Х2, ..., Х1, ..., Хм), характеризующие состояние комплектующих элементов системы и называемые также первичными параметрами (величины сопротивлений, индуктивностей, емкостей, коэффициенты усиления, постоянные времени);

— внутренние параметры ^ = (и^ и^ ,..., ики, ..., иеи), Zu = (Ъ^, Ъ^ , ..., Ъ^, ..., Ъси) характеризующие соответственно сигналы на входах и выходах ЭТУ, входящих как элементы и = 1,Ь. Ь — число элементов, в состав системы;

— выходные (внешние) параметры Y = (У1, У2, ..., У., ..., Ут), характеризующие различные функциональные зависимости фазовых переменных Z = (Ъ Ъ ..., Ъ , ..., Ъс) на выходах системы от времени или частоты. Эти параметры являются показателями качества, которые характеризуют правильность функционирования системы. Достаточно часто выходные параметры являются характеристиками ее выходных сигналов Z(t) и в этом случае Y = Z.

Можно выделить внешние и внутренние условия работоспособности.

Под внешними условиями работоспособности будем понимать условия, выполнение которых необходимо для того, чтобы ЭТС функционировала с требуемыми показателями качества. Эти условия определяются заданными соотношениями между выходными параметрами объекта У и техническими тре-

бованиями к этим параметрам, устанавливаемыми при составлении технического задания.

Под внутренними условиями работоспособности будем понимать условия, при которых электротехнические устройства, как элементы ЭТС, способны выполнять возложенные на них функции, сохраняя при этом работоспособное состояние. Эти условия устанавливаются при проектировании на стадии технического задания и определяются заданными соотношениями между внутренними параметрами Zv и их допустимыми значениями, а также между первичными параметрами системы X и их предельными значениями.

Условия работоспособности могут быть односторонними и двухсторонними, и для второго (более общего) случая записываются следующим образом:

^тш ^¡= РДХ) ^ ^'тах> j =

(1)

Х1тт - Х1 - Х«™х> 1 = 1>П>

где: У. (Ъ ), У. . (Ъ . ),У. (Ъ) — соот-

.тах 4 .тах'7 ]тт 4 .тт'7 . 4 . '

ветственно максимально допустимое, минимально допустимое и текущее значение /-го выходного (внутреннего) параметра.

Первое неравенство в системе неравенств (1) является внешним условием работоспособности и с геометрической точки зре-

Ш

ния определяет допусковую область В¥=Р| ^

j=l

пространства выходных параметров (рис. 1).

Область Dy имеет вид га-мерного гиперпараллелепипеда евклидова пространства Ят. Каждой допусковой области Б. значений выходных параметров соответствует допусковая область М. значений первичных параметров. Это соответствие может быть записано в виде отобра-

т

жения ФУХ: DY ^ MY множества В¥=р|^ в

Ш j=l

множество м¥=Пм], При этом каждое неравенство Й- (Х)- ^¡пш ) ^ (х))> О,

. = 1,т в «-мерном евклидовом пространстве Я" первичных параметров X определяет область М .

Здесь Б^) — оператор связи первичных и выходных параметров ЭТС в уравнении (1).

Выпуск 4

¡Выпуск 4

Второе неравенство в системе неравенств (1) является внутренним условием работоспособности и с геометрической точки зрения определяет допусковые области

т __

В^=Р)Ц, V = 1,Ь пространства внутренних ]=1

параметров Zv, которые по виду соответствуют области DY. Аналогично изложенному выше, каждой области БЪ согласно отображению Ф2Х: БЪ — МЪ в пространстве Я" соответствует допусковая область М^. Объединение областей МЪ определяет допусковую об-

в __________

ласть М2= Р| М^, V = 1,Ь.

V =1

Третье неравенство в системе неравенств (1) также является внутренним условием работоспособности и с геометрической точки зрения определяет допусковую область DX, которая, как и области DY и БЪ, имеет форму гиперпараллелепипеда:

Бх ={Хе ЬЛХ^ <Х, <Х1пт, \ = й}.

Множество С = Бх П Мг П М¥, являющееся пересечением областей DX, MZ и MY будем называть областью работоспособности. Эта область определяет множество допустимых значений первичных параметров, при которых выполняются все требования, предъявляемые к выходным и внутренним Zv параметрам системы. Форма области работоспособности может иметь весьма сложную конфигурацию.

Область S, определяющая допустимые пределы изменения первичных параметров системы и классы точности ее комплектующих элементов, является частью области G в виде вписанного в нее гиперпараллелепипеда или гиперкуба максимально возможного объема или периметра (на рис. 1 показана пунктиром) или тождественно ей равна.

Для аналитического описания областей работоспособности воспользуемся классом Я отображений [2]. Опишем эти отображения применительно к решаемой задаче.

Пусть х — множество, содержащее к элементов X. Зададим сюръекцию вида 8к: X — Вк, Вк = {0, 1, ..., к -1}. Такое задание означает, что каждый элемент Х е Вк имеет непустой прообраз 8-1 (Х). Задание 8к приводит

к разбиению х на к подмножеств х(1) = 8-1 (1), 1 е Вк, которые называются качественными градациями на х, соответствующими сюръек-ции 8к. Введем в рассмотрение отображения 8": х" - О; и У = f (Х) : х" — х", где 8п (Х) = = (8к (Х), ..., 8к (Х")), Х = (Х1, ..., Х"), У = (У1, ..., У"), х" — «-я степень множества х Отображение А(Х) называется правильным отображением с алфавитом х. Множество всех правильных с алфавитом х отображений обозначим Б(х). При т = 1 правильные отображения "

вида f : х — х называются «-местными алгебраическими операциями на х.

Пусть У = £(Х) : х" — х”; Ф = У(У) : хт — хР и Ф = у£(Х)] : х" — хР. Тогда отображение ф называют композицией f и у и обозначают у£(Х)] = у ° £

Отображение £ : х" — х" называется Я-отображением, если существует такая функция к-значной логики Б : Вк — В™, для кото-

т"

рой 8к ° £ = р ° 8к .

Поскольку область работоспособности задается в пространстве Я" первичных параметров X, то множество х, используемое для построения Я-отображений, представляет собой числовую ось или ее подмножество. При этом Я-отображения являются действительными функциями действительных аргументов. Такие Я-функции определены везде в пространстве своих аргументов и, таким образом, принадлежат множеству Б(К) правильных функций (алгебраических операций) с алфавитом х = Я = (-°о, +°°).

При аналитическом описании допус-

т

ковых областей В = Б ¥=Р|Б|, M = M^MY.

И

P = DX и области G = DX П MZ П MY будем использовать Я-функции, соответствующие разбиению всего множества М с помощью сюръекции, определяемой предикатами 83(1)

и 82(1):

2, \Ле(0; ■+«)

8з(1) = -1, 1 = 0 , Б2(0:

0, \Ле(-оа;0)

Для предиката 83(1): х(0) = (-°°; 0), х(1) = 0, х(2) = (0; +°°). Для предиката 82(1) : х(0) = (-«>; 0), х(1) = (0; +~).

Предикату 83(1) можно поставить в соответствие принадлежность точки области G, а

-г.

'7Че(0; -н~), 0, \Ле (-°° ; 0).

Ф YX : D у —> М Y

Yztnjn

X,

D¥=f|Dj

j=i

^^2min X^max

G = DxflMYf|Mz

7V

2max

zv

DZ=(1DV

Рис. 7. Геометрическая интерпретация условий работоспособности и допустимых пределов изменения первичных параметров

также нахождение ее вне области G и внутри этой области. Предикату 82(1) ставится в соответствие принадлежность или не принадлежность рассматриваемой точки области работоспособности.

Рассмотрим пространство Ят выходных параметров ЭТС. Согласно (1) каждому неравенству ф.^) = К^) - У.тт > 0 или Ф/^ = У.тт - > 0 можно поставить в

соответствие двоичную переменную

000=д(^(х))=

J"l, еслиср^Х)> О, [О, если 9j (X) < 0.

Функция д = Q(Y), определяемая таким образом, является двоичным предикатом и обозначается 82(1). Предикату д(У.) можно поставить в соответствие геометрический объект DJ. Объект Б. называется опорным и представляет собой совокупность всех точек

Ят

, в которых удовлетворяется условие д = (ф^) > 0) = 1.

Область работоспособности D в пространстве Ят состоит из геометрических объектов Б. причем булева функция ф(У1, У2, ..., У., ..., Ут) определяет логику формирования области D. Так как предикаты д^) могут

принимать значения 0 или 1, то ими можно заменить аргументы булевой функции ф. В результате такой замены получим следующее уравнение:

Q(Y) = фВД), Q(Y2), ..., Q(Yj), ..., Q(Ym )] = A,

где A принимает значение 0 или 1.

Для того чтобы неравенство фJ(X) > 0 определяло ту же область, что и предикатное уравнение Q(Y) = 1, необходимо, чтобы булева функция ф была замыкающей. Построить эту функцию можно с помощью непрерывных Я-функций, которые, как отмечалось, являются функциями непрерывных аргументов и обладают свойствами функций алгебры логики.

Пусть Y = F(X) есть функция, определенная всюду в пространстве Rn. Согласно определению Я-отображения данная функция является Я-функцией, если в каждой из областей H (j = 1, 2, ..., 2n ) она сохраняет постоянный знак, то есть Q[F(X1, X2, ..., Xn)] = ф = const.

При этом область H представляет собой сово-^^^^ купность всех точек пространства Rn, для которых хотя бы одна координата X; равняется нулю.

В результате использования Я-функций область D может быть задана следующим неравенством:

Выпуск4

¡Выпуск 4

фОО = ((-.(((Ф1 Ф2) лка2 Фз) л^з...) Фш =

т

= лка1Ф;>0, (2)

j=l

где: а^'=1,т — произвольные величины,

принадлежащие интервалу а. е [-1,1].

Для построения Я-конъюнкции удобно воспользоваться следующей формулой [2]:

Ч>1 ЛаФг =0,5(ф, + <р2-+&-2а<р!ф2(ф„ф2), (3)

где: Я(ф1, ф2) — функция, обеспечивающая наличие к производных Я-конъюнкции.

В том случае если не требуется, чтобы функция ф была дифференцируема, формула (3) может быть упрощена. Принимая а = 1, получим

ф1лф2=0,5(ф1+ф2-|ф1-ф2|). (4)

В формуле (4) могут быть опущены скобки, и конечный результат не будет зависеть от последовательности свертки.

Если уравнения фj=0,j=l,m определяют соответственно границы областей фJ > 0, то уравнение ф^) = 0 будет определять границу области работоспособности D.

Для аналитического описания допус-ковых областей M, P и области G воспользуемся сюръекцией 83(1). Поскольку область G определяется пересечением областей P и M, то она может быть задана неравенством о(Х)л^(Х)>0, а уравнение ®(Х)Дц ^ (Х)=0 определяет ее границу.

Следуя (2) и (4), получим аналитическое описание области работоспособности в виде следующего рекуррентного соотношения [3]:

G _ G2(m+n) - 0,5 + Ф2(т+п) ‘

J2(m+n)-l Ф2(т+п)|);

^2(т+11)-1 =0>5((j2(m+n)-2 + ф2(т+п)-1 _ |С>2(Ш+П)_2 _ ф2(т+п)-11) ’

Gj =0,5(0Н+Ф]-|СН-Ф]|)

(5)

G2=0,5(G! +ф2-|0,-ф2|);

Gl =ф!-

Здесь ф. = F (X) - Y. . > 0; ф. + = Y. -

J J Jmm J +1 jmax

F(X) > 0; j = 1, 2, ..., m; Y , Y — соот-

Jv 7 J ? jmin jmax

ветственно минимально и максимально допустимые значения j-го показателя качества; Fj(X) — уравнение, устанавливающее связь между j-м показателем качества Yj и первичными параметрами ЭТС X X ..., X., ..., Xn.

Для случая когда т = " = 2, система уравнений (5) преобразуется к следующему виду:

С = 0,5(М + Р-|М-Р|),

где:

М = 0,25(У1шах + У2тах — У1шЬ1 ■

(6)

2min

- ^(Xj.Xj)-Y,

lmax

Imin I

|2Р2(Х15Х2) Y2max У2т]п| |У1тах+У2тЬ - у1тй1 - У2тах +|2Р1(Х1,Х2)- У2тах - \2вЛа\--|2Р2(Х1;Х2)-У1тах -^Ц); Р = 0,5(2-|Х1|-|Х2|-||Х2|-|Х1||);

Х. = (2х. - х - х ) / (х - х ) —

1 4 1 1тах 1тт/ 4 1тах 1тт'

относительное значение /-го первичного параметра х ЭТС; х , х — соответственно

1 1тах 1т1"

максимально и минимально допустимые абсолютные значения первичных параметров системы.

В работе [2] доказано, что к базисным системам Я-функций относятся:

Н1={Х1=Х2; Хг Х^ л/х,х>0^

Н.

^■¡к^х^х, х2, |х|,хш}

Используя основное свойство Я-функ-ций, заключающееся в том, что логические операции и простейшие арифметические операции над Я-функциями образуют новую функцию, которая также принадлежит к классу Я-функций, можно заключить, что алгебраические функции К^), полученные, например, в результате применения методов планирования эксперимента [4] также будут являться Я-функциями.

В самом общем случае область работоспособности можно представить в виде пересечения множеств G,, N и Q:

О = G' п N п Q,

где: G', N, Q — множество решений пространства Я" первичных параметров X ЭТС, определяемое соответственно конъюнкцией отображений Ф": DY — MY , Ф": Du — Mu и области P (определяет область G,), совокупностью критериев, не имеющих ограничений (N), предельно допустимым значением запаса работоспособности системы ^). Область Q вводится в рассмотрение в том случае, когда целевой функцией является какой-либо функционал или отдельно взятый показатель

назначения ЭТС, а для запаса работоспособности системы устанавливается предельно допустимое значение.

Трудность аналитического описания множества N заключается в том, что критерии К^), определяющие это множество, не имеют ограничений. Вместе с тем известно, что если функции К^) дифференцируемы, а множество N непрерывно, то оно может быть задано следующим образом:

N 8Т (X) Л = 0, Л > 0, (7)

где: gT (X) — транспонированная матрица Якоби для функций критериев ф.^) , Л = а., . = т + 1, ..., к

Выражение (7) представляет собой систему линейных уравнений относительно коэффициентов а.:

2 о^пкЩ(Х)=0,

}= т+1

^ >0, <Х)=а, ае[0,°°).

Ограничивая диапазон изменения а. каким-либо числом, например принимая а = 1, а

к

также учитывая, что = 1 - ^ о^, окончатель-

т+2

но получим

1 = 1, 2,..., " а. > 0.

(8)

Для наглядности представим выражение (8) в виде системы уравнений с к неизвестными параметрами:

ал«ш+2 + ар«й.+з +- + алаш+1 + - + а^ап =с^

(9)

ак2ат+2 +ак3ат+3 +--- + анат+1 +-” + акпап — Ск>

где:

а^сст+; =Э(Р1(Х)-Р](Х))/ЭХ1; с = ЭБДХ)/ЭХ,

Разрешая данную систему уравнений относительно неизвестных а., получим систему неравенств, описывающих множество решений N:

а;(Х)е [0;1], £ щ = 1, ] = т + 1, т + 2, к. (10)

j= т+1

Для наглядности рассмотрим случай, когда т = 0, к = 3, " = 2. Предположим также,

что уравнения Б.^), полученные в результате использования методов планирования эксперимента, имеют вид полинома второй степени:

Ч =ь0 + +£ьйх? + ¿£ь;ух;ху:

j=l j=l 1=2 у=1

а функции У. = Р.^) минимизируются.

Для рассматриваемого случая, который для ЭТС имеет весьма широкую область применения, получим:

р!(Х) = Ь01 + ЬПХ1 +Ь21Х2 +Ь31Х1 + ь41х2 +Ь51Х1Х2, Р2(Х)=Ь02 +Ь12Х[ +Ь22Х2 + Ь32Х? + Ь42Х2 +Ь52Х1Х2, ^з(Х) =ь03 +Ь13Х1+ Ь23Х2 + Ьз3Х1 +Ь43 Х2+Ь53Х1Х2.

Система уравнений (9) примет следующий вид:

(2Х ~^г)®2 + (^1 — ^з)®з =^1>

(^4 ~ ^5)ОС2 (^4 ~^6)(Х3 =^4>

где:

^1 = Ьц + 2Ь31Х1+Ь51Х2; %2= ^12 2Ь32Х1+ Ь52Х2;

~ Ъ^ + гЬз^ + ЬззХ,; г4 = Ь21 +2Ь41Х1 +ъ51х1; ^5 = ^22 "*"2Ь42 Х2 + Ъ52Х1; гб =Ь23 +2Ь43 Х2+ Ь53 Хр

Учитывая, что а1 + а2 + а3 = 1, разрешим полученную систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов а1, а2, а3. Окончательно получим:

а^Х-Иг-СХз, (11)

а2 = (Z1Z6 — г3у.с) (/■ 26-г1г5+г2г4 — z2z6 —z3z4 +z3z5),

Из = (^1^5 — ^2^4)/(^1^5 —^1 ^6 '*'^2^6 — ^2^4 + ZзZ4 — ЪъЪ^).

Поскольку уравнения (11) принадлежат к классу Я-функций, следуя методике, изложенной выше, получим:

N = 4*! п*Р4 п*Р5 п*Р6,

Ч»! = 04 > 0;^ = 1 - ОС! > 0;^ = <х2 > 0; 'Р4=1-ос2>0;Ч'5=а3>0;Ч'6=1-а1>0;

Т1>2 = 0,5(1 — 12«! —1|) > 0; Т3>4 = 0,5(1 -|2«2-1|) > 0; 'Р5;6=0,5(1-|2а1-1|)>0.

После преобразований окончательно получим:

N = 0,125(4 — | 2«! —1| — |2(Х2 -1|-| 4а3-21-— | |2а2 —1| — |2сх! —1| | — 114сх3 — 2| — 12^ -1|-

-|2а2 -1|-|| 2ос2—11 — 12«! —1|11).

В самом общем виде множество N аналитически может быть записано следующим образом:

Выпуск 4

¡Выпуск 4

N — 0,5 (N2k_! +'P2k |^2к-1 ^2к|)>

Nk-l = 0,5 (N2k_2 + 'Pjk-l — N2k-2 — ^2к-, |),

Nj=0,5(NH+¥j-|NH-4'i5,

(12)

□fr

N2=0,5(N1+4'2-|N1-'P2|),

N.^,,

где: ^ = a. , ¥j+1 = 1 - a.. Коэффициенты a. определяются в результате решения системы уравнений (9).

Множество решений Q имеет место в том случае, когда критериальным ограничением является минимально допустимый запас работоспособности ЭТС: X > X . При

г mm г

этом множество Q описывается следующим образом:

Q:[(X!-X1h)2+(X2 -Х2н)2 +...+(Хп -Хш)2]0,5 -

-^„,m^0Amme(0;l)» (13)

где: X Х2н, ..., Хпн — координаты номинальной точки в области G, для которой запас работоспособности X = 1. Для определения координат такой точки можно воспользоваться методами, рассмотренными в [3].

Окончательно аналитическое описание области работоспособности примет следующий вид:

G = 0,25 (2Q+ G' + N-| G'-N|-| G'+N-2Q--|G-N||), (14)

где: функции G , N, Q, аналитически описываются уравнениями (5), (12) и (13) соответственно.

Полученное аналитическое описание области G, как отмечалось, позволяет успешно решать задачи параметрического управления состоянием ЭТС по критерию запаса работоспособности. Вместе с тем при большом числе функций ф., полученных, например, в результате аппроксимации граничных точек области G линейно-зависимыми допусками, и при необходимости выполнения операций дифференцирования в процессе поиска оптимума заметно возрастает объем вычислений. Рассмотрим это обстоятельство более подробно. В общем случае область G определяется неравенством R(X) > 0, где R(X) — свертка

Rj+i —

неравенств ф:-(Х)> 0, ]’=1,М. Функция Я^) вычисляется не сразу, а на каждом шаге. Значение функции в какой-то точке:

^+1 = ^ л }=1>к _1’ К1= % где: Я. — значение Я-конъюнкции, полученной нау-м шаге.

Таким образом, на у + 1-м шаге

^ Я,. +

Значения частных производных функции R(X) в каждой рассматриваемой точке вычисляются по рекуррентной формуле:

ЭЬ^+1 _ ЭЯН ЭЯ] | ЭЯ]+, Эф]+1 ЭХ ЭЯ] ЭХ; Эф]+, ЭХ; и определяются видом используемой Я-конъ-юнкции. Изменение значения Я-конъюнкции дЯ на у-м шаге определяется выражением

^ (срн + cxRj +<р-+1-2аЯ]ф]+1).

При Я Ф 0, ф. Ф 0 и а е [-1; 1] значение дЯ < 0.

Можно доказать, что К(Х)=Яа <шт{ф]}. Таким образом, значение Яа всегда меньше меньшего из значений ф. и на каждом шаге вычисления функции Я^) значение Яа уменьшается алгебраически с добавлением каждой новой функции ф.. При свертке отрицательных величин фJ значение Яа отрицательно и по абсолютной величине больше любой из них.

Свойство наращивания абсолютного значения Я-функции при вычислении Я^) накладывает ограничение на количество функций ф. при хотя бы одном отрицательном значении одной из них. Поскольку вычисление значения Я-конъюнкции на у-м шаге рекуррентной процедуры требует возведения в квадрат ее значения, полученного на предыдущем шаге, то наибольшее абсолютное значение функции Я^) должно удовлетворять соотношению

|яа| <41, (15)

I а шах х 7

где: в — максимально возможное число для использования ЭВМ.

Значение Я можно значительно

| л 1тах

уменьшить, получив новую конъюнкцию Я(Х) = Яр как произведение Яав. В качестве значения функции в можно принять выраже-

„ (1 + а)(1+дЯ')

ние, р= -ь----А) ,

2 - sgnq>*J2(\ - ос)

где: дЯ; =дЯа/ф — заданное относительное изменение значения функции Яр, ф = тт^}, 5йиф = {1, при ф>0; -1 приф<0}.

Полученная функция Я(Х) = Яр позволяет выполнять операции дифференцирования и аналитически описывать область G практически при любом числе функций ф. без нарушения условия (15).

Таким образом, в результате использования предложенного способа аналитического описания области работоспособности, размерность пространства выходных параметров ЭТС сократилась до одного параметра, который объединяет все т неравенств (1) в одно неравенство. При этом существенно сокращаются затраты времени на определение обла-

сти работоспособности в виде совокупности граничных точек. Кроме того, аналитическая форма записи области G позволяет достаточно просто идентифицировать нахождение исследуемой точки пространства первичных параметров внутри или вне этой области (при G > 0 — точка находится внутри области, а при G < 0 — вне ее) и эффективно, с низкой методической погрешностью, решать задачи определения работоспособности и прогнозирования состояния ЭТС.

В работе [4] приводятся примеры использования рассмотренного метода для решения задач моделирования, параметрического и структурного синтеза разнообразных ЭТС.

Список литературы

1. Саушев А. В. Методы управления состоянием электротехнических систем. — СПб., 2004.

2. Рвачев В. Л. Геометрические приложения алгебры логики. — Киев, 1967.

3. Саушев А. В. Метод построения границы области работоспособности электротехнических объектов // Электричество. — 1990. — № 4. — С. 14-19.

4. Саушев А. В. Планирование эксперимента в электромеханике. — СПб., 2008.

5. Саушев А. В., Шошмин В. А. Основы инженерного проектирования электротехнических устройств и систем. — СПб., 1993.

В. В. Сахаров,

д-р техн. наук, проф., СПГУВК;

В. И. Королев,

канд. техн. наук, проф., ГМА им. адмирала Ф. Ф. Ушакова;

П. В. Голубев,

аспирант, СПГУВК

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ВОДОИЗМЕЩАЮЩИХ СУДОВ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ

DISPLACE SHIP MODEL PARAMETERS ESTIMATION ^41

BY STATE VECTOR MEASUREMENTS

В статье рассматривается алгоритм оценки параметров модели водоизмещающего судна в пространстве состояний. Оценка производится по измерениям вектора состояния в дискретные моменты времени на эволюционном режиме изменения фазовых координат. Приводятся оценки параметров, полу-

Выпуск 4